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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rfoot{\small }
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~CAPLP Concours externe  et CAFEP \decofourright\\[7pt]Section : Mathématiques -- Physique--Chimie Session 8 avril 2020\\[7pt]
Épreuve écrite sur dossier de mathématiques}}

Durée : 4 heures 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le sujet est constitué de trois exercices indépendants qui peuvent être traités dans un ordre quelconque.

Le premier exercice est un vrai-faux avec justification.

Le deuxième exercice est un exercice de nature pédagogique.

Le troisième exercice est constitué de cinq parties.

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

Préciser si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La matrice $M = \begin{pmatrix}2& 1& 0\\-1& 2& 3\\0&5&6\end{pmatrix}$ est inversible.
\item  On a la relation $\displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \left(\dfrac{1}{2} \right)^n = 2$.
\item  Soit $f$ la fonction définie sur $[-1~;~1]$ par

\[f(x) = \left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac{1}{x}\left(\sqrt{1 + x^2} - \sqrt{1 - x^2} \right)&\text{si}&x \ne 0\\
0&\text{si}&x = 0
\end{array}\right.\]

La fonction $f$ est continue sur $[-1~;~1]$ et dérivable sur $]-1~;~1[$.
\item On considère un cône $C$ dont le diamètre de la base et la hauteur mesurent 1 unité, et une boule $B$ de diamètre 1 unité.

Les volumes de $C$ et de $B$ sont dans le ratio 1~:~2.
\item On a la relation $\displaystyle\int_0^{1/2} \dfrac{x}{\left(1 + x^2 \right)^{3/2}}\:\text{d}x = 1 + \dfrac{2}{\sqrt{3}}$.
\item Soit la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N^*}$ définie par $u_nn = \cos (n)$ et la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N^*}$ définie par $v_n = \dfrac{1}{\sqrt{n}}$.

La suite $\left(u_nv_n\right)_{n\in \N^*}$ converge et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(u_nv_n\right) = 0$.
\item La documentation technique d'une machine fabriquant des pièces dans une usine indique que, quand la machine est bien réglée, les pièces présenteront un défaut dans $0,8$\,\% des cas. 

On s'intéresse à un échantillon de $800$ pièces prélevées au hasard sur le stock. On suppose que le stock est suffisamment grand pour que l'on puisse assimiler cela à un tirage au sort avec remise.

Un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence des pièces sans défaut dans l'échantillon au seuil de 95\,\% est [0,985~;~0,999].

\item Soit la fonction $f$ définie sur $\R\ \{-1~;~1\}$ par $f(x) = \dfrac{x^3 +2x^2}{x^2 - 1}$.

La courbe représentative de la fonction $f$ admet une asymptote oblique en $-\infty$ et en $+\infty$.
\item L'équation différentielle $y''- 3y'+ 2y = x^2- 3x$ a pour ensemble de solutions réelles 

\[\left\{x \longmapsto k_1 \text{exp} x + k_2 \text{exp} (2x), \, \left(k_1,\, k_2 \right)\in \R^2\right\}.\]

\item Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé O$xy$, soit $\Delta$ la droite d'équation $x + y + 1 = 0$ et soit $\Gamma$ le cercle d'équation $x^2 + y^2 - 2x- 1 = 0$.

La droite $\Delta$ est tangente au cercle $\Gamma$.
\item On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

On sait que $P(X < 20)= 0,5$.

Le paramètre $\lambda$ vaut $\dfrac{1}{20}$.
\item On considère la fonction $g$ de $\C$ dans $\C$ qui à tout nombre complexe $z$ associe le nombre
complexe $g(z) =z^2  + 2z + 9$.

Dans le plan complexe, l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $g(z)$ soit un nombre réel est une droite.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

Cet exercice de type pédagogique a pour objectif l'analyse de l'activité \og Extremum par balayage\fg{} proposée dans le document ressources \og Algorithmique et programmation\fg{} destiné à la classe de seconde professionnelle.

Cette activité fait référence à \og Rechercher un extremum par balayage sur un intervalle donné \fg, qui est un des exemples d'algorithmes et d'activités numériques du module \og Fonctions\fg{} du programme de la classe de seconde professionnelle.

\medskip

L'analyse demandée nécessite les annexes suivantes fournies en fin de sujet.

\medskip

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] annexe 1 : extrait du programme de la classe de seconde professionnelle, module
\og Fonctions\fg{};
\item[$\bullet~~$] annexe 2 : extrait du programme de la classe de seconde professionnelle, module
\og Algorithmique et programmation\fg{};
\item[$\bullet~~$] annexe 3 : éléments pour l'enseignant, extrait du document ressource \og Algorithmique et
programmation\fg{} pour la classe de seconde professionnelle. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Le texte de l'activité est reproduit dans l'encadré ci-dessous.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Activité: Extremum par balayage}\\[5pt]

La méthode du balayage pour approcher un extremum d'une fonction est présentée ici sans contextualisation spécifique. Cette méthode s'applique à tout type de fonctions, de la seconde professionnelle à la classe terminale.

Considérons la fonction $f$ définie sur $[-2~;~1]$ par $f(x) =- x^3 + x - 1$. 

On cherche à déterminer par balayage un encadrement de son minimum à un pas donné.

Remarque: Comme la fonction $f$ est continue sur un intervalle fermé borné, on est assuré de l'existence d'un minimum, mais aussi d'un maximum, sur cet intervalle. Mais là encore, tel n'est pas le propos.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(2,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3,-3)(2,6)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{1}{x 1 sub x 3 exp sub}
\psdots[linecolor=red](-2,5)(1,-1)
\uput[l](-1.8,2.5){\red $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{\large Partie A : étude du module \og Fonctions\fg{} du programme de la classe de seconde professionnelle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Indiquer quelles connaissances de ce module \og Fonctions\fg{} sont nécessaires à la réalisation de cette activité.
\item Dans cette activité, on considère la fonction $f$ définie, sur l'intervalle $[-2~;~1]$, par
	\begin{enumerate}
		\item Lister les capacités du module \og Fonctions\fg{} qui peuvent être travaillées en utilisant la fonction $f$.
		\item Pour chacune d'elles, rédiger une question, à destination d'une classe d'élèves de seconde, qui permettrait la mise en œuvre de cette capacité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie B : étude de l'activité}

\medskip

Dans cette activité, la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[-2~;~1]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la définition du minimum d'une fonction définie sur un intervalle $I$. 
\item Déterminer graphiquement le minimum de $f$ sur cet intervalle.
\item La fonction $f$ admet-elle un maximum sur cet intervalle ? Si oui, lequel ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie C : analyse du programme en langage Python}

\medskip

Le document ressource propose une méthode de résolution, qui utilise un programme de recherche d'extremum par balayage écrit en langage Python. La méthode proposée est explicitée dans l'encadré ci-dessous.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Méthode proposée}\\
On choisit un pas $h$, réel strictement positif.\\
La méthode peut être décrite de la façon suivante : on part de la borne gauche de l'intervalle, c'est-à-dire $-2$, puis on compare $f(-2)$ à $f(-2 + h)$ et on conserve la plus petite des deux valeurs.\\ 
On compare cette valeur à $f( -2 + 2h)$, et on conserve à chaque fois la plus petite valeur parmi celles calculées, etc.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire un algorithme en pseudo-code, correspondant à la méthode proposée dans l'encadré ci-dessus.

\medskip

Afin de mettre en œuvre la méthode, le document ressource propose le programme Python de l'encadré ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\begin{center}
\begin{tabular}{l}
\texttt{\textbf{def} f(x):}\\
\quad \texttt{\textbf{return} -x**3+x-1}\\
~\\
\quad \texttt{\textbf{def} minimum(f, a, b, pas):}\\
\quad \quad \texttt{k=0}\\
\quad \quad \texttt{mini=f(a)}\\
\quad \quad \texttt{c = a}\\
\quad \quad \texttt{\textbf{while} a+k*pas<=b :}\\
\quad \quad \quad \texttt{\textbf{if} f(a+k*pas)<mini:}\\
\quad \quad \quad \quad \quad \texttt{c=a+k*pas}\\
\quad \quad \quad \quad \quad \texttt{mini=f(c)}\\
\quad \quad \quad \texttt{k=k+1}\\
\quad \quad \texttt{\textbf{return} c, mini}\\
\end{tabular}
\end{center}\\
~\\
Exécution du programme\\
\texttt{In [2]: minimum(f,-2,1,8,8881)}\\
\texttt{Out[2]: (-8,5773999999999999, -1,384988175176)}\\
~\\
Le programme permet de penser que le minimum de $f$ est voisin de $-1,38$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


\item La fonction informatique \texttt{minimum} de l'encadré ci-dessus utilise les variables informatiques\texttt{ a, b, pas, k, mini} et \texttt{c}.

Expliquer le rôle de chacune d'elles dans l'exécution du programme.
\item Recopier et expliquer chacune des lignes de la boucle \og while \fg{} utilisée par la fonction informatique \texttt{minimum}.


\item Concernant l'instruction \texttt{while}, le document ressource précise: \og la fonction (... ) contient une boucle non bornée caractérisée par l'instruction \texttt{while (... )}. Il est donc primordial de faire en sorte que la condition puisse être vérifiée afin d'éviter que la boucle soit infinie \fg. Justifier que dans le cas de la fonction informatique \texttt{minimum},la boucle est nécessairement finie.
\item Le document indique \og Le programme permet de penser que le minimum de $f$ est voisin de -1,38 \fg, et reproduit l'affichage obtenu lors d'une exécution du programme:

\texttt{In [2]: minimum(f,-2,1,8,8881)}

\texttt{Out [2]: (- 8,5773999999999999, -1,384988175176)}

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la valeur du pas $h$ choisi dans la mise en œuvre du programme présenté ? 
		\item À quoi correspond le nombre affiché: $-0,5773999999999999$ ?
	\end{enumerate}
\item Dans cette activité, il est question de la fonction mathématique $f$ et la fonction informatique \texttt{minimum}. Rédiger une explication de la différence entre fonction informatique et fonction mathématique d'une variable réelle qui pourrait être donnée à un élève de seconde professionnelle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie D : étude mathématique}

\medskip

Des limites de cette méthode sont indiquées dans le texte de l'activité, elles sont reproduites dans l'encadré ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Cette méthode a des limites : on détermine en fait la plus petite image parmi celles des nombres $-2 + h$, $-2 + 2h$, $-2 + 3h$, etc., mais on peut ne pas trouver le minimum de la fonction.\\
Dans le cas de la fonction choisie ici, le minimum est atteint en $-\sqrt{\dfrac{1}{3}}$ et vaut $- \dfrac{2\sqrt{3}}{9} - 1$.\\
De plus, dans le cas où l'on trouve bien le minimum ainsi, la fonction affiche un antécédent de ce minimum, mais il peut y en avoir d'autres. Il est intéressant de montrer aux élèves, à l'aide d'exemples bien choisis, les limites évoquées ci-dessus.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi les auteurs écrivent \og on peut ne pas trouver le minimum de la fonction \fg.
\item Par l'étude mathématique de la fonction $f$, prouver que le minimum de $f$ est atteint sur
$[-2~;~1]$ en $-\sqrt{\dfrac{1}{3}}$ et vaut $- \dfrac{2\sqrt{3}}{9} - 1$.
\item Présenter un exemple de fonction $g$ permettant d'illustrer l'une des limites de la méthode par balayage évoquée dans l'encadré: \og De plus, dans le cas où l'on trouve bien le minimum ainsi, la fonction (informatique appelée \texttt{minimum}) affiche un antécédent de ce minimum, mais il peut yen avoir d'autres. \fg.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie E : autre méthode}

\medskip

Rédiger, pour une classe seconde professionnelle, le texte d'une activité dans laquelle les élèves mettraient en œuvre une autre méthode pour déterminer une valeur approchée du minimum de la fonction $f$ sur l'intervalle [-2; 1].

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

Dans ce problème, on s'intéresse aux propriétés de certaines suites récurrentes (partie A) et de certains polynômes (partie B), qu'ont met ensuite en relation (partie C).

\smallskip

On notera :

$\N$ : l'ensemble des entiers naturels.

$\N^*$ : l'ensemble des entiers naturels strictement positifs.

$\R$:l'ensemble des nombres réels.

\bigskip

\textbf{\large Partie A : suite de Fibonacci}

\medskip

Dans cette partie, on pose $\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ et $\varphi' = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$.

On dit qu'une suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ de nombres réels est une \textbf{suite de type (F)} si :

\[\forall n \in \N, \quad u_{n+2} = u_{n+1} + u_n.\]

\begin{enumerate}
\item Soit $r$ un nombre réel, et soit $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ la suite géométrique de raison $r$ telle que $u_0 = 1$. 

Montrer que $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est de type (F) si et seulement si $r =\varphi$ ou $r = \varphi'$.

\smallskip

On appelle \textbf{suite de Fibonacci} la suite $\left(F_n\right)$) de type $(F)$ telle que $F_0  = 0$ et $F_1  = 1$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,

\[F_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\varphi^n - \varphi'^n \right).\]

		\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$,\,  $F_n \ne 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose $R_n = \dfrac{F_{n+1}}{F_n}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = 1 + \dfrac{1}{1 + x}$.

\begin{enumerate}[resume]
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a $R_{n + 1} = f\left(R_n\right)$.
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
		\item Résoudre l'équation $f(x) = x$.
		\item Dans un même repère, tracer la courbe représentative de la fonction $f$ et la droite d'équation $y = x$.

Expliquer et mettre en évidence sur le graphique la détermination des quatre premiers termes de la suite $\left(R_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item On définit la fonction $g$ sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = 2 - \dfrac{1}{x + 1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $g =f \circ f$.
		\item Étudier les variations de $g$ sur $]0~;~+\infty[$.
		\item La courbe représentative de $g$ sur $]0~;~+\infty[$ admet-elle des asymptotes ? Si oui, en donner des équations.
		\item Tracer une représentation graphique de $g$. On indiquera les asymptotes éventuelles.
		\item  Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a $R_{n+2} = g\left(R_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout $n \in \N^*$,on note $a_n = R_{2n-1}$ et $b_n = R_{2n}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $n \in \N^*$,\,  $0 < a_n < \varphi < b_n$.
		\item Montrer que la suite $\left(a_n\right)_{n \in \N^*}$ est croissante et que la suite 
		$\left(b_n\right)_{n \in \N^*}$ est décroissante.
* Fn+2
		\item Montrer que, pour tout $n \in \N^*$,\, $R_{n+1}R_n = \dfrac{F_{n+2}}{F_n}$  et $R_{n+1}R_n \geqslant 2$.
		\item En déduire par récurrence que, pour tout $n \in \N^*,\, \left|R_{n+1} - R_n\right| \leqslant \dfrac{1}{2^{n-1}}$.
		\item Montrer que les suites $\left(a_n\right)_{n \in \N^*}$ et $\left(b_n\right)_{n \in \N^*}$ sont adjacentes.
		\item En déduire que $\left(R_n\right)$ converge et donner sa limite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie B : suite de polynômes}

\medskip

Dans toute cette partie, on identifiera polynômes et fonctions polynomiales. On considère la suite $\left(P_n\right)_{n\in \N}$ de polynômes de $\R[X]$ définie par:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
P_0 = 0,&& P_1 = 1\\
P_{n+2}(X) &=& XP_{n+1}(X)- P_n(X)
\end{array}\right.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour $2 \leqslant n \leqslant 5$, calculer le polynôme $P_n$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, le polynôme $P_n$ est de degré $n - 1$ et a pour
coefficient dominant $1$.
\item Soit $k$ un entier naturel.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $P_{2k}$ est un polynôme impair et que $P_{2k+1}$ est un polynôme pair. 
		\item Que vaut $P_{2k}(0)$ ? Montrer que $P_{2k+1}(0) = (-1)^k$.
	\end{enumerate}
\item Pour tous réels $a$ et $b$, montrer

\[2\cos a \sin b = \sin (a + b) - \sin (a - b)\quad  \text{et}\quad  2 \sin a\sin b = \cos(a - b) - \cos(a + b).\]

\item Montrer, pour tout entier naturel $n$ et tout réel $\theta$ : 

\[\sin(n\theta) = \sin(\theta)P_n(2\cos \theta)).\]

\item Soit $n$ un entier naturel non nul.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les réels $\theta$ tels que $\sin (n\theta) = 0$.
		\item Soit $x \in [-2~;~2]$. Justifier qu'il existe un unique réel $\theta \in [0~;~\pi]$ tel que $x = 2\cos(\theta)$. 
%%%%%%%
		\item En déduire que l'équation $P_n(x) =0$ admet, dans l'intervalle [-2~;~2], exactement $n - 1$ solutions, que l'on explicitera.
		\item Montrer:
		
		\[P_n(x) = \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1} \left(X - 2\cos \left(\dfrac{k\pi}{n}\right) \right).\]
	\end{enumerate}
\item Soit $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls distincts.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer
		
\[\displaystyle\int_0^{\pi} \sin (m\theta)\sin (n\theta)\:\text{d}\theta = 0\quad \text{et}\quad \displaystyle\int_0^{\pi} \sin^2 (n\theta)\:\text{d}\theta = \dfrac{\pi}{2}.\]
		\item En déduire les valeurs des intégrales

\[\displaystyle\int_{-2}^2 P_m(x)P_n(x)\sqrt{4-x^2}\:\text{d}x \quad  \text{et}\quad \displaystyle\int_{-2}^2 P_n^2(x)\sqrt{4-x^2}\:\text{d}x.\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie C : suite de Fibonacci, matrices et polynômes}

\medskip

Dans cette partie, on établit des liens entre la suite de Fibonacci définie dans la partie A, des matrices et les polynômes définis dans la partie B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $P$ la matrice définie par $P = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que
		\[\forall k \in \N^*,\, P^k = \begin{pmatrix}F_{k+1}&F_k\\F_k&F_{k-1}\end{pmatrix}\]
		
et que

\[\begin{pmatrix}F_{k+1}\\F_{k}\end{pmatrix} = P^k\begin{pmatrix}F_1\\F_0\end{pmatrix}.\]

		\item Établir que $\forall (p,\, q)\in /N^* \times \N^*,\,\,  F_pF_{q+1}  + F_{p-1}F_q = F_{p+q}$
	\end{enumerate}
\item On rappelle que les polynômes $P_n$n sont définis dans la partie B. 

On note i l'unité imaginaire $\left(\text{i}^2 =- 1\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,
		
\[P_n(\text{i}) = \text{i}^{n-1} F_nn\quad  \text{et}\quad  F_n = \left|P_n\left(\text{i}\right)\right|.\]

		\item En déduire, pour tout entier naturel non nul $n$,
		
\[F^2_n = \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1} \left(1 + 4\cos^2 \left(\dfrac{k\pi}{n} \right) \right)\]

et

\[F_n = \displaystyle\prod_{k=1}^{m} \left(1 + 4\cos^2 \left(\dfrac{k\pi}{n} \right) \right)\]

où $m$ est la partie entière de $n/2$, c'est-à-dire le plus grand entier inférieur ou égal à $n/2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1}

\medskip

\textbf{Extrait du programme de la classe de seconde professionnelle, module \og Fonctions\fg }
\end{center}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\multicolumn{1}{c}{\textbf{Capacités}}&\multicolumn{1}{|c}{\textbf{Connaissances}}\\ \hline
Exploiter différents modes de représentation d'une fonction et passer de l'un à l'autre (expression, tableau de valeurs, courbe représentative).

Selon le mode de représentation :

-- identifier la variable;

-- déterminer l'image ou des antécédents éventuels d'un nombre par une fonction définie sur un ensemble donné.

Reconnaître une situation de proportionnalité et déterminer la fonction linéaire qui la modélise.&
Différents modes de représentation d'une fonction (expression, tableau de valeurs, courbe représentative).

Variable, fonction, image, antécédent et notation $f(x)$.

Intervalles de $\R$. Fonctions linéaires.\\ \hline
Relier courbe représentative et tableau de variations d'une fonction.

Déterminer graphiquement les extremums d'une fonction sur un intervalle.&
Fonction croissante ou décroissante sur un intervalle.
Tableau de variations.
Maximum, minimum d'une fonction sur un intervalle.\\ \hline
Exploiter l'équation $y=f(x)$ d'une courbe : 

-- vérifier l'appartenance d'un point à une courbe;

-- calculer les coordonnées d'un point de la courbe.&Courbe représentative d'une fonction $f$ :la courbe d'équation $y = f(x)$ est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées $(x~;~y)$ vérifient $y = f(x)$.\\ \hline
Représenter graphiquement une fonction affine.

Déterminer l'expression d'une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images.

Déterminer graphiquement le coefficient directeur d'une droite non verticale.

Faire le lien entre coefficient directeur et pente - dans un repère orthonormé.

Reconnaître que deux droites d'équations données sont parallèles.

Résoudre graphiquement, ou à l'aide d'outils numériques, un système de deux équations du premier degré à deux inconnues.

Construire la parabole représentant la fonction carré et donner son tableau de variations.&
Fonction affine :

-- courbe représentative;

-- coefficient directeur et ordonnée à l'origine d'une droite représentant une fonction affine;

--équation réduite d'une droite ;

--sens de variation en fonction du coefficient directeur de la droite qui la représente.

Interprétation du coefficient directeur de la droite représentative d'une fonction affine comme taux d'accroissement.

Système de deux équations du premier degré à deux inconnues.

Courbe représentative de la fonction carré.

Sens de variation de la fonction carré.\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1, suite}
\end{center}

{\Huge BO} LE BULLETIN OFFICIEL DE L'ÉDUCATION NATIONALE
\medskip

\hrule

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
Déduire de la courbe représentative d'une fonction $f$ sur un intervalle donné celle de la fonction qui à $x$ associe $f(x) + k$, où $k$ est un nombre réel donné, sur le même intervalle.

Déduire de la courbe représentative de la fonction carré, l'allure de celle de la fonction définie par $f(x) = kx^2$, où $k$ est un nombre réel donné.

Déduire des variations d'une fonction $f$ sur un intervalle donné celles de la fonction $kf$, où $k$ est un nombre réel donné, sur le même intervalle.&\\ \hline
Dans le cadre de problèmes modélisés par des fonctions, résoudre par une méthode algébrique ou graphique une équation du type $f(x) = c$ ou une inéquation du type $f(x) <c$, où $c$ est un réel donné et $f$ une fonction affine ou une fonction du type $x \longmapsto kx^2$ (avec $k$ réel donné).&Résolution algébrique ou graphique.\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Exemples d'algorithmes et d'activités numériques}

\begin{itemize}
\item Traduire un programme de calcul à l'aide d'une fonction en Python.
\item Calculer les images de nombres par une fonction.
\item Déterminer l'équation réduite d'une droite non parallèle à l'axe des ordonnées. \item \item Rechercher un extremum par balayage sur un intervalle donné.
\item Rechercher un encadrement ou une valeur approchée d'une solution d'une équation du type $f(x) = 0$ par balayage sur un intervalle donné.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Commentaires}

\begin{itemize}
\item Lors de la détermination de l'expression d'une fonction affine à partir de la donnée de
deux nombres et de leurs images, on se limite à des cas simples, ne conduisant à aucune difficulté calculatoire.
\item Les fonctions sont définies et étudiées sur un intervalle de IRL
\item Les fonctions cube, racine carrée, inverse ou trigonométriques peuvent être évoquées lors de la résolution de problèmes en lien avec le domaine professionnel. Les droites d'équation x = a ne sont pas un attendu du programme.
\end{itemize}

\medskip

%\textbf{Dans le cadre de la bivalence}
%
%\begin{itemize}
%\item Ce module est mis en œuvre dans les domaines Chimie, Thermique, Mécanique, Électricité et Optique du programme de physique-chimie.
%\end{itemize}
%
%Annexe 2
%Extraitdu programme de la classe de seconde professionnelle, module \og Algorithmique et programmation\fg
%BDLE BULLETIN OFFICIEL
%DE L:ÉOUCATION NATIONALE
%Capacités et connaissances Capacités
%Analyser un problème.
%Décomposer un problème en sous- problèmes.
%Repérer les enchaînements logiques et les traduire en instructions conditionnelles et en boucles.
%Connaissances
%Séquences d'instructions, instructions conditionnelles, boucles bornées (for) et non bornées (while).
%Choisir ou reconnaître le type d'une variable. Types de variables: entiers, flottants, chaînes
%Réaliser un calcul à l'aide d'une ou de plusieurs variables.
%Modifier ou compléter un algorithme ou un programme.
%Concevoir un algorithme ou un programme simple pour résoudre un problème.
%Comprendre et utiliser des fonctions. Compléter la définition d'une fonction.
%Structurer un programme en ayant recours à des fonctions pour résoudre un problème donné.
%Commentaires
%de caractères, booléens. Affectation d'une variable.
%Arguments d'une fonction.
%Valeur(s) renvoyée(s) par une fonction.
%Les notions abordées dans ce module ne font pas l'objet d'un cours spécifique et sont travaillées en situation.
%Aucune maîtrise n'est attendue pour les propriétés des différents types de variables. Pour les fonctions en Python, on donne aux élèves l'entête de la fonction (nom et arguments).
%%%%%%%%%
%Annexe 3
%
%Extrait du document ressource \og Algorithmique et programmation\fg pour la classe de seconde professionnelle
%
%Éléments pour l'enseignant: débuter en algorithmique et en
%programmation
%Cette partie a pour objectif de rappeler quelques éléments concernant l'algorithmique et la programmation. Les exemples développés figurent le plus souvent dans le programme de seconde professionnelle au sein des rubriques \og exemples d'algorithmes et d'activités numériques \fg.
%Un algorithme est une suite finie d'instructions élémentaires qui s'appliquent dans un ordre déterminé à un nombre fini de données dans le but de répondre à une problématique.
%Après avoir présenté l'écriture de certains algorithmes en pseudo-code ou à l'aide d'algorigrammes, quelques éléments sont précisés à l'aide du langage Python, langage interprété retenu dans les programmes de lycée des voies générale, professionnelle et technologique.
%Pseudo-code et algorigramme
%Dans un premier temps, sans faire référence à un langage de programmation, mais tout en respectant certaines conventions, il peut être intéressant de demander aux élèves d'écrire un algorithme en pseudo-code. En effet, l'écriture en pseudo-code permet de développer une démarche structurée en libérant l'esprit de la syntaxe et des spécificités d'un langage de programmation donné.
%Àtitre d'exemple, si l'on souhaite étudier un algorithme qui permet d'afficher les nombres entiers compris entre 1 et 5, voici ce que l'on pourrait écrire en pseudo-code:
%i <- 1 Tantquei 55
%Afficheri
%i <- i + 1 Fin Tant que
%Dans un premier temps, on initialise la variable i à la valeur 1. On utilise une boucle dite non bornée.
%On affiche la valeur de la variable i.
%Puis on incrémente sa valeur de 1.
%Enfin, on indique la fin de la boucle.
%La flèche <- est utilisée pour affecter une valeur à une variable. Elle permet également de mettre en avant le sens de la lecture qui se fait de droite à gauche.
%%%%%%%%



\end{document}