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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small  A. P. M. E. P.}
\rhead{\small{CAPLP externe 2009}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\rfoot{\small}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~CAPLP externe 2009 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 1}

Préciser pour chacune des propositions indépendantes qui suivent si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse.

\medskip

\textbf{Proposition 1 :}

Pour tous nombres réels $x$ et $y$, on a $x^2- xy + y^2 \geqslant 0$.

\medskip

\textbf{Proposition 2}

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$, définie par les conditions suivantes

\[u_{0} = 1~ \text{et, pour tout nombre entier naturel}~ n,~ u_{n+1} = 2u_{n} + 2^{n}.\]
 Alors, pour tout nombre entier naturel $n$, on a :
\[u_{n} = (n+2)2^{n-1}.\]
 
\medskip

\textbf{Proposition 3 :}

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies en tout nombre réel $x$ par $f(x) = x^2$ et $g(x) = 2x^2$.

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct \Oij, on note $\mathcal{C}_{f}$  et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives de $f$ et de $g$. On appelle $h$ l'homothétie de centre O et de rapport 2.

Alors la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est l'image par l'application $h$ de la courbe $\mathcal{C}_{g}$.

\medskip

\textbf{Proposition 4 :}
Dans le plan muni d'un repère \Oij{} on considère, pour tout nombre réel $m$, la droite $D_{m}$ d'équation
\[D_{m} : (3m + 5)x - (2m +6)y = m +1.\]
Alors toutes les droites $D_{m}$ sont concourantes en un même point.

\medskip

\textbf{Proposition 5}

Soit $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ une suite de nombres réels non nuls.

Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}	= 1$ alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}  \left(u_{n+1} - u_{n}\right) = 0$.

%Tournez la page S. V. P.
\bigskip


\textbf{\Large Exercice 2}

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ strictement positif par
\[f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{2}  - \ln (x).\]

\medskip

\textbf{Partie A : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$. On précisera en particulier la fonction dérivée, son signe et les limites aux bornes de l'ensemble de définition. Les résultats seront consignés dans un tableau de variations.
\item La courbe représentative de la fonction $f$ admet-elle une droite asymptote ? Si oui, en préciser une équation cartésienne.

\item Donner une représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère correctement choisi.

\item Soit $a$ un nombre réel dans l'intervalle $]0~ ;~ 1[$. Calculer $\displaystyle\int_{a}^{1} f(x)\: \text{d}x$ et en donner une
interprétation graphique.

\item 	Déterminer la limite de $\displaystyle\int_{a}^{1} f(x)\: \text{d}x$ lorsque $a$ tend vers $0$ par valeurs supérieures.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : limite d'une somme et d'une suite}

Pour tout nombre entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on pose 
\[S_{n} = \dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} f\left(\dfrac{j }{n}\right)\]

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un nombre entier supérieur ou égal à 2.

Montrer que pour tout nombre entier $j$  tel que $1 \leqslant j \leqslant n - 1$ on a :

\[\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{j+1}{n}\right) \leqslant \int_{\frac{j}{n}}^{\frac{j+1}{n}} f(x)\:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{j }{n}\right). \]
\item En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on a :

\[\int_{\frac{1}{n}}^{1} f(x)\:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{n}  f\left(\dfrac{1}{n}\right) +  \int_{\frac{1}{n}}^{1} f(x)\:\text{d}x.\]

\item En déduire que la suite $\left(S_{n}\right)_{n \geqslant 2}$	est convergente et déterminer sa limite.

\item Montrer que. pour tout nombre entier naturel non nul $n,$

\[\sum_{k=1}^{n}  k^2 = \dfrac{n(n + 1)( 2n + 1)}{6}.\]

\item En déduire que : $\displaystyle\sum_{j=1}^{n} f\left(\dfrac{j}{n}\right) = \dfrac{(n + 1)(2n + 1)}{12n} + \ln \left(\dfrac{n^n}{n!} \right) - \dfrac{n}{2}$.	

\item En déduire la limite quand $n$ tend vers $+ \infty$ de $\dfrac{1}{n} \ln \left( \dfrac{n^n}{n!}\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 3}

\medskip


Dans une usine, on effectue deux opérations indépendantes sur des pièces avant d'obtenir un produit fini que l'on doit calibrer.

\bigskip

\begin{enumerate}
\item La première opération est un tournage. Elle est effectuée à l'aide soit d'une machine $M_{1}$, soit d'une machine $M_{2}$, ces deux machines effectuant le même travail.

Chaque jour \np{1500} pièces différentes sont tournées par la machine $M_{1}$ ; 0,2\:\% d'entre elles sont défectueuses.

Chaque jour \np{3500} pièces différentes sont tournées par la machine $M_{2}$ ;  0,3\:\% d'entre elles sont défectueuses.

	\begin{enumerate}
		\item À l'issue de cette première opération, on choisit une pièce au hasard dans le lot des \nombre{5000} pièces tournées sur une journée par les deux machines $M_{1}$ et $M_{2}$.
		
		 Quelle est la probabilité que cette pièce soit défectueuse? On peut s'aider d'un arbre ou d'un tableau.
		\item	On suppose dans cette question que la pièce choisie est défectueuse. Quelle est dans ce cas la probabilité qu'elle ait été tournée par la machine $M_{1}$ ?
	\end{enumerate}
\item	La seconde opération est un fraisage. L'expérience montre que 2\:\% de ces fraisages sont mal effectués. On prélève au hasard $n$ pièces d'un lot de pièces fraisées. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de pièces mal fraisées trouvées lors d'un prélèvement de $n$ pièces du lot. Puisque ce lot contient une grande quantité de pièces fraisées, on assimile ce prélèvement de $n$ pièces à un tirage avec remise de $n$ pièces.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$ ? Donner son espérance et son écart type en fonction de $n$.

		\item	Dans cette question $n = 5$. Quelle est la probabilité que, parmi les cinq pièces prélevées, exactement deux pièces soient mal fraisées ?
		\item	Dans cette question $n = 100$. On peut alors approcher $Y$ par une variable aléatoire $Y_{\text{P}}$ qui suit une loi de Poisson de paramètre 2. Quelle est alors la probabilité que, parmi les 100 pièces prélevées, il n'y en ait pas plus de 2 qui soient mal fraisées ?
	\end{enumerate}
\item À l'issue des deux opérations de tournage et de fraisage le volume $V$ de la pièce obtenue doit être de 502~cm$^{3}$. Le volume $V$ suit une loi normale de moyenne $m = 502$ et d'écart-type $\sigma = 5$.

La pièce est mise au rebut si le volume n'est pas compris entre 496~cm$^{3}$ et 508~cm$^{3}$.

Sachant que la variable $X = \dfrac{V-m}{\sigma}$ suit la normale centrée réduite (dont un tableau de valeurs est donné en annexe), calculer la probabilité qu'une pièce obtenue soit mise au rebut à cause de son volume.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 4}

\medskip

On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes.

On considère les applications $f,~ g,~ s$ et $t$ définies, lorsque cela a un sens, par :

\medskip

\begin{center}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$f(z) = \dfrac{1 - 4\text{i} - 3z}{z + \text{i}}$,&
$g(z) =\dfrac{1}{z}$,& $s(z) = (1 - \text{i})z - 3$~ et& $t(z) =  z + \text{i}$.\\
\end{tabularx}
 \end{center}

\medskip

Soit $F$ la transformation du plan complexe associée à $f$ c'est-à-dire l'application qui transforme le point $M$ d'affixe $z \neq -\text{i}$ en le point $F(M)$ d'affixe $f(z)$.

On définit de même $G,~ S$ et $T$ les transformations du plan complexe associées respectivement aux applications $g,~ s$ et $t$. Ainsi, si $M$ est le point d'affixe $z,~ G(M),~S(M)$ et $T (M)$ sont, lorsque cela est possible, les points d'affixes respectives $g(z),~s(z)$ et $t(z)$.
\begin{enumerate}
\item Préciser la nature géométrique de la transformation $T$ et caractériser cette transformation.
\item Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude $S$.
\item L'une des trois égalités suivantes est correcte : $f = t \circ g \circ s,~ j=s \circ g \circ t$ et $f = g \circ s \circ t$.

Préciser laquelle en justifiant la réponse.
\item Vérifier que $f$ est une bijection de $\C \ \{-\text{i}\}$ dans $\C \ \{-3\}$ et expliciter son application réciproque $f^{-1}$.
\item Soit D l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que : $(1 - 2\text{i})z + (1 + 2\text{i})\overline{z} + 6 = 0$.

 Donner une équation cartésienne de D puis en déduire la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble D.

\item Représenter dans le plan complexe l'ensemble D et son image D$_{1}$ par la transformation $T$.

On pourra prendre 2~cm pour unité graphique.
\item On admet que $G$, la transformation du plan complexe associée à l'application $g$ transforme toute droite ne passant pas  par l'origine en un cercle passant par l'origine mais privé de l'origine.

Déterminer l'image C$_{1}$ de l'ensemble D$_{1}$ par l'application $G$. On pourra par exemple utiliser les points d'intersection de l'ensemble D$_{1}$ avec les axes de coordonnées.

Représenter l'ensemble C$_{1}$ sur la figure de la question précédente.

\item En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l'image C$_{2}$ de l'ensemble C$_{1}$ par la similitude $S$. Représenter l'ensemble C$_{2}$ sur la figure.
\item Les ensembles C$_{2}$ et D sont-ils tangents? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}\end{center}

\bigskip

La loi normale centrée réduite est caractérisée par la densité de probabilité 

\[f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\text{e}^{- \frac{x^2}{2}}.\]

\bigskip

Extraits de la table de la fonction intégrale de la loi normale centrée réduite $N(0~;~ 1)$

\[\Pi(u) = P(X \leqslant u) = \int_{-\infty}^u f(x)\:\text{d}x\]

\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,yunit=6cm}
\begin{pspicture}(-3,-0.1)(3,0.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5](0,0)(-3,0)(3,0.5)
\psplot{-3}{3}{1 2.71828 x dup mul 2 div exp 2 3.14159 mul sqrt mul div}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot{-3}{1.5}{1 2.71828 x dup mul 2 div exp 2 3.14159 mul sqrt mul div}
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\psframe[fillstyle=solid](-0.5,0.05)(0.5,0.15)\rput(0,0.1){$\Pi(u)$}
\uput[d](0,0){0} \uput[d](1.5,0){$u$}
\end{pspicture}
\end{center}

{\scriptsize \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{ \centering \arraybackslash}X}}\hline
$u$&	0,00&	0,01&	0,02&	0,03&	0,04&	0,05&	0,06&	0,07&	0,08&	0,09\\ \hline
0,0&0,500 0&0,504 0&0,508 0&0,512 0&0,516 0&0,519 9&0,523 9&0,527 9&0,531 9&0,535 9 \\
0,1&	0,539 8&0,543 8&0,547 8&0,551 7&0,555 7&0,559 6&0,563 6&0,567 5&0,571 4&0,575 3 \\
0,2&0,579 3&0,583 2&0,587 1&0,591 0&0,594 8&0,598 7&0,602 6&0,606 4&0,610 3&0,614 1 \\
0,3&0,617 9&0,621 7&0,625 5&0,629 3&0,633 1&0,636 8&0,640 6&0,644 3&	0,648 0&	0,651 7 \\
0,4&0,655 4&0,659 1&0,662 8&0,665 4&0,670 0&0,673 6&0,677 2&0,680 8&0,684 4&0,687 9 \\
0,5&0,691 5&0,695 0&0,698 5&0,701 9&0,705 4&0,708 8&0,712 3&0,715 7&0,719 0&0,7224 \\
0,6&0,725 7&0,729 0&0,732 4&0,735 7&0,738 9&0,742 2&0,745 4&	0,7486&	0,751 7&	0,754 9 \\
0,7&0,758 0&0,761 1&0,764 2&0,767 3&0,770 4&0,773 4&0,776 4&0,779 4&0,782 3&	0,785 2 \\
0,8&0,788 1&0,791 0&0,793 9&0,795 7&0,799 5&0,802 3&	0,805 1	&0,807 8&	0,810 6&	0,813 3 \\
0,9&0,815 9&0,818 5&0,821 2&0,823 8&0,826 4&0,828 9&0,831 5&0,8340&0,8365&0,8389 \\
1,0&	0,841 3&0,843 8&0,846 1&0,848 5&0,850 8&0,853 1&0,855 4&0,857 7&0,859 9&	0,862 1 \\
1,1&	0,8643&	0,8665&	0,8686&	0,8708&	0,8729&	0,8749&	0,8770&	0,8790&	0,881 0&0,8830 \\
1,2&	0,884 9&0,886 9&0,888 8&0,890 7&0,892 5&0,894 4&0,896 2&0,8980&0,8997&0,9015 \\
1,3&	0,903 2&0,904 9&0,906 6&0,908 2&0,909 9&0,911 5&	0,913 1&	0,914 7&0,916 2&0,9177 \\
1,4&	0,919 2&0,920 7&0,922 2&0,923 6&0,925 1&0,926 5&0,927 9&0,9292&0,9306&0,931 9 \\
1,5&	0,933 2&0,934 5&0,935 7&0,937 0&0,938 2&0,939 4&0,940 6&0,941 8&0,942 9&0,944 1 \\
1,6&	0,945 2&0,946 3&0,947 4&0,948 4&0,949 5&0,950 5&0,951 5&0,9525&0,9535&0,9545 \\
1,7&	0,955 4&0,956 4&0,957 3&0,958 2&0,959 1&0,959 9&0,960 8&0,961 6&0,962 5&0,963 3 \\
1,8&	0,964 1&0,964 9&0,965 6&0,966 4&0,967 1&0,967 8&0,968 6&0,9693&0,9699	&0,9706 \\
1,9&	0,971 3&0,971 9&0,972 6&0,973 2&0,973 8&0,974 4&0,975 0&0,975 6&0,976 1&0,976 7 \\
2,0&0,977 2&0,977 9&0,978 3&0,978 8&0,979 3&0,979 8&0,980 3&0,980 8&0,981 2&0,981 7 \\
2,1&	0,982 1&0,982 6&0,983 0&0,983 4&0,983 8&0,984 2&0,984 6&0,985 0	&0,985 4	&0,985 7 \\
2,2&0,986 1&0,986 4&0,986 8&0,987 1&0,987 5&0,987 8&0,988 1&0,988 4&0,988 7&0,989 0 \\
2,3&0,989 3&0,989 6&0,989 8&0,990 1&0,990 4&0,990 6&0,990 9&0,991 1&	0,991 3&	0,991 6 \\
2,4&0,991 8&0,992 0&0,992 2&0,992 5&0,992 7&0,992 9&0,993 1&	0,993 2&0,993 4&0,993 6 \\
2,5&0,993 8&0,994 0&0,994 1&0,994 3&0,994 5&	0,994 6&0,994 8&0,994 9&0,995 1&	0,995 2 \\
2,6&0,995 3&0,995 5&0,995 6&0,995 7&0,995 9&0,996 0&0,996 1&0,996 2&0,996 3&0,996 4 \\
2,7&0,996 5&0,996 6&0,996 7&0,996 8&0,996 9&0,997 0&0,997 1&0,997 2&0,997 3&0,997 4 \\
2,8&0,997 4&0,997 5&0,997 6&0,997 7&0,997 7&0,997 8&0,997 9&0,997 9&0,998 0&0,998 1 \\
2,9&0,998 1&0,998 2&0,998 2&0,998 3&0,998 4&0,998 4&0,998 5&0,9985&0,9986&0,9986 \\ \hline
\end{tabularx}}

\begin{center}
Table pour les grandes valeurs de $u$
\end{center}
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$u$&	3,0&	3,1&	3,2&	3,3&	3,4\\ \hline
$\Pi(u)$&	0,998 65&	0,999 04&	0,999 31&	0,999 52&	0,999 66	\\ \hline \hline
$u$&	3,5&	3,6&	3,8&	4,0&	4,5\\ \hline
$\Pi(u)$&0,999 76&	0,999841&	0,999 928&	0,999 968&	0,999 997\\ \hline
\end{tabularx}
\end{document}