\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
% Fourier for math | Utopia (scaled) for rm | Helvetica for ss | Latin Modern for tt
\usepackage{fourier} % math & rm
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tt
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{ulem}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{slashbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\setlength\paperheight{297mm}%10
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\makeatletter%graduations d\'ecimales
\def\pshlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil}
\def\psvlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil}
\def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{%
\ifx#1\@emptyO\else#1\fi
\ifx#2\@empty\else,#2\fi}
\makeatother

\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage{graphicx}
\usepackage[frenchb]{babel}
\begin{document}
% ent\^ete et bas de page
\lhead{\small CAPLP  }%tapez un titre
\lfoot{\small{Math\'ematiques-sciences}}
\rfoot{\small{2006}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Dur\'ee : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

 {\Large \textbf{\gray \decofourleft~CAPLP interne   2006~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill }\\
Voici une situation pouvant \^etre utilis\'ee en classe de baccalaur\'eat professionnel industriel, pour une \'evaluation.\\
\begin{tabular}{|p{12cm}|}\hline
Le tableau ci-dessous pr\'esente, en $\mu$g/m$^3$, les moyennes annuelles en dioxyde de soufre pr\'esent dans l'air, relev\'ees dans une ville durant six ann\'ees cons\'ecutives.\\
\multicolumn{1}{|c|}{\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
rang de l'ann\'ee $x_{i}$& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ \hline
moyenne annuelle $y_{i}$& 6,6& 7,3& 5& 4,4& 2,2& 2,7\\ \hline
\end{tabularx}} \\
~~\\ \hline
\end{tabular}

\noindent En annexe   se trouvent les programmes de statistique des classes de baccalaur\'eat professionnel industriel.\\

\medskip

\noindent \textbf{Partie I}\\
En utilisant la situation d\'ecrite ci-dessus, proposer l'\'enonc\'e d'un exercice pouvant figurer dans un sujet de baccalaur\'eat professionnel industriel dans lequel les candidats doivent :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  tracer une droite d'ajustement d'un nuage de points ;
\item[$\bullet~$] utiliser cette droite pour effectuer une pr\'evision.
 \end{itemize}
 
 \medskip
 
\noindent \textbf{Partie II}\\
Proposer une s\'equence de formation, en classe de baccalaur\'eat professionnel industriel, concernant les statistiques \`a deux variables et portant sur la partie « exemples d'\'etude d'ajustement affine » figurant en annexe dans le champ des activit\'es.
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Indiquer les pr\'erequis n\'ecessaires et l'endroit de la s\'equence o\`u ces pr\'erequis interviennent.
\item[$\bullet~$] Faire appara\^itre l'organisation pr\'evue en indiquant ce que fait le professeur, ce que font les \'el\`eves et leurs modes de travail. Justifier la pertinence des modes de travail envisag\'es.
\item[$\bullet~$] Indiquer les outils utilis\'es par les \'el\`eves et la plus value p\'edagogique apport\'ee par
l'utilisation de ces outils.
 \end{itemize}
 
 \medskip
 
\noindent \textbf{Partie III}
\begin{enumerate}
\item  La m\'ethode dite \og des moindres carr\'es \fg{} permet de calculer le coefficient directeur $a$ et l'ordonn\'ee \`a l'origine $b$ d'une droite d'ajustement (D) d'un nuage de points.\\
Pour la situation d\'ecrite en d\'ebut d'exercice, on note $M_{i}$ le point de coordonn\'ees $\left(x_{i},~y_{i}\right)$
et $P_{i}$ le point de (D) d'abscisse $x_{i}$. Les nombres $a$ et $b$ cherch\'es sont les r\'eels qui rendent minimale la somme $S(a,~b)$ des carr\'es des distances $M_{i}P_{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner l'expression de $S(a,~b)$ en fonction de $a,~ b,~ x_{i}$ et $y_{i}$.\\
En tout point de $\R^2,~ S(a,~b)$ admet une d\'eriv\'ee partielle d'ordre un par rapport \`a $a$ et une d\'eriv\'ee partielle d'ordre un par rapport \`a $b$.\\
On admet que le minimum de $S(a,~b)$ est obtenu lorsque les deux d\'eriv\'ees partielles $\dfrac{\partial S}{\partial a}(a,~b)$ et  $\dfrac{\partial S}{\partial b}(a,~b)$  sont nulles.
		\item  Montrer que $\displaystyle\sum_{i=1}^6  y_{i} = 6 b + a\displaystyle\sum_{i=1}^6 x_{i}$. 
		\item  D\'emontrer que le point moyen $G\left(\overline{x},~\overline{y}\right)$ du nuage de points appartient \`a la droite d'ajustement.
		\item  Montrer que \displaystyle\sum_{i=1}^6 x_{i}y_{i} = b\displaystyle\sum_{i=1}^6 x_{i} + a\displaystyle\sum_{i=1}^6 x_{i}^2$.
		\item  En d\'eduire les nombres $a$ et $b$ pour lesquels $S(a,~b)$ est minimale.
 	\end{enumerate}	
\item Comparer avec l'\'equation de la droite d'ajustement obtenue en utilisant une
calculatrice en mode statistique. Conclure.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill }\\
Le but de cet exercice est l'\'etude de s\'eries num\'eriques.\\

\medskip

\noindent \textbf{Partie I : Étude de la convergence d'une s\'erie num\'erique}\\
On consid\`ere la s\'erie de terme g\'en\'eral $u_{n} = \dfrac{1}{n} (n \in \N*)$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Pour un nombre entier $m$ sup\'erieur \`a 1, comparer $\displaystyle\sum_{k=1}^{m-1} \dfrac{1}{k}$ et \displaystyle\int_{1}^m \dfrac{1}{x}\:\text{d}x$.
		\item  Trouver un nombre entier $m$ tel que $\displaystyle\sum_{k=1}^{m-1} \dfrac{1}{k} \geqslant 1\:000$.
 	\end{enumerate}
\item La s\'erie num\'erique \'etudi\'ee converge-t-elle ?
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{Partie II : \'Etude de la convergence et calcul de la somme de deux s\'eries num\'eriques}\\
\begin{enumerate}
\item  On consid\`ere la s\'erie de terme g\'en\'eral $u_{n} = \dfrac{1}{n(n - 1)}$
pour $n$ nombre entier strictement sup\'erieur \`a 1.
	\begin{enumerate}
		\item  Trouver deux nombres r\'eels $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre entier $n$ strictement sup\'erieur \`a 1, on ait :
\[\dfrac{1}{n(n - 1)} = \dfrac{a}{n} + \dfrac{b}{n - 1}.\]
		\item Calculer alors la valeur de $\displaystyle\sum_{k=2}^m
 \dfrac{1}{k(k-1)}$.
		\item En d\'eduire que la s\'erie \'etudi\'ee est convergente et calculer sa somme.
		\end{enumerate}
\item On consid\`ere la s\'erie de terme g\'en\'eral $u_{n} = \dfrac{1}{n\left(n^2 - 1\right)}$
pour $n$ nombre entier strictement sup\'erieur \`a 1.\\
En reprenant la m\^eme d\'emarche que celle utilis\'ee \`a la question pr\'ec\'edente, montrer la convergence de cette s\'erie et calculer sa somme.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill }\\
On se place dans un plan affine euclidien orient\'e.\\
ABC est un triangle \'equilat\'eral direct $\left[\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{3}\right]$  de centre de gravit\'e G.\\
Le point I est le milieu du segment [AB], le point A$'$ est le sym\'etrique du point C par rapport au point I, et $s$ est la similitude directe de centre C, d'angle
$\dfrac{\pi}{6}$ et de rapport 3 .
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer l'image du point A et celle du point G par $s$, puis construire, en justifiant la construction, le point B$'$ image du point B par $s$ .
\item   On note J le milieu du segment [A$'$B$'$]. Prouver que les points C, B et J sont align\'es.
\item   Prouver que le point B est le milieu du segment [AB$'$].
\item   On souhaite red\'emontrer les r\'esultats pr\'ec\'edents en utilisant les nombres complexes.\\
On se place pour cela chez le rep\`ere orthonorm\'e direct $\left(\text{I},~ \vect{\text{IB}},~\vect{v}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Les points A, B, C et A$'$ ont respectivement pour affixe $z_{\text{A}},~ z_{\text{B}},~ z_{\text{C}}$ et $z_{\text{A}'}$.\\
Donner $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ puis d\'eterminer $z_{\text{C}}$ et $z_{\text{A}'}$.
		\item  D\'eterminer l'\'ecriture complexe de la similitude directe $s$ et en d\'eduire l'affixe du point B$'$, puis celle du point J.
		\item  En d\'eduire que le point B est le milieu du segment [AB$'$] et que les points C, B et J sont align\'es.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\noindent \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill }\\
\emph{L\'eonard de Pise, dit Fibonacci, math\'ematicien italien du \text{XIII}\up{e} si\`ecle, rapporte dans son ouvrage Flos, publi\'e en 1225, un probl\`eme que lui a soumis Jean de Palerme. Il s'agit de r\'esoudre l'\'equation du troisi\`eme degr\'e : } $x^3 + 2x^2 + 10x = 20$.\\
\emph{L'exercice ci-dessous explore diverses m\'ethodes de r\'esolution de cette \'equation.}\\
Soit $f$ la fonction de la variable r\'eelle $x$, d\'efinie par 
 \[f (x) = x^3 + 2x^2 + 10x - 20.\]
On note $f'$ et $f''$ respectivement la d\'eriv\'ee premi\`ere et la d\'eriv\'ee seconde de la fonction $f$, et $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe repr\'esentative dans un plan rapport\'e \`a un rep\`ere \Oij.\\
On note (E) l'\'equation $x^3 + 2x^2 + 10x - 20 = 0$.
 
\medskip
 
\noindent \textbf{Partie I : D\'etermination d'un encadrement de la solution r\'eelle positive de (E)}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier les variations de la fonction $f$.
		\item Montrer que l'\'equation (E) admet une solution r\'eelle positive unique que l'on notera $a$.
		\item Encadrer le nombre r\'eel $a$ par deux nombres entiers cons\'ecutifs. On peut donc affirmer que $a$ n'est pas un nombre entier.
 	\end{enumerate}
\item Expliciter une m\'ethode permettant d'obtenir un encadrement du nombre r\'eel $a$, d'amplitude $10^{-2}$.
 \end{enumerate}
 
 \medskip
 
\noindent \textbf{Partie II. D\'etermination d'une valeur approch\'ee de \boldmath $a$\unboldmath, solution r\'eelle positive de (E), par la
m\'ethode dite de Newton}\\
Soit $x_{0} = 2$ et A$_{0}$ le point de coordonn\'ees $\left(x_{0}~ ;~ f\left(x_{0}\right)\right)$. On note $\left(T_{0}\right)$ la tangente \`a la courbe
$\mathcal{C}_{f}$ en A$_{0}$. On d\'esigne par $x_{1}$ l'abscisse de $M_{1}$, point d'intersection de $\left(T_{0}\right)$ avec l'axe des abscisses.\\
  On r\'eit\`ere la m\^eme op\'eration en consid\'erant $x_{1}$ au lieu de $x_{0}$ : on d\'efinit ainsi un r\'eel $x_{2}$, puis de proche en proche une suite r\'eelle $\left(x_{n}\right)_{n \in \N}$.
\begin{enumerate}
\item  Pour tout nombre entier $n > 0$, d\'eterminer $x_{n}$ en fonction de $x_{n-1}$.
\item  Donner, sans justification, une valeur approch\'ee \`a $10^{-3}$ pr\`es de $x_{i}$, pour $i = 1,~ 2,~ 3,~ 4$ (on pourra s'aider d'une calculatrice).
\item  Soit $h$, la fonction d\'efinie, pour $x$ appartenant \`a l'intervalle [1 ; 2], par \[h(x) = x - \dfrac{f(x)}{f'(x)}.\]
On note $h'$ la fonction d\'eriv\'ee de la fonction $h$ sur le m\^eme intervalle.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $h'(x)$.
		\item  Montrer que, sur l'intervalle [1 ; 2], les fonctions $f,~ f',~ f''$  sont strictement croissantes.\\
En d\'eduire que pour tout $x$ de l'intervalle [1 ; 2] : $|h'(x)| \leqslant \left(\dfrac{16}{17}\right)^2$. 
		\item  En d\'eduire que pour tout $x$ de l'intervalle [1 ; 2] :
\[0 \leqslant   |h(x) - h(a)| \leqslant  \left(\dfrac{16}{17}\right)^2|x - a|.\]
 	\end{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(x_{n}\right)$ converge vers $a$.
\item Trouver un nombre entier $n_{0}$ tel que pour tout nombre entier $n \geqslant   n_{0}$ on ait $\left|x_{n} - a\right| \leqslant 10^{-3}$.	
	
 \medskip
 
\noindent \textbf{Partie III. D\'etermination de la valeur exacte de \boldmath $a$\unboldmath, solution r\'eelle positive de (E), par la m\'ethode de Cardan}\\
\begin{enumerate}
\item  On pose $x = X + h$. D\'eterminer les nombres rationnels $h,~ p,~ q$ tels que l'\'equation (E) s'\'ecrive sous la forme $X^3 + pX + q = 0$. \\
On note (E$'$) cette nouvelle \'equation.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On note A l'unique solution r\'eelle de l'\'equation (E$'$). Montrer l'existence de deux nombres r\'eels $u$ et $v$ tels que $A = u + v$ et $3uv = ? p$.
		\item  On note $U = u^3$ et $V = v^3$. Montrer que, dans ces conditions, $U$ et $V$ sont les solutions de l'\'equation $Y^2 + qY - \dfrac{p^3}{27} = 0$.
	 \end{enumerate}
\item Établir la formule de Cardan :
\[A = \sqrt[3]{- \dfrac{q}{2} + \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} + 
 \sqrt[3]{- \dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}}.\]
\item En d\'eduire $a$.
 \end{enumerate}
\end{document}