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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small épreuve 1}
\lfoot{\small{CAPPLP externe 30 mars 2025}}
\rfoot{\small{}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPLP Concours externe  Option mathématiques ~\decofourright\\[5pt] 2025 épreuve 1}}


\vspace{0,5cm}

\textbf{ÉPREUVE ÉCRITE DISCIPLINAIRE}

\medskip

\textbf{PARTIE 1 : MATHÉMATIQUES}
\end{center}

\emph{La partie mathématiques est constituée de deux exercices indépendants qui peuvent être traités dans un ordre quelconque.}

\smallskip

\emph{Le premier exercice est un vrai faux avec justification.}

\smallskip

\emph{Le deuxième exercice est constitué de quatre parties.}

\medskip

\textbf{\Large Exercice 1}

\medskip

\emph{Pour chacune des propositions suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.\\
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation dans $\C :\: z^2 - 2\text{i}z - 1 + 8\text{i} = 0$.

\textbf{Proposition :} Cette équation admet deux solutions complexes dont les parties réelles sont opposées ou nulles.
\item On considère un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont trois entiers consécutifs.

\textbf{Proposition :} Le seul triangle rectangle vérifiant cette condition est celui dont les longueurs des côtés sont respectivement 3, 4 et 5.
\item \textbf{Proposition :} Si Julie gagne 20\,\% de moins que Pauline, alors Pauline gagne 20\,\% de plus que Julie.
\item On considère l'équation différentielle 
\[(E) :\quad  y''(t) = y'(t) + 2yt)\]

\textbf{Proposition :} L'unique solution de $(E)$ sur $\R$ telle que $y(0) = y'(0) = 0$ est la fonction nulle.
\item Soit $X$ et $Y$ deux matrices carrées non nulles de même taille à coefficients réels.

\textbf{Proposition :} Si $XY = 0$ alors les matrices $X$ et $Y$ ne sont pas inversibles.
\item Un groupe est constitué de 6 filles et 4 garçons. On forme une équipe de cinq personnes, composée de 3 filles et 2 garçons, extraits de ce groupe.

\textbf{Proposition :} On peut réaliser 120 équipes différentes.

\item On considère la fonction $f : x \longmapsto \sqrt{x^2 + 3x + 2} - x$ définie sur l'intervalle $[-1~;~+\infty[$.

\textbf{Proposition :} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = \dfrac 32$.

\item Une voiture roule à la vitesse uniforme de 90~km.h$^{-1}$ pendant 1~h 12~min, puis à 40~km.h$^{-1}$ pendant une durée inconnue.

Sur l'ensemble du trajet, la vitesse moyenne de cette voiture est égale à 50 km.h$^{-1}$.

\textbf{Proposition :} La durée inconnue est 4~h 48~min.
\item On considère trois suites numériques $(u_n),\: (v_n)$ et $(w_n)$ définies sur $\N$. On suppose qu'il existe un entier naturel $N$ tel que, pour tout $n \geqslant N,\: u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$.

\textbf{Proposition :} Si les suites $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent alors la suite $(v_n)$ converge.
\item L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. On considère le plan $(P)$ d'équation $-2x +3y - 6z - 27 = 0$ et la sphère $(S)$ de centre A$(4~;~-1~;~3)$ et de rayon 8.

\textbf{Proposition :} Le plan $(P)$ est tangent à la sphère $(S)$.
\item Soit $A $et $B$ deux évènements indépendants.

\textbf{Proposition :} Les évènements $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont des événements indépendants.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 2}

\medskip

On considère, pour l'ensemble du problème, les fonctions 

\[f : x \longmapsto \e^{-x}\cos(x)\quad  \text{et}\quad  g :x \longmapsto \e^{-x}\sin(x)\]

définies et dérivables sur $\R$. 

On note $\mathcal{f}$ et $\mathcal{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé \Oij.

\bigskip

\textbf{\large Partie I : Propriétés de la fonction $f$}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que : $\forall n \in \N, \forall x \in \R,\: f(x + 2n)= \e^{-2n}f(x)$.
\item Expliquer comment, à partir du graphe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$, on peut construire le graphe de la fonction $f$ sur tout intervalle $[2n~;~2(n + 1)\pi]$ avec $n$ entier naturel non nul.
\item Montrer que : $\forall x \in \R,\quad |f(x)| \leqslant g(x)$.
\item Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$.
\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$.
\item On appelle point de contact des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ tout point dont l'abscisse $x$ vérifie
\[f(x) = g(x).\]

Déterminer l'ensemble $H$ des points de contact des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
\item On se propose de montrer que les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ont les mêmes tangentes en tous les points de l'ensemble $H$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ en tout point de $H$.
		\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ en tout point de $H$ et conclure.
	\end{enumerate}
\item On s'intéresse à la tangente à la courbe $\mathcal{C}g$ au point d'abscisse 0.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de cette tangente.
		\item Montrer que cette tangente est au-dessous de la courbe $\mathcal{C}_g$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie II : Dérivation}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Justifier que la fonction $f$ est la partie réelle de la fonction $h : x \longmapsto \e^{x(- 1 + \text{i})}$ définie sur $\R$.
\item Pour tout $n$ entier naturel, déterminer la dérivée $n$-ième de la fonction $h$.
\item Soit $n$ un entier naturel. Écrire $(-1 + \text{i})n$ sous forme exponentielle.
\item En déduire que, pour tout $n$ entier naturel, la dérivée $n$-ième de la fonction $f$, notée $f^{(n)}$, est la fonction définie sur $\R$ par :
\[x \longmapsto \sqrt 2 ^n \cos \left(x + \dfrac{3n\pi}{4} \right)\]

\item Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $f^{(n)}(0) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie III : Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que la fonction $F$définie sur $\R$ par $F(x) = \dfrac 12 \e^{-x}(- \cos(x) + \sin (x))$ est une primitive de la fonction $f$.
\item Montrer que :
\[\displaystyle\lim_{A \to + \infty} \displaystyle\int_0^A f(x)\:\text{d}x = \dfrac 12.\]
\end{enumerate}
\medskip

On se propose d'étudier la suite $(u_n)$ définie, pour tout $n$ entier naturel, par : 
\[u_n  = \displaystyle\int_0^{2n\pi} |f(x)|\:\text{d}x\]

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la suite $(u_n)$.
		\item Montrer, en utilisant la question 5. que : $\forall n \in \N,\: u_n \leqslant 1$.
		\item En déduire la convergence de la suite $(u_n)$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que $u_1 = \dfrac 12\left(1 + 2\e^{-\frac{\pi}{2}} + 2\e^{-\frac{3\pi}{2}} - \e^{-2\pi} \right)$.
\item Montrer que :

\[\forall n \in \N,\: u_{n+1} = u_n + \e^{-2n\pi} u_1.\]

\item En déduire que : 

\[\forall n \in \N^*,\: u_n = u_1\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \e^{-2k\pi}.\]

\item Montrer que : 
\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = \dfrac{u_1}{1 - \e^{-2\pi}}.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie IV : Équation différentielle}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer que $f$ est solution d'une équation différentielle linéaire, du second ordre et à coefficients constants, de la forme :

\[(E) : \quad y'' + ay' + by = 0.\]

On donnera les valeurs des nombres $a$ et $b$.
\item Déterminer les conditions initiales $y(0)$ et $y'(0)$ telles que $f$ soit l'unique solution de l'équation différentielle $(E)$.
\item On considère la suite $(v_n)$ définie sur $\N$ par $v_n = f^{(n)}(0)$.

En utilisant les questions \textbf{21.} et \textbf{22.}, montrer que :

\[\forall n \in \N, \quad \left\{\begin{array}{l c l}
v_{n+2}	&=&- 2v_{n+1} - 2v_n\\
v_0		&=&1\\
v_1		&=&- 1
\end{array}\right.\]

\item En déduire la formule explicite de $v_n$ en fonction de $n$.
\item Soit $n$ un entier naturel. Donner le développement limité à l'ordre $n$ en 0 de la fonction $f$.
\item On note $(T_0)$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse $0$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'une équation de $(T_0)$ est :

\[y = - x + 1.\]

		\item Autour du point A, quelle est la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $(T_0)$ ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item Soit un entier naturel non nul $p$. On pose : $h = 10^{-p}$.
	\begin{enumerate}
		\item On souhaite déterminer numériquement le plus grand entier naturel $m$ tel que :

\[\forall x \in [-mh~;~0], \quad  f(x) \leqslant -x + 1.\]

Compléter le programme suivant en précisant ce qu'il faut écrire à la place du mot
TEXTE.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
1 &from math import *\\
2 &p=int( input (" entrer un entier naturel p = "))\\
3 &h =10**( - p)\\
4 &m=0\\
5 &\\
6 &while TEXTE :\\
7 &m=m+1\\
8 &\\
9 &print (-(m -1)* h)\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item Expliquer pourquoi ce programme se termine toujours.
		\item Pour tout entier naturel $n,\: n \geqslant 2$, proposer un programme écrit en langage Python permettant de déterminer numériquement le plus grand entier naturel $\ell$ tel que :

\[\forall x \in  [- \ell h~;~0], \quad f(x) \geqslant P_n(x)\]

où $P_n$ est la partie régulière du développement limité de $f$ à l'ordre $n$ en 0.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}