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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small épreuve 1}
\lfoot{\small{CAPPLP externe 27 mars 2024}}
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\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPLP Concours externe  Option mathématiques ~\decofourright\\[5pt] 27 mars 2024 épreuve 1}}


\vspace{0,5cm}

\textbf{ÉPREUVE ÉCRITE DISCIPLINAIRE}

\medskip

\textbf{PARTIE 1 : MATHÉMATIQUES}

\emph{La partie mathématiques est constituée de deux exercices indépendants qui peuvent être traités dans un ordre quelconque.\\Le premier exercice est un vrai faux avec justification.\\ Le deuxième exercice est constitué de cinq parties.}
\end{center}

\medskip

Exercice 1 

Pour chacune des propositions suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. 

\medskip



\begin{enumerate}
\item Soit $f$ une fonction continue sur $[0~;~+\infty[$ telle que$f(0 )= 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 2$.

\textbf{Proposition :} La fonction $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item On propose la configuration ci-contre où 

AB = 8, BC = 13, AD = 8 et DE = 5. Le quadrilatère ABFD est un carré.

\textbf{Proposition :} Les points E, F et C sont alignés.
\item On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~ \pi[$ par 

$f(x) = \dfrac{\cos(x) -  1}{\sin^2 (x)}$.

\textbf{Proposition :} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \dfrac 12$.
\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.41\linewidth}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(6.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(6.5,4.5)
\psframe(2.4,2.4)%ABFD
\psframe(0,0)(0.25,0.25)\psframe(2.4,0)(2.65,0.25)\psframe(0,2.4)(0.25,2.654)
\psdots(0,0)(2.4,0)(2.4,2.4)(0,2.4)(0,3.8)(6,0)%ABFDE
\uput[d](0,0){A}\uput[d](2.4,0){B}\uput[ur](2.4,2.4){F}\uput[l](0,2.4){D}\uput[l](0,3.8){E}
\uput[d](6,0){C}
\uput[d](1.2,0){8}\uput[d](4.2,0){13}\uput[l](0,1.2){8}\uput[l](0,3.1){5}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \ln \left(x^2 + 2x - 3\right)$.

\textbf{Proposition :} La fonction $f$ n'est définie que pour $x > 1$.

\item On considère l'équation différentielle $(E)$  : $y'' - 2y' + y = 0$.

\textbf{Proposition :} Toute solution de $(E)$ sur $\R$ est de la forme $x \longmapsto \lambda x \e^x$, où $\lambda$ est un réel donné.
\item On considère la matrice $M = \begin{pmatrix}-1&-x\\x&4\end{pmatrix}$, où $x$ est un réel.

\textbf{Proposition :} Si $x > 2$, alors la matrice $M$ est inversible.
\item Dans le plan complexe, on considère les points A$(2 \text{i}$), B($- 2 + 3\text{i}$) et C$(3 + \text{i})$.

\textbf{Proposition :} Le triangle ABC est isocèle.
\item Soit $A$ et $B$ deux évènements d'un même univers $\Omega$ tels que $P(A) = 0,6$ et $P(B) = 0,5$.

\textbf{Proposition :} Les évènements $A$ et $B$ ne sont pas incompatibles.
\item Une urne contient quatre boules blanches et trois boules noires indiscernables au toucher. On tire trois boules de l'urne, successivement et sans remise. 

\textbf{Proposition :} La probabilité que les deux premières boules tirées soient blanches et la troisième soit noire est 16.
\item On admet que la taille d'un homme âgé de 25~ans suit la loi normale de moyenne 175~cm et d'écart type 6~cm.

\textbf{Proposition :} Parmi les hommes de 25~ans mesurant plus de 1,81~m, la proportion de ceux mesurant plus de 1,93~m est environ 1\,\%.
\item Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé, on considère le cercle $\mathcal{C}$ d'équation $(x - 7)^2+ y^2 =25$. Soit $\mathcal{D}$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point A$(3~;~-3)$.

\textbf{Proposition :} La droite $\mathcal{D}$ passe par l'origine du repère.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 2}

\medskip

L'objectif de ce problème est de vérifier que la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par 

\[v_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{(- 1)^k}{k}\]

est convergente et de déterminer sa limite.

Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on définit sur $[0~;~+\infty[$ la fonction polynomiale $P_n$ par :

\[P_n(x) =  \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} (- 1)^k\dfrac{x^k}{k} = - x + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3} + \ldots - \dfrac{x^{2n-1}}{2n-1} + \dfrac{x^{2n}}{2n}.\]

\bigskip

\textbf{\large Partie 1 : Étude de la fonction $P_2$}

\medskip

On suppose dans cette partie que $n = 2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} P_2(x)$. 
\item Démontrer que pour tout réel $x \geqslant 0,\:  P'_2(x)= - 1 + x - x^2 + x^3$, puis que 

$P'_2(x) = (x - 1)\left(x^2 + 1\right)$.
\item Établir le tableau de variations de la fonction $P_2$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie 2 : Étude des fonctions $P_n$}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel tel que $n \geqslant 1$.

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} P_n(x)$.
\item Calculer la fonction dérivée de $P_n$ et vérifier que pour tout réel $x \geqslant 0$,

\[(x + 1)P'_n(x) = x^{2n} - 1.\]

\item Déterminer les variations de la fonction $P_n$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 1, \:P_n(1) < 0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout réel $x \geqslant 0$ et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$,
		
		\[P_{n+1}(x) = P_n(x) + x^{2n+1} \left(\dfrac{x}{2n + 2} - \dfrac{1}{2n + 1} \right).\]

		\item En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 2,\: P_n(2) > 0$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n \geqslant  1$, on note $E_n$ l'équation $P_n(x) = 0$, d'inconnue $x \in [1~;~+\infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $E_1$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$.
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 2,\: E_n$ admet une unique solution sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ notée $x_n$ et que $1 < x_n < 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Partie 3 : Inégalités}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Justifier que, pour tout réel $x \geqslant 0$ et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$,\:

\[P_n(x) = \displaystyle\int_0^x \dfrac{t^{2n} - 1}{t + 1}\:\text{d}t.\]

\item Calculer l'intégrale

\[\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{t + 1}\:\text{d}t.\]

\item En déduire que
\[ \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1 - t^{2n} }{t + 1}\:\text{d}t \leqslant \ln 2.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n$ un entier naturel tel que $n \geqslant 1$. Étudier les variations de la fonction $g_n$ définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par $g_n(t) = t^{2n  1} - 1 - n\left(t^2 - 1\right)$.
		\item En déduire que, pour tout réel $t \geqslant 1$ et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a
		\[t^{2n} - 1 \geqslant n\left(t^2 - 1\right).\]

	\end{enumerate}
\item En déduire que, pour tout réel $x \geqslant 1$ et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$,

\[\displaystyle\int_0^1 \dfrac{t^{2n} - 1 }{t+1}\:\text{d}t \geqslant \dfrac{n}{2}(x - 1)^2.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie 4 : Limite de la suite} \boldmath$(x_n)$\unboldmath

\medskip

On rappelle que la suite $(x_n)$ est la suite définie à la partie 2, pour tout entier naturel $n \geqslant 2$, par $P_n(x_n) = 0$. On pose $x_1 = 2$.

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer en utilisant la question \textbf{10.} que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1,$

\[\displaystyle\int_0^{x_n} \dfrac{t^{2n} - 1}{t + 1}\:\text{d}t = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1 - t^{2n}}{t+1}\:\text{d}t.\]

\item Justifier que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1,$

\[\displaystyle\int_0^{x_n} \dfrac{t^{2n} - 1}{t + 1}\:\text{d}t \geqslant \dfrac{n}{2}\left(x_n - 1\right)^2.\]

\item Montrer en utilisant les questions \textbf{12.}, \textbf{15.} et \textbf{16.} que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a 

\[0 \leqslant x_n - 1 \leqslant \sqrt{\dfrac{2\ln 2}{n}}.\]

\item Conclure quant à la convergence de la suite $(x_n)$ et à sa limite.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie 5 : Limite d'une somme}

Pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on pose $u_n = P_n(1)$.

\medskip

\begin{enumerate}[resume]

\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, 

\[u_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{t^{2n}}{t + 1}\:\text{d}t \leqslant \dfrac{1}{2n + 1}.\]

\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$,

\[0 \leqslant \displaystyle\int_0^1 \dfrac{t^{2n}}{t + 1}\:\text{d}t \leqslant \dfrac{1}{2n + 1}.\]

\item En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et préciser sa limite.
\item Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $
n$ non nul par 

\[v_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{- 1)^k}{k}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $v_{2n}$ et $v_{2n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout entier $n \geqslant 1$.
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{2n}$ puis 
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{2n+1}$.
		\item En déduire que la suite $(v_n)$ converge et que 

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n  = \displaystyle\lim_{n \to + \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{- 1)^k}{k}.\]

		\item Montrer, en utilisant les questions \textbf{19.} et \textbf{20.}, que pour tout $n \geqslant 1,\: 0 \leqslant u_n + \ln 2 \leqslant 1$.
		\item On souhaite obtenir une approximation à $\epsilon$ près de $\ln 2$ à l'aide la suite $(- u_n)$.

Écrire un algorithme en langage naturel permettant d'estimer $\ln 2$ à une précision $\epsilon$ donnée.
		\item Déterminer le nombre d'itérations $n_0$ au bout duquel on est certain que $-u_{n_0}$ est une approximation de $\ln 2$ à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}