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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{CAPLP externe 10 mars 2022}}
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\rfoot{\small }
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~CAPLP Concours externe  et CAFEP \decofourright\\[7pt]Section : Mathématiques -- Physique--Chimie Session 2022
}}

Durée : 4 heures
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\begin{center}
\textbf{\large PARTIE 1 : MATHÉMATIQUES}
\end{center}

\smallskip

La partie Mathématiques est constituée de deux exercices indépendants qui peuvent être traités dans un ordre quelconque.

Le premier exercice est constitué de quatre parties.

Le deuxième exercice est un vrai faux avec justification.

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans cet exercice $f$ désigne la fonction définie, pour $x$ réel, par

\[f(x)=  \dfrac{1}{x(x + 1)}\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \Oij.

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude de la fonction } \boldmath$f$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ de la fonction [, 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathcal{D}_f$ et que $f'(x) = \dfrac{- 2x - 1}{x^2(x+1)^2}$ pour tout $x \in \mathcal{D}_f$.
		\item Donner le tableau complet de variations de $f$ (on justifiera les limites aux bornes de $\mathcal{D}_f$).
		\item Déterminer les droites asymptotes à $\mathcal{C}_f$.
		\item Donner l'allure de $\mathcal{C}_f$ sur la copie.
		
La figure pourra, selon besoin, être complétée dans la suite de cette partie.
	\end{enumerate}
\item Montrer que $\mathcal{C}_f$ admet un axe de symétrie qui admet une équation de la forme $x = k$.
\item Déterminer une équation de la droite $T$ tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1.
\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection, noté A, de la droite $T$ avec l'axe des abscisses.
\item Déterminer une équation de la droite passant par les points A et B, où B est le point de coordonnées $(1~;~- 2)$.
\item Donner une équation de la droite $d$ orthogonale à la droite (AB) et passant par B.
\item On note C le point d'intersection de la droite $d$ avec l'axe des ordonnées.

Déterminer l'aire du triangle (ABC) en unité d'aire.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout $x \in ]0~;~+\infty[$,
		
\[\dfrac{1}{x^2 + x} = \dfrac{\alpha}{x} + \dfrac{\beta}{1 + x}.\]

		\item En déduire une primitive de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.

	\end{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $F$ définie, pour $x \in ]0~;~+\infty[$, par 

\[F(x) = - \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)\]

est une primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
\item Déterminer le réel $m > 0$ tel que

\[\displaystyle\int_m^4 f(t)\:\text{d}t = 1.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Équations différentielles}

\medskip

Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par

\[h(x) = x \sin(x).\]

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer les primitives de $h$ sur $]0~;~+\infty[$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre sur $]0~;~+\infty[$ l'équation différentielle

\[y' + \frac{y}{x^2 + x}= 0.\]

		\item Résoudre sur $]0~;~+\infty[$ l'équation différentielle
		
\[y' + \dfrac{y}{x^2 + x} = (x +1)\sin(x)\qquad  (E)\]

		\item Déterminer la solution u de l'équation différentielle $(E)$ telle que $u \left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D : Étude d'une suite définie par récurrence}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer qu'il existe un unique réel $\ell$ tel que $f(\ell) = \ell$.
\item Montrer que $\ell \in \left[\dfrac{1}{2}~;~,1\right]$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère le code Python suivant:
\begin{center}
\begin{tabular}{l}
{\color{Purple}def}  g(x) :\\
\qquad {\color{Purple}return} 1/(x**2+x)-x\\
\\
{\color{Purple}def} dichotomie(eps):\\
\qquad  x=0.5\\
\qquad  y=1\\
{\color{Purple}while} y-x>=2*eps:\\
\qquad \qquad c=(x+y)/2\\
\qquad \qquad {\color{Purple}if} g(c) > 0 :\\
\qquad \qquad \qquad x=c\\
\qquad {\color{Purple}else}:\\
\qquad \qquad \qquad y=c\\
\qquad  {\color{Purple}return} (x+y)/2
\end{tabular}
\end{center}

Exécuter \og à la main \og{} la commande suivante en détaillant itération par itération les valeurs prises par les variables $x,\: y$ et $c$ ainsi que le résultat final obtenu:

$>>>$ dichotomie(0.05)
	\end{enumerate}
		\item Expliquer ce que représente le résultat obtenu à la question précédente dans le contexte de l'exercice.
		\item Justifier que, pour toute valeur strictement positive de eps, la boucle while du programme s'arrête au bout d'un nombre fini d'itérations.
		
\item  Soit $\varphi :\: ]0~;~+\infty[$ la fonction définie par : $\forall x \in  ]0~;~+\infty[,\:\: \varphi(x) = f \circ f(x) - x$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\varphi(\ell)$.
		\item Établir le tableau de signe de $\varphi$ sur $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
	
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par la donnée de son premier terme $u_0$ et par la relation de récurrence $\forall n \in \N,\: u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

\item Montrer par récurrence que la suite $\left(u_n\right)$ est bien définie si et seulement si $u_0 \in  \mathcal{D}_f$.
\item On suppose dans cette question que $u_0 \in ]0~;~+\infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est bien définie.
		\item Montrer que les sous-suites $\left(u_{2k}\right)$ et $\left(u_{2k+1}\right)$ sont monotones. 
		\item Étudier la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ en fonction de $u_0$.
	\end{enumerate}
\item On suppose dans cette question que $u_0 \in \mathcal{D}_f  \cap ]- \infty~;~0]$. Étudier la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ en fonction de $u_0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\emph{Préciser si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.}

\emph{Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La population d'une ville a augmenté de $10$\,\% en quatre ans.

\textbf{Proposition.} On peut dire que la population de cette ville a augmenté de $2,5$\,\% par an en moyenne.
\item Soit $f$ la fonction définie, pour tout réel $x$ non nul, par

\[f(x) = \dfrac{1 - \cos (x)}{x^2}.\]

\textbf{Proposition.} La fonction $f$ tend vers 1 quand $x$ tend vers $0$.
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.

\textbf{Proposition.}

\[\displaystyle\sum_{k=1}^n  k^2 = \frac{n(n +1)(2n+1)}{6}.\]

\item Une urne contient six boules bleues et trois boules rouges.

On prélève simultanément deux boules dans l'urne. Tous les prélèvements sont supposés équiprobables.

\textbf{Proposition.} La probabilité que les deux boules soient de couleurs différentes est égale à $\dfrac{1}{2}$.
\item Deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes et suivent respectivement les lois normales $\mathcal{N}(24~;~4)$ et $\mathcal{N}(20~;~2)$ (on rappelle que l'on note $\mathcal{N}(\mu~;~\sigma)$ la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$). 

On admet que la variable aléatoire $Z = X + Y$ suit une loi normale.

\textbf{Proposition.} L'espérance mathématique et l'écart type de $Z$ sont respectivement 44 et 6.
\item Pour tout réel $\theta$, on considère la matrice $M(\theta) = \begin{pmatrix}\cos (\theta)&- \sin (\theta)\\\sin (\theta)&\cos (\theta)\end{pmatrix}$.

\textbf{Proposition.} Il existe $\theta \in \R$  tel que $M(\theta)^4 = \begin{pmatrix}- 1&0\\0&- 1\end{pmatrix}$.
\item Dans le plan muni d'un repère \Oij, on considère les points A(0~;~1) , B(0~;~2) et C$(1~;~-1)$.

On note G le barycentre du système(A~;~1) ; (B~;~-1) ; (C~;~2).

\textbf{Proposition.} Les coordonnées du point G sont $(2~;~-3)$.
\item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item la sphère $S$ d'équation $x^2 + y^2  + z^2 = 3$ ;
\item la droite $D$ passant par le point A de coordonnées $(-1~;~1~;~0)$ et dirigée par le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées (1~;~0~;~1).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\textbf{Proposition.}  La droite $D$ est tangente à la sphère $S$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large DOCUMENT RÉPONSE PARTIE MATHÉMATIQUES}

\bigskip

\psset{xunit=1.5cm}

\begin{pspicture*}(-4,-7)(4.5,8.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3.9,-6.9)(4.5,8.5)
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\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
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