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%Sujet aimablement communiqué par Olivier Noël
%Tapuscrit : Denis Vergès, relecture François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lhead{\small École de santé}
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\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Concours École de santé Bron avril 2007~\decofourright} \end{center}

\vspace{0,5cm}

Avertissement : L'utilisation de calculatrices, de règles  à calcul, de formulaires et de papier millimétré n'est pas autorisée. Il ne sera pas fait usage d'encre rouge. Il sera tenu compte de la qualité de la présentation des copies et de l'orthographe.

Le candidat traitera les trois exercices en respectant les notations du texte et la numérotation des questions. AUCUN document ne sera rendu avec la copie.

\emph{Les réponses de l'exercice \no 1 (QCM) seront données sur une grille prévue à cet effet. Les exercices \no 2 et \no 3 seront traités sur une copie à part.}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient $A$ et $B$ deux évènements distincts de probabilité non nulle. Alors :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A :~} $p_A(B) - p_B(A)$&\textbf{B :~} $p_A(B)p(A  \cap B) = p(A)$\\
\textbf{C :~} $p_A(B)p_B(A) = \dfrac{p(A \cap B))^2}{p(A)p(B)}$&\textbf{D :~} $p(A \cap B) = p(A)p_B(A)$
\end{tabularx}
\end{center}

\item On effectue un tirage simultané de 2 boules indiscernables au toucher parmi 10. Combien y a-t-il de tirages différents ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A :~} 100 &\textbf{B :~} 90 &\textbf{C :~} ~45&\textbf{D :~} 20
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soient $A$ et $B$ deux évènements distincts de probabilité non nulle. 

\textbf{A :~} Si $A$ et $B$ sont incompatibles alors ils sont indépendants

\textbf{B :~} Si $A$ et $B$ sont indépendants alors ils sont incompatibles

\textbf{C :~} Si $A$ et $B$ sont indépendants alors ils ne sont pas incompatibles

\textbf{D :~} Si $A$ et $B$ sont incompatibles alors $A$ et $\overline{B}$ le sont aussi

\item Les solutions de l'équation différentielle $y' + 2y = 0$ sont les fonctions:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A :~} $x \longmapsto k\text{e}^{2x}$&\textbf{B :~}$x \longmapsto k\text{e}^{\frac{1}{2}x}$&\textbf{C :~}$x \longmapsto k\text{e}^{- 2x}$&\textbf{D :~}$x \longmapsto k\text{e}^{-\frac{x}{2}}$\\
\end{tabularx}
\end{center}
($k$ désigne une constante réelle)

\item $\text{e}^{- 3\ln 4}$ est égal à : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A :~} $-12$&\textbf{B :~} $\dfrac{1}{12}$&\textbf{C :~} $\dfrac{1}{81}$&\textbf{D :~}$\dfrac{1}{64}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item La fonction dérivée sur $\R$ de la fonction $x \longmapsto \sqrt{\text{e}^{3x}}$ est la fonction:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A :~}$x \longmapsto \dfrac{1}{2\sqrt{\text{e}^{3x}}}$&\textbf{B :~}$x \longmapsto \dfrac{3}{2}\text{e}^{\frac{3x}{2}}$&\textbf{C :~}$x \longmapsto \sqrt{\text{e}^{3x}}$&\textbf{D :~}$x \longmapsto \dfrac{3}{2\sqrt{\text{e}^{3x}}}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x \left(\dfrac{1}{2} \right)^x$ est égale à 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A :~} $0$&\textbf{B :~} $1$&\textbf{C :~} $+ \infty$&\textbf{D :~} $\dfrac{1}{2}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item Une primitive sur $\R$ de la fonction $x \longmapsto x \text{e}^x$ est la fonction :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A :~} $x \longmapsto (x - 1)\text{e}^x$&\textbf{B :~} $x \longmapsto x\text{e}^x$& \textbf{C :~} $x \longmapsto (x + 1)\text{e}^x$&\textbf{D :~} $x \longmapsto \dfrac{x^2}{2}\text{e}^x$
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Soient $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ deux suites telles que, pour tout $n \in \N$,\: $u_n< v_n$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A :~} Si $\left(u_n\right)$ diverge alors $\left(v_n\right)$ diverge &\textbf{B :~} Si $\left(v_n\right)$ est bornée alors $\left(u_n\right)$ est majorée\\
\textbf{C :~} Si $\left(u_n\right)$ est croissante alors $\left(v_n\right)$ aussi &\textbf{D :~} Si $\left(u_n\right)$ est bornée alors $\left(v_n\right)$ converge.
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$ tels que $2x + y - 3 = 0$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A :~} Une droite de vecteur directeur $\vect{u}(-1~;~2~;~0)$ &\textbf{B :~}Un plan de vecteur normal $\vect{n}(2~;~1~;~0)$\\
\textbf{C :~} Un plan parallèle au plan $(x\text{O}y)$ &\textbf{D :~} Un plan passant par le point H$(0~;~-3~;~3)$
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Soit $z$ un complexe non nul et $z'$ défini par $z' = - \dfrac{3}{\overline{z}}$ où $\overline{z}$ est le conjugué de $z$. Pour tout $z \ne 0$,

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A :~} arg$\left(z'\right) = \text{arg}(z) + 2k\pi,\:k \in \Z$&\textbf{B :~} arg$\left(z'\right) = - \text{arg}(z) + 2k\pi,\:k \in \Z$\\
\textbf{C :~}arg$\left(z'\right) = \text{arg}(z) + \pi + 2k\pi,\:k \in \Z$ & \textbf{D :~} arg$\left(z'\right) = 3\text{arg}(z) \pi + 2k\pi,\:k \in \Z$
\end{tabularx}
\end{center}

\item La transformation du plan dans lui-même d'écriture complexe $z' = - \text{i}z +3 + \text{i}$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A :~} une homothétie 	&\textbf{B :~} une symétrie centrale \\
\textbf{C :~} une rotation 		&\textbf{D :~} une translation
\end{tabularx}
\end{center}

\item Le complexe $-5 + 5\text{i}\sqrt{3}$ a pour argument :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A :~} $\dfrac{\pi}{3}$&\textbf{B :~} $- \dfrac{\pi}{3}$&\textbf{C :~} $\dfrac{2\pi}{3}$&\textbf{D :~} $\dfrac{4\pi}{3}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Le réel $\displaystyle\int_{0}^{1} \text{e}^{\frac{x}{2}}\:\text{d}x$ est égal à : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A :~} $2\left(\sqrt{\text{e}} - 1 \right)$&\textbf{B :~} $\dfrac{\text{e} - 1}{2}$&\textbf{C :~} $\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{\frac{1}{2}} - 1\right)$&\textbf{D :~} $\text{e}^{\frac{1}{2}} - 1$.
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7,5 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) \dfrac{\ln x}{x}$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la fonction dérivée de $f$. En déduire le sens de variation de $f$.
\item Calculer et simplifier $f(\text{e})$,\:$f\left(\text{e}^2\right)$ et $f\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)$.
\item Donner une équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $\dfrac{1}{\text{e}}$.
\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour $n \geqslant 3$ par $u_n = \displaystyle\sum_{k=3}^n \dfrac{\ln k}{k}$.

Comparer $u_n$ à  $\displaystyle\int_1^{n+1} f(x)\:\text{d}x$ et en déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n$.
\item Montrer qu'il existe un seul couple d'entiers naturels non nuls $x < y$ tels que $x^y = y^x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5,5 points}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = a$,\: $a > 0$, et, pour tout $n \in  \N$,\: $2u_{n+1} = 3u_n^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont strictement positifs,
\item Exprimer les termes $u_1$ et $u_2$ en fonction de $a$.
\item On pose, pour $n \in \N$,\: $v_n = \ln \left(u_n\right) + \ln \left(\dfrac{3}{2}\right)$.

Déterminer la nature de la suite $\left(v_n\right)$.
\item Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.

À quelle condition sur $a$ la suite $\left(u_n\right)$ converge-t-elle ?
\end{enumerate}
\end{document}