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\begin{document}
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\lhead{\small CAPLP externe}
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\rfoot{\small{2006}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

 {\Large \textbf{\decofourleft~CAPLP externe 2006~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

On note $\R$ l'ensemble des nombres réels et $\C$ l'ensemble des nombres complexes.

Préciser si chacune des affirmations suivantes est vraie ou est fausse, et justifier la réponse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle I $\subset \R$, et $g$ une fonction définie sur $f(\text{I})$. Les fonctions $f$ et $g$ ne sont pas nécessairement dérivables. Si $f$ est décroissante sur I et si $g$ est décroissante sur $f(\text{I})$, alors $ g \circ f$ est croissante sur I.
\item Si $x$ est un nombre réel irrationnel, alors pour tout nombre entier naturel non nul $n$ le réel $x^n$ est irrationnel.
\item Soit (E) l'équation différentielle : $y'' + 9y = 0$. La seule solution de (E) qui vérifie la condition initiale $y(0) = 0$ est la fonction nulle.
\item Pour tout nombre entier naturel $n$ on a l'égalité : $\displaystyle\sum_{k=0}^n k^3  = \left(\displaystyle\sum_{k=0}^n k \right)^2$.
\item Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ à valeurs dans $\R$. Si $f$ est périodique et monotone sur $\R$, alors $f$ est constante.
\item Toute suite réelle strictement croissante tend vers $+\infty$.
\item Soient E un $\R$-espace vectoriel, et $\left(u_{1},~u_{2},~\ldots,~u_{n}\right)$ une base de E. Pour tout vecteur non nul $v$ de E, la famille $\left(u_{1},~u_{2},~\ldots,~u_{n},~v\right)$ est encore une base de E.
\item Le plan affine euclidien étant rapporté à un repère orthonormal, deux droites non parallèles aux axes du repère sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $(-1)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\emph{Le but de cet exercice est l'étude de quelques propriétés géométriques des quadrangles harmoniques.}

\medskip

On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes.

Dans tout l'exercice le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Soient les points A, B, C, D d'affixes respectives $a = -2+2\text{i} ~;~ b = -2\text{i}~ ;~ c = -2~ ;~ d = 2+4\text{i}$.

Soient les nombres complexes $Z_{1}$ et $Z_{2}$ tels que $Z_{1} = \dfrac{b -a}{d - a}$ 	et $Z_{2} = \dfrac{b -c}{d - c}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure et placer les points A,B, C et D.
\item Écrire $Z_{1}$ et $Z_{2}$ sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
\item En déduire la nature des triangles BAD et BCD.
\item Montrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{Partie II}

\medskip

Soient quatre points quelconques A, B, C, D distincts deux à deux, d'affixes respectives $a,~ b,~ c$ et $d$.

On appelle birapport des quatre points A, B, C, D rangés dans cet ordre, le quotient, noté [A, B, C, D] :

\[ [\text{A, B, C, D}] = \dfrac{\dfrac{c - a}{c - b}}{\dfrac{d - a}{d - b}}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le birapport [A, B, C, D] est un nombre réel si et seulement si les quatre points A, B, C, D sont cocycliques ou alignés.
\item Montrer que la relation [A, B, C, D] $= -1$ est équivalente à chacune des relations suivantes :

\[\begin{array}{l l}
(1) &2(ab+cd) = (a+b)(c+d) ;\\
(2)& \left(c - \dfrac{a+b}{2} \right)\left(d - \dfrac{a+b}{2} \right) = \left(\dfrac{a - b}{2} \right)^2.\\
\end{array}\]
\end{enumerate}

Dans la suite du problème, on appelle quadrangle harmonique la figure formée par quatre points
A, B, C, D distincts deux à deux, non alignés tels que le birapport [A, B, C, D] soit égal à $-1$.

\begin{enumerate}[resume]
\item 	Montrer que le quadrangle A, B, C, D de la partie 1 est harmonique.
\item 	Soit A, B, C et D un quadrangle harmonique. On note I le milieu du segment [AB]. En utilisant les résultats de la question 2. ci-dessus, montrer que la droite (AB) est la bissectrice de l'angle des demi-droites [IC) et [ID), et que l'on a :
\[\text{IC} \times  \text{ID} = \dfrac{\text{AB}^2}{4}\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}\\	
\emph{Le but de cet exercice est l'étude d'une chaîne de transmissions aléatoires d'une information binaire.}

\medskip

Un émetteur $E$ émet une information binaire (c'est-à-dire ne prenant que la valeur $0$ ou la valeur $1$).

 Un récepteur $R$ re\c{c}oit cette information qui, pour des raisons non développées ici, peut être conforme ou non à l'information émise. Quelle que  soit l'information émise par $E$ (\og 0 \fg{} ou \og  1 \fg), la probabilité que l'information reçue par $R$ soit conforme à  l'information émise par $E$ est égale à $p (0 < p <  1)$ et la probabilité que l'information reçue par $R$ soit non-conforme à l'information émise est égale à $(1 - p)$.

Ainsi par exemple lorsque l'information émise par $E$ est \og  0 \fg, la probabilité que l'information reçue par $R$ soit \og $0$ \fg{} est égale à $p$ et la probabilité que l'information reçue par $R$ soit \og 1 \fg{} est égale à $(1 - p)$.
  
\medskip
  
\noindent \textbf{Partie 1}

\medskip

Dans cette partie, l'information binaire est transmise le long d'une chaîne de $(n+1)$ éléments électroniques, notés $E_{0},~ E_{1},~\ldots,~ E_{n}$.

Chaque élément $E_{k}$ est successivement récepteur, puis émetteur, excepté le premier élément $E_{0}$ qui est seulement émetteur et le dernier élément $E_{n}$ qui est seulement récepteur. L'information émise par un émetteur-récepteur est toujours identique à celle reçue.

Pour tout nombre entier $k$ compris entre $0$ et $(n-1)$, la transmission d'information de l'élément $E_{k}$ à l'élément suivant $E_{k+1}$ suit la loi définie en début d'exercice, c'est-à-dire que l'élément $E_{k+1}$ re\c{c}oit correctement l'information binaire émise par $E_{k}$ avec une probabilité égale à $p (0 < p < 1)$, et re\c{c}oit l'information contraire  avec la probabilité $(1 - p)$.

Par ailleurs, on a constaté que la qualité de la transmission d'un élément $E_{k}$ à l'élément suivant $E_{k+1}$ ne dépend pas de ce qui s'est passé lors des transmissions précédentes.

On note $A_{k}  (1 \leqslant  k \leqslant  n)$, l'évènement \og la valeur re\c{c}ue par $E_{k}$ est identique à celle émise par $E_{0}$ \fg, et on désigne par $P_{k}$ sa probabilité. On convient que $p_{0} = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  étude du cas particulier $n =2$.
	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre pondéré décrivant cette situation dans le cas $n =  2$. On précisera sur ce schéma les différentes probabilités.
		\item	Déterminer $p_{1}$ et $p_{2}$.
		\end{enumerate}
\item	étude du cas général.

	Démontrer que pour tout nombre entier $k$ compris entre $0$ et $(n - 1)$ on a :

\[p_{k+1} =  (2p - 1)p_{k} + 1 - p.\]

\item On se propose de déterminer l'expression de $p_{n}$ en fonction de $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout nombre entier naturel $k$ inférieur ou égal à $n$, on pose : $u_{k} =  p_{k} - \dfrac{1}{2}$.
		\begin{enumerate}
			\item Montrer que les $\left(u_{k}\right)_{0\leqslant k \leqslant n}$	sont les premiers termes d'une suite géométrique dont on précisera la raison.
			\item  En déduire l'expression de $p_{n}$ en fonction de $n$ et de $p$.
		\end{enumerate}
		\item  Démontrer que la suite $\left(p_{n}\right)_{n \in \N}$ converge et déterminer sa limite.
		\item  Comment peut-on interpréter ce résultat ?
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Dans cette partie, l'émetteur $E_{0}$ émet une information binaire transmise directement, sans passer par des intermédiaires, vers une famille de récepteurs. Dans la suite de l'exercice on supposera que cette famille est infinie, et on la notera $\left(R_{i}\right)_{i \in \N}$. Une partie de cette famille de récepteurs $\left(R_{i}\right)_{i \in \N}$	est \og à l'écoute\fg autrement dit est pr\^ete à recevoir l'information émise par $E_{0}$, conforme ou non.

On suppose que les transmissions entre l'émetteur $E_{0}$ et chacun des récepteurs \og à l'écoute \fg dans la famille $\left(R_{i}\right)_{i \in \N}$ sont indépendantes les unes des autres et que la règle de transmission est la même que celle définie en début d'exercice, c'est-à-dire qu'un récepteur \og à l'écoute \fg re\c{c}oit correctement l'information binaire émise par $E_{0}$ avec une probabilité égale à $p (0 < p < 1)$, et reçoit l'information  contraire avec la probabilité $(1 - p)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère que $n$ récepteurs sont \og à l'écoute \fg. Déterminer la probabilité que $k$ d'entre eux exactement reçoivent correctement la valeur émise par $E_{0}$ ($k$ étant un nombre entier compris entre $0$ et $n$).
\item Le nombre de récepteurs \og à l'écoute\fg est une variable aléatoire $X$. On admet que cette variable suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda,~ \lambda$ étant un nombre réel strictement positif donné. Pour tout entier naturel $k$ on a donc :

\[P(X = k) = \dfrac{\text{e}^{- \lambda}\lambda^k}{k!}.\]

On appelle $Y$ la variable aléatoire représentant le nombre de récepteurs de la famille $\left(R_{i}\right)_{i \in \N}$ qui re\c{c}oivent la valeur émise par l'émetteur $E_{0}$.
	\begin{enumerate}
		\item Décrire par une phrase l'évènement ($Y= 0$).
		\item On appelle $B_{n}$ l'évènement : \og $n$ récepteurs exactement sont \og à l'écoute \fg{} \fg.
		
Démontrer que $P\left((Y = 0) \cap  B_{n}\right) = \dfrac{\text{e}^{- \lambda}(1 - p)^n \lambda^n}{n!}$.
		\item Justifier que l'on peut décrire l'évènement ($Y= 0$) sous la forme suivante :
\[(Y=0) = \bigcup_{n=0}^{+ \infty} \left[(Y=0) \cap B_{n}\right].\]
En déduire que $P((Y= 0))= \text{e}^{-\lambda p}.$\\
(On rappelle que $\forall x \in  \R,~\displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \dfrac{x^n}{n!} = \text{e}^x$.
		\item Pour tout nombre entier $k$ naturel, déterminer $P(Y = k)$. En déduire que $Y$ suit une loi de Poisson dont on déterminera le paramètre.\\
	Donner alors son espérance $E(Y)$ et sa variance $V(Y)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

\emph{Le but de cet exercice est l'étude de propriétés liées aux polynômes de Bernoulli}

\medskip

\noindent Pour tout nombre entier naturel $k$ tel que $0 \leqslant  k \leqslant  n$, on note $\binom{n}{k}$ le nombre de combinaisons de $k$ éléments pris parmi $n$. On rappelle que $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}$.

On admet, dans tout cet exercice, qu'il existe une unique suite $\left(b_{n}\right)_{n \in \N}$ définie par la condition initiale
$b_{0} = 1$ et la relation de récurrence $\displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} b_{k} = 0$, valable pour tout $n$ entier supérieur ou égal à $2$.

On appelle \emph{nombres de Bernoulli} les nombres réels notés $b_{k}$ ainsi définis.

On appelle \emph{polynômes de Bernoulli} les polynômes $B_{n}(X)$ définis par : $B_{0}(X) = 1$ et pour tout nombre entier naturel non nul $n,~ B_{n}(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} b_{k}X^{n-k}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $b_{1},~ b_{2},~  b_{3}$ et $b_{4}$. Montrer en particulier que $b_{4} = - \dfrac{1}{30}$.
\item Déterminer les polynômes $B_{1}(X),~B_{2}(X)$ et $B_{3}(X)$.
\item Vérifier que, pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à $2,~ B_{n}(0) = B_{n}(1) = b_{n}$.
\item Démontrer que, pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1, $B'_{n}(X) = nB_{n-1}(X)$.
\item En déduire que, pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1, $\displaystyle\int_{0}^1 B_{n}(t)\:\text{t} = 0$.
\item Établir par récurrence que, pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à $1$,

\[B_{n}(X+1) -B_{n}(X) = nX^{n-1}.\]
\item En déduire que pour tout nombre entier naturel $m$, et pour tout nombre entier $n \geqslant  2$, on a :

\[\sum_{k=0}^{m} k^n = \dfrac{1}{n+1}\left(B_{n+1}(m+1) - B_{n+1}(0) \right).\]

Retrouver alors la formule donnant $\displaystyle\sum_{k=0}^{m} k^2$.

\item On admet dans les questions suivantes que la suite $\left(B_{n}\right)$ est l'unique suite de polynômes vérifiant les propriétés démontrées aux questions 4 et 5 et telle que $B_{0}(X)
= 1$.

Pour tout nombre entier naturel $n$, on pose : $A_{n}(X) = (- 1)^n B_{n}(1 - X)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la suite $\left( A_{n}\right)$ est confondue avec la suite $\left(B_{n}\right)$.
		\item  En déduire que pour tout nombre entier $p$ supérieur ou égal à 1,\\ $b_{2p+1} = 0$.
	\end{enumerate}
\item Soient $n$ et $p$ deux nombres entiers supérieurs ou égaux à 1. Soit $f$ une fonction de classe C$^{2p+1}$ sur l'intervalle [0 ; 1]. Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on désigne par $f^{(n)}$ la dérivée d'ordre $n$ de $f$ et on pose par convention $f^{(0)} = f$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout nombre entier $n$ de l'intervalle $[2~; 2p+ 1]$, on a :
$\displaystyle\int_{0}^1 f^{(n)}(t) \times  B_{n}(t)\:\text{d}t =  b_{n}\times \left(f^{n-1)}(1) - f^{n-1)}(0)\right) - n \times  \displaystyle\int_{0}^1 f^{(n-1)} \times  B_{n-1}(t)\:\text{d}t$.
		\item En déduire que, pour tout nombre entier naturel $k$ de l'intervalle $[1 ~;~ p]$, on a :

$\dfrac{1}{(2k + 1)!}\displaystyle\int_{0}^1 f^{(2k+1)}(t)B_{2k+1}(t)\:\text{d}t - \dfrac{b_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(1) - f^{(2k-1)}(0)\right) +\\ \dfrac{1}{(2k-1)!}\displaystyle\int_{0}^1 f^{(2k-1)}(t)B_{2k-1}(t)\:\text{d}t.$
		\item 	Montrer alors la première formule d'Euler-Mac Laurin :\\
		pour tout nombre entier naturel $p$ non nul,\\
$\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x = \dfrac{f(0) +f(1)}{2} - \displaystyle\sum_{k=1}^p b_{2k} \dfrac{f^{(2k-1)}(1) - f^{(2k-1)}(0)}{(2k)!}  - \\\dfrac{1}{(2p +  1)!}\displaystyle\int_{0}^1 f^{(2p+1)}(t)B_{2p+1}(t)\:\text{d}t.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}