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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small épreuve 1}
\lfoot{\small{CAPLP externe 26 mars 2026}}
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\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPLP Concours externe  Option mathématiques ~\decofourright\\[5pt] 26 mars 2026 épreuve 1}}


\vspace{0,5cm}

\textbf{ÉPREUVE ÉCRITE DISCIPLINAIRE}

\medskip

\textbf{\Large PARTIE 1 : Commune à tous les candidats \hfill 10 points}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large Exercice 1 (VRAI-FAUX)}

\medskip

Préciser si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse
réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a $\displaystyle\int_0^1 x^2 \e^x\:\text{d}x = \e$.
\item Un argument de $1 - \i \sqrt 3$ est $-\dfrac{\pi}{3}$.
\item Toute solution sur $\R$ de l'équation différentielle $(E) : y'' - 3y' + 2y = 0$ tend vers 0 en $- \infty$.
\item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à deux. Soit une série statistique à une variable prenant $n$ valeurs réelles et de moyenne $m$ ; si $n - 1$ d'entre elles forment une série statistique de moyenne $m$ alors la $n$-ième est égale à $m$.
\item La courbe de la fonction définie pour tout $x \in \R$ par $f(x) = \e^{2|x|-1}- 1$ admet, au point d'abscisse $- 1$, une tangente d'équation $y = \left(2\e^2\right)x + \left(3\e^2 - 1\right)$.
\item On lance simultanément deux dés à 6 faces, numérotées de 1 à 6, équilibrés et on considère la somme obtenue en ajoutant les deux nombres figurant sur les faces supérieures ; la probabilité que cette somme soit inférieure ou égale à 9 est égale à $0,75$.
\item Le prix d'installation de panneaux photovoltaïques a augmenté de$ 10\,\%$ au 1\up{er} janvier 2023, de $5\,\%$ aux 1\up{er} janvier 2024 et 2025 puis enfin de 10\,\% à nouveau au 1\up{er}janvier 2026.

Le taux moyen d'évolution sur ces quatre années est $7,5\,\%$.
\item Soit $n$ un entier naturel non nul, on a :

\[\displaystyle\sum_{k=0}^n (- 1)^k\binom{n}{k} = 0.\]

\item Si $A \in \mathcal{M}_2(\R)$ est telle que $A^2$ est nulle alors $A$ est nulle.
\item La suite $(u_n)_{n\in \N}$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout $n \in \N*$ par la relation de récurrence
$u_{n+1} = - 2u_n +1$ converge.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 (Quelques séries remarquables)}

\medskip

Soit $(u_n)_{n\in \N}$ une suite réelle. On pose, pour tout entier $n \in \N^{*}$ :

\[S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n u_n.\]

\medskip

\textbf{\large PARTIE A - ÉTUDES D'EXEMPLES}

\medskip

On se propose d'étudier la convergence de la suite $(S_n)_{n \in \N^{*}}$ pour quelques suites particulières $(u_n)_{n\in \N^{*}}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question uniquement, on pose $u_k = \dfrac 1k$ pour tout $k \in \N^{*}$.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n \geqslant 1$. Donner, pour tout entier $k$ vérifiant $n + 1 < k < 2n$, un encadrement de $\dfrac 1k$.
		\item En déduire que, pour tout $n \geqslant 1$, on a $S_{2n} - S_n \geqslant \dfrac 12$.
		\item Si $(S_n)_{n \in \N^{*}}$ converge, quelle est la limite de $(S_{2n} - S_n)_{n \in \N^{*}}$ ? Conclure.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question uniquement, on pose $u_k = \dfrac{1}{k^2}$ pour tout $k \in \N^{*}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier $k \geqslant 2$, on a :

		\[\dfrac{1}{k - 1} - \dfrac 1k \geqslant \dfrac{1}{k^2}.\]

		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, \:$S_n \leqslant 2 - \dfrac 1n$ puis que la suite $(S_n)_{n \in \N^{*}}$ est majorée.
		\item Montrer que la suite $(S_n)_{n \in \N^{*}}$ converge.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question uniquement, on pose $u, = q^k$ pour tout $k \in \N^{*}$ où $q$ est un nombre réel.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $n \in \N^{*}$, calculer $S_n$, suivant les valeurs de $q$.
		\item Calculer, si elle existe, la limite de $(S_n)_{n \in \N^{*}}$ en suivant les valeurs de $q$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large PARTIE B - PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n \geqslant 2$ un entier naturel. Exprimer $S_n - S_{n-1}$ en fonction de $u_n$.
		\item En déduire que la condition $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$ est nécessaire pour la convergence de $(S_n)_{n \in \N*}$. Est-elle suffisante ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

On suppose par la suite que $(u_n)_{n \in \N*}$ est une suite à termes strictement positifs et qu'il existe un réel $0 \leqslant q \leqslant 1$ tel que :

\[\displaystyle\lim_{k \to + \infty}\dfrac{u_{k+1}}{u_k} = q.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Dans cette question, on suppose que $0 \leqslant q < 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que :

\[0 \leqslant q < \dfrac{q + 1}{2} < 1.\]

		\item Soit $(v_n)$ une suite réelle. Rappeler la définition à l'aide de quantificateurs de :
\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = q. \]

		\item Montrer qu'il existe un entier naturel $N$ tel que, pour tout $k \geqslant N$ :

\[0 \leqslant \dfrac{u_{k+1}}{u_k} \leqslant \dfrac{q + 1}{2}\]

(La détermination de $N$ n'est pas attendue).
		\item Montrer, par récurrence sur $k$, que pour tout $k \geqslant u_k \leqslant N$, on a :
		\[u_k \leqslant u_N\left(\dfrac{q + 1}{2} \right)^{k - N}\]

		\item En déduire une majoration indépendante de $n$, pour tout $n \geqslant N$, de $\displaystyle\sum_{k=N}^n u_k$.
		\item En déduire que la suite $(S_n)_{n \in \N*}$ est convergente. On pourra remarquer que, lorsque $N > 1$, on peut écrire pour tout $n \geqslant 2$,

\[S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{N-1}u_k + \displaystyle\sum_{k=N}^{n}u_k.\]

	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que $q = 1$. Que peut-on dire quant à la convergence de la suite $(S_n)_{n \in \N^{*}}$ ?

On pourra considérer les suites étudiées en Partie A.1 et Partie A.2.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Partie 2 - Majeure mathématiques\hfill 10 points}

\textbf{(à traiter uniquement par les candidats ayant choisi la discipline majeure
mathématiques)}

\medskip

\textbf{\large Exercice 3 (Étude de la diagonalisabilité d'une matrice \boldmath $3 \times 3$ \unboldmath)}

\medskip

Soit une matrice
\[M = \begin{pmatrix}-2&1&1\\1&-4&1\\1&1&-1\end{pmatrix}\]

et $\varphi$ l'endomorphisme de $\R$ dont la matrice est $M$ dans la base canonique de $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le noyau de $\varphi$. L'endomorphisme $\varphi$ est-il bijectif ?
\item Calculer le déterminant de $M$.
\item Justifier que la matrice $M$ est inversible. Montrer que :

\[M^{-1} = - \dfrac{1}{20}\begin{pmatrix}15&5&5\\1&-4&1\\1&1&-4\end{pmatrix} \]

\item On définit la trace d'une matrice carrée $A = (a_{i,j})_{1\leqslant i, j\leqslant 3}$ par :

\[\text{tr}(A) = \displaystyle\sum_{i=1}^3 a_{ii}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour toutes matrices $A, B \in \mathcal{M}_3(\R)$, on a :
		\[\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)\quad  \text{et}\quad \text{tr}(A+ B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B).\]
		
		\item  Montrer que, pour toutes matrices $P \in  \text{GL}_3(\R)$ et $A \in \mathcal{M}_3(\R)$, on a :

\[\text{tr}\left(P^{-1}~AP\right) = \text{tr}(A).\]

	\end{enumerate}
\item Calculer tr($M$).
\item Justifier que le vecteur $\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur propre de $M$ associé à une valeur propre $\lambda_1$ à
déterminer puis déterminer la dimension du sous-espace propre associé à $\lambda_1$.
\item On suppose que $M$ est diagonalisable. En utilisant la trace et le déterminant de $M$, obtenir une somme et un produit des valeurs propres possibles de $M$. Quelles seraient les valeurs propres possibles de $M$ ?
\item Justifier que $M$ est diagonalisable dans $\R$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4 (Un problème de recollement)}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac{\e^{-\frac 1x}}{x^2}&\text{si}&x \neq 0\\
0&\text{si}&x = 0
\end{array}\right.\]

\bigskip

\textbf{\large PARTIE A - ÉTUDE DE LA FONCTION \boldmath $f$\unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction $f$ sur $\R$ et $\R^{*}$, puis à gauche et à droite en 0.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ et les limites aux bords de l'ensemble de définition.

Préciser la nature des branches infinies de la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large PARTIE B - UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE}

\medskip

On s'intéresse à l'équation différentielle 

\[(E) :\quad x^2y' + (2x - 1)y = 0\]

sur $\R$ dont les solutions sont
les fonctions dérivables sur $\R$ vérifiant la relation donnée par $(E)$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Résoudre $(E)$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et sur l'intervalle $]-\infty~;~0[$.
\item Supposons que $y$ est une solution de $(E)$ sur $]0~;~+\infty[$  et sur $]-\infty~;~ 0[$ prolongée par continuité sur $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item Que vaut $y(0)$ ?
		\item Justifier que si $y$ est une solution de $(E)$ sur $\R$, il existe $k \in \R$ tel que :
		\[f(x) = \left\{\begin{array}{l c l}
0&\text{si}&x \leqslant 0\\
\dfrac{k}{x^2}\e^{-\frac 1x}&\text{si}&x > 0\\
\end{array}\right.\]

		\item Montrer que les solutions définies en \textbf{4. b.} sont dérivables sur $\R$ et en déduire l'ensemble des fonctions solutions de $(E)$ définies et dérivables sur $\R$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{\large PARTIE C - ÉTUDE ASYMPTOTIQUE DES SOLUTIONS DE L'ÉQUATION
DIFFÉRENTIELLE}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Exprimer, pour tout réel non nul $x,\:y'$ en fonction de $y$ et $x$. Montrer que les solutions de $(E)$ sont de classe $\mathcal{C}_2$ ?
\item Justifier que les solutions de $(E)$ sur $\R$ admettent un développement limité à l'ordre 2 en 0 de partie régulière nulle.
\item Peut-on généraliser le résultat à tout ordre $n \in \N$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Partie 3 -- Mineure mathématique \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{à traiter uniquement par les candidats ayant choisi la discipline majeure physique-chimie}

\medskip

\textbf{\large Exercice 3 (Étude d'une matrice $3 \times 3$ et application)}

\medskip

On considère les matrices :

\[A = \begin{pmatrix}3&0&-1\\2&4&2\\-1&0&3\end{pmatrix}\qquad \text{et}\qquad I_3 = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\]

On définit les puissances successives de $A$ par $A^0 = I_3$(où $I_3$ est la matrice unité définie ci-dessus) et pour tout $n \in N, \:A^{n+} = A^n \times A$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble $E_2$ des matrices colonnes à coefficients réels $M = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ telles que $AM = 2M$.
\item Déterminer l'ensemble $E_4$, des matrices colonnes à coefficients réels $M = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$telles que $AM =4M$.
\item On considère alors la matrice $P = \begin{pmatrix}1&1&0\\-2&0&-1\\1&-1&0
\end{pmatrix}$.

Justifier que $P$ est inversible et que $P^{-1}= \dfrac 12\begin{pmatrix}1&0&1\\1&0&-1\\2&2&2\end{pmatrix}$.
\item Calculer la matrice $D = P^{-1}AP$.
\item En déduire que, pour tout $n \in N$,\: $A^n = PD^nP^{-1}$.
\item Montrer que, pour tout $n \in \N$ :

\[A^n = \dfrac 12 \begin{pmatrix}2^n + 4^n&0&2^n - 4^n\\2(4^n - 2^n)&2 \times 4^n&2(4^n - 2^n)\\2^n - 4^n&0&2^n + 4^n\end{pmatrix}.\]

\item On considère les suites $(u_n)_{n \in \N},\: (v_n)_{n \in \N}$ et $(w_n)_{n \in \N}$ définies de manière récurrente par $u_0 = 0,\: v_0 = 1$ et $w_0 = - 1$ et,\: pour tout $n \in  \N$ :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{n+1}& =& 3u_n \phantom{+4v_n} - w_n\\
u_{n+1}& =& 2u_n + 4v_n + 2w_n\\
w_{n+1}& =& - u_n \phantom{+4v_n} +3w_n
\end{array}\right.\]

et on pose, pour tout $n \in \N,\: X_n = \begin{pmatrix}u_n\\v_n\\w_n\end{pmatrix}$.

Exprimer, pour tout $n \in \N,\: X^{n+1}$ en fonction de $X^n$ et $A$.
\item En déduire que, pour tout $n \in \N,\: X_n = A^nX_0$.
\item Utiliser ce qui précède pour déterminer l'expression des suites $(u_n)_{n \in \N},\: (v_n)_{n \in \N}$ et $(w_n)_{n \in \N}$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4 (Autour du nombre e)}

\medskip

\textbf{\large PARTIE A - CALCUL INTÉGRAL}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction définie sur $\R_{+}^{*}$, par :

\[f(t) = \dfrac{1}{t(t + 1)^2}\]

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la fonction $f$ est continue sur $\R_{+}^{*}$.
		\item Déterminer les nombres réels $a, b$ et $c$ tels que pour tout $t \in \R_{+}^{*}$ :

		\[f(t) = \dfrac{a}{(t + 1)^2} + \dfrac{b}{(t + 1)} + \dfrac{c}{t}.\]
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R_{+}^{*}$ par 

\[g(t) = - \dfrac{1}{t^2(t + 1)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $t \in \R$ :

\[g(t) - f(t) = - \dfrac{2t + 1}{\left(t^2 + 1\right)^2}\]

		\item Vérifier que la fonction $h$ définie pour tout $t \in \R_{+}^{*}$, par $h(t) = \dfrac{1}{t^2 + 1}$, est une primitive de la fonction $g - f $sur $\R_{+}^{*}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{\large PARTIE B - LIMITES DE FONCTIONS ET INÉGALITÉS}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $n$ un entier naturel tel que $n \geqslant 1$. On définit, pour tout $x > n$:

\[F_n(x) = \displaystyle\int_n^x f(t)\:\text{d}t \qquad \text{et}\qquad G_n(t) = \displaystyle\int_n^x f(t)\:\text{d}t\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x > n$ :

\[F_n(x) = \dfrac{n - x}{(n + 1)(x + 1)} + \ln \left(\dfrac{(n + 1)x}{n(x + 1)} \right)\]

		\item
			\begin{enumerate}
				\item Déterminer, en fonction de $n$, la limite, lorsque $x$ tend vers $+\infty$, de la fonction $F_n$. On notera $v_n$ cette limite.
				\item Justifier que, pour tout $n \geqslant 1,\:  0 \leqslant v_n$.
				\item En déduire que, pour tout $n \geqslant 1$ :

\[1 \leqslant (n + 1) \times \ln \left(1 + \dfrac 1n \right)\]

			\end{enumerate}
		\item En utilisant la primitive obtenue à la question \textbf{2. b.} de la Partie A, donner l'expression de $G_n(x)$.
		\item 
			\begin{enumerate}
				\item Déterminer, en fonction de $n$ , la limite, lorsque $x$ tend vers $+\infty$, de la fonction $G_n$. On notera $v_n$ cette limite.
				\item Justifier que, pour tout $n \geqslant 1,\: 0 \leqslant v_n$.
				\item En déduire que, pour tout $n \geqslant 1$ :

\[n \times \ln \left(1 + \dfrac 1n\right)\leqslant 1\]
			\end{enumerate}
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large PARTIE C - ÉTUDE D'UNE SUITE}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item À partir des deux inégalités établies dans la Partie B, montrer que, pour tout $n \geqslant 1$ :

\[1 \leqslant \dfrac{\e}{\left(1 + \dfrac 1n \right)^n} \leqslant 1 + \dfrac 1n.\]

\item En déduire que la suite $\left[\left(1 + \dfrac 1n \right)^n\right]_{n \in \N^{*}}$ est convergente et déterminer sa limite, lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{document}