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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\lhead{\small{CAPLP externe 2017}}
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\rfoot{\small }
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~CAPLP Concours externe  et CAFEP 2017 \decofourright\\[7pt]Section : Mathématiques -- Physique--Chimie\\[7pt]
Épreuve écrite sur dossier de mathématiques}}

Durée : 4 heures
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Le sujet est constitué de trois exercices indépendants qui peuvent être traités dans
un ordre quelconque}

\medskip

$\bullet~~$Le premier exercice est un vrai faux avec justification.

$\bullet~~$Le deuxième exercice est un exercice de nature pédagogique.

$\bullet~~$Le troisième exercice est constitué de quatre parties indépendantes

\vspace{0,5cm}

{\large \textbf{Exercice 1}}

\medskip

Préciser si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Toute suite réelle strictement décroissante tend vers $- \infty$.
\item Le tableau suivant donne l'évolution du nombre de clients d'une entreprise pendant
cinq années consécutives.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{3.25cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang de l'année &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline
Nombre de clients &\np{2460} &\np{7035} &\np{15010} &\np{20970} &\np{31010}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

En réalisant un ajustement affine des données et en supposant que la tendance se poursuive,
le nombre de clients estimé l'année de rang 7 dépassera \np{44000}.
\item Dans un club de vacances proposant des activités sportives à ses clients, 100 vacanciers
se répartissent de la façon suivante :

42\,\% sont des femmes et 12 d'entre elles ne pratiquent aucune activité sportive.

D'autre part, 80\,\% des vacanciers pratiquent une activité sportive.

On rencontre au hasard un des $100$ vacanciers de ce club. La probabilité,
sachant qu'il s'agit d'un homme, que ce vacancier pratique une activité sportive
est $0,75$.
\item Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d'achat à ses
clients privilégiés. Chacun d'eux reçoit un bon d'achat sur lequel est inscrit l'un des six
montants suivants en euro : $0$ ; $10$ ; $15$ ; $20$ ; $30$ ; $100$. On admet qu'une valeur approchée
à $10^{-3}$ près de la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à
$30$ euros vaut $0,057$. Dans un des magasins de cette chaîne, sur \np{2000} clients privilégiés,
$6$ ont reçu un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à $30$~euros. Le directeur du
magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition au
hasard des bons d'achat dans les différents magasins de la chaîne.

Ses doutes sont justifiés au risque de 5\,\%.
\item Quand on double le rayon d'une sphère, on double la surface de cette sphère.
\item Soit ABC un triangle rectangle, d'hypoténuse [BC] et soit I le milieu de [BC]. Le point
G défini par

$4\vect{\text{GA}} - \vect{\text{GE}} - \vect{\text{GC}} = \vect{0}$ est le symétrique du point I par rapport au point A.
\item  Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère les points :
A(3~;~1~;~1) et B$(-2~;~1~;~0)$.

L'aire du triangle OAB mesurée en unité d'aire est $\dfrac{\sqrt{30}}{2}$. 
\item La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(0) = 0$ et pour tout réel $x$ non nul par $f(x) = x^3 \sin \frac{1}{x}$ est deux fois dérivable en $0$.
\item Soit $y$ et $z$ deux fonctions dérivables sur $\R$ et à dérivée continue sur $\R$. On note $y'$ et $z'$ leur fonction dérivée. Si $y' = z$ et $z' = y$ et s'il existe $a \in  \R$ tel que $y(a) = z(a)$ alors $y = z$.
\item  La fonction réelle $f$ définie sur $\R^2$ par $f(x~;~y) = x^2 + y^2 + xy + 1$ admet 1 comme minimum global.
\item $\displaystyle\int_1^{\text{e}^{\pi}} \cos (\ln x)\:\text{d}x = - \text{e}^{\pi}$.
\item  Dans le plan, le cercle $\mathcal{C}_1$ d'équation : $x^2 + y^2 - 100 = 0$ et le cercle $\mathcal{C}_2$ d'équation $x^2 + y^ - 24x - 18y + 200 = 0$ sont tangents.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 2}}

\medskip

Cet exercice de type pédagogique est construit autour d'une activité sur la thématique \og Vie
sociale et loisirs : jouer avec le hasard \fg.

Il nécessite les annexes suivantes fournies en fin de sujet :

Annexe 1 : Énoncé initial destiné aux élèves.

Annexe 2 : Copie d'écran du tableur utilisé pour la simulation.

Annexe 3 : Extrait du Bulletin Officiel spécial numéro 2 du 19/02/2009.

Annexe 4/ Document réponse 1: Grille nationale d'évaluation en mathématiques et
sciences physiques et chimiques (à rendre avec la copie).

Annexe 5 : Extrait des ressources pour la classe de baccalauréat professionnel sur la
démarche d'investigation, septembre 2009.

Annexe 6 : Copie d'un élève de première professionnelle.

\smallskip

L'énoncé fourni en annexe 1, inspiré d'un ouvrage, est destiné aux élèves de bac professionnel
des groupements A, B ou C.

\bigskip

\textbf{Partie A : analyser}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À partir des extraits des programmes de seconde, première et terminale (annexe 3),
repérer à quel niveau de formation (seconde, première ou terminale professionnelle)
correspond le mieux l'énoncé de l'annexe 1. Justifier votre réponse en précisant les capacités
et connaissances visées, en citant les éléments de l'énoncé qui y font référence.
\item En utilisant la grille nationale d'évaluation par compétences en mathématiques et
sciences physiques et chimiques de l'annexe 4 / document réponse 1, citer les deux
compétences majoritairement visées par cette activité. Préciser pour chaque compétence
les mots clés de l'énoncé de l'annexe 1 qui justifient votre réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : concevoir}

\medskip

On suppose que vous êtes enseignant en classe de première professionnelle et vous souhaitez
proposer à vos élèves une séance sous la forme d'une démarche d'investigation inspirée
de l'énoncé figurant en annexe 1 dans lequel la problématique a été volontairement effacée.

On suppose également que la salle dans laquelle vous êtes avec vos élèves est dotée de calculatrices, d'ordinateurs, sur lesquels sont installés des logiciels de géométrie dynamique,
des tableurs et des grapheurs, outils numériques que les élèves savent utiliser.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Identifier les pré-requis en mathématiques et en utilisation des TIC nécessaires pour
cette séance.
\item En vous aidant de l'extrait du document ressources présenté en annexe 5, indiquer
une problématique relative à l'énoncé de l'annexe 1, que vous présenteriez aux élèves
pour favoriser la démarche d'investigation.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : réaliser}

\medskip

Vous proposez aux élèves de première professionnelle dont vous avez la charge l'énoncé
dans sa version initiale figurant en annexe 1.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En vous aidant de la copie d'écran proposée en annexe 2 et correspondant au travail
demandé à l'élève en question 4 de l'annexe 1, expliquer ce que chacune des cellules
C2, C32 et C33 permettent de simuler et indiquer quelles formules y ont été saisies.
\item Proposer un corrigé de cet énoncé destiné à des élèves d'une classe de première professionnelle.
\item Identifier deux difficultés ou points de blocage que pourraient rencontrer les élèves
face à cet énoncé. Vous préciserez, pour chaque difficulté identifiée:
	\begin{enumerate}
		\item à quel(s) type(s) de compétence(s) cette difficulté renvoie,
		\item une proposition d'aide pour permettre aux élèves rencontrant cette difficulté de
les surmonter.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D : valider}

\medskip

Vous souhaitez proposer l'énoncé figurant en annexe 1 pour une évaluation des élèves de
première professionnelle dont vous avez la charge.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vous souhaitez insérer deux appels du professeur qui permettront de s'assurer de la
compréhension du problème et d'évaluer le degré de maitrise des capacités expérimentales.
Indiquer, en justifiant vos choix, après quelle question de l'énoncé de l'annexe 1 vous placeriez chacun de ces appels.
\item Préciser ce qui sera évalué lors de chaque entretien avec l'élève.
\item Compléter, sur l'annexe 4 / document réponse 1 à rendre avec la copie, la colonne
"Questions" de la grille nationale d'évaluation en mathématiques et sciences physiques
4 et chimiques avec les numéros des questions de l'énoncé de l'annexe 1. Chacune des
questions de l'énoncé de l'annexe 1 devra être placée dans la grille. Dans le cas où une
question semblerait évaluer plusieurs compétences, elle sera placée face à la compétence
qu'elle permet principalement d'évaluer.
\item Vous trouverez en annexe 6la copie d'un élève de première professionnelle suite à cette
évaluation. Repérer, sur votre copie, les erreurs réalisées et proposer une remédiation
possible lors de la correction.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 3}}

\medskip

On se place dans le plan affine euclidien muni d'un repère orthonormé \Ouv.

Dans tout le problème, la notation $M(x~;~y)$ indique que le point $M$ a pour coordonnées cartésiennes $(x~;~y)$ dans le repère \Ouv.

On considère la fonction $g$ définie de $]0~;~+ \infty[$ dans $\R$ par $g(x) = x - \dfrac{1}{x}$ et on note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de cette fonction dans le repère \Ouv.

\bigskip

\textbf{Partie A : étude d'une courbe paramétrée}

\medskip

On considère, dans le plan, le point $M(t)$ de coordonnées $(x( t)~;~y(t)) = (\cos t~;~- \tan t \sin t)$ et on note $\Gamma$ la courbe décrite par le point $M(t)$ lorsque $t$ décrit l'intervalle $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$.


Ainsi $\Gamma$ est la courbe paramétrée par $\left\{\begin{array}{l c r}
x(t) &=& \cos t\\
y(t) &=& - \tan t \sin t
\end{array}\right., \: t \in \left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$.


\begin{enumerate}
\item Étudier la parité des fonctions $x$ et $y$ de la variable $t$ définies sur $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$. En déduire
qu'il suffit d'étudier la courbe paramétrée pour $t \in  \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$.
\item  Déterminer les fonctions dérivées de $x$ et de $y$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ et dresser le tableau des variations conjointes des fonctions $x$ et $y$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$.
\item  Montrer que la courbe $\Gamma$ admet une asymptote verticale dont on précisera l'équation.
\item  Donner un développement limité à l'ordre 2 au voisinage de $t = 0$ des fonctions $x$ et $y$.
\item  Déterminer un vecteur tangent à la courbe $\Gamma$ au point $M(0)$ de paramètre $t = 0$.
\item  Montrer que la courbe $\Gamma$ est tracée sur la courbe $\mathcal{C}_g$. Aucun tracé n'est attendu dans cette question.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude de quelques propriétés de la fonction } \boldmath $g$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude de la fonction $g$
	\begin{enumerate}
		\item Établir le tableau de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ en précisant les limites aux bornes du domaine considéré.
		\item Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse 1.
		\item Montrer qu'au voisinage de $+ \infty$ la courbe $\mathcal{C}_g$ admet une asymptote oblique dont on donnera une équation réduite dans le repère \Ouv.
		\item Préciser la position de la courbe $\mathcal{C}_g$ par rapport à cette asymptote oblique.
		\item Représenter graphiquement, sur l'annexe 7/ document réponse 2 à rendre avec
la copie, la courbe $\mathcal{C}_g$ et ses asymptotes dans le repère \Ouv.
	\end{enumerate}
\item On considère l'application $s$ qui à tout point $M(x~;~y)$ associe le point $M(X~;~Y)$ tel que
$\left\{\begin{array}{l c l}
X&=&y \\
Y&=&x
\end{array}\right.$.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $D$ la droite d'équation $y = x$. Montrer que si $M(x~;~y)$ est un point du plan
d'image $M'(X~;~Y)$ par l'application $s$, alors la droite $D$ est la médiatrice du segment
$\left[MM'\right]$.
		\item Indiquer la nature de l'application $s$ et préciser son élément caractéristique.
		\item Tracer dans le même repère sur l'annexe 7/ document réponse 2 à rendre avec la
copie la courbe $\mathcal{C}'$ image de la courbe $\mathcal{C}_g$ par l'application $s$.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $g$ réalise une bijection de $]0~;~ +\infty[$ sur $\R$.
		\item Déterminer l'expression de sa bijection réciproque notée $g^{-1}$.
		\item Que représente la courbe $\mathcal{C}'$ tracée précédemment ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : étude de suites}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie de $]0~;~+\infty[$ dans $\R$ par $h(x) = x - \dfrac{1}{2}g(x)$. On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans le repère \Ouv.

On construit par récurrence une suite $\left(u_n\right)_{n\geqslant 0}$ en posant $u_0 = 3$ et pour tout entier naturel $n$,\:
$u_{n+1} = h\left(u_n\right)$.

Dans cette partie, il s'agit d'utiliser plusieurs méthodes pour montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n\geqslant 0}$ est convergente et d'en déterminer la limite.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude préliminaire de $h$
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
		\item Montrer que l'intervalle $[1~;~+\infty[$ est stable par la fonction $h$.
		\item Montrer que, pour tout $x \in [1~;~3],\: 0 \leqslant h'(x) \leqslant  \dfrac{4}{9}$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que tous les termes de cette suite sont bien définis et sont strictement positifs.
\item  Méthode 1
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n\geqslant 0}$ est décroissante.
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)_{n\geqslant 0}$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
		\item Montrer que l vérifie l'équation $h(x) = x$. En déduire la valeur de $\ell$.
	\end{enumerate}
\item  Méthode 2
	\begin{enumerate}
		\item Établir que pour tout $n$ entier naturel, $0 \leqslant u_{n+1} - 1 \leqslant \dfrac{4}{9}\left(u_n - 1\right)$.
		\item En déduire que, pour tout $n$ entier naturel, $0 \leqslant u_n - 1 \leqslant 2 \times \left(\dfrac{4}{9}\right)^n$, puis, que la suite $\left(u_n\right)_{n\geqslant 0}$ converge vers 1.
		\item Résoudre l'inéquation d'inconnue réelle $x$ :\: $2 \times  \left(\dfrac{4}{9}\right)^x \leqslant 10^{-4}$.
		\item En déduire un rang $n_0 \in \N$ tel que pour tout entier $n \geqslant  n_0$,\: $0 \leqslant u_n - 1 \leqslant  10^{-4}$.
	\end{enumerate}
\item  Méthode 3

Soit $\left(w_n\right)_{n\geqslant 0}$ la suite numérique définie pour tout $n \in \N$ par $w_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n + 1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, calculer $w_{n+1}$ en fonction de $w_n$.
		\item Conjecturer puis démontrer l'expression du terme général $w_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression du terme général $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Retrouver la limite de la suite $\left(u_n\right)_{n\geqslant 0}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D : équations différentielles}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle $(E)$ suivante, où l'inconnue $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ :

\[2xy' - y =  x + \dfrac{3}{x} \qquad (E)\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble des solutions définies et dérivables sur $]0~;~+\infty[$ de l'équation
homogène (EH) :
2xy' - y = 0
		\item Montrer que la fonction g définie au début du problème est solution de l'équation
$(E)$.
		\item En déduire l'ensemble des solutions définies et dérivables sur $]0~;~+\infty[$ de l'équation $(E)$.
	\end{enumerate}
\item  On considère l'équation différentielle $\left(E_1\right)$ suivante, où l'inconnue $y$, est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ :
	
\[2x Y'' - 3Y' + \dfrac{3}{x}Y = x +\dfrac{3}{x}\qquad \left(E_1\right)\]

	\begin{enumerate}
		\item Soit $Y$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $]0~;~+\infty[$. Montrer que $Y$ est
solution de $\left(E_1\right)$ si et seulement si la fonction $z$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $z(x) =  Y' (x) - \dfrac{1}{x}Y(x)$ est solution de $(E)$.
		\item Déterminer l'ensemble des solutions définies et deux fois dérivables sur $]0~;~+\infty[$ de l'équation $\left(E_1\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}FIN\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ \large ANNEXE 1}

\textbf{Énoncé initial destiné aux élèves}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Énoncé initial adapté par l'enseignant à partir d'un exercice du livre \og Entrainement au
CCF \fg, Nathan Technique, E.Joubert, S.Labat, A.Lalande}

\medskip

\textbf{Problématique :} \dotfill

\medskip


Un casino est muni d'une roulette aux cinq couleurs (unique en son genre). Les joueurs peuvent parier sur les couleurs suivantes: jaune, bleu, rouge, vert ou noir. Sur la roulette, chaque couleur est représentée de manière égale (forme et aire) et on considère qu'en fonctionnement normal d'utilisation de la roulette, chaque couleur a la même chance de sortir.

Le casino est ouvert 12 heures par jour et chaque heure, la roulette est tournée $30$ fois.

Les effectifs de sortie du \og jaune \fg{} au cours de la journée du 31 décembre 2015 ont été relevés, pour chaque heure lors de l'ouverture du casino dans le tableau ci-dessous:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Heure d'ouverture}&1\up{re} &2\up{e} &3\up{e} &4\up{e} &5\up{e} &6\up{e} &7\up{e} &8\up{e} &9\up{e} &10\up{e} &11\up{e}  &12\up{e}\\ \hline
\textbf{Effectifs de sortie du jaune}&6&11&7 &7 &13 &6 &12 &5 &7 &6 &7 &7\\ \hline 
\textbf{Fréquence \boldmath $f_i$\unboldmath{} de sortie du jaune, arrondie au
centième}&0,20 &0,37 &0,23&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Compléter la ligne du tableau précédent donnant, pour chaque heure d'ouverture du casino du 31
décembre 2015, la fréquence de sortie du jaune, arrondie au centième.
\item Calculer la fréquence de sortie du jaune le 31 décembre 2015 ?
\item Déterminer l'étendue de la série statistique constituée des fréquences d'apparition du jaune à
chaque heure, lors de la journée du 31 décembre.
\item Ouvrir le fichier Casino.xls qui permet de simuler le fonctionnement normal de la roue.
	\begin{enumerate}
		\item Simuler les 30 tours de roulette, pour chacune des 12 heures, en fonctionnement normal de la roulette en utilisant la fonction cliquer-glisser du tableur.
		\item Faire apparaitre en ligne 33 du fichier les fréquences d'apparition du jaune par heure d'ouverture.
		\item Donner une estimation de la fréquence $p$ de sortie du jaune le 31 décembre 2015.
	\end{enumerate}
\item Rappeler le nombre de couleurs représentées sur la roulette ?
\item Combien de chance(s) chaque couleur a-t-elle de sortir ?
\item Déduire la fréquence $p$ de sortie du jaune dans des conditions de fonctionnement normal de la roulette.
\item Calculer la valeur des bornes de l'intervalle de fluctuation $\left[p - \frac{1}{\sqrt{n}}~;~ p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ correspondant aux $n = 30 \times 12$ tours de roulette effectués le 31 décembre 2015.

On arrondira les valeurs demandées au centième.
\item On considère que la roulette a fonctionné normalement le 31 décembre 2015 si la fréquence de sortie du jaune, ce jour-là, est dans l'intervalle de fluctuation. Répondre à la problématique.
\end{enumerate}
\end{document}