\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,stmaryrd}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{accents}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{lscape}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{braket}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{13.6pt}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
%\newcommand{\P}{\mathbb{P}}
%\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Roman{enumi}}}
%\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
%\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\arabic{enumii}}}
%\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
%\renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\alph{enumiii}}}
%\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{$k$}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\newcommand{\e}{\,\text{e}}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[french]{babel}
%\usepackage{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {}
%pdfsubject = {CAPES 2024},
%pdftitle = {épreuve 1 18 mars 2024},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small épreuve 1}
\lfoot{\small{CAPES externe (bac +3) 12 mars 2026}}
\rfoot{\small{}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe  Option mathématiques ~\decofourright\\[5pt]12 mars 2026 épreuve 1}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants.

\bigskip

Notations

$\N$ désigne l'ensemble des nombres entiers naturels.

$\N^*$ désigne l'ensemble des nombres entiers naturels non nuls.

$\R$ désigne l'ensemble des nombres réels.

$\R^*$ désigne l'ensemble des nombres réels non nuls.

$\C$ désigne l'ensemble des nombres complexes.

\bigskip

\begin{center}\textbf{\huge Problème 1 : Vrai-Faux}\end{center}

\medskip

Pour chacun des items suivants, préciser si l'assertion finale est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

\bigskip

\textbf{\Large Calculs dans }\boldmath {\Large $\R$}\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que $2 \leqslant x \leqslant 6$ et $3 \leqslant y \leqslant 4$.

On a : $-1 \leqslant x - y \leqslant 2$.
\item La cotisation annuelle d'une assurance automobile a augmenté de 35\,\% de sa valeur initiale en dix ans.

Le taux d'évolution annuel moyen de la cotisation pendant cette période est de 3,5\,\%.
\item On considère le polynôme $P$ donné par $P(X) = 2X^3 + 5X^2 - X - 6$.

Le polynôme $P$ peut être factorisé dans $R[X]$ par $(X - 1)$ et $(X - 2)$.
\item Soient $a, b, c$ trois nombres entiers naturels non nuls, distincts deux à deux.

La somme des inverses de ces trois nombres n'est pas un nombre décimal.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\Large Analyse réelle}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Toute suite numérique réelle convergente est bornée.
\item La fonction $f : x \longmapsto  2^x$ est définie, dérivable sur $\R$ et sa dérivée est la fonction $f'$ définie, pour tout réel $x$, par $f'(x) = x 2^{x-1}$.
\item %Soit la suite $(u_n)_{n\in \N*}$  définie pour tout $n$, par appartenant à $\N$,\: 

$u_n = \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{2}{n^2} + \ldots + \dfrac{n}{n^2}$.

La suite $(u_n)_{n \in \N *}$ converge vers 0.
\item La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x|x|$ est dérivable sur $\R$.
\item Soit la suite $(I_n)_{n\in \N}$ définie pour tout $n$ appartenant à $\N$ par 

$I_n = \displaystyle\int \dfrac{t^n}{1 + t^2}\:\text{d}t$

La suite $(I_n)_{n\in \N}$ converge.
\item Soit une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On suppose que la fonction $f$ est paire.

La fonction dérivée de la fonction $f$ est impaire.

\item Soit une fonction $f$ définie et continue sur $\R$. On suppose que la fonction $f$ est paire.

Toute primitive de la fonction $f$ est impaire.
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \e x^2$. On note $F$ une primitive de $f$ sur $\R$.

La fonction $F$ est convexe sur $\R$.
\item Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x + \ln \left|\e^x - 1\right|.$

L'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions réelles.
\end{enumerate}

\textbf{\Large Arithmétique}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $n \in \N^{*}$. Si $n$ est un nombre premier alors, $n! + 1$ est premier.
\item Pour tout $n \in \N$, l'entier $n \left(n^2 + 5\right)$ est divisible par 3.
\item Soit $n$ un entier naturel non nul qui vérifie
$\binom{n}{2} - \binom{n}{1} = 9$.

L'entier $n$ est multiple de 3.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\Large Géométrie et nombres complexes}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Dans un espace affine euclidien de dimension 3, muni d'un repère cartésien orthonormé,
on considère les deux plans d'équations cartésiennes suivantes

$P_1 :\: x - y - z = 2,\quad  P_2 : 3x -y + z = 4$.

Ces plans sont sécants selon la droite passant par le point A$(1~;~-1~;~0)$, dirigée par le vecteur $\vect{v}$ de composantes $(1~;~2~;~-1)$.
%\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.59\linewidth}
%\begin{enumerate}[start=18]
\item
%\textbf{18.} 
Dans un espace affine euclidien de dimension 3, on considère un pavé droit
ABCDEFGH. Le point I est le milieu du segment [EF] et le point K est le milieu
du segment [AE], comme sur l'illustration ci-contre.

Les droites (AI) et (KH) sont parallèles.
%\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.36\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.4)(4,4)
\pspolygon(0,0.6)(2.6,0)(2.6,2.8)(0,3.4)%ABFE
\psline(2.6,0)(4,0.7)(4,3.5)(2.6,2.8)%BCGF
\psline(4,3.5)(1.4,4.1)(0,3.4)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0,0.6)(1.4,1.3)(4,0.7)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.4,1.3)(1.4,4.1)%DH
\psline[linewidth=1.15pt](0,0.6)(1.3,3.1)%AI
\psline[linewidth=1.15pt](0,2)(1.4,4.1)%KH
\uput[dl](0,0.6){A} \uput[d](2.6,0){B} \uput[r](4,0.7){C} \uput[ur](1.4,1.3){D}
\uput[l](0,3.4){E} \uput[u](2.6,2.8){F} \uput[ur](4,3.5){G} \uput[u](1.4,4.1){H}
\uput[u](1.3,3.1){I} \uput[l](0,2){K} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

%\begin{enumerate}[resume]
\item Dans le plan affine euclidien, on considère deux points distincts 
$\Omega$ et $\Omega'$. Soit $k$ un réel non nul et différent de 1.

La composée de l'homothétie de centre $\Omega$ 
 et de rapport $k$ et de l'homothétie de centre $\Omega'$ 
et de rapport $\dfrac 1k$ est l'identité du plan.
\item Soit $b \in \C$. On considère la transformation du plan complexe qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M_0$ d'affixe $z_0$ tel que 

$z_0 = - z + b$.

Cette transformation est une symétrie centrale.
\item Soient $z$ et $z_0$ deux nombres complexes.

La contraposée de la proposition \og Si les nombres $z$ et $z_0$ sont réels alors le produit $zz_0$ est réel \fg{} est \og Si le produit $zz_0$ n'est pas réel alors $z$ et $z_0$ ne sont pas des nombres réels \fg.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\Large Dénombrement et probabilités}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item On dispose d'un sac contenant des jetons indiscernables au toucher : cinq jetons rouges portant les numéros de 1 à 5, et quatre jetons verts, portant les numéros 1 à 4. Un tirage consiste à piocher dans le sac 2 jetons simultanément.

Il y a 10 tirages différents avec exactement un jeton rouge et exactement un jeton portant
le numéro 2.
\item On repartit quatre boules numérotées de 1 à 4 dans trois urnes numérotées de 1 à 3. Une
urne peut donc contenir plusieurs boules.

Il y a $3 \times 2^4$ façons de disposer les boules de sorte qu'au moins une urne soit vide.
\item Une urne opaque contient un jeton vert et un jeton rouge. On tire au hasard un jeton de
l'urne : si le jeton tiré est rouge on s'arrête, s'il est vert, on le remet dans l'urne avec un jeton vert supplémentaire et on effectue un nouveau tirage.

Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le rang d'obtention du jeton rouge.

$\forall n \in \N,\: P(X = n) = \dfrac{1}{n(n + 1)}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\Large Algèbre linéaire}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $A$ la matrice $2 \times 2$ à coefficients réels, donnée par $A = \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$.

Pour tout $n \in \N, \: A^n = 2^{n-1}A$.
\item Soient $A$ et $B$ deux matrices symétriques carrées à coefficients réels.

Le produit AB est une matrice symétrique.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{\huge Problème 2 : calcul et géométrie}\end{center}

\medskip

L'objet de ce problème est d'étudier des situations faisant intervenir des interactions entre
calcul et géométrie.

\textbf{\Large I. Autour du triangle rectangle}

\medskip

\textbf{\large A. Une démonstration du théorème de Pythagore}

\medskip

On se propose de démontrer le théorème de Pythagore en suivant une méthode géométrique
attribuée à James A. Garfield \footnote{(1). James A. Garfield (1831–1881), 20\up{e} président des États-Unis.}.

On considère un triangle ABC rectangle en A et on pose $a =$ BC, $b =$ AC et $c =$ AB. On
construit un triangle DEB ayant les mêmes dimensions que ABC et tel que les points A, B et D
soient alignés comme sur la figure ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.2)(7.4,4.4)
\pspolygon(0,0.3)(6.6,0.3)(6.6,4.2)(3.7,0.3)(0,3.2)%ADEBC
\psframe(0,0.3)(0.25,0.55)\psframe(6.6,0.3)(6.35,0.55)
\uput[ur](4.9,2.45){$a$} \uput[d](1.85,0.3){$c$} \uput[l](0,1.75){$b$} \uput[d](5.15,0.3){$b$} \uput[r](6.6,2.1){$c$} \uput[ul](1.95,1.95){$a$}
\uput[dl](0,0.3){A} \uput[d](3.7,0.3){B} \uput[ul](0,3.2){C} \uput[dr](6.6,0.3){D} \uput[ur](6.6,4.2){E} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (BC) et (BE) sont perpendiculaires.
\item Justifier que le quadrilatère ADEC est un trapèze.
\item Calculer de deux façons différentes l'aire du trapèze ADEC et conclure.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\Large B. Irrationalité de }\boldmath $\sqrt 2$\unboldmath

\medskip

L'objectif de cette partie est de démontrer l'irrationalité de $\sqrt 2$ en retrouvant une égalité entre deux fractions avec un raisonnement géométrique dû à Tom M. Apostol \footnote{(2). Tom M. Apostol (1923–2016), mathématicien américain}. 

Pour cela, on suppose que $\sqrt 2$ est rationnel et on l'écrit sous forme d'une fraction irréductible $\sqrt 2 = \dfrac ab$
avec $(a~;~b) \in (\N)^2$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Justifier l'encadrement $1 < \sqrt 2 < 2$.
\item Démontrer que $\dfrac ab = \dfrac{2b - a}{a - b}$.
\end{enumerate}

On considère un triangle PQR rectangle et isocèle en P tel que 

PQ = PR $= b$. On note S le
point de [QR] tel que RP = RS et T le point d'intersection de [PQ] avec la perpendiculaire à
QR) passant par S.

\begin{enumerate}[resume]
\item Faire une figure.
\item Démontrer que QR $= a$.
\item Démontrer que le triangle QST est rectangle isocèle en S.
\item Démontrer que $\dfrac{\text{TQ}}{\text{SQ}} = \dfrac{2b - a}{a - b}$.
\item Retrouver l'égalité de la question \textbf{5.} et conclure.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large II. Autour du triangle équilatéral}

\medskip

\textbf{\large A. Irrationalité de }\boldmath $\sqrt 3$\unboldmath

\medskip

L'objectif de cette partie est de démontrer l'irrationalité de $\sqrt 3$. Pour cela, on suppose que $\sqrt 3$ est rationnel et on l'écrit sous forme irréductible $\sqrt 3 = \dfrac a
b$ avec $(a~;~b) \in (\N*)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Vérifier que $(2a - 3b) = \sqrt 3(2b - a)$.
\end{enumerate}


On considère un triangle équilatéral ABC dont le côté mesure $a$ et trois triangles équilatéraux AGH, IBJ et KLC dont les côtés mesurent $b$ comme sur la figure ci-dessous.

\psset{unit=1.3cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3.9,-0.2)(3.9,6.5)
\pspolygon(-3.5,0)(3.5,0)(0,6.06218)%ABC
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-3.5,0)(0.54125,0)(-1.479,3.5)%AGH
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.5,0)(1.479,3.5)(-0.54125,0)%BJI
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,6)(-2.021,2.5359)(2.021,2.5359)%CKL
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](-2.07,2.5359)(-0.9,2.5359)(-1.479,3.5)%KMH
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2.021,2.5359)(0.9,2.5359)(1.479,3.5)%LJP
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](-0.5412,0)(0.54125,0)(0,0.9)%IGN
\uput[dl](-3.5,0){A} \uput[dr](3.5,0){B} \uput[u](0,6){C} \uput[d](0.54125,0){G} \uput[ul](-1.479,3.5){H} \uput[d](-0.54125,0){I}
\uput[ul](0.9,2.5359){P} \uput[l](-2.07,2.5359){K} \uput[r](2.021,2.5359){L} \uput[ur](-0.9,2.5359){M} \uput[l](0,0.9){N} \uput[r](1.479,3.5){J}
\end{pspicture}

\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item À partir de la formule de l'aire d'un triangle, établir l'expression de l'aire d'un triangle équilatéral en fonction de la longueur de ses cotés.
\item Démontrer que l'aire du triangle ABC est égale au triple de l'aire du triangle AGH.
\item Justifier que $1 < \sqrt 3 < 2$ et en déduire que les triangles AGH, IBJ et KLC se recouvrent comme sur la figure ci-dessus.

Ils forment ainsi quatre nouveaux triangles IGN, KMH, PLJ et MNP.
\item Démontrer que ces quatre triangles sont équilatéraux.
\item Calculer les longueurs des côtés de ces quatre triangles équilatéraux.
\item Démontrer que l'aire du triangle MNP est égale au triple de l'aire du triangle KMH. On
pourra s'appuyer sur la question \textbf{13.} sans chercher à déterminer l'expression de ces aires en fonction de $a$ et $b$.
\item Retrouver l'égalité de la question \textbf{11.} et conclure.
\end{enumerate}

\bigskip

{\Large \textbf{B. Théorème de Lucas}}

\medskip

On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct \Ouv.

\begin{enumerate}[resume]
\item On suppose que A, B et C sont les sommets d'un triangle équilatéral direct (sommets
nommés dans le sens trigonométrique). On note $z_{\text{A}}, \:z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ les affixes respectives des points A, B et C.

%Justifier que $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}
%{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}} = \e^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. 

\item En utilisant l'irrationalité de $\sqrt 3$, déduire de la question précédente le théorème de Lucas (3) :

trois points distincts du plan à coordonnées rationnelles ne sont jamais les sommets d'un
triangle équilatéral.
\footnote{Édouard Lucas (1842–1891), mathématicien français.}
\end{enumerate}

\bigskip

{\Large \textbf{III. Irrationalité de e par la méthode de Sondow}}

\medskip

Dans cette partie, on admet qu'il existe une unique fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$.

On appelle cette fonction, fonction exponentielle et on la note exp.

Aucune autre propriété de la fonction exponentielle n'est supposée connue. On pose 

e = exp(1).

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item En étudiant la fonction $\varphi : x \mapsto \text{exp}(x) \text{exp}(-x)$ définie sur $\R$, démontrer que, pour
tout réel $x$,\: exp($x) \ne 0$.
		\item En déduire que, pour tout réel $x$,\: exp$(x) > 0$ puis que la fonction exp est strictement croissante sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item On pose, pour tout $n \in \N$,

\[S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} \quad \text{et} \quad I_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{(1 - t)^n}{n!} \text{exp}(t)\:\text{d}t\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $n \in \N,\: 0 < I_n <
\dfrac{\e}{(n + 1)!}$.
		\item Soit $n \in \N$. Exprimer $_I{n+1}$ en fonction de $n$ et de $I_n$.
		\item Déduire de la question précédente que pour tout $n \in \N$,\: $\e = S_n + I_n$.
		\item Conclure de ce qui précède que $(S_n)$ converge vers e.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier $k > 4,\: k! > 2^k$.
		\item Calculer $I_1$ et $I_2$.
		\item Déduire du calcul de $I_2$ et de la question \textbf{22. a.} que $\e < 3$.
		\item Déduire des questions précédentes que, pour tout $n \in \N,\: I_n <\dfrac{1}{n!}$.
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $k$, tel que $2^{- k} < 10^{-3}$.
		\item Déterminer un nombre rationnel $r$ tel que $|\e - r| < 10^{-3}$.
		
On pourra s'appuyer sur les questions \textbf{23. a.} et \textbf{23. e.}. En déduire une valeur décimale approchée à $10^{-3}$ près de e.
		\item  En utilisant la suite $(S_n)$, écrire en langage Python une fonction approximation telle que, pour tout entier naturel $m$, approximation($m$) renvoie une valeur approchée
de e à $10^{-m}$ près.

On pourra utiliser la fonction factorial (qui renvoie $n!$ pour
factorial($n$)) mais on ne devra pas utiliser la valeur de e fournie par le langage
Python.
	\end{enumerate}
\item On se propose de démontrer que le nombre e est irrationnel en suivant une méthode
géométrique.

On considère la suite d'intervalle $(J_n)_{n\in \N}$ définie par

\[J_n = \left]S_n~;~S_{n} + \dfrac{1}{n!}\right[.\]

On a donc $J_1 =]2~;~3[$.
	\begin{enumerate}
		\item En prenant comme unité 12 cm et sans déterminer les extrémités des intervalles,
représenter, l'un en dessous de l'autre, $J_1, J_2, J_3$ et $J_4$.

		\item Justifier que $J_2 = \left]\dfrac{5}{2!}~;~\dfrac{6}{2!}\right[, \: J_3 = \left]\dfrac{16}{3!}~;~\dfrac{17}{3!}\right[$ et $J_4 = \left]\dfrac{65}{4!}
~;~\dfrac{66}{4!}\right[$.
		\item Démontrer que, pour tout $n \in \N,\: J_{n+1} \subset J_n$.
		\item En déduire que e $\in \displaystyle\bigcap_{n=1}^{+ \infty} J_n$.
		\item Soit $k \in \N$. Démontrer que $\forall n \in \N^{*},\: \dfrac{k}{n!} \notin J_n$.
		\item Démontrer que si e est rationnel alors il peut s'écrire $\e = \dfrac{p}{q!}$
 avec $p$ et $q$ entiers naturels non nuls et conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\Large \textbf{IV Polygones à angles rationnels}}

\medskip

On dit qu'un angle est rationnel s'il admet une mesure en radian de la forme $r\pi$ où $r \in \Q$.

Le but de cette partie est d'établir certaines propriétés des polygones ayant des angles
rationnels.

\bigskip

\textbf{\Large A. Un premier exemple}

\medskip

On s'intéresse au problème suivant : on cherche à savoir si il existe un triangle rectangle dont 
les longueurs des côtés sont rationnelles et qui possède un angle dont une mesure en radian est $\dfrac{\pi}{18}$.

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout réel $x,\: \sin (3x) = 3 \sin (x) - 4 \sin^3 (x)$.
		\item En déduire que $\sin \left(\dfrac{\pi}{18}\right)$ est une racine du polynôme $P$ défini par $P(X) = 8X^3 - 6X + 1$.
		\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $f : x \longmapsto 8x^3 - 6x + 1$ définie sur $\R$ et dresser son tableau de variations sur $\R$. 

On précisera les limites.
		\item Justifier que le polynôme $P$ possède 3 racines réelles $\alpha,\:\beta$ et $\gamma$, telles que $-1 < \alpha < -\dfrac12, \: \dfrac18 < \beta < \dfrac14$ et $\dfrac12 < \gamma < 1$.
		\end{enumerate}
\item On souhaite démontrer que les nombres $\alpha,\:\beta$ et $\gamma$,
 sont irrationnels.

Pour cela, on suppose que $P$ admet une racine rationnelle $r = \dfrac st$ 
écrite sous forme irréductible.
	\begin{enumerate}
		\item Soient $a$ et $b$ deux entiers premiers entre eux. Démontrer que, pour tout $k \in  \N,\: a$ et $b^k$ sont premiers entre eux.
		\item Justifier que $8s^3 - 6st^2 + t^3 = 0$.
		\item Déduire des questions précédentes que $t \in \{-2~;~-1~;~1~;~2\}$.
		\item Aboutir à une contradiction et conclure.
Existe-t-il un triangle rectangle dont les côtés ont des longueurs rationnelles et dont un
angle mesure $\dfrac{\pi}{18}$ ?
		\end{enumerate}
		
\bigskip

\textbf{\Large B. Théorème de Niven}

\medskip

Le but de cette section est de démontrer le théorème de Niven \footnote{Ivan Niven (1915–1999), mathématicien américano-canadien.} :

si $\theta$ est un angle rationnel tel que $\cos(\theta)$ est rationnel alors $\cos(\theta) \in 
\{-1 ; - \dfrac12~;~0~;~\dfrac12~;~1\}$.

\medskip

\item On considère un polynôme $P$ défini par $P(X) = \sum_{k=0}^d c_k X^k$
de degré $d \in \N*$ et dont les coefficients $c_k$ appartiennent à $\Z$. On suppose que $P$ est unitaire (c'est-à-dire que $c_d = 1$) et que $r = \dfrac st$ est une racine rationnelle non nulle de $P$ écrite sous forme irréductible.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $s^d = - t\sum_{k=0}^{d-1} c_ks^kt^{d-k-1}$.
		\item En déduire que $r$ est un entier. On pourra utiliser le résultat de la question \textbf{27. a.}
	\end{enumerate}
\item Soit la suite de polynômes $(P_n)_{n \in \N}$ définie par

\[\left\{\begin{array}{l c l}
P_0(X) &=& 2,\\
P_1(X) &=& X,\\
P_{n+2}(X) = XP_{n+1}(X) - P_n(X) \forall n \in \N.
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P_2(X), P_3(X)$ et $P_4(X)$.
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \N*,\: P_n$ est un polynôme unitaire de
degré $n$ à coefficients entiers.
		\item Soit $x \in \R$. Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \N,\: P_n(2 \cos(x)) = 2 \cos (nx)$.
	\end{enumerate}
\item On considère un rationnel $r = \dfrac st$ écrit sous forme irréductible.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un polynôme unitaire $Q$ à coefficients entiers tel que $Q(2 \cos(r\pi)) = 0$.
		
On pourra utiliser le polynôme $P_t$ défini dans la question précédente.
		\item En déduire une démonstration du théorème de Niven. On pourra utiliser le résultat
de la question \textbf{29. b.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large C. Applications du théorème de Niven : triangles à côtés et angles
rationnels}

\medskip

On considère un triangle (non aplati) ABC dont les trois côtés ont des longueurs rationnelles.

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer que les cosinus des trois angles $\widehat{\text{A}},\: \widehat{\text{B}}$ et $\widehat{\text{C}}$ sont des nombres rationnels.
\item En déduire que si le triangle ABC possède trois angles rationnels alors le triangle ABC est
équilatéral.

On pourra utiliser le théorème de Niven.
\end{enumerate}
\end{document}