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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\rfoot{\small}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~CAPLP externe 2014 et CAFEP \decofourright\\[7pt]}}

Durée : 5 heures
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{Le sujet est constitué de trois exercices indépendants.\\
Le premier exercice est un test vrai-faux avec justification.\\
Le second exercice présente une application des probabilités à la génétique afin d'étudier la descendance par autofécondation d'une plante hétérozygote.\\
Le troisième exercice présente une étude partielle du problème de Bâle consistant à justifier l'existence, puis à indiquer une méthode de calcul de la somme:}

\[\displaystyle\sum_{n\geqslant 1} \dfrac{1}{n^2}.\]

Dans toute la suite, $\R$ désigne l'ensemble des nombres réels, $\C$ l'ensemble des nombres complexes et $\mathcal{M}_{3}(\R)$ désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels.

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

\textbf{Préciser si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse. Chaque réponse devra obligatoirement être justifiée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'espace est rapporté à un repère orthonormé.

Soient $P$ le plan d'équation $2x - 2y + z - 1 = 0$ et $D$ la droite passant par les points A$(0~;~0~;~-1)$ et B$(-2~;~2~;~-2)$.

La droite $D$ est parallèle au plan $P$.
\item Il existe au moins un entier relatif $k$ tel que $\left(\sqrt{3}\text{i} - 1\right)^k$ soit un nombre imaginaire pur.
\item Pour tout réel $x,\: \text{e}^x \geqslant  \text{e}x$. 
\item Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[,\: a$ et $b$ deux réels positifs tels que $a < b$.

Si pour tout réel positif $x,\: f'(x) \leqslant g'(x)$, alors $f(b) - g(b) \leqslant  f(a) - g(a)$.
\item Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite telle que, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} - u_{n} > 0,1$.

La suite $\left(u_{n}\right)$ tend vers $+ \infty$.
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) = \displaystyle\int_{1}^x \text{e}^{- t^2}\: \text{d}t$.

La fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\begin{center}\textbf{Introduction}\end{center}

Pour un gène donné, une plante possède toujours deux allèles.

Dans les cas les plus simples, chaque allèle est noté \textbf{A} ou \textbf{a}.

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{itemize}
\item Une plante est \textbf{homozygote} lorsqu'elle contient les deux mêmes allèles : elle est alors de génotype \textbf{AA} ou \textbf{aa}.
Une plante est \textbf{hétérozygote} lorsqu'elle contient deux allèles différents: elle est alors de génotype \textbf{Aa} ou \textbf{aA}.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Chaque plante reçoit au hasard et de manière indépendante un allèle de chacun de ses parents.
 
Cependant, certaines plantes comme le lupin, se reproduisent par autofécondation : tout se passe pour la descendance comme si on fécondait deux plantes de même génotype, chaque allèle étant sélectionné au hasard.
 
Par exemple, une plante homozygote de génotype \textbf{AA} donne par autofécondation uniquement des descendants de génotype \textbf{AA}.
 
L'objectif de ce problème est l'étude de la descendance par autofécondation d'une plante hétérozygote.
 
Les parties I et II peuvent être traitées de façon indépendante.
 
\begin{center}\textbf{Partie 1}\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités qu'après autofécondation, la descendance de première génération d'une plante de génotype \textbf{Aa} soit : 
	\begin{enumerate}
		\item une plante de génotype \textbf{AA}
		\item une plante de génotype \textbf{aa}
		\item une plante hétérozygote.
	\end{enumerate}
\item On simule la première descendance par autofécondation d'une plante hétérozygote par l'algorithme suivant (les lignes 32, 33 et 34 sont incomplètes) :

\begin{tabular}{l l}
1&VARIABLES\\ 
2& $n$ EST DU TYPE NOMBRE\\
3& freq1 EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
4& freq2 EST\_DU \_TYPE NOMBRE\\
5& freq3 EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
6& $i$ EST DU TYPE NOMBRE \\
7& $x$ EST DU TYPE NOMBRE\\
8& $y$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
9& DÉBUT ALGORITHME\\
10& AFFICHER \og Combien de simulations désirez-vous effectuer ? \fg \\
11& LIRE $n$ \\
12& freq1 PREND\_LA \_ VALEUR 0\\
13 &freq2 PREND\_LA \_VALEUR 0\\
14 &freq3 PREND\_LA \_VALEUR 0\\
15 &POUR $i$ ALLANT DE 1 À $n$\\
16 &DÉBUT POUR\\
17 &x PREND\_LA \_ VALEUR floor(2 *random())\\
18 &y PREND\_LA \_ VALEUR floor(2 *random())\\
19 &SI ($x+y== 0$) ALORS \\
20 &DEBUT SI \\
21 &freq1 PREND\_LA \_ VALEUR freq1 + 1 \\
22 &FIN SI\\ 
23 &SI ($x+y== 1$) ALORS \\
24 &DÉBUT SI\\ 
25 &freq2 PREND\_LA \_ VALEUR freq2 + 1\\
26 &FIN SI \\
27 &SI ($x+y== 2$) ALORS\\
28 &DÉBUT SI\\ 
29 &freq3 PREND\_LA \_VALEUR freq3 + 1 \\
30 &FIN SI\\ 
31 &FIN POUR \\
32 &freq1 PREND\_LA \_ VALEUR ....\\
33 &freq2 PREND\_LA \_ VALEUR ....\\
34 &freq3 PREND\_LA\_ VALEUR ....\\
35 &AFFICHER freq1 \\
36 &AFFICHER freq2\\
37 &AFFICHER freq3\\
38 &FIN ALGORITHME\\
\end{tabular}

\bigskip

La commande \emph{floor(x)} donne la partie entière de $x$. La commande \emph{random()} donne un nombre réel que l'on considérera comme aléatoire appartenant à l'intervalle $[0~;~1[$.
	\begin{enumerate}
		\item Que simulent les lignes 17 et 18 de l'algorithme ?
		\item Les lignes 32, 33 et 34 sont incomplètes, les parties manquantes ont été remplacées par des points de suspension.
 
Recopier et compléter la ligne 32, la ligne 33 et la ligne 34 de l'algorithme pour que les variables freq1, freq2 et freq3 mesurent les fréquences respectives d'apparition au cours de la simulation des plantes de génotype \textbf{AA}, hétérozygote et de génotype \textbf{aa}.
		\item Cet algorithme permet-il de retrouver les résultats de la question 1 ?Argumenter.
	\end{enumerate}
\item On suppose que deux personnes ont effectué une étude statistique afin d'obtenir une fréquence du génotype \textbf{Aa} dont on sait que la proportion théorique est de $0,5$. Le premier a travaillé avec une population de \np{10000}~ plantes et obtenu une fréquence de $0,488$. Le second a travaillé avec une population de \np{2500}~plantes et obtenu une fréquence de $0,481$.

Déterminer, pour chacune des deux études, un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\%.

Ces résultats vous incitent-ils à mettre en doute le sérieux de chacune de ces études ?
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie II}\end{center}

Soit une plante hétérozygote à la génération 0, qui se reproduit par autofécondation d'une génération à l'autre. Dans toute la suite, $n$ désigne un entier naturel.

On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $E_{n}$ l'évènement \og La plante de la $n$-ième génération est de génotype AA \fg,
\item[$\bullet~~$] $F_{n}$ l'évènement \og La plante de la $n$-ième génération est hétérozygote, c'est-à-dire de génotype \textbf{Aa} ou \textbf{aA} \fg,
\item[$\bullet~~$] $G_{n}$ l'évènement \og La plante de la $n$-ième génération est de génotype \textbf{aa} \fg,
\item[$\bullet~~$] $x_{n}$ la probabilité de l'évènement $E_{n}$ que l'on écrira $x_{n} = P\left(E_{n}\right)$,
\item[$\bullet~~$] $y_{n}$ la probabilité de l'évènement $F_{n}$ que l'on écrira $y_{n} = \left(F_{n}\right)$,
\item[$\bullet~~$] $z_{n}$ la probabilité de l'évènement $G_{n}$ que l'on écrira $z_{n} = P\left(G_{n}\right)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Que valent $x_{0},\: y_{0},\:z_{0}$ ?
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $x_{1},\: y_{1},\: z_{1}$ puis $x_{2},\: y_{2},\: z_{2}$.
		\item Montrer que $x_{3} = \frac{1}{4}\left(1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \right)^2 \right)$.
		\item Conjecturer l'expression de $x_{n}$ en fonction de $n,\: n$ entier naturel non nul.
		\item Conjecturer les expressions de $y_{n}$ puis $z_{n}$ en fonction de $n,\: n$ entier naturel non nul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie III}\end{center}

Cette partie a pour objectif la démonstration des conjectures établies lors de la partie précédente, à l'aide du calcul matriciel. Les notations de la partie II sont conservées.

Dans cette partie, on note $P_{B}(A)$ la probabilité de réalisation de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé ; $A$ et $B$ étant deux évènements d'un même espace probabilisé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités conditionnelles suivantes : $P_{E_{n}} \left(E_{n+1}\right),\: P_{F_{n}} \left(E_{n+1}\right), P_{G_{n}} \left(E_{n+1}\right)$. 
\item En déduire que pour tout entier naturel $n,\: x_{n+1} = x_{n} + 0,25y_{n}$. 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n,\: y_{n+1} = 0,5y_{n}$ et $z_{n+1} = 0,25y_{n} + z_{n}$.
\item Pour $n$ entier naturel, on note $P_{n} = \begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\\z_{n}\end{pmatrix}$. Montrer que, pour tout $n$ entier naturel, 
$P_{n+1} = A P_{n}$, où $A$ est une matrice appartenant à $\mathcal{M}_{3}(\R)$ que l'on déterminera.
\item En déduire que pour tout $n$ entier naturel, $P_{n} = A^n P_{0}$.
\item On souhaite montrer qu'il existe une matrice diagonale semblable à la matrice $A$.
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la matrice $S \in \mathcal{M}_{3}(\R)$ définie par $S = \begin{pmatrix}
1& - 0,5&0\\
0&1&0\\
0&- 0,5&1
\end{pmatrix}$ est inversible.

Déterminer $S^{-1}$.
		\item On considère la matrice $B \in \mathcal{M}_{3}(\R)$ définie par $B = \begin{pmatrix}
1& 0&0\\
0&0,5&0\\
0& 0&1
\end{pmatrix}$ 

Calculer la matrice $SBS^{-1}$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $n$ entier naturel, $P_{n} = SB^n S^{-1} P_{0}$. 
\item En déduire que pour tout $n$ entier naturel, $\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\\z_{n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}- 0,5^{n+1}+0,5\\0,5^n\\- 0,5^{n+1}+0,5
\end{pmatrix}$.
\item Que se passe-t-il à long terme pour l'évolution de la plante originelle étudiée ?
\item À partir de combien de générations, peut-on considérer à $10^{-4}$ près, que la plante obtenue  soit homozygote ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\begin{center}

\textbf{Partie 1 : Quelques résultats sur la fonction cotangente} \end{center}

On définit la fonction cotangente notée cotan de la façon suivante :

pour tout réel $x$ tel que $\sin (x) \neq 0,\: \text{cotan} (x) = \dfrac{\cos (x)}{\sin (x)}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble de définition, que l'on notera $D$, de la fonction cotan ?
\item Justifier que la fonction cotan est dérivable sur $D$ et vérifier que, pour tout $x$ réel appartenant à $D$, on a :

\[\text{cotan}'(x) = - \dfrac{1}{\sin ^2 (x)} = - 1 - \text{cotan}^2 (x).\]

\item Établir que la fonction cotan est périodique de période $\pi$ puis étudier sa parité.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner, en justifiant, le tableau de variations de la fonction cotan sur l'intervalle $]0~;~\pi[$.

\emph{On y fera figurer les limites aux bornes de l'intervalle $]0~;~\pi[$. Les calculs de ces limites devront être justifiés.}
		\item Tracer la courbe représentative de la fonction cotan sur l'intervalle $]- \pi~;~\pi[$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.
		\item Montrer que sur $]0~;~\pi[$, la courbe possède un point d'inflexion et préciser l'équation réduite de la tangente en ce point.
	\end{enumerate}
\item Justifier que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]0~;~\frac{\pi}{2}\right[ :\: \sin (x) \leqslant  x \leqslant \tan(x)$.
\item En déduire que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left]0~;~\frac{\pi}{2}\right[$ :

\[\text{cotan}^2(x) \leqslant \dfrac{1}{x^2} \leqslant 1 + \text{cotan}^2(x).\]
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie II : Résolution d'une équation polynômiale} \end{center}

Soit $P$ la fonction polynôme définie sur $\C$ par :

\[P(x) = (x + \text{i})^5 - (x - \text{i})^5\]

où i désigne le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = - 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $P(x) = 0$ et l'équation $\left(\dfrac{x + \text{i}}{x - \text{i}} \right)^5 = \text{i}$ ont le même ensemble de  solutions.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les solutions de l'équation $\left(\dfrac{x + \text{i}}{x - \text{i}} \right)^5 = 1$ sont les nombres complexes 	$x_{k} = \text{i}\dfrac{\text{e}^{\frac{2\text{i}k\pi}{5}} + 1}{\text{e}^{\frac{2\text{i}k\pi}{5}} - 1}$ pour $k \in \{1, 2, 3, 4\}$.
		\item Justifier que, pour $k \in \{1, 2, 3, 4\}$ :\: $x_{k}$ est réel et $x_{k} = \text{cotan} \left(\dfrac{k\pi}{5}\right)$.
		\item Déterminer une fonction polynôme $Q$ de degré 2 à coefficients réels telle que pour tout nombre complexe $x,\: P(x) = 2\text{i}Q\left(x^2\right)$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On considère $a$ et $b$ deux réels distincts appartenant à l'intervalle $\left]0~;~\frac{\pi}{2}\right[$. Montrer que:
		
		\[\text{cotan}^2 (a) \neq \text{cotan}^2 (b).\]

		\item En déduire que $x_{1}^2$ et $x_{2}^2$ sont deux solutions distinctes de l'équation $Q(x) = 0$.
		\item En utilisant la somme des racines du trinôme $Q(x)$, montrer que : 

		\[\text{cotan}^2 \left(\frac{\pi}{5}\right) + \text{cotan}^2 \left(\frac{2\pi}{5}\right) = 2.\]

	\end{enumerate}
\item  Déterminer la valeur exacte de $\text{cotan} \left(\frac{\pi}{5}\right)$ puis en déduire que :

$\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right) = \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{5}}{8}}$.
\item  On souhaite généraliser l'étude précédente afin de démontrer le résultat suivant : pour tout entier naturel $n$ non nul, 

\[\displaystyle\sum_{k = 1}^n \text{cotan}^2 \left(\dfrac{k\pi}{2n + 1}\right) = \dfrac{2n(2n- 1)}{6} \quad (*)\]

	\begin{enumerate}
		\item Soit la fonction polynôme $P$ définie sur $\C$ par

		\[P(x) = (x + \text{i})^{n+1} - (x - \text{i})^{2n+1}.\]

On admet que l'équation $P(x) = 0$ admet $2n$ solutions distinctes que l'on notera $x_{1},\:x_{2},\:\ldots, \:x_{n}$. Pour $k \in \{1, 2, \ldots, 2n\}$, donner sans justification l'expression de $x_{k}$ qui permet de retrouver, pour $n = 2$, les résultats de la question II. 2. b.
		\item Montrer que $P(x) = 2\text{i}Q\left(x^2\right)$ où $Q(x) = \displaystyle\sum_{p=0}^n (- 1)^p \binom{2n+1}{2p+1}x^{n-p}$.
		\item On admet que pour tout $k \in \{1, 2, \ldots, 2n\}$,\: $x_{k}$ est un nombre réel.

Montrer que pour tout $k \in \{1, 2, \ldots, n\}$,\: $x_{k}^2$ est solution de l'équation $Q(x) = 0$.
		\item Montrer que pour tout couple d'entiers $(l, m) \in  \{1,\:2, \ldots ,\: n\}$ :

\[l \neq m \Rightarrow x_{i}^p2 \neq x_{m}^2.\]

(on pourra utiliser la stricte monotonie de la fonction $x \longmapsto \text{cotan}^2 (x)$ sur l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\Pi}{2}\right[$).
		\item Déterminer la somme des racines du polynôme $Q$. On justifiera le résultat.
		\item En déduire la relation (*).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie III : Étude d'une suite} \end{center}

On définit pour tout entier naturel $n$ non nul:

\[S_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}\quad \text{et} \quad T_{n} = S_{n} + \dfrac{1}{n}.\]

\begin{enumerate}
\item À l'aide d'un tableur, on établit les résultats ci-dessous. En utilisant les résultats fournis, donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ près de $S_{10}$ et $T_{10}$.

Émettre une conjecture sur la nature des suites $\left(S_{n}\right)$ et $\left(T_{n}\right)$, qui, une fois établie, permettra de conclure sur la convergence de ces suites.


\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D\\ \hline
1&$n$&$S_{n}$&$T_{n}$&$S_{n} - S_{n}$\\ \hline 
2& 1 &1 &2 &1\\ \hline
3 &2 &1,25 &1,75 &0,5\\ \hline
4 &3 &\np{1,3611111} &\np{1,6944444} &\np{0,3333333}\\ \hline
5 &4 &\np{1,4236111} &\np{1,6736111} &0,25\\ \hline
6 &5 &\np{1,4636111} &\np{1,6636111} &0,2\\ \hline
7 &6 &\np{1,4913889} &\np{1,6580556} &\np{0,1666667}\\ \hline
8 &7 &\np{1,5117971} &\np{1,6546542} &\np{0,1428571}\\ \hline
9 &8 &\np{1,5274221} &\np{1,6524221} &0,125\\ \hline
10 &9 &\np{1,5397677} &\np{1,6508788} &\np{0,1111111}\\ \hline
11 &10 &\np{1,5497677} &\np{1,6497677} &0,1 \\ \hline
12 &11 &\np{1,5580322} &\np{1,6489413} &\np{0,0909091}\\ \hline
13 &12 &\np{1,5649766} &\np{1,64831} &\np{0,0833333}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Déterminer le sens de variation des suites $\left(S_{n}\right)$ et $\left(T_{n}\right)$ puis établir leur convergence en citant avec précision le théorème utilisé.
\item
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant les résultats de la partie I et la relation (*) de la partie II, établir le résultat suivant :

pour tout entier naturel $n$ non nul,
 
\[\dfrac{\pi^2}{(2n + 1)^2}\left(\dfrac{2n(2n - 1)}{6} \right) \leqslant \dfrac{\pi^2}{(2n + 1)^2}\left(n + \dfrac{2n(2n - 1)}{6}\right).\]

		\item En déduire la valeur exacte de :
		
		\[\sigma = \displaystyle\sum_{n \geqslant 0} \dfrac{1}{n^2}.\] 

		\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul: 

\[S_{n} < \sigma < T_{n}.\]

	\end{enumerate}
4. Déterminer un entier naturel $N$ tel que pour tout entier naturel $n \geqslant N$ :

\[\left|S_{n} - \sigma\right| < 10^{-2}.\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $p$ un entier naturel non nul. Écrire en langage naturel un algorithme permettant de calculer le $p$-ième terme de chacune des deux suites $\left(S_{n}\right)$ et $\left(T_{n}\right)$.
		\item À l'aide de la calculatrice, utiliser cet algorithme ou tout autre procédé pour donner la valeur approchée de $\sigma$ à $10^{-2}$ près par défaut.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}