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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Nouvelle Calédonie}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion}}
\rfoot{\small{novembre 2018}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Nouvelle Calédonie~\decofourright\\[5pt]novembre  2018 - Comptabilité et gestion\footnote{Candidats libres}}}

\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\bigskip

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

Une entreprise de menuiserie fabrique des fenêtres standard.

\bigskip

\textbf{A- Approvisionnement en vitrage}

\medskip

Pour se procurer le vitrage nécessaire à la fabrication des fenêtres, l'entreprise fait appel à deux
fournisseurs A et B. Le fournisseur A l'approvisionne à hauteur de 60\,\%, le fournisseur B
complète l'approvisionnement.

On constate que 2\,\% des vitrages provenant du fournisseur A et 1\,\% des vitrages provenant du
fournisseur B présentent un défaut.

On choisit au hasard un vitrage reçu par l'entreprise et on considère les évènements:

\setlength\parindent{10mm}
\begin{description}
\item[ ] $A$ : \og le vitrage provient du fournisseur A \fg{} ;
\item[ ] $D$ : \og le vitrage présente un défaut \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On rappelle que si $A$ et $B$ sont deux évènements, $\overline{A}$ désigne l'évènement contraire de $A$,\: $P(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ et $P_A(B)$ désigne la probabilité conditionnelle de $B$
sachant $A$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À partir des informations de l'énoncé, donner, sans justification, $P(A)$, $P_A(D)$ et $P_{\overline{A}}(D)$.
\item Représenter la situation par un arbre de probabilités pondéré.
\item Calculer la probabilité que le vitrage choisi provienne du fournisseur A et présente un défaut.
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $D$ est égale à $0,016$.
\item Un menuisier de l'entreprise constate que le vitrage qu'il a choisi au hasard dans le stock de
l'entreprise présente un défaut.

Quelle est la probabilité que ce vitrage provienne du fournisseur A ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B- Étude de la demande hebdomadaire en fenêtres et de la rupture de stock}

\medskip

\emph{Dans cette partie les résultats seront arrondis à }\:$10^{- 3}$.

\smallskip

L'entreprise fabrique en particulier deux modèles de fenêtres:

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] le modèle M$_1$ en chêne
\item[$\bullet~~$] le modèle M$_2$ en bois et alu.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'entreprise a établi que :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la demande hebdomadaire du modèle M$_1$ peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $105$ et d'écart-type $15$ ;
\item[$\bullet~~$] la demande hebdomadaire du modèle M$_2$ peut être modélisée par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $73$ et d'écart-type $8$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

L'entreprise dispose en début de semaine d'un stock de $100$ fenêtres du modèle M$_1$ et $80$ fenêtres
du modèle M$_2$.

Le stock de l'entreprise n'est pas obligatoirement suffisant pour satisfaire la demande.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(X > 100)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
		\item Calculer la probabilité que cette semaine-là, l'entreprise soit en rupture de stock pour
le modèle M$_2$.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $R$ la variable aléatoire égale au nombre de semaines où il n'y a pas rupture de
stock sur les deux modèles à la fois, dans un semestre de $26$ semaines. On suppose que les
semaines successives sont indépendantes les unes des autres.

On admet désormais que la probabilité que l'entreprise ne se retrouve pas en rupture de stock
sur les deux modèles à la fois une semaine donnée est $0,88$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $R$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
		\item Quelle est la probabilité que, sur un semestre, l'entreprise ne se retrouve pas en rupture
de stock sur les deux modèles à la fois?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\bigskip

L'entreprise de menuiserie souhaite lancer la fabrication d'un nouveau modèle de fenêtre de toit
à ouverture télécommandée.

\medskip

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}

\bigskip

\textbf{A- Évolution des ventes en fonction du prix unitaire}

\medskip

Le service commercial de l'entreprise a mené une enquête auprès d'un échantillon de clients, de
façon à estimer le prix qu'elle peut pratiquer pour commercialiser la fenêtre de toit.

Les résultats sont les suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prix de vente unitaire en centaines d'euros: $x_i$ &8 &8,5 &9 &9,5 &10 &10,5 &11 \\ \hline
Nombre de fenêtres de toit vendues : $y_i$ &67 &64 &61 &58 &55 &52 &50 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour obtenir un ajustement satisfaisant du nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$, on décide d'effectuer le changement de variable : $z = \ln (y)$.
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau donné dans le \textbf{document réponse à rendre avec la copie}, en
arrondissant les valeurs de $z$ à $10^{-3}$.
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite de régression de $z$ en $x$
sous la forme $z = ax + b$, où les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis à $10^{- }3$.
		\item En déduire $y$ en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\item  Pour cette question, on admet que $y = 150\text{e}^{- 0,1x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Si le prix de vente unitaire est fixé à \np{1180}~\euro, combien de fenêtres de toit l'entreprise peut-elle espérer vendre ?
		\item L'entreprise souhaite vendre au moins $40$ fenêtres de toit. 
		
À combien doit-elle fixer au maximum le prix de vente unitaire d'une fenêtre de toit? On arrondira la réponse à $10$~\euro près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B- Recherche d'un plan de financement}

\medskip

Pour mettre en place la fabrication de ce modèle de fenêtre de toit, l'entreprise doit investir dans
une nouvelle machine d'une valeur de \np{40000}~\euro.

Pour financer cet achat, le gestionnaire contacte deux organismes bancaires A et B.

\begin{center}\emph{Un formulaire est proposé enfin d'exercice}\end{center}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Proposition de la banque A}

La banque A propose un prêt sur $10$ mois remboursé en $10$ mensualités formant les termes
consécutifs d'une suite arithmétique de 1\up{er} terme $U_1 = \np{2000}$ et de raison $r = 460$.

On note $U_n$ le montant de la $n$-ième mensualité versée pour le remboursement de ce prêt.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel compris entre 1 et 10 on a : $U_n = \np{1540} + 460 n$.
		\item Quel serait le montant du dernier versement ?
		\item L'entreprise souhaite connaître le montant total qu'elle devra rembourser dans ce cas.
		
Afin de répondre à cet objectif, compléter l'algorithme donné dans le \textbf{document réponse
à rendre avec la copie}.
		\item Déterminer le montant total que devra rembourser l'entreprise si le prêt est contracté
auprès de la banque A.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Proposition de la banque B}

La banque B propose un prêt sur $5$ mois remboursé en $5$ mensualités constantes au taux
annuel de 5,75\,\%.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le taux mensuel équivalent au taux annuel de 5,75\,\% est d'environ $0,467$\,\%.
		\item Déterminer le montant de la mensualité constante versée dans ce cas, arrondi à $0,01$ près.
	\end{enumerate}
\item Quelle sera la proposition de prêt la plus avantageuse pour l'entreprise ? Justifier.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Formulaire}}\\
$\bullet~~$On rappelle la formule permettant de calculer la somme des termes consécutifs d'une suite
$\left(u_n\right)$ arithmétique : \\
\multicolumn{1}{|c|}{$u_1 + u_2 + \ldots + u_n =  \dfrac{u_1 + u_n}{2} \times n$.}\\
$\bullet~~$On rappelle la formule permettant de calculer le montant d'une mensualité constante :\\
\multicolumn{1}{|c|}{$a = C \times\dfrac{i}{1 -  (1 + i)^{-n}}$}\\
où $C$ est le montant emprunté, $i$ est le taux mensuel et $n$ le nombre de mensualités.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large DOCUMENT RÉPONSE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 : A - 1. a.}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prix de vente unitaire en 
centaines d'euros $x_i$		&8 		&8,5 	&9 	&9,5 	&10 &10,5  	&11\\ \hline 
Nombre de fenêtres de 
toit vendues : 	$y_i$		&67 	&64 	&61 &58 	&55 &52 	&50\\ \hline 
$z_i = \ln 
\left(y_i\right)$			&4,205	&		&	& 4,060	&	&		&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1.5cm}

\textbf{B - 1. c.}

\bigskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Initialisation :}  $U$ prend la valeur \np{2000}\\
\phantom{Initialisation : }$S$ prend la valeur \np{2000}\\
\textbf{Traitement :} Pour $k$ allant de $2$ à $10$ faire\\
\hspace{1.5cm}$U$ prend la valeur \ldots\\
\hspace{1.5cm}$S$ prend la valeur \ldots\\
\textbf{Traitement :} FinPour\\
\textbf{Sortie :} Afficher $S$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}