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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours Accès}
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\begin{center} \Large \textbf{Concours Accès 7 avril 2022}

\medskip

\textbf{MATHÉMATIQUES}

durée de l'épreuve : 3~h
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercices 1 à 5 : Raisonnement logique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'approche de l'été, l'institut Sondamétric a interrogé \np{1000} personnes sur leurs intentions
d'achat des trois produits suivants : chapeau, lunettes de soleil et t-shirt.

Les informations suivantes ont été recueillies :

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item Les personnes interrogées n'achèteront pas plus d'un article de chacun des trois produits;
\item Il y a 10 fois plus de personnes qui souhaitent acheter uniquement un t-shirt que d'ache- teurs potentiels d'un chapeau uniquement;
\item 25\,\% des personnes ont l'intention de n'acheter qu'une paire de lunettes solaires;
\item 50\,\% des personnes qui souhaitent acheter un t-shirt ont aussi l'intention d'acheter une paire de lunettes solaires;
\item $700$ personnes souhaitent acheter une paire de lunettes solaires, $400$ un t-shirt et $360$ un chapeau;
\item $100$ personnes ont l'intention d'acheter uniquement un t-shirt et un chapeau.
\end{itemize}

Le prix moyen des chapeaux est de $20$~\euro, celui des lunettes solaires 30 € et celui des t-shirts 15~\euro.

À partir de ces informations, on peut conclure que :
	\begin{enumerate}
		\item $100$ personnes ont l'intention de ne rien acheter.
		\item On ne peut déduire le nombre de personnes qui ont l'intention d'acheter les trois produits.
		\item  $450$ personnes exactement ont l'intention d'acheter au moins 2 produits.
		\item Le chiffre d'affaires potentiellement généré par ces \np{1000} personnes, est estimé à \np{32500}~\euro.
	\end{enumerate}
\item Une étude de marché est réalisée par une promotion comportant $n$ étudiants. Ces étudiants doivent renseigner des questionnaires sur une durée totale de $x$ jours.

On sait que :

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item Les filles sont 2 fois plus nombreuses que les garçons;
\item En moyenne, une fille a renseigné $20$ questionnaires par jour;
\item Les garçons ont renseigné \np{12000} questionnaires sur les $x$ jours.
\end{itemize}

À partir de ces informations, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item En moyenne, un garçon a renseigné un nombre journalier de questionnaires égal à
$\dfrac{\np{36000}}{x . n}$
		\item En moyenne sur la durée totale, une fille a renseigné $\dfrac{20x}{n}$ questionnaires.
		\item Si les filles ont renseigné \np{32000} questionnaires sur les $x$ jours, alors: $x = \dfrac{\np{2000}}{ n}$
		\item Pour \np{44000} questionnaires renseignés au total par l'ensemble des filles et des garçons, et un nombre de garçons égal à $40$, on en déduit que $x$ est inférieur à $18$ jours.
	\end{enumerate}
\item Alexandre, Barnabé, Chloé et Denis, vendeurs de produits financiers (aux performances différentes) se partagent un bonus accordé à leur équipe.

Le bonus d'Alexandre est 3 fois moins élevé que celui de Denis.

Le bonus de Denis est 20\,\% plus élevé que celui de Barnabé.

Les bonus cumulés d'Alexandre et de Denis sont égaux aux bonus cumulés de Barnabé et de Chloé.

On sait que Chloé a touché un bonus de \np{3000}~\euro.

À partir de ces informations, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item Les bonus cumulés d'Alexandre et Chloé sont égaux à \np{6000}~\euro.
		\item Le bonus le plus élevé est égal à \np{9000}~\euro.
		\item Le bonus de Chloé est $50\,\%$ plus élevé que celui d'Alexandre.
		\item Le montant total du bonus qui a été partagé entre ces 4 vendeurs est supérieur à \np{17000}~\euro.	
		\end{enumerate}
\item Paul a assisté à trois cours, d'une heure chacun, qui se sont succédés de 14 heures à 17 heures. La salle de coworking, un amphi et une salle informatique ont été utilisées. Les intervenants qui ont enseigné sont un chargé de TD, un enseignant chercheur et un enseignant extérieur.

On sait que:

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item L'intervenant de marketing est chargé de TD ;
\item Le cours de psychologie a eu lieu en amphi ;
\item Le cours de finance a eu lieu en deuxième heure ;
\item L'intervenant chargé de TD et l'enseignant chercheur se sont succédés; 
\item Le cours en salle informatique a eu lieu en première heure.
\end{itemize}

À partir de ces informations, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item Le cours de l'intervenant extérieur a eu lieu en première heure.
		\item De 16~h à 17~h, le cours a eu lieu en salle de coworking.
		\item L'intervenant en finance est enseignant chercheur.
		\item Le cours de psychologie a précédé le cours de finance.
	\end{enumerate}
\item On réalise l'expérience suivante : un élastique de $x$ cm est tendu à son maximum pendant 1~h et est ensuite relâché. Après l'expérience, on constate que l'élastique s'est allongé de $6$\,\%.

Ce phénomène se reproduit à chaque fois que l'expérience est répétée, jusqu'à rupture de l'élastique. 
Soit $y$ l'entier immédiatement supérieur à $\dfrac{ln 2x}{\ln 1,06}$.

À partir de ces informations, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item Si on répète l'expérience $n$ fois, l'élastique mesurera $(1,06x)^n$ cm à la fin.
		\item Si on répète l'expérience 2 fois, l'élastique se sera allongé de plus de $10$\,\%.
		\item Après $n$ expériences, l'élastique se sera allongé de $0,06^n$ cm.
		\item Pour atteindre au moins une longueur de $2x$ cm, il faut répéter l'expérience $y$ fois.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercices \no 6 à 10 : Raisonnement mathématique}

\medskip

\begin{enumerate}[start=6] 
\item Soit la fonction $f$ définie par :
\[f(x) = \dfrac{4\e^x}{\e^x + 1}.\]

Soit $\mathcal{D}_f$ l'ensemble de définition de la fonction $f$ et $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère \Oij{} du plan.

	\begin{enumerate}
		\item La fonction $f$ est définie sur $\R$.
		\item Pour tout $x$ de $\mathcal{D}_f$, \: $f(x) = \dfrac{4}{\e^{-x} + 1}$.
		\item Pour tout $x$ de $\mathcal{D}_f$, la dérivée de $f$ est $f'(x) = \dfrac{4\e^x}{\left(\e^x + 1\right)^2}$.
		\item La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0 admet pour équation réduite $y = x + 2$.
	\end{enumerate}	
\item Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
\[f(x) = \e^{2x} - \e^x - 2.\]

Soit $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère \Oij du plan.

	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $x$ réel, la dérivée de $f$ est $f'(x) = \e^x\left(2\e^x - 1\right)$.
		\item La fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty~;~\ln (0,5)[$.
		\item L'équation $f(x) = 0$ n'admet pas de solution réelle.
		\item La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0, est parallèle à l'axe des abscisses.
	\end{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ définie par: 
\[f(x) = \dfrac{8}{x\left(x^2 - 4\right)}.\]

Soit $\mathcal{D}_f$ l'ensemble de définition de la fonction $f$ et $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère \Oij du plan.

	\begin{enumerate}
		\item $\mathcal{D}_f = \R$ privé de $\{0~;~2\}$.
		\item Pour tout $x$ de $\mathcal{D}_f$, \: $f(-x) = - f(x)$.
		\item $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
		\item Pour tout $x$ de $\mathcal{D}_f, \:f(x) =-\dfrac 2x + 1 + \dfrac{1}{x + 2} + \dfrac{1}{x - 2}$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie par 
\[f(x) = ln \left(\dfrac{2 - x}{2 + x}\right).\]

Soit $\mathcal{D}_f$ l'ensemble de définition de la fonction $f$ et $\mathcal{D}_f'$ celui de sa dérivée.

	\begin{enumerate}
		\item $\mathcal{D}_f = ]-2~;~2[$.
		\item $f(0) = 0$.
		\item Pour tout $x$ de $\mathcal{D}_f$ on a $f(- x) = - f(x)$.
		\item Pour tout $x$ de $\mathcal{D}_f'$ on a $f'(x) =-\dfrac{1}{2-x} - \dfrac{1}{2 + x}$.
	\end{enumerate}
\item  On considère d'une part, une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n~;~0,2)$ où $n$ est un entier naturel non nul, fixé.

On considère d'autre part, une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;~0,2)$.

	\begin{enumerate}
		\item $P(X = 1) = n \times  0,2^{n- 1} \times 0,8$.
		\item Si on veut que la variance de $X$ soit égale à $0,8$ alors il faut que $n = 5$.
		\item $P(Y \leqslant 2) = 0,691$.
		\item $P(2 < y \leqslant3) = 0,005$/
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercices \no 11 à 15 : Problème mathématique}

\medskip

\textbf{Certaines questions peuvent être traitées indépendamment. D'autres nécessitent les résultats
obtenus dans les questions précédentes.}

\medskip

M. Dupont est propriétaire d'une exploitation agricole. Il possède un champ représenté dans le schéma ci-dessous par la zone hachurée. On appelle $P_1$ cette partie.

La partie quadrillée notée $P_2$, qui représente un demi-disque de rayon $\dfrac x2$, appartient à son voisin M. Michel.

Soient $x > 0$ et $a > 1$.

Notons que toutes les mesures sont exprimées en mètres.

Par souci de simplicité, on suppose que $\pi \approx  3,14$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(12,4.6)
\psframe[fillstyle=hlines](1.5,0)(10.1,3.8)
\pswedge[fillstyle=vlines](10.1,1.9){1.9}{90}{270}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0,4)(10.1,4)\uput[u](5.05,4){$ax$}
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dotted](0,1.9)(10.1,1.9)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(1.3,1.9)(1.3,3.8)\uput[l](1.3,2.85){$\frac x2$}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(10.3,1.9)(10.3,3.8)\uput[r](10.3,0.95){$\frac x2$}
\rput(5.8,1.9){\Large $P_1$}\rput(9.1,1.9){\Large $P_2$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[start=11]
\item À partir de ces informations, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item Le périmètre (en mètre) du champ de M. Dupont est égal à $2x +2ax - \dfrac{\pi}{2} x$.
		\item L'aire (en m$^2$) de la partie $P_2$ est égale à $\dfrac{\pi}{4}x^2$.
		\item L'aire (en m$^2$) de la partie $P_1$ est égale à $\left(a - \dfrac{\pi}{8}\right)x^2$.
		\item Pour $a = \dfrac{3\pi}{8}$, l'aire de la partie $P_l$ vaut le double de celle de la partie $P_2$.
	\end{enumerate}
\item M. Dupont et M. Michel s'accordent à cofinancer une clôture qui séparera les deux parties qui leur appartiennent.

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item M. Dupont a obtenu un devis dont le coût fixe est \np{1000}~\euro{} plus cinq \euro{} par mètre de clôture.
\item M. Michel a obtenu un autre devis qui coûte $25$~\euro{} par mètre de clôture.
\end{itemize}

À partir de ces informations, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item Si $x = 50$, la longueur de la clôture sera supérieure à $78$ mètres.
		\item Si $x = 50$, le montant du devis apporté par M. Dupont dépasse \np{1400}~\euro.
		\item Si $x = 50$, le montant du devis apporté par M. Michel est plus intéressant que celui apporté par M. Dupont.
		\item Si $x = \dfrac{100}{\pi}$, les deux devis sont équivalents.
	\end{enumerate}
\item M. Dupont envisage de produire des tomates et/ou des tournesols sur sa parcelle.

On nous précise que pour $19$~\euro, M. Dupont pourrait obtenir $10$~plants de tomates et $20$~plants de tournesols. 

Pour $5$~\euro{} il n'aurait que $3$~plants de tomates et $5$~plants de tournesols.

Supposons qu'on puisse planter 4 plants de tomates par m$^2$ et $6$~plants de tournesols par m$^2$, 
Soit $x_1$ le prix d'un plant de tomates et $x_2$ le prix d'un plant de tournesols.

M. Dupont décide de planter $\beta$\,\% de sa parcelle avec des tomates et le reste avec des tournesols.

Pour cette question, on suppose que $a = 1,4$ et, par souci de simplicité, on considère que 

$\dfrac{\pi}{4} \approx 0,8$.

À partir de ces informations, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item $5x_1 + 3x_2 = 5$
		\item $x_2 = x_1 - 0,2$
		\item Le prix des plants de tomates, qui seront plantés sur la parcelle, est de $\beta x^2$.
		\item Si $x = 20$ et $\beta = 10$, le prix total que M. Dupont doit payer pour planter l'ensemble de sa parcelle est de \np{1592}~\euro.
	\end{enumerate}
\item M. Dupont pense finalement planter uniquement des plants de tournesols et produire de l'huile par la suite.

Soit $y$ la quantité d'huile (en litre par m$^2$) qu'on peut produire.

Le coût de production (par m$^2$) est défini par la fonction suivante:

\[C(y) = 0,25y^2 + y +5,25.\]

Le prix de vente d'un litre d'huile est égal à $p$~\euro.

Rappelons que le bénéfice est défini comme étant la différence entre le prix de vente et le coût de production.

Pour cette question, on suppose que $a = 1,4,\:\: x = 100$ et on considère toujours que $\dfrac{\pi}{4} \approx 0,8$.

À partir de ces informations, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item Si $p = 0,85$, alors le prix total de vente est inférieur à \np{8000}$y$.
		\item Si $p = 3,50$, alors le bénéfice (par m$^2$) est nul pour $y$ égal à 3 et $y$ égal à 6 litres.
		\item Si $p = 3,50$, alors le bénéfice (par m$^2$) atteint son maximum pour $y$ égal à 5 litres.
		\item Si $p =3,50$ et $y = 4$, alors le bénéfice total est égal à \np{5000}~\euro.
	\end{enumerate}
	
\item Soit $I$ et $J$ deux sous-ensembles de $\R$ et $(x~;~y)$ un couple de réels appartenant respectivement à $I$ et à $J$.

On appelle fonction numérique de deux variables réelles, toute fonction, qui au couple $(x~;~y)$ associe un réel noté $f(x~;~y)$. Explicitement, nous avons :
\[\begin{array}{l l c c}
f:&I \times J&\to&\R\\
&(x~;~y) &\longmapsto& f(x~;~y)
\end{array}\]

Exemple: on définit la fonction f \og aire d'un rectangle \fg{} comme suit:

\[\begin{array}{l l c c}
f: &]0~;~ +\infty[ \times ]0~;~ +\infty[& \to&\R\\
&(x~;~y) &\longmapsto&f(x~;~y) = xy
\end{array}\]
où $x$ et $y$ représentent la longueur et la largeur du rectangle.

Finalement, M. Dupont décide de produire de l'huile de tournesol et du jus de tomate. Soient $n_1$ le nombre total des plants de tomates plantés au début de la saison et $n_2$ le nombre total des plants de tournesols plantés au début de la saison.

M. Dupont a les informations suivantes:

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item Un plant de tomate produit $0,75$ litre de jus de tomate sur une saison ;
\item Un plant de tournesol produit $0,5$ litre d'huile sur une saison ;
\item Le prix de vente d'un litre de jus de tomate est égal à $2$~\euro{} ;
\item Le prix de vente d'un litre d'huile de tournesol est égal à $3,50$~\euro{};
\item Le prix d'achat d'un plant de tomate est de 0,50~\euro{} ;
\item Le prix d'achat d'un plant de tournesol est de 0,70~\euro{};
\item Le coût d'entretien et de récolte, à la fois pour les tomates et les tournesols, est égal à 0,3~\euro{} par plant planté ;
\item Le prix total d'engrais utilisé durant la saison est égal à $0,01 \times n_1 \times n_2$ ;
\item À cause des maladies et du climat, 10\,\% des plants de tomates plantés et 20\,\% des plants
de tournesols plantés meurent avant toute production ;
\item Les coûts fixes durant la saison, indépendants du nombre de plants, sont de $20$~\euro.
\end{itemize}

À partir de ces informations, on peut conclure que :

	\begin{enumerate}
		\item Le coût total, noté $C$, est une fonction de $n_1$ et $n_2$ et il vaut:
\[C(n_1~;~n_2) = 0,8n_1 + n_2 + 0,01n_1n_2 + 20.\]
		\item Le prix total des ventes, noté $T$, est une fonction de $n_1$ et $n_2$ et il vaut:
		\[T(n_1~;~n_2) = 1,5n_1 + 1,75n_2.\]
		\item Le bénéfice total, noté $B$,est une fonction de $n_1$ et $n_2$ et il vaut:
		\[B(n_1~;~n_2) = 0,55n_1 + 0,4n_2 - 0,01n_1n_2 - 20.\]
		
		\item Supposons que le nombre total des plants de tomates plantés au début de la saison est égal à celui des plants de tournesols.
		
On peut en déduire que le bénéfice total sera positif lorsque le nombre total des plants plantés est compris entre 32 et 62.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}