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%Tapuscrit : Manu Vasse
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\thispagestyle{empty}
\chead{Brevet de technicien supérieur}
\rhead{Session 2011}
\rfoot{Conception de Produits Industriels}
\cfoot{Page \thepage / \pageref{lastpage}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\\vspace{0,5cm} Conception de produits industriels mai 2011}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{EXERCICE 1 \hfill 4 points}

\medskip

%\emph{\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.}}
%
%\emph{Pour chacune des questions, une seule réponse A, B, C est exacte.\\
% Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse
%choisie.\\
% On ne demande aucune justification.}
%
%\emph{\textbf{Notation :}}
%
%\emph{Chaque réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
%
%\begin{enumerate}
%\item \label{ex1:qu:pdt scal}\Oijk~est un repère orthonormal direct de l'espace. On considère les vecteurs : $\vec{u}\left(\begin{array}{c}
%1\\ 1\\ 1
%\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}
%1\\ 3\\ 1
%\end{array}\right)$.
%
%\begin{tikzpicture}
%\pgfmathsetmacro{\larg}{4.15}
%\foreach \i/\rep in {1/A,2/B,3/C}{
%\pgfmathsetmacro{\x}{{(\i+1) * \larg}}
%\node[draw,minimum width=\larg cm]()at(\x,0.92){Réponse \rep};
%}
%\foreach \i/\texte in {1/\begin{minipage}{3.5cm}{Le produit scalaire de $\vec{u}$ par $\vec{v}$ est:}\end{minipage},2/-1,3/5,4/$\vec{v}$}{
%\pgfmathsetmacro{\x}{{(\i) * \larg}}
%\node[draw,minimum width=\larg cm,minimum height=1.2cm]()at(\x,0){\texte};
%}
%\end{tikzpicture}
%
%\item Avec les mêmes données qu'au \ref{ex1:qu:pdt scal},
%
%\begin{tikzpicture}
%\pgfmathsetmacro{\larg}{4.15}
%\foreach \i/\rep in {1/A,2/B,3/C}{
%\pgfmathsetmacro{\x}{{(\i+1) * \larg}}
%\node[draw,minimum width=\larg cm]()at(\x,1.17){Réponse \rep};}
%\foreach \i/\texte in {1/\begin{minipage}{3.5cm}{La norme du produit vectoriel $\vec{u}\wedge\vec{v}$ est:}\end{minipage},2/$\sqrt{2}$,3/$2\sqrt{2}$,4/4}{
%\pgfmathsetmacro{\x}{{(\i) * \larg}}
%\node[draw,minimum width=\larg cm,minimum height=1.7cm]()at(\x,0){\texte};
%}
%\end{tikzpicture}
%
%\item \label{ex1:qu:matrices}On donne les matrices $M$ et $N$ : $M=\left(\begin{matrix}
%13&-8&-12\\ 12 & -7 & -12\\ 6&-4&-5
%\end{matrix}\right)$ et $N=\left(\begin{matrix}
%6&-4&-6\\ 6 & -3 & -6\\ 3&-2&-2
%\end{matrix}\right)$.
%
%\begin{tikzpicture}
%\pgfmathsetmacro{\larg}{4.15}
%\foreach \i/\rep in {1/A,2/B,3/C}{
%\pgfmathsetmacro{\x}{{(\i+1) * \larg}}
%\node[draw,minimum width=\larg cm]()at(\x,1.22){Réponse \rep};
%}
%\foreach \i/\texte in {1/\begin{minipage}{3.5cm}{$M-2N$ est égale à:}\end{minipage},2/$\left(\begin{matrix}
%1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0&0&-1
%\end{matrix}\right)$,3/$\left(\begin{matrix}
%1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1
%\end{matrix}\right)$,4/$\left(\begin{matrix}
%1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1
%\end{matrix}\right)$}{
%\pgfmathsetmacro{\x}{{(\i) * \larg}}
%\node[draw,minimum width=\larg cm,minimum height=1.8cm]()at(\x,0){\texte};
%}
%\end{tikzpicture}
%
%\item Avec les mêmes données qu'au \ref{ex1:qu:matrices},
%
%\begin{tikzpicture}
%\pgfmathsetmacro{\larg}{4.15}
%\foreach \i/\rep in {1/A,2/B,3/C}{
%\pgfmathsetmacro{\x}{{(\i+1) * \larg}}
%\node[draw,minimum width=\larg cm]()at(\x,1.22){Réponse \rep};
%}
%\foreach \i/\texte in {1/\begin{minipage}{3.5cm}{Le produit\\ $M\times M=M^2$ est:}\end{minipage},2/$\left(\begin{matrix}
%377 & 356 & 170\\ 356 & 337 & 160\\ 170 & 160 & 77
%\end{matrix}\right)$,3/$\left(\begin{matrix}
%169 & 64 & 144\\ 144 & 49 & 144\\ 36 & 16 & 25
%\end{matrix}\right)$,4/$\left(\begin{matrix}
%1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1
%\end{matrix}\right)$}{
%\pgfmathsetmacro{\x}{{(\i) * \larg}}
%\node[draw,minimum width=\larg cm,minimum height=1.8cm]()at(\x,0){\texte};
%}
%\end{tikzpicture}
%\end{enumerate}
%\medskip
 
\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples}
 
\emph{Pour chacune des questions, une seule réponse A, B,  C est exacte.\\ 
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. 
On ne demande aucune justification.}

\textbf{Notation :}
  
\emph{Chaque réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève  de point.} 

\begin{enumerate}
\item \Oijk{} est  un repère orthonormal direct de l'espace. On considère les vecteurs 

$\vect{u}\begin{pmatrix}1\\1\\1\\ \end{pmatrix}$ et $\vect{v}\begin{pmatrix}1\\3\\1\\ \end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}& Réponse A&Réponse B&Réponse  C\\ \hline
Le produit scalaire de $\vect{u}$ par $\vect{v}$ est :&$-1$&5& $\vect{v}$\\ \hline
\end{tabularx}

\item Avec les mêmes données qu'au \textbf{1.},

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}& Réponse A&Réponse B&Réponse  C\\ \hline
La norme du produit vectoriel $\vect{u} \wedge \vect{v}$ est :&$\sqrt{2}$&$2\sqrt{2}$& $4$\\ \hline
\end{tabularx}

\item  On donne les  matrices $M$ et $N$ : $M = \begin{pmatrix}
13&-8&-12\\
12&-7&-12\\
6&- 4&- 5\\
\end{pmatrix}$ et  $N = \begin{pmatrix}
6&-4&-6\\
6&-3&-6\\
3&- 2&- 2\\
\end{pmatrix}$

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}& Réponse A&Réponse B&Réponse  C\\ \hline
$M - 2N$ est égale à : &$\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&-1&0\\
0&0&- 1\\
\end{pmatrix}$&$\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}$& $\begin{pmatrix}
1&0&1\\
0&-1&0\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}$\\ \hline
\end{tabularx}

\item  Avec les mêmes données qu'au \textbf{3.},

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}& Réponse A&Réponse B&Réponse  C\\ \hline
Le produit $M \times M = M^2$ est: &$\begin{pmatrix}
377&356&170\\
356&337&160\\
170&160&77\\
\end{pmatrix}$&$\begin{pmatrix}
169&64&144\\
144&49&144\\
36&16&25\\
\end{pmatrix}$& $\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\newpage

\textbf{EXERCICE 2\hfill  6 points}

\begin{center}
\emph{\textbf{Les deux parties A et B  peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}

\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle $(E) :~~ y^{\prime\prime}-2y^{\prime} + y = 1 - \sin x$, où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur \R, $y'$ sa fonction dérivée et $y''$ sa fonction dérivée seconde.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions définies sur \R~ de l'équation différentielle $(E_0) :~~y^{\prime\prime}-2y^{\prime} + y = 0$.
\item Déterminer la constante réelle $k$ telle que la fonction $g$ définie sur \R~ par $g(x) = k \cos x + 1$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $f(0)=\frac{3}{2}$ et $f^{\prime}(0) = 1$.
\end{enumerate}

\emph{B.	Étude locale d'une fonction}

On considère la fonction $f$ définie sur \R~ par $f(x) = 1 + \text{e}^x-\frac{1}{2}\cos x$.

On a tracé ci-dessous sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthonormal \Oij.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-11,-1)(2,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-11,-1)(2,8)
\uput[u](1.8,0){$x$}\uput[l](0,8){$y$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-11}{1.7}{2.71828 x exp 1 add x 180 mul 3.14159 div cos 0.5 mul sub}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\uput[u](-9.5,1.4){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
%\begin{tikzpicture}
%\draw[dashed,lightgray](-11,-1.9)grid(1.8,8.3);
%\draw[thick,-stealth](-11,0)--(1.8,0)node[above left]{$x$};
%\draw[thick,-stealth](0,-1.9)--(0,8.3)node[below right]{$y$};
%\foreach \i in {-11,-10,...,1}{
%\draw[thick](\i,0)--(\i,-0.1);
%\node()at(\i+0.1,-0.15){\begin{tiny}
%\i
%\end{tiny}};
%}
%\foreach \i in {-1,0,...,8}{
%\draw[thick](0,\i)--(0.1,\i);
%\node()at(-0.15,\i+0.1){\begin{tiny}
%\i
%\end{tiny}};
%}
%\draw plot[samples=300,domain=-11:1.8] (\x,{1+exp(\x)-(cos(\x r))/2});
%\node()at(-9.5,1.7){$\mathcal{C}$};
%\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction définie par $x \mapsto -\frac{1}{2}\cos x$.
		\item En déduire que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $f$ est $f(x)=\frac{3}{2}+x+\frac{3}{4}x^2+x^2 \varepsilon (x)$ avec $\lim_{x\to 0} \varepsilon(x)=0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déduire de la question précédente une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
		\item Étudier les positions relatives de $\mathcal{C}$ et $T$ au voisinage du point d'abscisse 0.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 10 points}

\begin{center}
\emph{\textbf{Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}

On considère les nombres réels \foreach \i in {0,1,2}{$t_\i=\i$, }$t_3=3$ et $t_4=4$. \emph{On se propose de construire une courbe B-spline de degré 2 de vecteur n\oeud $(t_0,t_1,t_2,t_3,t_4)$.}

\medskip

\emph{A. Détermination des fonctions polynômes B-splines}

\medskip

On rappelle que les fonctions polynômes B-splines de degré $m$ associées au vecteur n\oeud $(t_0,t_1,t_2,t_3,t_4)$ sont définies sur \R~ et pour $m\not=0$, par :
$$N_{i,m}(t)=\frac{t-t_i}{t_{i+m}-t_i}N_{i,m-1}(t)+\frac{t_{i+m+1}-t}{t_{i+m+1}-t_{i+1}}N_{i+1,m-1}(t).$$
\begin{enumerate}
\item On a déterminé des fonctions polynômes B-splines de degré 0 et 1 associées au vecteur n{\oe}ud (0, 1, 2, 3, 4) qui ont été rassemblées dans les tableaux ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=0.7]
\tikzset{t style/.style=thin}
\tkzTabInit[lgt=2,deltacl=0,espcl=2]{$t$/0.8,$N_{0,0}(t)$/0.8,$N_{1,0}(t)$/0.8,$N_{2,0}(t)$/0.8,$N_{3,0}(t)$/0.8}{,0,1,2,3,4,}
\tkzTabLine{,0,t,1,t,0,t,0,t,0,t,0,}
\tkzTabLine{,0,t,0,t,1,t,0,t,0,t,0,}
\tkzTabLine{,0,t,0,t,0,t,1,t,0,t,0,}
\tkzTabLine{,0,t,0,t,0,t,0,t,1,t,0,}
\end{tikzpicture}

\begin{tikzpicture}[xscale=0.7]
\tikzset{t style/.style=thin}
\tkzTabInit[lgt=2,deltacl=0,espcl=2]{$t$/0.8,$N_{0,1}(t)$/0.8,$N_{1,1}(t)$/0.8,$N_{2,1}(t)$/0.8}{,0,1,2,3,4,}
\tkzTabLine{,0,t,t,t,2-t,t,0,t,0,t,0,}
\tkzTabLine{,0,t,0,t,,t,3-t,t,0,t,0,}
\tkzTabLine{,0,t,0,t,0,t,t-2,t,4-t,t,0,}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Déterminer $N_{1,1}(t)$ pour tout $t$ de l'intervalle [1, 2].
\item Le tableau suivant donne les fonctions polynômes B-splines de degré 2 associées au vecteur n\oeud (0, 1, 2, 3, 4) :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=0.7]
\tikzset{t style/.style=thin}
\tkzTabInit[lgt=2,deltacl=0,espcl=3.5]{$t$/0.8,$N_{0,2}(t)$/1,$N_{1,2}(t)$/1}{,0,1,2,3,4,}
\tkzTabLine{,0,t,\frac{1}{2}t^2,t,-t^2+3t-\frac{3}{2},t,\frac{1}{2}t^2-3t+\frac{9}{2},t,0,t,0,}
\tkzTabLine{,0,t,0,t,\frac{1}{2}t^2-t+\frac{1}{2},t,,t,\frac{1}{2}t^2-4t+8,t,0,}
\end{tikzpicture}

\end{center}
Démontrer que, pour tout $t$ de l'intervalle [2, 3], $N_{1,2}(t)=-t^2+5t-\frac{11}{2}$.

\end{enumerate}

\emph{B. Détermination des équations paramétriques d'un des arcs de la courbe B-spline}

Dans le plan muni du repère orthonormal \Oij~ d'unité 8 centimètres, on considère les points $P_0 (0,1)$ et $P_1 (2,1)$.

La courbe B-spline associée aux points $P_0$ et $P_1$, au vecteur n\oeud $(t_0, t_1, t_2, t_3, t_4)$ et aux polynômes B-splines de degré 2 est définie par $\overrightarrow{OM(t)} = \sum_{i=0}^{i=1}  N_{i,2}(t)\overrightarrow{OP_i}$.

Démontrer que, pour tout $t$ de l'intervalle [1, 2], le point $M(t)$ a pour coordonnées:\\ $x(t) = t^2-2t+1$ et $y(t)=-\frac{1}{2}t^2 + 2t-1$.

Dans ce qui suit, \textbf{on admet} que, pour tout $t$ de l'intervalle [2, 3], le point $M(t)$ a pour coordonnées $x(t) = -2 t^2 + 10t-11$ et $y(t) =-\frac{1}{2}t^2+ 2t-1$.

\emph{C. Construction de la courbe B-spline}

On considère l'arc $C_1$, ensemble des points $M(t)$ de coordonnées:\\ $\left\{\begin{array}{l}
x(t)=f_1(t)=t^2-2t+1\\ y(t)=g_1(t)=-\frac{1}{2}t^2+2t-1
\end{array}\right.$ , où $t$ appartient à l'intervalle [1, 2].

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Étudier les variations des fonctions $f_1$ et $g_1$ sur [1, 2] et rassembler les résultats dans un tableau unique.
\item Préciser des vecteurs directeurs des tangentes à $C_1$ aux points $M(t)$ de paramètres 1 et 2.
\end{enumerate}
\item On considère l'arc $C_2$, ensemble des points $M(t)$ de coordonnées:\\
  $\left\{\begin{array}{l}
x(t)=f_2(t)=-2t^2+10t-11\\ y(t)=g_2(t)=-\frac{1}{2}t^2+2t-1
\end{array}\right.$, où $t$ appartient à l'intervalle [2, 3].

\textbf{On admet} que le tableau des variations conjointes des fonctions $f_2$ et $g_2$ sur [2; 3] est le suivant :
 
 \begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$t$/1,$f'_2(t)$/0.8,$f_2(t)$/2,$g'_2(t)$/0.8,$g_2(t)$/3}{2,$\frac{5}{2}$,3}
\tkzTabLine{2,+,0,-,-2}
\tkzTabVar{-/1,+/$\frac{3}{2}$,-/1}
\tkzTabLine{0,,-,,-1}
\tkzTabVar{+/1,R,-/$\frac{1}{2}$}
\tkzTabVal{1}{3}{0.5}{}{$\frac{7}{8}$}
\end{tikzpicture}
\end{center} 

Déterminer (par lecture du tableau ou par calcul) des vecteurs directeurs des tangentes à $C_2$ aux points $M(t)$ de paramètres 2, $\frac{5}{2}$ et 3.

\item On rappelle que le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} où l'unité graphique est 8 centimètres.
	\begin{enumerate}
		\item Construire les tangentes à la courbe $C_1$ aux points $M(1)$ et $M(2)$.
		\item Construire les tangentes à la courbe $C_2$ aux points $M(2)$, $M\left(\frac{5}{2}\right)$ et $M(3)$.
		\item On désigne par $A$ le point de coordonnées $A\left(0, \frac{1}{2} \right)$.

On admet que pour $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~1], l'arc $C_0$ de la courbe B-spline cherchée est le segment $[OA]$.

Construire sur le même graphique les arcs de courbe $C_0$, $C_1$, $C_2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{lastpage}
\end{document}