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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{CAPLP externe 2015}}
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\thispagestyle{empty}
\rfoot{\small}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~CAPLP Concours externe et CAFEP 2015\decofourright\\[7pt]Section : Mathématiques -- Physique--Chimie\\[7pt]
Épreuve écrite sur dossier de mathématiques}}

Durée : 4 heures
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Le sujet est constitué de trois exercices indépendants qui peuvent être traités dans
un ordre quelconque}

\medskip

$\bullet~~$Le premier exercice est un vrai faux avec justification.

$\bullet~~$Le deuxième exercice est un exercice de nature pédagogique.

$\bullet~~$Le troisième exercice est un exercice d'analyse comportant l'étude d'une fonction, d'une
suite et de la résolution d'une équation différentielle.

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 1}}

\medskip

Préciser si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles dérivables sur  $\R$ qui vérifient $f(x) \leqslant g(x)$ pour tout $x \in \R$ et $f(0) = g(0)$.

On peut affirmer que $f'(0) \leqslant g'(0)$.
\item Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles dérivables sur $\R$ qui vérifient $f(x) \leqslant g(x)$  pour tout $x \in \R$ et $f(0) = g(0)$.

On peut affirmer que $f'(x) \leqslant g'(x)$, pour tout $x \in \R$.
\item Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles dérivables sur $\R$ qui vérifient $f'(x) \leqslant g'(x)$ pour tout $x \in \R\up{+}$ et $f(0) = g(0)$.

On peut affirmer que $f(x) \leqslant g(x)$, pour tout $x \in \R\up{+}$.
\item Dans l'espace rapporté à un repère \Oijk, les vecteurs $\vect{u}(-1~;~2~;~1),$

$ \vect{v}(3~;~2~;~-1)$ et $\vect{w}(5~;~6~;~-1)$ sont coplanaires.
\item L'équation complexe $\dfrac{z - 2\text{i}}{1 - z} = 1 + \text{i}$, d'inconnue $z$, admet pour unique solution $1 + \text{i}$.

On rappelle que i désigne un nombre complexe tel que $\text{i}^2 =- 1$.
\item Une entreprise de sondage réalise une enquête par téléphone. On admet que la probabilité
que la personne contactée accepte de répondre est égale à $0,2$.

Si un enquêteur contacte 50 personnes choisies de manière aléatoire et indépendante, la probabilité qu'au moins cinq personnes acceptent de lui répondre est supérieure à $0,95$.
\item Si $n$ est un entier naturel, on note $I_n = \displaystyle\int_0^{+ \infty} t^n\text{e}^{-t}\:\text{d}t$. 

Pour tout $n$ entier naturel, $I_n$ existe et vaut $n!$.
\item Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa
commercialisation. Chaque jouet produit par l'entreprise est soumis à deux contrôles :

d'une part l'aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu'il ne présente pas de défaut
de finition, d'autre part sa solidité est testée. Il s'avère, à la suite d'un grand nombre
de vérifications que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 92\,\% des jouets sont sans défaut de finition
\item[$\bullet~~$]parmi les  jouets qui sont sans défaut de finition, 95\,\% réussissent le test de solidité
\item[$\bullet~~$]2\,\%des jouets ne setisfont à aucun des deux contrôles.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On prend au hasard le jouet parmi les jouets produits. On note $S$ l'évènement : \og le
jouet réussit le test de solidité \fg. Alors $P(S) = 0,983$.
\item  Dans l'espace rapporté à un  repère orthonormé \Oijk, on considère la sphère $(S)$
d'équation $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ et le plan $(Q)$ passant par le point A$(1~;~-2~;~1)$ et de vecteur
normal $\vect{n}$ de coordonnées $(1~;~1~;~-2)$, La section de la sphère $(S)$ et du plan $(Q)$ est un cercle de rayon $R = \sqrt{\frac{15}{2}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 2}}

\medskip

Cet exercice de type pédagogique est construit autour de l'énoncé d'un problème sur la
thématique \og Développement durable \fg.

\textbf{Il nécessite les annexes suivantes fournies à la fin de sujet :}

\medskip

\textbf{Annexe 1 :} Grille nationale d'évaluation en mathématiques et en sciences physiques et
chimiques (\textbf{cette annexe est à rendre avec la copie})

\textbf{Annexe 2 :} Extrait du Bulletin officiel spécial numéro 2 du 19 février 2009

\medskip

L'énoncé du problème, inspiré d'un ouvrage, est présenté ci-dessous. Il est destiné à des
élèves de terminale professionnelle des groupements A et B.

Dans la suite de l'exercice, cet énoncé sera nommé \og énoncé initial \fg.

\textbf{Le travail demandé au candidat est présenté dans les parties A, B et C ci-dessous.}

\begin{center}
\rput(-5.1,-12){\psline(4.7,12)(-1.1,12)(-1.1,5.3)(14,5.3)(14,12)(7.6,12)} 
\textbf{Énoncé initial}

Pour l'implantation d'un bassin de filtration, une commune dispose d'une parcelle de terrain de forme rectangulaire de longueur 80~m et de largeur 62~m.

\parbox{0.35\linewidth}{Pour des raisons techniques, il est nécessaire
de conserver autour du bassin une surface engazonnée dont les dimensions, mesurées en mètres, sont décrites par le schéma ci-contre. Sur ce schéma, la partie
grisée représente la surface engazonnée.}\hfill
\parbox{0.63\linewidth}{\psset{unit=1.4cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-2)(4,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-3,-1)(3,1.75)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](-2.5,-0.75)(2.5,1.5)
\rput(0,0){Bassin}
\uput[u](0.5,1.75){Vue de dessus}
\psline{<->}(3.1,-1)(3.1,1.75)\psline{<->}(-3,-1.25)(3,-1.25)
\uput[d](0,-1.25){80 m}
\psline{<->}(-2.5,1)(2.5,1)\uput[d](0,1){$L$}
\psline{<->}(-2,-0.75)(-2,1.5)\uput[r](-2,0.375){$l$}
\psline{<->}(0,1.5)(0,1.75)\psline{<->}(0,-1)(0,-0.75)
\uput[r](0,1.65){\small$x$}\uput[r](0,-0.875){\footnotesize$x$}
\psline{<->}(-3,0)(-2.5,0)\uput[u](-2.75,0){\scriptsize$15 - x$}
\psline{<->}(2.5,0)(3,0)\uput[u](2.75,0){\scriptsize$15 - x$}
\rput{90}(3.3,0.5){\footnotesize 62 m}
\end{pspicture}
}
\end{center}

Les distances entre le bord du bassin et le bord extérieur de la surface engazonnée doivent être supérieures ou égales à  2~m. Pour satisfaire les besoins de la commune, la surface requise pour le bassin doit dépasser \np{3000}~m$^2$.

\medskip \smallskip

Après avoir vérifié qu'il est possible d'implanter le bassin de filtration sur la parcelle de
terrain, déterminer les dimensions de ce bassin pour que la  surface du  bassin de filtration
ait une aire maximale.
%\end{center}

\medskip

{\large\textbf{Partie A : première problématique pour le candidat}}

\medskip

Vous êtes enseignent \textbf{en classe de seconde professionnelle} et vous souhaitez faire résoudre par vos élèves le problème d'implantation du bassin d'aire maximale, à l'aide des outils numériques. Vous avez distribué \og l'énoncé initial \fg{} à vos élèves.

La salle dans laquelle vous êtes avec vos élèves de seconde est dotée de calculatrices et d'ordinateurs sur lesquels sont installés des logiciels de géométrie dynamique, des tableurs et
des grapheurs, \textbf{outils numériques que les élèves savent déjà utiliser}.

Vous avez préparé pour cette séance un fichier à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.

La figure ci-dessous est une copie d'écran de ce logiciel.

\begin{center}
\psset{unit=1.4cm,arrowsize=2pt 2}
\begin{pspicture}(-4,-2.5)(5,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-3,-1)(3,1.75)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](-2.5,-0.75)(2.5,1.5)
\rput(0,0){Aire du bassin $\approx \np{2947,21}$~m$^2$}
\psline{<->}(3.1,-1)(3.1,1.75)\psline{<->}(-3,-1.25)(3,-1.25)
\uput[d](0,-1.25){80 m}
\psline{<->}(0,1.5)(0,1.75)\psline{<->}(0,-1)(0,-0.75)
\uput[r](0,1.65){\small$x$}\uput[r](0,-0.875){\footnotesize$x$}
\psline{<->}(-3,0)(-2.5,0)\uput[u](-2.75,0){\scriptsize$15 - x$}
\psline{<->}(2.5,0)(3,0)\uput[u](2.75,0){\scriptsize$15 - x$}
\rput{90}(3.3,0.5){\footnotesize 62 m}
\uput[u](0.5,-2.4){\emph{Copie d'écran du fichier de géométrie dynamique}}
\psline(2,2.15)(2.6,2.15)\psdots(2.15,2.15)\uput[u](2.3,2.15){X}
\uput[d](2.4,2.15){\footnotesize 1,3}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item En prenant en compte toutes les contraintes de l'énoncé initial, indiquez quelles sont
les valeurs minimale et maximale pour le curseur nommé X dans ce fichier. Justifiez
votre réponse.
\item Vous envisagez un scénario de classe utilisant ce fichier et permettant aux élèves de
trouver expérimentalement une solution au problème posé par 

\og l'énoncé initial \fg.

Ce scénario comprendra au moins les trois phases suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] une phase d'appropriation du problème par les élèves,
\item[$\bullet~~$] une phase d'expérimentation,
\item[$\bullet~~$] une phase de synthèse.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour chacune de ces trois phases, indiquez les consignes que vous donneriez aux
élèves.
\end{enumerate}

{\large\textbf{Partie B : deuxième problématique pour le candidat}}

\medskip

Vous êtes enseignant en classe de première professionnelle et vous souhaitez vous inspirer
de l'énoncé initial pour concevoir une activité.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Élaborer une série de questions conduisant les élèves à montrer que le problème posé
revient à déterminer le maximum sur l'intervalle [2~;~13] de la fonction $f$ à valeurs
réelles définie par

\[f(x) = - 4x^2 + 24x  + \np{3100}\]

sous la contrainte $f'(x) > \np{3000}$.
\item Décrire les différentes étapes de l'utilisation d'un outil numérique dé votre choix (calculatrice,
logiciel de géométrie dynamique ou tableur), qui permettraient à un élève de
première professionnelle de conjecturer la valeur du maximum de la fonction $f$.
\item Démontrer en utilisant uniquement des connaissances et capacités du programme de
première professionnelle que \np{3136} est le maximum de $f$ sur l'intervalle [2~;~13] puis
répondre à la question posée par l'énoncé initial.
\end{enumerate}

{\large \textbf{Partie C : troisième problématique pour le candidat}}

\medskip

Vous êtes enseignant \textbf{en classe de terminale professionnelle} et vous souhaitez vous inspirer de l'énoncé pour construire une évaluation.

Cette évaluation est destinée à un   groupe classe de 15 élèves de terminale professionnelle
(groupements  A et B), pour une  durée de 50 minutes, et nécessitera l'utilisation des TIC.

\vspace{0,5cm}

{\large \textbf{Questions pour le candidat :}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À partir de l'énoncé initial, construisez une évaluation en respectant impérativement
les quatre contraintes suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item élaborez une série de questions (numérotées) conduisant l'élève à résoudre le problème
en utilisant la notion de dérivée. Il conviendra notamment :
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] de proposer une entrée graduelle pour le traitement du problème, avec une
(ou des) première(s) question(s) qui évalue(nt) la compréhension de l'énoncé
et des enjeux posés par la problématique relative à l'aire du bassin ;
\item[$\bullet~~$] d'organiser les questions de façon  cohérente ;
\item[$\bullet~~$] de proposer une activité adaptée au niveau visé et qui soit réalisable en 50
minutes par un élève de terminale professionnelle;
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

		\item toutes les compétences de la grille nationale d'évaluation en mathématiques et en
sciences physiques et chimiques devront être abordées dans l'évaluation proposée ;
		\item cette évaluation comprendra également une partie expérimentale mettant en oeuvre
les capacités liées à l'utilisation des TIC ;
		\item cette évaluation comprendre \textbf{au moins un appel} du professeur qui lui permettra
de s'assurer de la compréhension du problème, et/ou d'évaluer le degré de
maîtrise des capacités expérimentales.
	\end{enumerate}
\item Indiquez et justifiez \textbf{la place de cet (de ces) appel(s)} dans l'évaluation proposée à la
question précédente, ainsi que ce qui sera évalué lors de chaque entretien avec l'élève.
\item Précisez la (ou les) tâche(s) expérimentale(s) proposée(s) aux élèves (actions à effectuer
par les élèves et productions attendues).
\item Complétez sur la grille donnée en \textbf{annexe 1, à rendre complétée avec la copie} :
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]la liste des capacités, connaissances et attitudes évaluées en vous aidant des extraits du programme de terminale professionnelle fournis en annexe 2 ;
\item[$\bullet~~$]la colonne \og question \fg{} dans laquelle seront listés les numéros des questions en face des compétences évaluées.
\end{itemize}
\item Rédigez un corrigé de la série de questions que vous  avez élaborées à la question 1. a.
de cette partie C. Ce corrigé est destiné à \textbf{des élèves de terminale profesionnelle}.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

{\large \textbf{Exercice 3}}

\medskip

Cet exercice est construit autour de la fonction $f$ à variable réelle définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(0) &=& 0\\
f(x) &=& \dfrac{x}{\ln x}\quad \text{si}\: x \in I\: \backslash \{0\}\: \text{où}\: I\:\text{est un sous-ensemble de}\: \R
\end{array}\right.\]

\medskip

{\large \textbf{Partie A : étude d'une fonction}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le plus grand sous-ensemble 1 de R SlU lequel $f$ est définie.
\item Montrer que $f$ est continue  en $0$, dérivable en $0$ et déterminer $f'(0)$.
\item Justifier que $f$ est une fonction à dérivée continue sur $[0~;~1[$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$ après avoir déterminé les limites eux bornes de
son ensemble de définition.
\item Montrer que pour tout réel $x \geqslant \text{e}$, on a  $0 \leqslant  f'(x) \leqslant \dfrac{1}{4}$.
\item En déduire que pour tout réel $x \geqslant \text{e}$, on a  $0 \leqslant - \text{e} \leqslant \dfrac{1}{4}(x - \text{e})$.
\end{enumerate}

{\large \textbf{Partie B : étude d'une suite}}

\medskip

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_0 = 3$ et $v_{n+1} = \dfrac{v_n}{\ln \left(v_n \right)}$ pour tout $n$ entier naturel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est bien définie et que pour tout $n$ entier naturel, $v_n \geqslant \text{e}$.
\item Justifier que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite convergente.
\item~

\begin{minipage}{0.67\linewidth}La copie d'écran d'un tableur reproduite ci-contre donne les
valeurs approchées des premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$.

Quelle formule a-t-on saisie en cellule B3 avant recopie vers
le bas pour l'afficher ces valeurs ?
\end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.31\linewidth}
\begin{tabular}{|c|c|l|}\hline
&A&B\\ \hline
1&$n$&$v_n$\\ \hline
2&0&\np{3,00000}\\ \hline
3&1&\np{2,73072}\\ \hline
4&2&\np{2,71831}\\ \hline
5&3&\np{2,71828}\\ \hline
6&4&\np{2,71828}\\ \hline
7&5&\np{2,71828}\\ \hline
8&6&\np{2,71828}\\ \hline
9&7&\np{2,71828}\\ \hline
10&8&\np{2,71828}\\ \hline
11&&\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\item Montrer que, pour tout $n$ entier naturel, 

$\left|v_n - \text{e}\right| \leqslant \dfrac{1}{4^n} \times |3 -  \text{e}| \leqslant  \dfrac{1}{4^n}$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.
\item Résoudre l'inéquation d'inconnue $n,\quad \dfrac{1}{4^n}  \leqslant 10^{- 2}$, où $n$ est un nombre entier naturel.
\item En utilisant l'étude faite dans cette partie B, écrire un algorithme en langage naturel
qui permet de déterminer une valeur approchée de e à $10^{-12}$ près.
\end{enumerate}

{\large \textbf{Partie C: équations différentielles}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle $\left(E_1\right)$ d'inconnue $y$ :

\[x^2y' + xy = 1 \hfill \left(E_1\right)\]

	\begin{enumerate}
	\item Résoudre sur $]0~;~+ \infty[$ l'équation sans second membre associée à $\left(E_1\right)$.
	\item  Chercher une solution particulière $y_0$ de $\left(E_1\right)$ sur  $]0~;~+ \infty[$ sous la forme :
	
$y_0(x) = \dfrac{g(x)}{x}$ où $g$ est une fonction dérivable sur $]0~;~+ \infty[$.
	\item Résoudre $\left(E_1\right)$  sur $]0~;~+ \infty[$.
	\item Montrer que les solutions de $\left(E_1\right)$  sur $]0~;~+ \infty[$  s'écrivent sous la forme $x \longmapsto \dfrac{\ln (ax)}{x}$  avec $a$ réel strictement positif.
	\item  Montrer que les solutions de $\left(E_1\right)$  définies sur l'intervalle $J = ]1~;~+ \infty[$  qui ne s'annulent pas  sur $J$ sont de la forme $x \longmapsto \dfrac{\ln (ax)}{x}$ avec $a \geqslant 1$.
	\end{enumerate}
\item  Soit $\left(E_2\right)$ l'équation différentielle d'inconnue $z$ :

\[- x^2 z' + xz = z^2,\quad x \in J \hfill \left(E_2\right)\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que \og  $z$ est une solution de $\left(E_2\right)$ qui ne s'annule pas sur $J$\fg{}  est équivalent à \og $y = \dfrac{1}{z}$ est une solution de $\left(E_1\right)$ qui ne s'annule pas sur $J$\fg.
		\item En déduire les solutions de $\left(E_2\right)$ définies sur $J$ qui ne s'annulent pas sur  cet intervalle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

%%%%%%%%%%%   ANNEXES épreuve 2
\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE 1}}

\medskip

Grille nationale d' évaluation en mathématiques et en sciences physiques et chimiques

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
GRILLE NATIONALE D'ÉVALUATION\\
EN MATHÉMATIQUES ET\\
EN SCIENCES PHYSIQUES ET CHIMIQUES\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Liste des capacités, connaissances  et attitudes évaluées

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Capacités&\\ \hline
Connaissances&\\ \hline
Attitudes&\\ \hline
\end{tabularx}

\item  Évaluation\footnote{Des appels permettent de s'assurer de la compréhension du problème et d'évaluer le degré de maîtrise de capacités expérimentales et la communication orale. Il y en a au maximum 2 en mathématiques et 3 en sciences physiques et chimiques.

En mathématiques : l'évaluation des capacités expérimentales - émettre une conjecture, expérimenter, simuler, contrôler la vraisemblance d'une conjecture - se fait à travers la réalisation de tâches nécessitant l'utilisation des TIC (logiciel avec ordinateur ou calculatrice). Si cette évaluation est réalisée en seconde, première ou terminale professionnelle, 3 points sur 10 y sont consacrés.}

\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|>{\footnotesize}m{4cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Compétences\footnote{L'ordre de présentation ne correspond pas à un ordre de mobilisation des compétences. La compétence \og être autonome, faire preuve d'initiative  \fg{} est prise en compte au travers de l'ensemble des travaux réalisés. les appels sont des moments privilégiés pour en apprécier le degré d'acquisition.}	& Capacités&\footnotesize Questions&\footnotesize Appréciation du niveau d'acquisition\footnote{Le professeur peut utiliser toute forme d'annotation lui permettant d'évaluer l'élève (le candidat) par compétences.}\\ \hline
S'approprier	&Rechercher, extraire et organiser l'information&	&\\ \hline
Analyser Raisonner&Émettre une conjecture, une hypothèse.

Proposer une méthode de résolution,un protocole expérimental&	&\\ \hline
Réaliser	&Choisir une méthode de résolution, un protocole expérimental

Exécuter une méthode de résolution, expérimenter, simuler&	&\\ \hline
Valider	&Contrôler la vraisemblance d'une conjecture, d'une hypothèse.

Critiquer un résultat, argumenter.&	&\\ \hline
Communiquer	&Rendre compte d'une démarche, d'un résultat, à l'oral ou à l'écrit.&&
/10\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 2 page 1}

\bigskip

\textbf{Extrait du Bulletin officiel spécial numéro 2 du 19 février 2009}

\end{center}

\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

{\large \textbf{Extraits du préambule commun}

\bigskip

\textbf{Privilégier une démarche d'investigation}

\medskip

Cette  démarche initiée au collège, s'appuie sur un questionnement des élèves relatif au monde réel.

Elle permet la construction de connaissances et de capacité à partir de situations problèmes motivantes et proches de la réalité pour conduire l'élève à :

\setlength\parindent{4mm}
\begin{itemize}
\item définir l'objet de son étude ;
\item rechercher, extraire et organiser l'information utile (écrite orale, observable) ;
\item inventoriez les paramètres et formuler des hypothèses ou des conjectures ;
\item proposer et réaliser un protocole expérimental permettant de valider ces hypothèses ou de les infirmer (manipulations,  mesures,  calculs) ;
\item choisir un mode de saisie et d'exploitation des données  recueillies lors d'une expérimentation ;
\item élaborer et utiliser un modèle théorique ;
\item énoncer une propriété et en estimer les limites
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{S'appuyer sur l'expérimentation}

\medskip

Le travail expérimental en mathématiques s'appuie sur des calculs numériques, sur des représentations ou des figures. Il permet d'émettre des conjectures en utilisant les TIC.

Le travail expérimental en sciences physiques et chimiques permet en particulier aux élèves  :


\setlength\parindent{4mm}
\begin{itemize}
\item d'exécuter un protocole expérimental en respectant et/ou en définissant les règles élémentaires de sécurité ;
\item de réaliser un montage à partir d'un schéma ou  d'un document technique ;
\item d'utiliser des appareils de mesure et d'acquisition de données ;
\item de rendre compte des observations d'un  phénomène, de mesures ;
\item d'exploiter et d'interpréter les informations obtenues à partir de l'observation d'une expérience réalisée ou d'un document technique
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{Intégrer les TIC dans les  apprentissages}

\medskip

L'outil informatique (ordinateurs et calculatrice) doit être utilisé pour développer des compétences en mathématiques et en sciences physiques et chimiques.

L'objectif n'est pas de développer des compétences d'utilisation de logiciels mais d'utiliser ces outils afin de favoriser la réflexion des élèves, l'expérimentation et l'émission de conjectures.

L'utilisation d'un tableur, d'un grapheur, d'un logiciel de géométrie dynamique ou d'une calculatrice graphique facilite l'apprentissage des concepts et la résolution des problèmes.

L'utilisation de l'expérimentation assistée par ordinateur est privilégiée dès que celle-ci facilite la manipulation envisagée et son exploitation (étude de phénomènes transitoires, mise en évidence des facteurs influents sur le phénomène observé, exploitation d'une série de mesures conduisant à une modélisation, etc.) 

Dans ce contexte l'enseignement des mathématiques et des sciences physiques et chimiques participe à la maîtrise des technologies usuelles de l'information et de la communication. Il contribue ainsi à la validation du B2i.

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\begin{center}

{\large \textbf{Annexe 2 -- Page 2}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Classe de seconde professionnelle}

\medskip

\textbf{2.3  Notion de fonction}

À partir de situations issues des autres disciplines ou de la vie courante ou professionnelle, l'objectif de ce module est de donner quelques connaissances et propriétés relatives à la notion la fonction.

\bigskip
{\footnotesize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{8cm}|X|X|}\hline
Capacités&Connaissances&Commentaires\\ \hline
Utiliser une calculatrice ou un tableur grapheur pour obtenir sur un intervalle :

\begin{itemize}
\item l'image d'un nombre réel par une fonction donnée (valeur exacte au arrondie) ;
\item un tableau de valeurs d'une fonction donnée (valeurs exactes ou arrondies) ;
\item la représentation graphique d'une fonction donnée
\end{itemize}

Exploiter une représentation graphique d'une fonction sur un intervalle donné pour obtenir :

\begin{itemize}
\item l'image d'un nombre réel par une fonction donnée ;
\item  un tableau de valeurs d'une fonction donnée.
\end{itemize}

Décrire les variations d'une fonction avec à vocabulaire adapté ou un tableau de variation.&\vspace*{-2.cm} Vocabulaire élémentaire sur les fonctions :

\begin{itemize}
\item image ;
\item  antécédents ;
\item  croissance,  décroissance ;
\item  maximum, minimum
\end{itemize}&\vspace*{-2.cm}
L'intervalle d'étude de chaque fonction étudiée et donné.

Le vocabulaire est utilisé en situation sans introduire de définitions formelles.

\vspace{2cm}

La fonction est donnée par une représentation graphique.\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{3.2 Géométrie et nombres}

\medskip

Les objectifs de ce module sont d'appliquer
quelques théorèmes et propriétés vu au collège et d'utiliser les formules d'aires  et de volumes. Les théorèmes et formules de géométrie permettent d'utiliser les quotients, les racines carrées, les valeurs exactes, les valeurs arrondies en situation. Leur utilisation est justifiée par le le calcul d'une longueur d'une air volume capacité connaissance commentaire utiliser les théorèmes et les formules pour calculer, d'une aire, d'un volume.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|m{5cm}|}\hline
Capacités&Connaissances&Commentaires\\ \hline
Utiliser les théorèmes et les formules pour :

\begin{itemize}
\item calculer la longueur d'un segment, d'un cercle ;
\item calculer la mesure en degré d'un angle ;
\item calculer l'aire d'une surface ;
\item calculer le volume d'un solide ;
\item déterminer les effets d'un agrandissement ou  d'une réduction sur les longueurs les aires et les volumes.
\end{itemize}
& Sommes des mesures en degrés des angles d'un triangle.

Formule  donnant la longueur d'un cercle à partir de celle de son rayon.

Le théorème de Pythagore. Le théorème de Thalès dans le triangle.

Formule de l'aire d'un triangle, d'un carré, d'un rectangle, d'un disque.

Formule du volume d'un cube, d'un parallélépipède  rectangle.& La connaissance des formules du volume d'une pyramide, d'un  cône, d'un cylindre, d'une sphère n'est pas exigible.

Les relations trigonométriques dans le triangle rectangle sont utilisées en situation si le secteur professionnel le justifie.\\ \hline
\end{tabularx}}

\newpage

\begin{center}

{\large \textbf{Annexe 2 -- Page 3}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Classe de première professionnelle}

\medskip

Le programme de première professionnelle ce composé se compose d'un tronc  commun (TC)  et d'une partie spécifique (SPE) dont les contenus mathématiques sont indiqués dans le tableau suivant :

\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{7cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&Intitulé					&Grpt A	&Grpt B	& Grpt C\\ \hline
						&Statistique à une variable	&		&		&\\ \cline{2-5}
						&Fluctuation d'une fréquence selon les échantillons, probabilités&&&\\ \cline{2-5}
TC						& Suites numériques 1		&		&		&\\ \cline{2-5}
						&Fonctions de la forme $f + g$ et $kf$&		&	&\\ \cline{2-5}
						&Du premier au second degré	&		&		&\\ \cline{2-5}
						&Approcher une courbe avec des droites	&	&		&\\ \hline
\multirow{2}{*}{SPE}		& Vecteurs 1				&		&		&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}\\ \cline{2-5}
						& Trigonométrie 1			&		&		&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{2. 3. Du premier au second degré (groupements A,  B et C)}

\medskip

L'objectif ce module est d'étudier et d'exploiter des fonctions  du second degré et de résoudre des  équations  du second degré pour traiter certains problèmes issus de la géométrie, d'autres disciplines de la vie courante ou professionnelle.

\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|m{5cm}|}\hline
Capacités&Connaissances&Commentaires\\ \hline
Utiliser les TIC pour compléter un tableau de valeurs, représenter graphiquement, estimer le maximum ou le minimum d'une fonction polynôme du second degré et conjecturer son sens de variation sur un intervalle.&Expression algébrique, nature et  allure de la courbe représentative de la fonction 

$f \:: x \longmapsto ax^2 + bx + c$ ($a$  réel non nul, $b$ et $c$  réels) en fonction du signe de $a$.&\\ \hline
\vspace*{-3.3cm}Résoudre algébriquement et graphiquement avec ou sans TIC,  une équation du second degré à une inconnue à coefficients numériques fixés. 

Déterminer le signe du polynôme $ax^2 + bx + c$ ($a$ réel non nul, $b$ et $c$   réels).&
\vspace*{-3cm}Résolution  d'une équation du second degré à  une inconnue à coefficients numériques fixés.&
Dans les énoncés de problèmes ou exercices les formules sont à choisir dans un formulaire spécifique de donné en annexe.

Former les élèves à la pratique d'une démarche de résolution de problèmes.

La résolution de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ et la connaissance de l'allure de la courbe d'équation $y = ax^2 + bx + c$ permettent  de conclure sur le signe du polynôme.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\begin{center}

{\large \textbf{Annexe 2 -- Page 3}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Classe de terminale professionnelle}

\medskip

Le programme de terminale professionnelle se compose d'un  tronc commun (PC) et d'une partie spécifique (SPE) dont les contenus mathématiques sont indiqués dans le tableau suivant :

\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{7cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&Intitulé					&Grpt A	&Grpt B	& Grpt C\\ \hline
\multirow{3}{*}{TC}& Statistiques à deux variables.&&&\\ 
&Probabilités&&&\\\cline{2-5}
&Suites numériques 2&&&\\\cline{2-5}
&Fonction dérivée et étude des variations d'une fonction&&&\\\hline
\multirow{5}{*}{SPE}& Fonctions exponentielles et logarithme décimal&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&\\\cline{2-5}
&Fonctions logarithmes et exponentielles&&&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}\\\cline{2-5}
&Géométrie dans le plan et dans l'espace :  consolidation&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}\\\cline{2-5}
&Vecteurs 2&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}\\\cline{2-5}
&Trigonométrie 2&&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{2. 2 Fonction dérivée et étude des variations d'une fonction (groupements A, B et C)}

\medskip

\begin{center}
{\footnotesize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|m{8cm}|}\hline
Capacités&Connaissances&Commentaires\\ \hline
Utiliser les formules et les règles de dérivation pour déterminer la dérivée d'une fonction& Fonction dérivée d'une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

Fonctions dérivées des fonctions de référence  :

$x \longmapsto ax + b$ ($a$ et $b$ réels),

$x \longmapsto x^2$, 

$x \longmapsto \dfrac{1}{x}$, 

$x \longmapsto \sqrt{x}$ et $x \longmapsto x^3$.

Notation $f'(x)$.

Dérivée du produit, d'une fonction par une constante, de la somme de deux fonctions.& Étant donnée une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$, la fonction qui à tout nombre $x$ de $I$ associe le nombre dérivé de la fonction $f$ en $x$ est appelée fonction dérivée de la fonction $f$ sur $I$ et est notée $f'$.

Dans les énoncés de problème ou d'exercices, les formules admises sont à choisir dans un formulaire spécifique donné en annexe.

Appliquer ces formules à des exemples ne nécessitant aucune virtuosité de calcul.

Les formules seront progressivement mises en œuvre pour déterminer les dérivées de fonctions polynômes de degrés inférieurs ou égal à 3.\\ \hline
Étudier sur un intervalle donné, la variation d'une fonction à partir du calcul et de l'étude du signe de sa dérivée. Dresser son tableau de variation. Déterminer un extremum  d'une fonction sur un intervalle donné à partir de son sens de variation.& Théorème liant, sur un intervalle,  le signe de la dérivée d'une fonction au sens de variation de cette fonction.& Les théorèmes liants le sens de variation d'une fonction et le signe de sa dérivée seront admis.

Le tableau de variations est un outil d'analyse, de réflexion voire de preuve.

Constater à l'aide de la fonction cube, que le seul fait que sa dérivée s'annule ne  suffit pas pour conclure qu'une fonction possède un extremum.\\ \hline
\end{tabularx}}
\end{center}
\end{document}