\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} 
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{ulem}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
%\setlength{\headheight}{13.59999pt}
%\addtolength{\topmargin}{-1.59999pt}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small CAPLP externe}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPLP externe 2004~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

L'usage des calculatrices de poche est autorisé
(conformément aux directives de la circulaire n° 99-186 du 16 novembre 1999).

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème.

Le premier exercice porte sur des calculs d'aires de domaines délimités par une parabole et différentes droites.

Le deuxième exercice, de probabilités, met en oeuvre le calcul matriciel et permet d'étudier l'évolution, à long terme, de l'utilisation de trois marques d'un produit.

Le problème porte sur l'étude d'une fonction dont il faut montrer qu'elle est l'unique solution d'une équation différentielle donnée.

La clarté et la précision des raisonnements, la qualité de la rédaction interviendront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.

\bigskip

\begin{center}\textbf{\Large PREMIER EXERCICE} \end{center}

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct \Oij, on considère la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y = x^2$.

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a < b$. On désigne par $A$ et $B$ les points de la
parabole $\mathcal{P}$ d'abscisses respectives $a$ et $b$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite (AB).
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer en fonction de $a$ et $b$ l'aire $\mathcal{A}_{1}$ du domaine limité par la parabole $\mathcal{P}$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = a$ et la droite d'équation $x = b$.
		\item Exprimer en fonction de $a$ et $b$ l'aire $S$ du domaine limité par la droite $(AB)$ et la
parabole $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate}
\item  Les tangentes à $\mathcal{P}$ en $A$ et $B$ sont respectivement notées $\Delta_{A}$  et $\Delta_{B}$. Elles se coupent en $C$.

Déterminer les coordonnées du point $C$.
\item  Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du triangle $ABC$ (on rappelle que dans une base orthonormée directe
dét$\left(\vect{u},~\vect{v}\right) = \left\|\vect{u}\right\| \left\|\vect{v}\right\| \sin \left(\vect{u},~\vect{v}\right)$).
\item Quelle est la valeur du rapport $\dfrac{A}{S}$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{\Large DEUXIÈME EXERCICE} \end{center}
 
L'objet de cet exercice est l'étude de l'évolution, au cours du temps, de l'utilisation de trois marques de dentifrice pour une population donnée de consommateurs.
 
L'ensemble des couples de réels est noté $\R^2$.
 
Trois marques $X, Y$ et $Z$ d'un dentifrice occupent un secteur de consommation. Chaque mois, les consommateurs de la population étudiée utilisent une et une seule de ces marques.
 
Soit $n$ un entier naturel. Pour un consommateur pris au hasard, on désigne par $X_{n}$ (respectivement $Y_{n}$ et $Z_{n}$) l'événement : « La marque $X$ (respectivement $Y$ et $Z$) est utilisée au cours du $n$-ième mois ».
 
Les probabilités des évènements $X_{n},~ Y_{n}$ et $Z_{n}$
 sont respectivement notées $x_{n},~ y_{n}$ et $z_{n}$.
 
Au cours du mois d'essai ($n = 0$), on a observé les valeurs initiales : $x_{0} = 0,1,~ y_{0} = 0,2$ et $z_{0} = 0,7$.
 
D'autre part, on a pu déterminer par sondage les intentions des consommateurs que l'on supposera constantes :
 
 \setlength\parindent{5mm}
 \begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  la probabilité, pour un consommateur ayant utilisé la marque $X$ au cours du mois $n$, d'adopter la marque $X$ (respectivement $Y$ et $Z$) au cours du mois suivant est 0,4(respectivement 0,3 et 0,3) ;
\item[$\bullet~$] la probabilité, pour un consommateur ayant utilisé la marque $Y$ au cours du mois n,
d'adopter la marque $X$ (respectivement $Y$ et $Z$) au cours du mois suivant est 0,3 (respectivement 0,4 et 0,3) ;
\item[$\bullet~$] la probabilité, pour un consommateur ayant utilisé la marque $Z$ au cours du mois $n$,
d'adopter la marque $X$ (respectivement $Y$ et $Z$) au cours du mois suivant est 0,2 (respectivement 0,1 et 0,7).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  Pour tout entier naturel $n$ :
	\begin{enumerate}
		\item  exprimer  $x_{n+1},~y_{n+1},~z_{n+1}$ en fonction de $x_{n}, y_{n}$ et $z_{n}$.
		\item vérifier que $x_{n} + y_{n} + z_{n} = 1$.
	\end{enumerate}
\item On considère les matrices : $A = \begin{pmatrix}
0,2& 0,1\\
0,2&0,3\\
\end{pmatrix},~U_{n} = \begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}
\end{pmatrix},~ B = \begin{pmatrix}0,2\\0,1
\end{pmatrix}$.

Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_{n+1}= A U_{n}
 + B$.
\item On désigne par $I$ la matrice unité : $I =\begin{pmatrix}
1& 0\\
0&1\\
\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la matrice $I - A$ est inversible.
		\item Déterminer une matrice $C$ telle que $C = A C + B$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $V_{n} = U_{n} - C$.

Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ V_{n} = A^nV_{0}$ .
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble des valeurs propres de la matrice A, ainsi que les sous-espaces propres associés respectivement à chacune des valeurs propres.
		\item Préciser pourquoi $A$ est diagonalisable et déterminer une base C de $\R^2$, constituée de
vecteurs propres de $A$.
		\item Déterminer la matrice $P$ de passage de la base canonique de $\R^2$ à la base C, ainsi que son inverse $P^{-1}$.
		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, l'expression de la matrice $A^n$. Exprimer $x_{n}, y_{n}$ et $z_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item Que conclure de l'utilisation, à long terme, des marques $X,~ Y,~   Z$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{\Large PROBLÈME} \end{center}

\emph{Notations et rappels}

\medskip

L'ensemble des nombres réels est noté $\R$.

La fonction tangente réalise une bijection continue de $\left]- \frac{\pi}{2}~;~\frac{\pi}{2}\right[$ sur $\R$. La bijection réciproque
de cette fonction est notée arctan.

La fonction arctan est dérivable sur $\R$. Sa dérivée est la fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{1+ x^2}$.

Pour tout entier naturel $n$, le développement limité en 0 à l'ordre $n$ de la fonction arctan est :
\[\arctan (x) = x - \dfrac{x^3}{3} + \cdots +   (-1)^n \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1} + o\left(x^{2n+1}\right).\]

\vspace{0,5cm}

\begin{center} \textbf{PARTIE A}\end{center}

Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(x)&=&\dfrac{\arctan(x)}{x} \quad \text{pour}~x \neq 0\\
f(0)&=& 1\\
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction $f$ est paire.
\item  Étudier la limite de $f$ en $+\infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $f$ est dérivable en $0$ et déterminer $f'(0)$.
		\item  Justifier que $f$ est dérivable sur $\R*$ et calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ non nul.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Pour tout réel $x$ positif, on pose $N( x) = x - (1 + x^2) \arctan (x)$.
		
Étudier les variations de la fonction $N$ et préciser son signe sur l'intervalle $[0 ~;~ +\infty[$.
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
 	\end{enumerate}
\item Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal d'unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses et 10~cm sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center} \textbf{PARTIE B} \end{center}

On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
F(x)&=& \dfrac{1}{x}\displaystyle\int_{0}^x f(t)\: \text{d}t~\text{pour}~ x \neq 0\\
F(0)&=&1\\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $F$ est continue sur $\R$ et qu'elle est paire.
\item Montrer que, pour tout réel $x,~ f(x) \leqslant  F(x) \leqslant  1$. (On pourra utiliser la question 4. b. de la
partie A).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Établir que $F$ est dérivable en $0$ et préciser la valeur de $F'(0)$.
		\item Justifier que $F$ est dérivable sur $\R$ et montrer que, pour tout réel $x$ non nul,
		
\[F'(x) = \dfrac{1}{x}[f(x) - F(x)].\]
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $F$ sur $\R$.
		\item Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\int_{0}^x f(t)\: \text{d}t = 0$. En déduire la limite de la fonction $F$ en $+\infty$.
 		\end{enumerate}
\item Tracer la représentation graphique de la fonction $F$ dans le plan rapporté au même repère que celui utilisé pour tracer la représentation graphique de la fonction $f$.
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center} \textbf{PARTIE C} \end{center}

Dans cette partie, on s'intéresse à l'équation différentielle 

\[(\text{E}) : \quad  x^2 y' + xy = \arctan (x).\]

On note $\left(\text{E}_{0}\right)$ l'équation différentielle associée : $x^2 y' + xy = 0$.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On appelle $g$ la fonction définie sur $\R^*$ par

\[\left\{\begin{array}{l c l}
g(x)&=&\dfrac{4}{x}\quad \text{si}~x > 0\\
g(x)&=&- \dfrac{1}{x}\quad \text{si}~x < 0\\
\end{array}\right.\]

La fonction $g$ est-elle solution de $\left(\text{E}_{0}\right)$ sur $\R^*$ ?
		\item  Résoudre l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right)$ sur chacun des intervalles $]-\infty~;~ 0[$  et $]0 ~;~ +\infty[$.
	\end{enumerate}
\item À toute fonction $y$ de classe C$^1$ sur $\R^*$, on associe la fonction $u$ définie pour $x \neq 0$ par
$u(x) = xy(x)$.

Donner une condition nécessaire et suffisante sur la fonction $u$ pour que la fonction $y$ soit solution de l'équation différentielle (E).

\item En déduire, sur chacun des intervalles $]-\infty~;~ 0[$  et $]0 ~;~ +\infty[$, les solutions de l'équation différentielle (E).
\item Montrer que la fonction $F$ définie dans la partie B est l'unique solution sur $\R$ de l'équation différentielle (E).
\end{enumerate}
\end{document}

Éléments de correction de l'épreuve de mathématiques
PREMIER EXERCICE
1. Puisque A et B sont deux points de la parabole P , leur coordonnées sont A(a,a2 ) B(b,b2 ).
M appartient à (AB) si et seulement si : det( AM, AB
uuuur uuur
) = 0 ; ce qui revient ici à : 2 2 2
x a b a
y a b a
- -
- -
=0.
Après simplification on obtient l'équation de (AB) : y=(x-a)(b+a)+a2 .
2.a) P étant située au-dessus de l'axe (x'x), 1 A = 2 b
a
ò x dx=
3 3
3
b -a
.
b) Le domaine délimité par la droite (AB) et la parabole P est l'intérieur du trapèze défini par A, B,
et leurs projections sur l'axe (x'x) , privé du domaine décrit au 2.a). Donc son aire est égale à:
(2 2)( ) (3 3) ( )3 qui aprés simplifications donne:
2 3 6
a+b b-a b-a b-a
- S= .
2. L'équation générale de la tangente en un point A est : y=f '(a)(x-a)+f(a). Ici f(x) =x2
d'où l'équation de : 2 ( ) 2 A D y= a x-a+a qui revient à : y=2ax-a2 ; de même on obtient
l'équation de : 2 2 B D y= bx-b . La résolution du système conduit au coordonnées de
l'intersection C de B et AD D : ( , )
2
Ca b ab +
.
3. La formule rappelée dans l'énoncé, si nous la prenons en valeur absolue, nous permet de calculer
l'aire d'un parallélogramme défini par deux vecteurs u et v
uur r
; en prenant ici les vecteurs
AB et AC
uuur uuur
, et en divisant par deux (puisque c'est l'aire du triangle ABC que nous cherchons)
nous obtenons :
( )3
4
b-a
A = .
4. Compte tenu des résultats des 2.b et 4. Il vient : 3
2
A =
S
.
DEUXIEME EXERCICE
Nous utiliserons la notation P(A/B) pour désigner la probabilité de A sachant B.
1.a) L'énoncé nous indique que : 0 0 0 x=0,1 y=0,1 z=0,1
et
1 1 1
1 1 1
1 1 1
( / ) 0,4 ( / ) 0,3 ( / ) 0,3
( / ) 0,3 ( / ) 0,4 ( / ) 0,3
( / ) 0,2 ( / ) 0,1 ( / ) 0,7
n n n n n n
n n n n n n
n n n n n n
PX X PY X PZ X
PX Y PY Y PZ Y
PX Z PY Z PZ Z
+ + +
+ + +
+ + +
= = = ì
ï = = = í
ï
î = = =
.
La formule des probabilités totales, utilisée ici avec la partition { , , } n n n X Y Z constituée d'événements
de probabilité non nulles, nous donne :
1 1 1 1 1 ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) n n n n n n n n n n n x P X P X X P X P X Y PY P X Z PZ + + + + + = = Ž + Ž + Ž ; idem pour
1 1 et n n y z + + . Ce que nous pouvons résumer matriciellement par :
1
1
1
0,4 0,3 0,2
0,3 0,4 0,1
0,4 0,3 0,7
n n
n n
n n
x x
y y
z z
+
+
+
æ ö æ öæ ö
ç ÷=ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷
ç ÷ ç ÷ç ÷
è ø è øè ø
0
0
0
x 0,1
y 0,2
z 0,7
et
æ ö æ ö
ç ÷=ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
. En tenant compte du fait que { , , } n n n X Y Z est
une partition de l'ensemble des possibilités nous avons bien 1 n n n x +y +z = .
2. Reprenons les résultats du 1. en utilisant que ; il vient 1
1
0,2 0,1 0,2
0,2 0,3 0,1
n n n
n n n
x x y
y x y
+
+
æ ö æ + + ö
=ç÷
ç
+
+
÷
è
ø
è
ø
;
Les matrices introduites dans l'énoncé nous permettent d'écrire: n1 n U AU B += + .
3.a)
0,8 0,1
det( ) 0,54
0,2 0,7
I A
-
- = =
-
; donc la matrice I-A est inversible.
b) C=AC+BÛ(I-A)C=BÛC=(I-A)-1B (cette dernière équivalence est justifiée par le
fait que (I-A) est inversible). Calculons (I-A)-1 à l'aide de la formule :
1 1 transposée de la matrice des cofacteurs de
det( )
M M
M
-= Ž ; il vient :
5
1 0,7 0,1 0,2 18
0,54 0,2 0,8 0,1 2
9
C
æ ö
æ öæ ö ç ÷
= ç ÷ç ÷=ç ÷
è øè ø çç ÷÷
è ø
.
Donc la matrice
5
18
2
9
æ ö
ç ÷
ç ÷
çç ÷÷
è ø
convient comme matrice C.
4. Pour tout n dans ¥ : 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n n n V U C AU B AC B AU C AV + + = - = + - + = - = ;
d'où : 0
n
n V
=AV (on peut si on le veut détailler ce passage en utilisant une démonstration par
récurrence).
5.a) Calculons les valeurs propres de A : det(
0,2 0,1
0,2 0,3
l
l
-
-
) = l2-0,5Žl+0,04 ; les
racines de ce trinômes, donc les valeurs propres sont : 0,1 et 0,4.
Pour trouver le sous-espace propre associé à 0,1 nous devons résoudre le système
(0,2 0,1) 0,1 0
0,2 (0,3 0,1) 0
x y
x y
- + = ì
í
î + - =
; donc le sous-espace propre associé à la valeur propre 0,1 est la droite
vectorielle engendrée par le vecteur 1V (1,-1).
En procédant de même on obtient que le sous-espace propre associé à la valeur propre 0,4 est la
droite vectorielle engendrée par le vecteur 2 V (1, 2) .
b) Rappel d'un théorème: une matrice est diagonalisable si et seulement si chaque sous-espace
propre est de dimension égale à l'ordre de multiplicité de la valeur propres correspondante, en tant que
racine du polynôme caractéristique. Ici c'est bien le cas . Donc A est diagonalisable.
Remarque : nous aurions pu utiliser ici un théorème moins général disant que si une matrice a ses
valeurs propres toutes distinctes alors elle est diagonalisable.
c) Les deux vecteurs V1(1,-1) et 2 V (1, 2) forment une base C de vecteurs propres ; la matrice de
passage P cherchée est alors
1 1
1 2
æ ö
ç- ÷ è ø
. Afin de calculer son inverse utilisons la même formule
qu'au 3.b ; nous obtenons : 1 1 2 1
3 1 1
P- æ -ö
= ç ÷
è ø
.
d)
1 1 1 0,1 0 1 2 0,1 0,4 0,1 0,4 ( )
0 0,4 3 2 0,1 2 0,4 0,1 2 0,4
n n n n n
n n n
n n n n n A PDP- PDP- P P- æ ö æ Ž + - + ö
= = = ç ÷ = ç ÷
è ø è- Ž + Ž - + Ž ø
En tenant compte de 0 0 n n( )
n n U =V+C=AV+C=A U -C +C , nous en déduisons que :
1 ( 6 0,1 3,6 0,4 ) 5 et 1 (6 0,1 7,2 0,4 ) 2 et 1
54 18 54 9
n n n n
n n n n n x= -Ž - Ž + y= Ž - Ž + z= -x-y
6. Puisque 0,1 et 0,4 sont en valeur absolue strictement inférieur à 1 :
lim 5 , lim 2, et lim 1.
n n 18 n n 9 n n 2
x y z
®¥ ®¥ ®¥
= = =
Remarquons que les coefficients de An ont pour limite 0 lorsque n tend vers l'infini ; en reprenant
l'expression de n U du 5.d), on retrouve bien ces résultats.
Conclusion : les proportions des utilisateurs des trois marques tendent à se stabiliser.
PROBLEME
PARTIE A
arctan( ) ( ) si 0
.
(0) 1
fx x x
x
f
ì = ¹ ï
í
ïî =
1. La fonction f est paire, car arctan en tant que fonction réciproque d'une fonction impaire est une
fonction impaire.
2. arctan( )
x 2 x ®+¥
P
ŸŸŸ® ; d'où () 0 x f x ®+¥ ŸŸŸ® .
3.a) Rappelons que pour qu'une fonction soit dérivable en un point, il faut et il suffit qu'elle admette
un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de ce point. Ici :
2
si x 0 ( ) arctan( ) 1 ( 2) 1 ( )
3
fx x x ox ox
x
¹ = = - + = + ; égalité qui se prolonge en 0. D'où f est
bien dérivable en 0, et son nombre dérivé est 0 (coefficient de x dans le développement limité).
Plus directement :
3 3
2 2
si 0: ( ) (0) arctan( ) ( ) ( )
0
x f x f x x x ox x o x
x x x
- - +
¹ = = = +
-
dont la limite
en 0 est 0. D'où f ?(0) existe et vaut 0.
Nous retrouvons d'ailleurs un résultat plus général : une fonction paire dérivable en 0 a sa dérivée en 0
qui est nulle.
b) Pour x ¹ 0 f fest quotient de deux fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas ;
donc f est dérivable et :
2
2 2
'( ) arctan( ) (1 )
(1 )
f x x x x
x x
- Ž +
=
+
.
4.a) N'(x)=1-1-2xarctan(x)£0 sur [0 , +¥[ ; d'où le tableau de variation de N :
x 0 +¥
N'(x)
-
N(x)
0
donc N(x)est négatif sur [0 , +¥[ .
b) Puisque 2 2
'( ) ( )
(1 )
f x N x
x x
=
+
, f '(x) reste négatif sur [0 , +¥ [. Et f décroît de f (0) = 1 à 0 (car
lim ( ) lim 0
x x 2
f x
®+¥ ®+¥ x
P
= =).
c) Représentation graphique de f :
PARTIE B
0
( ) 1 () si 0
(0) 1
x F x f t dt x
x
F
ì = ¹ ï
í
ïî =
ò .
1. F est continue sur R* comme quotient de deux fonctions continues (le numérateur est continu
comme intégrale entre 0 et x d'une fonction continue). Reste à étudier la continuité en 0 :
Nous obtenons le développement limité de
0
( ) x ò f t dt en « intégrant » le développement limité de
f(x) obtenu au 3. (en n'oubliant pas de rajouter la valeur de cette intégrale en 0 ; qui vaut 0 ici ! !).
3
3
0
() 0 ( )
9
òxf t dt= +x-x +o x ; d'où :
2
( ) 1 ( 2)
9
Fx = -x +ox (cette égalité a été démontrée sur
R*, et est vraie aussi en 0); donc F est continue en 0 .
Pour montrer que F est paire montrons que
0
( ) x x®ò f t dt est une fonction impaire :
aidons nous du changement de variable t®-t :
0 0 0
() ( )( 1) ( ) x x x f t dt f u du f u du - - ò =ò - - =-ò qui
est bien l'égalité qu'il nous fallait. Donc F est une fonction paire.
3.a) Soit x positif: puisque f est décroissante sur [0 , x] f(x)£f(t)£1 ; d'où
0
( ) () x xf x£ò f t dt£x et f(x)£F(x)£1. f et F étant paires cette égalité s'étend à R.
Le développement limité de F en 0 à l'ordre 2, (il aurait suffit de l'ordre 1) obtenu au 1. nous assure
que F est dérivable en 0 et que sa dérivée en 0 est nulle (voir le coefficient de x).
b) Sur R* : f étant continue,
0
( ) x x®ò f t dt est dérivable ; et F est dérivable comme quotient de
deux fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas.
De plus 2 0
'( ) 1 ( ) 1 ( ); donc F'(x) 1( ( ) ( )) x F x f tdt f x f x Fx
x x x
= - ò + = - .
c) Nous avons vu au 3.a) que sur R f(x)-F(x)£0 ; donc F est croissante sur R-, et
décroissante sur R+.
d) soit x >1 :
1 1
0 ()
2
x x f t dt dt
t
P
£ò £ò d'après l'étude de f ; D'où :
1
0 ( ) ln( )
2
x f t dt x p
£ò £ . Il en
résulte que :
1
0 () ln( )
2
x f t dt x
x
p
£ò £ . Et puisque limln( ) 0
x
x
®¥ x
= , le théorème des gendarmes nous
assure que
1
lim ( ) 0 x
x
f t dt
®¥
ò = .
4.Représentation graphique de F :
PARTIE C
1.a) Si x > 0 : 2
g'(x) 4
x
= - ; d'où : x2g'(x)+xg(x)=-4+4=0. Nous obtenons le même
résultat si x<0. Donc g est solution de 0 (E ) sur R*.
b) Sur R+* : nous savons que la résolution suivante, que nous employons comme moyen
mnémotechnique, est entachée d'erreurs logiques, mais le cours nous assure que le résultat trouvé est
correct : 2 ' 0 ' 1 ln ln( ) xy xy y y x y
y x x
k
+ = Û =- Û =- +lÛ = ; donc la solution générale
sur R+* est : x k
x
® ou k est un réel quelconque.
Sur R-* le calcul et le résultat sont identiques.
2. Sur R* : y(x) u(x)
x
= ; donc
2 2
2
xy' xy arctan(x) x(xu'(x) u(x)) xu(x) arctan(x) u'(x) arctan(x)
x x x
-
+ = Û + = Û =
Ûu'(x)=f(x) ; pour que y soit solution de (E) sur R* il faut et il suffit que u soit une
primitive de f.
3. Sur R+* : les solutions sont données par
0
( ) () x u x=ò f t dt+a ou a est un réel quelconque ;
donc les solutions de (E) sur R+* sont données par y(x) F(x)
x
a
= + .
De même sur R-*.
4. Les solutions sur R* sont encore de la même forme, mais les constantes arbitraires a et b ne
sont pas nécessairement les mêmes sur R+* et R-*.
Pour qu'une fonction y soit solution sur R, elle doit en plus être continue en 0 ; ce qui l'oblige à avoir
une limite en 0 à droite et à gauche. Sachant que
0
lim ( ) 1
x
F x
®
= , a et b doivent être nuls. Donc F est
la seule solution possible. Vérifions qu'elle l'est :
Nous savons qu'elle l'est sur R* (cf 3.) ; de plus F est dérivable en 0 et F '(0) = 0 et F(0)=1, donc :
02F'(0)+0F(0)=arctan(0) . Et F est bien solution de (E) sur R ; et c'est la seule !
\end{document}