\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{enumitem}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage[first=1,last=6]{lcg}
\usepackage{calc}
\usepackage{pst-plot,pstricks}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{13.6pt}.
\addtolength{\topmargin}{-1.6pt}.
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ 
\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{CAPLP externe 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\rfoot{\small}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~CAPLP externe 2012 et CAFEP \decofourright}}

\end{center}

\vspace{1cm}

\normalsize{}
Durée de l'épreuve: 5~h. La calculatrice est autorisée.

\bigskip

\emph{Le sujet est constitué de trois exercices indépendants.\\
Le premier exercice est un test vrai-faux avec justification.\\
Le deuxième exercice est un problème d'analyse comportant la recherche des solutions d'équations différentielles, l'étude d'une fonction puis d'une suite numérique.\\
Le troisième exercice porte sur l'étude de transformations géométriques à l'aide des nombres complexes.}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{\Large Exercice 1}\end{center}

\bigskip

\textbf{Préciser si chacune des propositions suivantes est vraie ou est fausse puis justifier la réponse.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $(a, b, c, d) \in R^4$. Si $a \leqslant b$ et $c \leqslant d$ alors $a - d \leqslant b - c$.
\item Soient deux réels $a$ et $b$ tels que $ab > 0$. Alors $\ln (ab) = \ln a + \ln b$. 
\item La courbe représentative d'une fonction continue de $\R$ vers $\R$ peut avoir une tangente verticale.
\item Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$. Si $f$ est une fonction définie, dérivable sur l'intervalle $[a~;~b]$ et s'il existe un réel $x_{0}$ appartenant à $]a~;~b[$ tel que $f'\left(x_{0}\right) = 0$ alors la fonction $f$ change de variations au moins une fois sur l'intervalle $[a~;~b]$.
\item Si une suite numérique $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est telle que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} \neq 0$ et : $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} \geqslant 1$,  alors cette suite est croissante.
\item Si une suite numérique $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est telle qu'il existe un nombre réel $k \in ]0~;~1[$ et un nombre réel $\alpha$ tels que pour tout entier naturel $n, \left|u_{n+1} - \alpha \right| \leqslant  \left|u_{n} - \alpha \right|$ alors la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ converge vers $\alpha$.
\item On admet que pour tout $k \in \N^{\star},\:\dfrac{1}{k+1} \leqslant  \ln (k+1) - \ln k \leqslant \dfrac{1}{k}$.

La suite $\left(H_{n}\right)_{n \in \N^{\star}}$ définie par : $\forall n \in \N^{\star},\: H_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$, tend vers $+ \infty$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
\item Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$. Si $f$ est une fonction définie, continue par morceaux et positive sur l'intervalle $[a~;~b]$ et si $\displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t = 0$ alors $f$ est nulle sur l'intervalle $[a~;~b]$.
\item La durée de vie d'un composant électronique est représentée par une variable aléatoire $X$. On suppose que $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ ($\lambda > 0$). Alors pour tout réel $t$ strictement positif, $P_{X \geqslant t}(X \geqslant t + 10)$ ne dépend pas du réel $t$.
\item On désigne par $Y$ la variable aléatoire égale au gain algébrique d'un jeu. La loi de probabilité de $Y$ est donnée dans le tableau suivant:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur prise par $Y$&$- 10$&$- 7$&0&3&12&16\\ \hline
Probabilité&0,15&0,25&0,20&0,20&0,15&0,05\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Alors le jeu ainsi proposé est équitable. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{\Large Exercice 2} \end{center}

On considère les deux équations différentielles suivantes, notées $\left(E_{1}\right)$ et $\left(E_{2}\right)$ :

\[\left(E_{1}\right) :\quad  	xy^{\prime} + (1 - x) y = 1\: \text{définie sur}\: I_{1} = ]- \infty~;~0[\]


\[\left(E_{2}\right) \quad  xy^{\prime} + (1 - x) y = 1 \text{définie sur}\: I_{2} = ]0~;+\infty[.\]

\begin{center}\textbf{A. Résolution}\end{center}

\begin{enumerate}
\item Pour chaque équation différentielle proposée, donner les solutions de l'équation homogène associée.
\item On considère la fonction $\varphi$ définie sur $I_{1}$ par : $\varphi(x) = C(x)\dfrac{\text{e}^x}{x}$ où $C$ désigne une fonction de classe C$^1$ sur l'intervalle $I_{1} = ]- \infty~;~0[$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme des fonctions $C$ pour que la fonction $\varphi$ soit une solution particulière de $\left(E_{1}\right)$ sur l'intervalle $I_{1} = ]- \infty~;~0[$.
		\item Montrer que les solutions de $\left(E_{1}\right)$ sont de la forme :

\[y :\quad  x \longmapsto  y(x) = \dfrac{K_{1}\text{e}^x - 1}{x}\]

où $K_{1} \in \R$.
	\end{enumerate}
\item Donner sans justification la forme des solutions de l'équation $\left(E_{2}\right)$.
\item Soit $K \in \R$.

 Montrer que la fonction $\Phi$ définie sur $\R^{\star}$ par: 
$\Phi : x  \longmapsto  \dfrac{K\text{e}^x - 1}{x}$ admet une limite finie en $0$ si et seulement si $K = 1$.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{B. Étude d'une fonction}\end{center}

\parbox{0.4\linewidth}{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

$\left\{\begin{array}{l c l}
f(x) &=& \dfrac{\text{e}^x - 1}{x}\quad \text{si}\: x \neq 0\\
f(0) &=& 1.
\end{array}\right.$

\bigskip

La courbe représentative de la fonction $f$ est donnée ci-contre}\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{xunit=0.666cm,yunit=0.133cm}\begin{pspicture}(-3.1,-2)(6,35)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(-3,-2)(6,35)
\uput[d](6,0){$x$}\uput[l](0,35){$y$}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{-3}{-0.05}{2.71828 x exp 1 sub x div}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0.05}{5.1}{2.71828 x exp 1 sub x div}
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

Afin d'étudier le comportement de la fonction $f$, on utilise un tableur et on obtient les résultats suivants.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}c|>{\footnotesize}c|>{\footnotesize}c|>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|>{\footnotesize}c|*{2}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}>{\footnotesize}c|}\hline
&A&B&C&D&E&F&G\\ \hline
1	&	&$x$	&$f(x)$& &&&\\ \hline
2 	&1	& 1 	&1,71828183	&& 0,71828183 	&0,71828183&\\ \hline 
3 	&2 	&0,1 	&1,05170918	&& 0,05170918 	&0,51709181&\\ \hline 
4	&3	&0,01	&1,00501671	&&0,00501671 	&0,50167084& \\ \hline
5 	&4 	&0,001 	&1,00050017 &&0,00050017 	&0,50016671&\\ \hline 
6 	&5 	&0,0001 &1,00005 	&&5,0002\text{E}-05 	&0,50001667&\\ \hline 
7 	&6 	&0,00001&1,000005	&& 5\text{E}-06		& 0,5000007&\\ \hline 
8 	&7	&0,000001&1,0000005	&& 4,9996\text{E}-07 	&0,49996218&\\ \hline 
9 	&8	&		&			&&				&			&\\ \hline 
10 	&9	&-1		&0,63212056&&$-0,36787944$ 	&0,36787944&\\ \hline 
11	&10 &-0,1 	&0,95162582 &&$-0,04837418$ &0,4837418& \\ \hline
12 	&11	&-0,01	&0,99501663&&$-0,00498337$ 	&0,49833749&\\ \hline 
13 	&12 &-0,001 &0,99950017	&&$-0,00049983$ &0,49983338 &\\ \hline
14 	&13 &-0,0001&0,99995 	&&$-4,9998\text{E}-05$ &0,49998333&\\ \hline 
15 	&14 &-0,00001&0,999995 	&&$-5\text{E}-06$		&0,49999828&\\ \hline 
16 	&15 &-0,000001&0,9999995&&$-5,0002\text{E}-07$ &0,50001569&\\ \hline 
17	&	&		&			&&	&&\\ \hline 
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude locale de la fonction } \boldmath$f$\unboldmath
	\begin{enumerate}
		\item Quelle conjecture sur la fonction $f$ les informations contenues dans les colonnes B et C du tableau permettent-elles de faire ? Cette conjecture est notée C$_{1}$. 
		\item Écrire les formules concernant les cellules E2 et F2 ainsi que E3 et F3. 
		\item Que représentent les nombres qui apparaissent respectivement dans les colonnes E et F ?
		\item Quelle conjecture concernant la fonction $f$ les informations contenues dans la colonne F permettent-elles de faire ? Cette conjecture est notée C$_{2}$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Démonstration des conjectures C$_{1}$ et C$_{2}$}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le développement limité de la fonction $f$ en $0$ à l'ordre 2 est donné par: 

\[f(x) = 1 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{6}x^2 + o\left(x^2\right).\]
 
		\item Démontrer les conjectures C$_{1}$ et C$_{2}$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Conjectures établies à partir de la courbe représentative de la fonction}\boldmath $f$\unboldmath
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la courbe représentative fournie page 2, que peut-on conjecturer sur la branche infinie de la représentation graphique de la fonction $f$ en $- \infty$ ? 
		\item De même, que peut-on conjecturer sur la branche infinie de la représentation graphique de la fonction $f$ en $+ \infty$ ?
		\item Démontrer ces deux conjectures.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude des variations de la fonction}  \boldmath $f$\unboldmath 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $f$ est dérivable en tout point de $\R$. 
		\item Montrer que : $\forall x \in \R^{\star}, \quad  f^{\prime}(x) = \dfrac{g(x)}{x}$,
 où $g$ est une fonction définie sur $\R$ que l'on déterminera.
		\item En déduire les variations de la fonction $f$ et donner son tableau de variations.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{C. Étude d'une suite numérique}\end{center}

On considère la fonction $k$ définie sur $\R$ par : 
eX -1 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
k(x) &=& \dfrac{\text{e}^x - 1}{x} -  1\quad \text{si}\:\: x \neq 0\\ 
k(0) &=&0.
\end{array}\right.\]

On considère également la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ définie par $u_{0} = 1$ et $\forall n \in \N, \quad  u_{n+1} = k\left(u_{n}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner le tableau de variation de la fonction $k$.
\item Montrer que $0 < u_{1} < u_{0}$.
\item En déduire que: $\forall n \in \N,\: 0 < u_{n+1} < u_{n}$.
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est convergente.
\item On note $L$ la limite de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $0 < L < 1$ et $L = k(L)$.
		\item Montrer que $(L = 0)$ ou $\left(L \in ]0~;~1[ \:\text{et} \:\text{e}^{L} = L^2 + L + 1\right)$. En étudiant les variations de la fonction $w$ définie sur [0~;~1] par $w(x) = \text{e}^x - \left(x^2 + x + 1\right)$, montrer que : $\forall x \in ]0~;~1[, \:\: w(x) \neq 0$.

En déduire la valeur de $L$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{\Large Exercice 3} \end{center}

On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes, et $\mathbb{P}$ le plan complexe rapporté à un repère orthonormé \Ouv{} d'unité 4~cm.

\textbf{Toutes les constructions demandées se feront dans le plan rapporté à ce repère} 

On appelle i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

À chaque question, il est possible d'utiliser les résultats des questions précédentes même s'ils n'ont pas été établis.

\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}

Dans cette partie, $f$ désigne l'application de $\C^{\star}$ dans $\C^{\star}$ qui, à tout nombre complexe $z$ non nul, associe le nombre complexe $z'$ défini par : 

\[z' = \dfrac{1}{z}\]

et $F$ désigne la transformation géométrique associée qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $f(z)$.

On note $M_{1}$ le symétrique du point $M$ par rapport à l'axe (O$x$).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour tout point $M$ du plan $\mathbb{P}$ distinct du point O, montrer que $\text{O}M \times \text{O}M' = 1$ et que le point $M'$ appartient à la demi-droite $\left[\text{O}M_{1}\right)$.
\item Montrer que l'application $f$ est involutive, c'est-à-dire que, pour tout nombre complexe $z$ non nul, $f \circ f(z) = z$.
\item Soit $z$ un nombre complexe non nul. On note $z = x + \text{i}y$ et $z' = f(z) = x' + \text{i}y'$, où $x, y, x'$ et $y'$ sont des nombres réels. Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et de~$y'$.
\item \textbf{Image d'une droite par} $F$
	\begin{enumerate}
		\item Soit $D_{1}$ la droite d'équation $2x + 2y + 1 = 0$.

Montrer que l'image de la droite $D_{1}$ par $F$ est l'ensemble $\mathcal{C}_{1}$ d'équation $x^2 + y^2 + 2x - 2y = 0$, privé du point O. 

Déterminer la nature de l'ensemble $\mathcal{C}_{1}$ et préciser ses éléments caractéristiques.

Construire $D_{1}$ et $\mathcal{C}_{1}$.
		\item \textbf{Cas général}

Soit $D$ une droite d'équation $ax + by + c = 0$, où $a$ et $b$ sont des réels non tous deux nuls.

Donner une équation de l'ensemble $\Gamma$ tel que l'image de la droite $D$ privée du point O par $F$ est l'ensemble $\Gamma$ privé du point O.

En déduire que, dans le cas où $c$ est non nul, $\Gamma$ est un cercle que l'on note $\mathcal{C}$.

Préciser le rayon du cercle $\mathcal{C}$ et les coordonnées de son centre, noté $\Omega$, en fonction de $a, b$ et $c$.
		\item Déduire de la question 4. b. que, dans le cas où $c = 0$, $\Gamma$ est une droite d'équation $ax - by = 0$, que l'on note $\Delta$. Préciser la transformation $S$ du plan telle que la droite $\Delta$ soit l'image de la droite $D$ par $S$.
		\item Construire la droite $D$ et le cercle $\mathcal{C}$ pour $a = 1,\: b = 0$ et $c = - 2$.
		\item À l'aide des résultats précédents, donner une équation de l'ensemble $D_{2}$ dont l'image par $F$ est l'ensemble $\Gamma_{2}$ d'équation $x^2 + y^2 - y = 0$, privé de O. 
		
Construire ces deux ensembles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

\medskip

\textbf{Application : diagramme de Smith}

\medskip

Dans l'étude du déplacement dans un conducteur d'une onde électrique avec présence d'une onde réfléchie, on est amené, en électronique, à étudier un nombre complexe $z$ représentant une impédance réduite. $z$ s'exprime sous la forme $z = x + \text{i}y$ où $x$ représente la résistance réduite et $y$ la réactance réduite.

Pour l'étude de cette impédance, on travaille sur un nombre complexe $z'$ défini par : 

\[z' = \dfrac{z - 1}{z + 1} \quad z\:\: \text{est différent de } \:- 1).\]

Dans cette partie, $f$ désigne l'application de $\C \ \{ - 1\}$ dans $\C \ \{ - 1\}$ qui, à tout nombre complexe $z$ différent de $- 1$, associe le nombre complexe $z'$ défini par $z' = \dfrac{z - 1}{z + 1}$ et $F$ désigne la transformation géométrique associée à $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z' = f(z)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $- 1$, $z = 1 - \dfrac{2}{z + 1}$.
\item On note $z = x + \text{i}y$ et $z' = f(z) = x' + \text{i}y'$, où $x, y, x'$ et $y'$ sont des nombres réels.

Montrer que : $x = \dfrac{- x'^2 - y'^2 + 1}{(x' - 1)^2 + y'^2}$.  
\item On appelle $\Delta_{a}$ la droite d'équation $x = a$, où $a$ est une constante réelle positive ou nulle.
	\begin{enumerate}
		\item \emph{Cas }$a = 0$ 

Montrer que $\Gamma_{0}$, image de la droite $\Delta_{0}$ par $F$, est le cercle de centre O et de rayon 1, privé du point A d'affixe 1.
		\item \emph{Cas} $a = 1$

Montrer que $\Gamma_{1}$, image de la droite $\Delta_{1}$ par $F$, est le cercle de centre $\Omega_{1}$ d'affixe $\omega_{1} = \dfrac{1}{2}$  et de rayon $R_{I1} = \dfrac{1}{2}$, privé du point A d'affixe 1.
	\end{enumerate}
\item \emph{Cas général}
 
On admet que $\Gamma_{a}$, image de la droite $\Delta_{a}$ par $F$, est un cercle de centre $\Omega_{a}$ d'affixe $\omega_{a} = \dfrac{a}{a + 1}$ et de rayon $R_{a} = \dfrac{1}{a + 1}$ priv\'e du point A d'affixe 1.
 
\emph{Pour concevoir des réseaux d'adaptation d'une source d'impédance complexe à une charge d'impédance complexe on utilise l'abaque de Smith. Cet abaque représente les images des droites $\Delta_{a}$ d'équation $x = a$ pour $a$ allant de 0 à 20 ($a$ désignant des résistances réduites) et les images des droites $D_{b}$ d'équation $y = b$ pour $b$ allant de $- 20$ à $+ 20$ ($b$ désignant des réactances réduites) par la transformation géométrique $F$. Ces images permettent de représenter l'impédance réduite $z$.}

\medskip

Le graphique fourni en annexe  représente une simplification de l'abaque de Smith.

On a représenté sur ce graphique les points $Z_{0}$ et $Z_{1}$ représentant les impédances réduites respectivement égales à $(0 + 0,4\text{i})$ et à $(1 + 2,5\text{i})$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer sur ce graphique le point $Z_{2}$ représentant l'impédance égale à $3 + 2,5\text{i}$.
		\item Expliquer la construction précédente.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

Note : les notations habituellement utilisées en électronique sont différentes mais les notations usuelles en mathématiques ont été privilégiées afin de faciliter la lecture.

\newpage
\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}
%
\psset{unit=3.5cm,comma=true,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2.5,-1.25)(2.3,1.6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(-2.5,-1.25)(2.3,1.6)
\psline(1,-1.25)(1,1.6)\uput[dl](0,0){O}
\pscircle(0,0){1}\pscircle(0.5,0){0.5}
\psarc[linestyle=dashed](1,1){1}{-180}{-90}
\psarc[linestyle=dashed](1,0.4){0.4}{-225}{-90}
\psarc[linestyle=dashed](1,2.5){2.5}{-133.5}{-90}
\psdots(-0.714,0.69)(0.5,0)(0.61,0.48)
\rput(1.5,0.75){Arc de cercle des réactances réduites}
\rput(1.5,0.65){constantes égales à 2,5}
\rput(0.9,1.2){Arc de cercle des réactances réduites}
\rput(0.9,1.1){constantes égales à 1}
\rput(-1.8,0.7){Arc de cercle des réactances réduites}
\rput(-1.8,0.6){constantes égales à 0,4}
\uput[u](0.5,0){$\Omega_{1}$}\uput[r](-0.714,0.69){$Z_{0}$}\uput[ul](0.61,0.48){$Z_{1}$}\uput[ur](1,0){A}
\rput(-1,-1.1){Arc de cercle des réactances réduites}
\rput(-1,-1.2){constantes égales à 0}
\psline{->}(1.5,0.6)(0.6,0.33)
\psline{->}(0.9,1)(0.06,0.7)
\psline{->}(-1.8,0.5)(-0.4,0.42)
\psline{->}(-1,-1)(-0.5,-0.85)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}