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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.} }
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{Polynésie mai 2013}}
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\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur session 2013\\ Comptabilité et gestion des organisations\\
Polynésie}}

\medskip

Durée : 2 heures
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\begin{center}

\emph{Dans cet exercice les résultats sont à arrondir à $10^{-3}$.\\Les trois parties sont indépendantes.}\end{center}
 
Un fabricant produit des tondeuses dans deux usines. Le coût de fabrication est de 160~\euro{} par machine.
 
L'usine A produit $400$ unités par mois et l'usine B en produit $600$.
 
Le fabricant a fait réaliser un test de conformité, dans les mêmes conditions, dans les deux usines sur une très grande quantité de tondeuses fabriquées.
 
Une tondeuse est déclarée conforme si le test est positif.
 
Dans l'usine A, le test est positif dans 90\,\% des cas.
 
Dans l'usine B, le test est positif dans 95\,\% des cas.
 
Une tondeuse conforme est vendue 250~\euro, sinon, elle est bradée à un sous-traitant pour 100~\euro.

\bigskip
 
\textbf{Partie A : Probabilités conditionnelles}

\medskip 

On prélève, au hasard, une tondeuse produite par ce fabricant.
 
On note $A$, l'évènement : \og La tondeuse est produite dans l'usine A \fg . On note $C$, l'évènement: \og La tondeuse est conforme \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide de l'énoncé, donner les probabilités suivantes : $P\left(\overline{A}\right), P_{A}(C), P_{\overline{A}}(C)$ et $P_{A}\left(\overline{C}\right)$. 
\item Calculer $P(A \cap C)$ puis $P\left(\overline{A} \cap C\right)$. 
\item En déduire la probabilité que la tondeuse soit conforme.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Loi binomiale}

\medskip
 
On admet que chaque tondeuse qui sort des usines a une probabilité de 7\,\% d'être non conforme.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui indique le nombre de tondeuses conformes dans un lot de $250$~tondeuses prises au hasard dans le stock. On admet que le nombre de tondeuses fabriquées est suffisamment grand pour assimiler ce tirage à un tirage avec remise.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement E : \og exactement 240 tondeuses sont conformes \fg. 

Interpréter ce résultat. 
\item Calculer l'espérance mathématique de $X$. 
\item On note $Y$ la variable aléatoire qui donne le bénéfice réalisé sur un lot de $250$~tondeuses. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $Y = 150X - \np{15000}$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de $Y$. Interpréter le résultat obtenu.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Approximation d'une loi binomiale par une loi normale}

\medskip
 
On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $X$ par la loi normale de moyenne $m = 232,5$ et d'écart type $\sigma = 4$. On note $Z$ la variable aléatoire suivant cette loi normale.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier le choix des valeurs de $m$ et de $\sigma$. 
\item On veut calculer la probabilité que le nombre de tondeuses conformes de ce lot de $250$ soit au moins égal à $240$. Pour cela, donner une valeur numérique de $P(Z \geqslant 239,5)$. 
\item Donner une valeur approchée de la probabilité de l'évènement : \og le nombre de tondeuses conformes est compris entre $225$ et $245$ \fg, c'est-à-dire la probabilité de l'évènement :\og $224,5 \leqslant Z \leqslant 245,5$ \fg.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\bigskip
 
\textbf{Partie A : Droite de régression}

\medskip
 
Une marque a lancé sur le marché un nouveau produit destiné aux entreprises. Elle a relevé à six dates précises le taux d'équipement des entreprises concernées pour ce nouveau produit. 

On a présenté dans le tableau suivant ce taux noté $y$ en fonction du rang $t$ du nombre de mois écoulés depuis le lancement. Ce taux est écrit sous la forme d'un nombre décimal compris entre $0$ et $1$, et non pas en pourcentage.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$ &1 &4 &6 &8 &10 &12\\ \hline 
$y$ &0,03 &0,09 &0,18 &0,33 &0,50 &0,70\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage des six points dans le repère de l'annexe  à rendre avec la copie. 
\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite de régression de $y$ en $t$ ainsi que le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique. Arrondir à $0,001$. 
\item Tracer la droite obtenue sur le graphique précédent. 
\item Si la tendance se poursuit, quel sera, à $1$\,\% près, le taux d'équipement des entreprises concernées pour ce nouveau produit 15 mois après le lancement. 
\item Expliquer pourquoi cette droite de régression ne pourra pas servir de modèle très longtemps.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude d'une fonction et calcul intégral} 

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(t) = \dfrac{1}{1 + 50\text{e}^{- 0,4t}}\]

et on désigne par $C$ sa courbe représentative dans le repère défini dans la partie A.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- x} = 0$. Donner la limite en $+ \infty$ de la fonction $f$ et interpréter 
graphiquement le résultat. 
\item Justifier que $f'(t) = \dfrac{20\text{e}^{- 0,4t}}{\left(1 + 50\text{e}^{- 0,4t}\right)^2}$ où $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$ et en  
déduire le sens de variation de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. 
\item Tracer la courbe $C$ sur le graphique de la partie A. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f(t)$ peut s'écrire sous la forme $f(t) = \dfrac{\text{e}^{0,4t}}{\text{e}^{0,4t} + 50}$. 
		\item En déduire que la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[F(t) = \dfrac{1}{0,4}\ln \left(\text{e}^{0,4t} + 50\right)\]

est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_{12}^{24} f(t)\:\text{d}t$. En déduire la valeur moyenne de $f$ sur [12~;~24] arrondie à $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Application économique}

\medskip
 
Le modèle donné par la droite de régression ayant ses limites, on considère que la fonction $f$ définie dans la partie B est un meilleur modèle d'approximation du taux d'équipement des entreprises concernées pour ce nouveau produit. La variable $t$ est le temps écoulé, exprimé en mois, depuis le lancement du produit.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer une estimation à 0,1\,\% près du taux d'équipement des entreprises concernées pour ce nouveau produit au bout de deux ans. 
\item Déterminer graphiquement, au bout de combien de mois le taux d'équipement dépassera 95\,\%. 
\item Donner une interprétation de la valeur moyenne de $f$ sur [12~;~24]. 
\end{enumerate} 

\begin{landscape}
\begin{center}


\vspace{1cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=12cm,comma=true}
\begin{pspicture}(21,1) 
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\end{center}
\end{landscape}
\end{document}