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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small CAPLP externe}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{2005}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPLP externe 2005~\decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\emph{Ce sujet comprend trois exercices et un problème.}

\emph{Le premier exercice porte sur diverses notions d'analyse.}

\emph{Le deuxième exercice est un QCM.}

\emph{Le troisième exercice traite du calcul de l'intégrale de Gauss en utilisant les intégrales de Wallis.}

\emph{Le problème a pour but l'étude d'une configuration par les nombres complexes.}

\bigskip
\emph{La clarté et la précision des raisonnements, la qualité de la rédaction, interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}

\emph{L'usage des calculatrices de poche est autorisé (conformément aux directives de la
circulaire n° 99-186 du 16 novembre 1999).}

\bigskip

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour chacune des trois implications suivantes :

Préciser d'abord si elle est vraie ou fausse, et ensuite :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  si elle est vraie, la démontrer ;
\item  si elle est fausse, donner un contre exemple.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\begin{enumerate}
		\item Soient $x$ et $y$ des nombres réels donnés :

$\blacksquare~$ $(xy > 0~ \text{et}~ x < y \Rightarrow \dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{y}$.
		\item Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I de l'ensemble des nombres réels :
		
$\blacksquare~$ si $f$ est continue sur I, alors $f$ est dérivable sur I.
		\item  Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels :

$\blacksquare~$ si la fonction $f$ est paire alors la fonction dérivée $f'$ est impaire.
 	\end{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ :
	
$\blacksquare~$ si $n^2$ est un nombre pair, alors $n$ est pair.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul :

$\blacksquare~$ $1+ 3+ 5+ \cdots + (2n - 1) =n^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large \textsc{Exercice 2}}

Les questions suivantes offrent quatre réponses possibles repérées par les lettres \textbf{a.}, \textbf{b.}, \textbf{c.} et \textbf{d.}.

Une réponse et une seule est correcte. Préciser laquelle sans justifier votre réponse.

\begin{enumerate}
\item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$  définie par $\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}&=&3\\
u_{n+1}&=&f\left(u_{n}\right)\\
\end{array}\right. ~\text{pour tout entier}~ n \geqslant 0,$

avec $f(x) = \dfrac{4x -  1}{x}$ pour tout nombre réel $x$ non nul.

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.} La suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers 4.& \textbf{b.} la suite $\left(u_{n}\right)$ tend vers $+ \infty$ quand $n$ tend vers $+ \infty$\\
\textbf{c.} La suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.& \textbf{d.} La suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\dfrac{1}{4}$.\\
\end{tabularx}

\item  Le plan est muni d'un repère orthonormal.

Soit $a \in [0~;~\pi ]$. On désigne par (E) l'ensemble des points de coordonnées $(x~;~ y)$ tels que :

\[a \leqslant  x \leqslant \pi \quad \text{et} \quad  0 \leqslant y \leqslant \sin x.\]
L'aire de (E) est égale à $\dfrac{1}{2}$ pour :

\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.} $a = \dfrac{2\pi}{3}$&\textbf{b.}  impossible\\
\textbf{c.} $a = \dfrac{5\pi}{6}$&\textbf{d.} $a = \dfrac{\pi}{2}$\\
\end{tabularx}

\item  Deux joueurs A et B lancent l'un après l'autre et une seule fois un dé à six faces numérotées de 1 à 6, non pipé. Le joueur A gagne si l'écart entre les deux résultats est 0, 1 ou 2. Sinon c'est le joueur B qui gagne.

La probabilité que le joueur A gagne est égale à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.} $\dfrac{2}{3}$&\textbf{b.} $\dfrac{1}{2}$\\
\textbf{c.} $\dfrac{3}{4}$ &\textbf{d.} autre valeur \\
\end{tabularx}

\item Soient $A, B$ et $C$ trois points distincts du plan affine euclidien. On appelle $I$ le milieu du
segment $[AB]$. Soit (E) l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant :
\[\left\|\vect{MA}+ \vect{MB} + 2\vect{MC}\right\| = \left\|\vect{MA} + \vect{MB} - 2\vect{MC}\right\|.\]
	\begin{enumerate}
		\item  (E) est réduit au point $C$.
		\item (E) est l'ensemble vide.
		\item (E) est une droite passant par le point $I$ et orthogonale à la droite $(AB)$.
		\item (E) est un cercle de centre $J$ milieu du segment $[IC]$.
	 \end{enumerate}
 \end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{\large Exercice 3}}

Le but de cet exercice est le calcul de $\displaystyle\int_{0}^{+ \infty} \text{e}^{-t^2}\:\text{d}t$ par les intégrales de Wallis.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A : Intégrales de Wallis}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note  $I_{n}$ l'intégrale suivante, dite intégrale de Wallis :
\[I_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^n t\:\text{d}t.\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer  $I_{0}$ et $I_{1}$.
\item Établir, pour tout entier naturel $n$, la relation :

\[( n  + 2)I_{n+2}  = (n + 1)I_{n}.\]

\item Montrer que la suite de terme général $u_{n} =  (n + 1)I_{n+1}I_{n}$ est constante.
\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, la relation $(n + 1)
I_{n} \times I_{n+1} = \dfrac{\pi}{2}$.
\item Montrer que la suite de terme général $I_{n}$ est strictement positive et décroissante.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,~ \dfrac{n+1}{n + 2} \leqslant \dfrac{I_{n+1}}{I_{n}} \leqslant  1$, puis calculer la limite de $\dfrac{I_{n+1}}{I_{n}}.$
\item Démontrer que la suite $\left(\sqrt{n} \times I_{n}\right)_{n \in \N}$  est convergente et calculer sa limite.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Calcul de} \boldmath $\displaystyle\int_{0}^{+ \infty} \text{e}^{-t^2}\:\text{d}t$ \unboldmath

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-1~;~ +\infty[$ par :
\[f(x) = x - \ln (1 + x).\]
\begin{enumerate}
\item  Étudier les variations de la fonction $f$ et montrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à
l'intervalle $]-1~;~ +\infty[,$
\[\ln(1+ x) \leqslant x.\]
\item En déduire que, pour tout nombre réel $u$ et pour tout entier naturel $n$ non nul :
\[u \geqslant  - n \Rightarrow  \left( 1 + \dfrac{u}{n}\right)^n \leqslant \text{e}^u.\]

\item Montrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant  1$, on a :
\[\forall t \in \left[0~;~\sqrt{n}\right], \quad \left(1 - \dfrac{t^2}{n} \right)^n \leqslant \text{e}^{-t^2} \leqslant \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{t^2}{n} \right)^n}.\]

\item Pour tout entier naturel $n$ , on pose :

\[J_{n}  = \int_{0}^{\sqrt{n}} \text{e}^{-t^2}\:\text{d}t.\]
On cherche à déduire de la question \textbf{3.} un encadrement de $J_{n}$ à l'aide de $n,~ I_{2n+1}$  et $I_{2n-2}$.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du changement de variable : $t = \sqrt{n} \sin u$, établir une minoration de $J_{n}$.
		\item À l'aide du changement de variable :  $t = \sqrt{n} \tan u$, établir une majoration de $J_{n}$.
 	\end{enumerate}
\item En déduire la valeur de l'intégrale $J_{n} = \displaystyle\int_{0}^{+ \infty} \text{e}^{-t^2}\:\text{d}t$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\begin{center}Le but de ce problème est l'étude d'une configuration \end{center}

\parbox{0.48\linewidth}{
On considère :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  deux cercles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ de même rayon $R$, de centres distincts $O$ et $O'$, sécants
en $\Omega$ et $\Omega '$.
\item[$\bullet~$]  la rotation $r$ de centre $\Omega$ qui transforme
le point $O$ en $O'$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour tout point $M$ du cercle $\mathcal{C}$, on note M? son
image par la rotation $r$.} \hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.25)(6.5,4.25)
\psline(0,2)(6.5,2)
\pscircle(2.2,2){1.7} \pscircle(4.4,2){1.7} \psline(0,1.76)(5.5,0)
\uput[l](1,3.2){$\mathcal{C}$} \uput[r](5.8,3){$\mathcal{C}'$} \uput[u](3.3,3.3){$\Omega$} 
\uput[u](2.2,2){$O$} \uput[u](4.4,2){$O'$} \uput[d](0,1.8){$\Delta$} 
\uput[dl](0.55,1.6){$M$} \uput[d](3.3,0.68){$\Omega '$} \uput[d](4.5,0.35){$M'$}
\psdots[dotstyle=*](4.4,2)(2.2,2)(3.3,3.3)(3.3,0.68)(0.55,1.6)(4.5,0.35) 
\end{pspicture}}

On se propose de démontrer, à l'aide des nombres complexes, que les points $M, M'$ et $\Omega '$ sont alignés, puis d'étudier une réciproque.

\textbf{Notations}

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

Étant donné une application $f$ de P dans P qui au point $M$ d'affixe $z$ fait correspondre le point $M'$
d'affixe $z'(M' = f(M))$, on note $z' = f(z)$.

Étant donné un vecteur $\vect{w}$  du plan P on note $Z_{\vect{w}}$ son affixe.

Lorsque l'application $f$ est une bijection on note $f^{-1}$ la bijection réciproque.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A : Étude d'un cas particulier}

Dans le plan complexe P on se donne :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] le point $O'$ de l'axe réel d'affixe 2 ;

\item[$\bullet~$] le point $\Omega$ de P d'affixe $1+ \text{i}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\Omega O' = \Omega O$.
\item On considère la rotation $r$ de centre $\Omega$ qui envoie $O$ sur $O'$. Quel est l'angle de cette rotation $r$ ?
\item Les cercles $\mathcal{C}$ de centre $O$ passant par $\Omega$ et $\mathcal{C}'$ de centre $O'$ passant par $\Omega$ se recoupent en un point $\Omega '$. Quelle est l'affixe $\omega '$ de $\Omega '$ ?
\item Démontrer que pour tout nombre complexe $z  ~:~ r(z) = \text{i}z+2$.
\item On considère un point $M$ situé sur le cercle $\mathcal{C}$ et on appelle $z$ son affixe.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que le point $M'$ est sur le cercle $\mathcal{C}'$.
		\item Démontrer que les points $M,~M'$ et $\Omega '$ sont alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Étude du cas général}

Dans le plan complexe P on se donne :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] un point $O'$ de l'axe réel d'affixe $a'$ non nulle ;
\item[$\bullet~$] un point $\Omega$ de P, différent du point $O$, d'affixe $\omega$ et tel que : $\Omega O= \Omega O '$.
\item[$\bullet~$] la rotation $r$ de centre $\Omega$ qui transforme $O$ en $O'$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $r(z) = \left( 1 - \dfrac{a'}{\omega}\right)z + a'$.
\item  Caractériser la rotation $r$ dans le cas où le point $\Omega$ est situé sur l'axe des réels.
\item  On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ passant par $\Omega$ et le cercle $\mathcal{C}'$ de centre $O'$ passant par $\Omega$ .
	\begin{enumerate}
		\item  Dans quel cas ces deux cercles sont-ils tangents ?
		\item   Dans quel cas ces deux cercles sont-ils sécants ?
 	\end{enumerate}
\item Lorsque les deux cercles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ sont sécants on appelle $\Omega '$ le second point d'intersection de
ces deux cercles ; dans le cas où ils sont tangents on pose : $\Omega ' = \Omega$.
	
On considère un point $M$ d'affixe $z$ situé sur le cercle $\mathcal{C}$, et on note : $M' = r(M)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer l'affixe $Z_{\vect{\Omega ' M}}$  du vecteur  $\vect{\Omega ' M}$.
		\item  Calculer l'affixe $Z_{\vect{\Omega ' M'}}$
 du vecteur  $\vect{\Omega ' M'}$.
		\item  1\up{er} cas : $M \neq \Omega$ '
		\begin{enumerate}
			\item  Justifier le fait que le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}'$.
			\item Démontrer que $z\overline{z} =\omega \overline{\omega}$  et que $\left(z' - a'\right)\left(z' - a'\right)= \omega \overline{\omega}$.
			\item Démontrer que $\dfrac{Z_{\vect{\Omega ' M'}}}{Z_{\vect{\Omega ' M}}}$ est un nombre réel.
			\item Déduire des résultats précédents que les points $M,~ M'$ et $\Omega$ ' sont alignés.
 		\end{enumerate}
		\item 2\up{e} cas : $M = \Omega '$

Montrer que la droite $(MM')$ est tangente au cercle $\mathcal{C}$ au point $\Omega '$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C : Étude d'une réciproque}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ deux cercles de même rayon, sécants en deux points distincts $\Omega$ et $\Omega '$, et $\Delta$ une droite passant par $\Omega'$.

On suppose que $\Delta$ recoupe $\mathcal{C}$ en un point $M$ et $\mathcal{C}'$ en un point $M'$.

Montrer que $M'$ est l'image de $M$ dans une rotation qui
transforme $\mathcal{C}$ en $\mathcal{C}'$.
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.64\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item Application :

Dans la figure ci-contre $\Omega A =  \Omega A'$.

On considère la rotation $r$ de centre $\Omega$ qui transforme
le point $A$ en $A'$.
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire la figure aux dimensions exactes.
		\item  Construire, en utilisant le résultat de la question \textbf{1.}, l'image du point $B$ par la rotation $r$. Les traits de
construction doivent être visibles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.32\linewidth}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(6,4)
\psline[linestyle=dashed](0.3,1.6)(5.8,0)
\psline(0.3,1.6)(3.9,3.2)(5.8,0)
\psline(2.3,2.65)(2.22,2.35) \psline(4.8,2)(4.6,1.7)
\uput[d](0.3,1.6){$A$}\uput[dr](5.8,0){$A'$}\uput[u](3.9,3.2){$\Omega$}\uput[d](1.2,0.2){$B$}
\psdots[dotstyle=*](0.3,1.6)(5.8,0)(3.9,3.2)(1.2,0.2)
\end{pspicture}
\end{minipage}
\end{document}