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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small{CAPLP externe 2003}}

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\rfoot{\small}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~CAPLP externe 2003 \decofourright}}

\bigskip


\end{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\bigskip

\emph{Le sujet est constitué de trois exercices.\\
Le premier exercice, de nature pédagogique, a pour objet le traitement d’un exercice au niveau du baccalauréat professionnel, suivi d’une analyse didactique.\\[5pt]
Le deuxième exercice, de géométrie, permet de caractériser les pieds des bissectrices d’un triangle et ensuite d’établir une propriété classique des tangentes à une ellipse.\\[5pt]
Le troisième exercice, d’analyse, est constitué de trois parties : il a pour objet d’étudier une fonction et de calculer une intégrale.\\[5pt]
La clarté et la précision des raisonnements, la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies, ainsi que, dans le premier exercice concerné, le savoir-faire pédagogique et l'intervention de
méthodes en conformité avec les programmes en vigueur dans les lycées professionnels.\\[5pt]
L’usage des calculatrices de poche est autorisé conformément aux directives de la circulaire \no 99-186 du 16 novembre 1999.}

\bigskip

\begin{center}\textbf{PREMIER EXERCICE}\end{center}

\textbf{\Large Exercice 1}

\medskip

L’exercice qui figure ci-après est supposé se situer au niveau du baccalauréat professionnel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traiter les questions \textbf{1., 2.a., 2.b.} et calculer $S$ (question 3.c.).
\item Le signal étudié est discontinu : lors du traitement de cet exercice en classe, quels peuvent être les commentaires du professeur ?
\item À partir de cet exercice et d’autres exemples, construire une activité destinée à des élèves permettant d’illustrer le calcul de la valeur moyenne d’une fonction périodique. Expliciter en argumentant le scénario proposé.
\end{enumerate}
\medskip

%La page annexe regroupe des extraits des programmes des baccalauréats professionnels.

\textbf{Exercice :}

\medskip

Dans tout ce problème $T$ désigne le nombre réel $\dfrac{1}{50}$.

On considère le signal $s$, de la variable $t$, défini sur $\R$ et périodique de période $T$ tel que :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ &0&$\dfrac{T}{8}$&$\dfrac{T}{4}$&$\dfrac{T}{2}$&$\dfrac{3T}{4}$&$T$\rule[-3mm]{0mm}{11mm}\\ \hline
$s(t)$&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\item Dans le plan rapporté à un repère orthogonal (O$t$, O$y$) de votre choix,
	\begin{enumerate}
		\item Construire la représentation graphique du signal $s$ considéré sur l’intervalle $[0~;~T]$.
		\item Construire le graphique permettant de visualiser dans le repère (O$t$, O$y$) le signal $s$ considéré sur l’intervalle $[-T~;~2T]$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit l'intégrale $J = \displaystyle\int_{\frac{t}{4}}^T 2\:\text{d}t$.

Montrer que $J = \dfrac{3}{100}$.
		\item Calculer la fonction dérivée de la fonction définie sur l’intervalle 
$\left[0~;~\dfrac{T}{4}\right]$ par 

$t \longmapsto \sin (100 \pi t)$.

En déduire une primitive de la fonction définie sur l’intervalle $\left[0~;~\dfrac{T}{4}\right]$ par 

$t \longmapsto  6\cos(100 \pi t)$.

Soit l'intégrale $I$ telle que $I = \displaystyle\int_0^{\frac{T}{4}} s(t) \:\text{d}t$. 

Montrer que $I = \dfrac{3}{50 \pi}  + \dfrac{1}{100}$.
	\end{enumerate}
		\item La valeur moyenne $S$ du signal $s$ sur l’intervalle $[0~;~T]$ est égale à
$\dfrac 1T (I +J)$.

Calculer la valeur exacte de $S$ puis sa valeur arrondie à $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{DEUXIÈME EXERCICE}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\emph{Caractérisation barycentrique des pieds des bissectrices d’un triangle}
\end{center}

\medskip

Soit (ABC) un triangle non aplati du plan affine euclidien. On note comme suit les longueurs respectives de ses côtés : 
BC $= a$, CA $= b$, AB $= c$.

La bissectrice intérieure issue du sommet A du triangle coupe le segment [BC] au point noté~U. 

Si la bissectrice extérieure issue de A coupe la droite (BC), on appelle V le point d'intersection.

Le barycentre de trois points M, M$'$ et M$''$ affectés des coefficients $p, p'$ et $p''$ est noté :
\[\{(\text{M},\: p) \:;\: (\text{M}',\: p') \:;\: (\text{M}'',\: p")\}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item En exprimant de deux façons différentes l'aire de chacun des triangles (ABU) et (ACU), prouver que

\[\dfrac{\text{UB}}{\text{UC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}\]

		\item En déduire que U est le barycentre $\{(\text{B},\: b)~;~(\text{C},\: c)\}$.
		\item Montrer que les trois bissectrices intérieures du triangle (ABC) sont concourantes en un point I qui est le barycentre
\[\{(\text{A},\: a)~;~(\text{B},\: b)~;~(\text{C},\: c)\}.\]

	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item À quelle condition sur $b$ et $c$ le point V existe-t-il ?
		\item Supposant cette condition remplie, montrer que V est le barycentre $\{(\text{B}, b)~;~(\text{C}, c)\}$.
		\item Vérifier l'existence du barycentre $\{(\text{A},\: a)~;~(\text{B},\: b)~;~(\text{C},\: c)\}$.

Indiquer trois droites particulières du triangle (ABC) à l'intersection desquelles ce barycentre est situé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{PARTIE B}

\smallskip

\emph{Une propriété de la tangente en un point d’une ellipse}

\end{center}

Soient deux réels $a$ et $b$ tels que $a > b > 0$.

Soit $(\mathcal{E})$ l'ellipse d'équation $\dfrac{x^2}{a^2} + 
\dfrac{y^2}{b^2} = 1$ dans un repère orthonormal \Oij.

On note F$(c,~ 0)$ et F$'(- c ,~ 0)$ les foyers de l'ellipse.

Soit A$(x_{\text{A}}~;~y_{\text{A}})$ un point de $(\mathcal{E})$  distinct des sommets de l’ellipse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la droite $(T_{\text{A}})$, tangente à $(\mathcal{E})$ en A, admet pour équation : 

$\dfrac{x_{\text{A}}}{a^2}x + \dfrac{y_{\text{A}}}{b^2}y = 1$.
\item Déterminer les coordonnées du point V, intersection de $(T_{\text{A}})$ avec l'axe des abscisses.
\item Vérifier la relation : $a^2\text{AF}^2 = a^2
(x_{\text{A}} - c)^2 + \left(a^2- c^2\right)\left(a^2 - x_{\text{A}}\right)$.
\item Écrire de manière analogue une expression de $a^2\text{AF}'^2$ (ne pas détailler les calculs).
\item Montrer la relation : $\dfrac{\text{AF}^2}{\text{AF}'^2} = \dfrac{\text{VF}^2}{\text{VF}'^2}$.
\item Que représente la droite $(T_{\text{A}})$ dans le triangle (AFF$'$) ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{TROISIÈME EXERCICE}

\medskip

\textbf{PARTIE A}
\end{center}
\medskip

L'objectif de cette partie est l'étude de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(0)&=&0\\
f(x)&=&\dfrac{x \ln (x)}{x + 1}\quad \text{si} \: x > 0
\end{array}\right.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$.
\item Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.

Donner l'expression de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $ln(x) + x + 1 = 0$ admet, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, une solution unique que l'on notera $\alpha$.
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.

Vérifier que $f (\alpha) = - \alpha.$
	\end{enumerate}
\item Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques :

axe des abscisses, 5 cm pour 1 unité, axe des ordonnées, 10 cm pour 1 unité.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{PARTIE B}
\end{center}

\medskip

Dans cette partie, on calcule la somme d'une série numérique au moyen d'un développement en série de Fourier.

Soit $g$ la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels $\R$, à valeurs dans $\R$, périodique de période 2 telle que 

\[g(x) = x(2\pi - x) \quad \text{si}\quad  0 \leqslant  x < 2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Esquisser sommairement la représentation graphique de la fonction $g$ sur l'intervalle $[- 2\pi~;~4\pi]$.
\item Calculer les coefficients de Fourier de la fonction $g$, et prouver que, pour tout réel $x$, on a :

\[g(x) = \dfrac{2\pi^2}{3} 4 \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \dfrac{\cos (nx)}{n^2}.\]

\item Montrer la relation $\dfrac{\pi^2}{12} = \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \dfrac{(- 1)^{n-1}}{n^2}.$
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center} \textbf{PARTIE C}\end{center}

\medskip

On se propose de calculer l'intégrale $I = \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x$.

Pour tout entier naturel $k,\: k \geqslant 1$, on pose $f_k(x) = x^k \ln (x)$ pour $x > 0$ et $f_k (0) = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f_k$ est continue sur l'intervalle $[0 ~;~+ \infty[$.
\item Pour tout entier naturel $k$, calculer l'intégrale $I_k = \displaystyle\int_0^1 f_k
\:\text{d}x$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$ non nul et tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0 ~;~+ \infty[$, montrer que :

\[\dfrac{1}{1 + x} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k x^k + (- 1)^n \dfrac{x^n}{1 + x}.\]

		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul,

\[I = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} (- 1)^{k-1}I_k + (- 1)^n \displaystyle\int_0^1 x^n f(x)\:\text{d}x.\]

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left|I - \displaystyle\sum_{k=1}^{n} (- 1)^{k-1}I_k \right|
\leqslant \dfrac{\alpha}{n+1}$.
		\item En déduire la valeur de $I$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}