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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve 1}
\lfoot{\small{CAPES externe Mayotte }}
\rfoot{\small{31 mars 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe Mayotte ~\decofourright\\[7pt] 31 mars 2026 épreuve 1}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Ce sujet est formé de trois parties indépendantes et comporte deux documents joints}
\end{center}
\bigskip

\hrule

\medskip

\textbf{\large PROBLÈME 1 : ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE ET ÉTUDE DE FONCTION}

\medskip

\hrule

\medskip

\begin{center}\textbf{\large Partie A : équation différentielle} \end{center}

On considère l’équation différentielle 

\[(E) :\quad y' + 2y = 4x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $f''$ définie sur $\R$ par $f''(x) = 2x - 1$ est une solution particulière de l’équation $(E)$.
		\item Démontrer qu’une fonction $f$ est solution de $(E)$ si, et seulement si, la
fonction $f - f''$ est solution de l’équation différentielle $y' = - 2y$.
		\item En déduire que les solutions de $(E)$ sont les fonctions $f_k$ , définies sur $\R$ par $f_k(x) = k\e^{-2x} + 2x - 1$,\: où $k \in \R$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

Pour tout $k \in \R$ , on note $\mathcal{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un repère donné.
	
\begin{enumerate}[resume]
\item \textbf{Vrai-Faux}

Préciser si chacune des quatre propositions suivantes est vraie ou fausse, puis justifier la
réponse.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $k$, la droite d’équation $y = 2x - 1$ est asymptote oblique à la
courbe $\mathcal{C}_k$.
		\item Pour tout réel $k$ non nul, la courbe $\mathcal{C}_k$ ne possède pas de point d’inflexion.
		\item Pour tout réel $k > 0$, la courbe $\mathcal{C}_k$ admet un sommet qui appartient à la droite d’équation $y = 2x + 1$.
		\item Il existe une valeur du réel $k$ tel que $\mathcal{C}_k$ passe par A(0~;~2).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\large Partie B : étude d’une fonction solution de $(E)$}
\end{center}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = 3\e^{-2x} + 2x - 1\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Justifier que pour tout réel $x,\: f(x) = \dfrac{3 + 2\e^{2x}}{\e^{2x}} - 1$.

En déduire la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
		\item Établir le tableau de variations de $f$ dans $\R$. On fera apparaître les limites et les valeurs particulières.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude de l’équation $f(x) = 8$}
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l’équation $f(x) = 8$ admet une unique solution sur
l’intervalle [1~;~10].
		\item Le script ci-dessous, rédigé en langage Python, définit une
fonction solution.

\begin{center}
\begin{ttfamily}
\begin{tabular}{|l|}\hline
from math import exp\\def f(x)\\
\quad return 3*exp(-2*x)+2*x-1\\
\\
def solutions(a,b)\\
\qquad while b-a>0.1:\\
\qquad \qquad m=(a+b)/2\\
\qquad \qquad if f(m)<8:\\
\qquad \qquad \qquad a=m\\
\qquad \qquad else:\\
\qquad \qquad \qquad b=m\\
\qquad return a,b\\ \hline
\end{tabular}
\end{ttfamily}
\end{center}

Recopier et compléter le tableau ci-dessous en exécutant la fonction
\texttt{solution(4, 5)} pas à pas :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|p{1.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$a$&4&&&&\\ \hline
$b$&5&&&&\\ \hline
$b - a$&&&&&\\ \hline
$m$&&&&&\\ \hline
Condition $f(m) < 8$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Que permet de déterminer la fonction \texttt{solution(a, b)} dans le contexte de
l’exercice ?
	\end{enumerate}
\item Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle [0~;~2].
\end{enumerate}

\bigskip

\hrule

\medskip

\textbf{\Large PROBLÈME 2 : NOMBRES COMPLEXES}

\medskip

\hrule

\medskip

\emph{Dans un plan muni d’un repère orthonormé direct \Ouv, chaque point et chaque
vecteur peut être identifié par ses coordonnées ou par son affixe dans $\C$.}

\begin{center}\textbf{Préliminaires}\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit un vecteur $\vect{u}$ d’affixe $z$ et un vecteur $\vect{v}$ d'affixe $\text{i} \times z$.

Démontrer que $\vect{u}$ et $\vect{v }$ sont orthogonaux.
\item Soit deux vecteurs $\vect{u}$ d'affixe $z = x + \text{i} y$ et $\vect{v}$ d'affixe $z' = x' + \text{i} y'$, où $x,\:y,\:x',\:y'$ sont des nombres réels.

Démontrer que : $\vect{u}\cdot \vect{v} = \text{Re}\left(z \times \overline{z'} \right)$.
\item Soit $z \in \C$ un nombre complexe non nul.

Démontrer que $z$ est un imaginaire pur si et seulement si $- \dfrac{1}{z}$
est  imaginaire pur.
\item Exprimer chacune des deux aires suivantes en fonction de $R$ et $\alpha$, où $\alpha$ est une mesure de l’angle en radians comprise entre 0 et $2\pi$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1.8)(8,1.8)
\pscustom[fillstyle=vlines]{\psline(2.712,1.549)(0.5,0)(3.2,0)\psarc(0.5;0){2.7}{0}{35}}
\psarc(0.5;0){0.5}{0}{35}
\psarc[linestyle=dashed](0.5,0){2.7}{-20}{50}
\uput[d](1.85,0){$R$}\rput(1.2,0.2){$\alpha$}
\pscustom[fillstyle=hlines]{\pspolygon(8.7,0)(6,0)(8.212,1.549)}
\psarc(6;0){0.5}{0}{35}
\psarc[linestyle=dashed](6,0){2.7}{-20}{50}
\uput[d](7.35,0){$R$}\rput(6.7,0.2){$\alpha$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}\end{center}


Dans le repère orthonormé \Ouv, on considère les points A, B, C et F d’affixes
respectives :

\[a = \text{i},\quad b = - 1 + \text{i},\quad c = 3\text{i},\quad f = - 1.\]

\begin{center}\textbf{Partie A : construction d’un œuf}
\end{center}


On considère les points D, \:G et H d’affixes respectives $d, g$ et $h$, vérifiant :
\[\begin{array}{l c l}
z_{\vect{\text{AD}}}&=&- \text{i} z_{\vect{\text{AC}}}\\
z_{\vect{\text{BG}}}&=&- \text{i} z_{\vect{\text{BD}}}\\
z_{\vect{\text{OH}}}&=&- \text{i} z_{\vect{\text{OG}}}
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Prouver que $d = 2 + \text{i}$. Déterminer les affixes $g$ et $h$.
\item Démontrer que le quadrilatère CDGH est un rectangle.
\item On trace les quarts de cercle suivants :

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item de centre A, reliant C à D ;
\item de centre B, reliant D à G ;
\item de centre F{} reliant G à H ;
\item de centre O, reliant H à C.
\end{itemize}

Ces quarts de cercles semblent former un œuf.

Déterminer l’aire de l’œuf.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,4)
\psline[linestyle=dashed](0,1.6)(2.4,1.6)(2.4,4)
\psline[linestyle=dashed](1.6,0)(1.6,2.4)(3.9,2.4)
\uput[ur](2.4,2.4){\small A}\uput[ul](1.6,2.4){\small B}\uput[u](2.6,4){\small C}\uput[r](3.9,2.4){\small D}
\uput[dl](1.6,1.6){\small F}\uput[d](1.6,0){\small G}\uput[l](0,1.6){\small H}\uput[dr](2.4,1.6){\small O}
\psarc(2.4,2.4){1.6}{0}{90}\psarc(1.6,2.4){2.4}{-90}{0}
\psarc(1.6,1.6){1.6}{180}{270}\psarc(2.4,1.6){2.4}{90}{180}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie B : un rectangle}\end{center}

Soit $M$ un point, distinct de O et A, d’affixe $m$.

On considère les points N, P et Q d’affixes respectives $n, p$ et $q$, vérifiant :
\[\begin{array}{l c l}
z_{\vect{\text{AN}}}&=&- \text{i} z_{\vect{\text{AM}}}\\
z_{\vect{\text{BP}}}&=&- \text{i} z_{\vect{\text{BN}}}\\
z_{\vect{\text{OQ}}}&=&- \text{i} z_{\vect{\text{OM}}}
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Prouver que $n = - 1 + \text{i} - \text{i} m$, que $p = -1 - m + \text{i}$ et que $q = \text{i} m$.
\item Démontrer que le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que arg$\left(\dfrac{m-n}{p-n} \right) = \left(\vect{\text{NP}},\vect{\text{NM}}\right)\:\:[2\pi]$.

		\item En déduire que le quadrilatère MNPQ est un rectangle si et seulement si
$\dfrac{m-n}{p-n}$ est un imaginaire pur.
		\item Démontrer l’égalité : $\dfrac{m-n}{p-n} = - \text{i} + \dfrac{1}{-m}$.
		\item En utilisant la question \textbf{3.} de la partie \emph{Préliminaires}, déterminer
l'ensemble $(\Delta)$ des points M tels que le quadrilatère MNPQ soit un
rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Partie C : un œuf dans un œuf}

\medskip

On souhaite placer un oeuf dans un oeuf, comme dans la figure ci-contre, en utilisant
le même procédé que dans la partie A.
On a placé le point L de coordonnées (1~;~1).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Grâce à la représentation graphique ci-contre, donner les
affixes des points L,\: R,\: S et T.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les aires des deux parties foncées
représentées ci-contre (entre le côté du rectangle et
l’arc de cercle).
		\item Donner le rapport de ces aires.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\hrule

\medskip

\textbf{\Large PROBLÈME 3 : ARITHMÉTIQUE}

\medskip

\hrule

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la liste des entiers naturels qui divisent $210$.
		\item Déterminer de deux façons différentes le plus grand diviseur commun de
$175$ et $210$.
	\end{enumerate}
\item Un fleuriste reçoit d’un fournisseur un lot de $210$ tulipes. Il souhaite faire des
bouquets de $18$ tulipes.
	
Déterminer s’il est possible de répartir l’intégralité des fleurs.
\item Un deuxième fournisseur livre $175$ œillets.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer si le fleuriste peut confectionner des bouquets tous identiques
en utilisant tous les œillets et toutes les tulipes.
		\item Combien peut-il ainsi en constituer le plus possible ?
	\end{enumerate}
\item Le premier fournisseur passe tous les $22$ jours et il est venu il y a 3 jours. Le
second fournisseur passe tous les $16$ jours et il est passé hier. Le fleuriste
souhaite savoir combien de fois les deux fournisseurs passeront le même jour
durant les $365$jours à venir.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que répondre au problème posé revient à résoudre l’équation
diophantienne $(E) : 11x - 8y = 1$, où $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs.
		\item Trouver une solution particulière $(x_0~;~y_0)$ de $(E)$.
		\item Montrer que si $(x~;~y)$ est solution de $(E)$ alors il existe un entier relatif $k$ tel que $x - x_0 = 8k$ et $y - y_0 = 11k$.
		\item En déduire les couples $(x~;~ y)$ solutions de $(E)$.
		\item Déterminer combien de fois les deux fournisseurs passeront le même jour
durant les 365 jours à venir.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\hrule

\medskip

\textbf{\Large PROBLÈME 4 : CONFIGURATION DU PLAN ET VECTEURS}

\medskip

\hrule

Soit ABC un triangle non aplati. Soit $a$ et $b$ deux nombres réels avec $a > 1$ et $b > 1$.

On définit les points I et J par $\vect{\text{BI}} = \dfrac 1b\vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{AJ}} = \dfrac 1a\vect{\text{AC}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\vect{\text{CJ}}= \dfrac{a - 1}{a}\vect{\text{CA}}$.
		\item En déduire que $\vect{\text{BJ}} \dfrac{a - 1}{a} - \vect{\text{CB}}$.
		\item De la même façon, exprimer $\vect{\text{AI}}$ en fonction des vecteurs $\vect{\text{CA}}$ et $\vect{\text{CB}}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu’il existe un unique point K vérifiant
		\[(a - 1)\vect{\text{KA}} + (b -  1)\vect{\text{KB}} = \vect{0}.\]
		
		\item En déduire que ce point est sur le segment [AB].
		\item Justifier que $(a + b - 2)\vect{\text{CK}} = (a - 1)\vect{\text{CA}} + (b - 1)\vect{\text{CB}}$.
	\end{enumerate}
\item Soit G le point défini par $\vect{\text{KG}} = \dfrac{1}{a + b - 1}\vect{\text{KC}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\vect{\text{CG}} =\dfrac{1}{a + b - 1}\left[(a - 1)\vect{\text{CA}} + (b - 1)\vect{\text{CB}}\right]$.
		\item Exprimer $\vect{\text{BG}}$ en fonction des vecteurs $\vect{\text{CA}}$ et $\vect{\text{CB}}$
		\item En déduire que les points B, \:G et J sont alignés.
		\item On admet que $\vect{\text{AG}} = \dfrac{b}{a + b - 1}\vect{\text{AI}}$.

Que peut-on dire du point G ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item Étude de cas particuliers
	\begin{enumerate}
		\item Si $a = b$, déterminer la position du point K.
		\item Si $a = b = 2$, déterminer la position des points I et J. Que représente dans ce
cas le point G ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}