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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small{CAPLP externe 2013}}
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\thispagestyle{empty} 
\rfoot{\small }
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~CAPLP externe 2013 et CAFEP \decofourright\\}}

Durée : 5 heures 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants.\\ 
Le premier exercice est un test vrai:faux avec justification.\\ 
Le deuxième exercice étudie un modèle d'urnes aléatoires et porte sur l'étude de variables aléatoires.\\ 
Le troisième exercice étudie un modèle d'évolution de population el po rIe sur l'étude des solutions d'une équation différentielle.\\ 
Le quatrième exercice porte sur l'etude de courbes visualisées sur lm oscilloscope utilisé en modeXY.}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
\textbf{Préciser si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse puis justifier la réponse.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $\alpha$ la racine positive de l'équation $x2 - x - 1 = 0$. Alors $\alpha^5 = 5\alpha + 5$. 
\item Si $f$ est une fonction impaire, dérivable sur $\R$, alors sa dérivée $f'$ est une fonction paire. 
\item Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\R$. 

Si $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = -\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  [f(x)+ g(x)] = 0$. 
\item La section d'un cylindre de rayon 5~cm et de hauteur 8~cm par un plan parallèle à son axe peut être un carré. 
\item On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous. Le point M défini par 

$\vect{\text{AM}} = \vect{\text{FG}} \wedge \vect{\text{BH}}$ est un sommet du cube. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,6)
\psframe(0.5,0.5)(4.5,4.5)
\psline(4.5,0.5)(5.6,1.5)(5.6,5.5)(1.6,5.5)(0.5,4.5)
\psline(5.6,5.5)(4.5,4.5)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(1.6,1.5)(1.6,5.5)
\psline[linestyle=dashed](1.6,1.5)(5.6,1.5)
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](4.5,0.5){B} \uput[r](5.6,1.5){C} \uput[l](1.6,1.5){D} 
\uput[l](0.5,4.5){E} \uput[r](4.5,4.5){F} \uput[ur](5.6,5.5){G} \uput[ul](1.6,5.5){H} 
\end{pspicture}
\end{center}

\item On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies, pour tout entier naturel $n$, par : 

\[u_{n} = \displaystyle\int_{1}^2 \dfrac{(\ln t)^n}{t}\:\text{d}t\quad  \text{et} \quad  v_{n} = (\ln 2)^{n+1}.\]

Pour tout entier naturel $n,\: u_{n} \leqslant  v_{n}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
Cet exercice a pour objet l'étude d'un modèle d'urnes aléatoires dites \og de Polya \fg{} qui peut servir de modélisation de l'évolution génétique d'une population dans laquelle deux versions d'un même gène coexistent.

\medskip
 
On considère une urne contenant 1 boule blanche et 1 boule noire.
 
À chaque tirage on tire une boule de l'urne puis on la remet dans l'urne avec une autre boule de la même couleur.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On propose de simuler avec un tableur une suite de tirages dans l'urne qui contient au départ 1 boule blanche et 1 boule noire. 
	\begin{enumerate}
		\item La simulation d'\textbf{une suite de tirages avec un tableur fournit le tableau de valeurs ci-dessous}.
		 
Justifier que la formule utilisée en B3 est \fbox{\textbf{SI(ALEA()<D2;B2+1;B2)}} 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D\\ \hline
1&Tirages & Nombre de boules blanches&Nombre de boules noires& Proportion de boules blanches\\ \hline
2&0&1&1&0,5\\ \hline 
3&1&1&2&0,33\\ \hline 
4&2&2&2&0,5\\ \hline 
5&3&2&3&0,4\\ \hline 
6&4&2&4&0,33\\ \hline 
7&5&2&5&0,29\\ \hline 
8&6&2&6&0,25\\ \hline 
9&7&2&7&0,22\\ \hline 
10&8&3&7&0,3\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

		\item Quelle formule faut-il inscrire dans la case D3 et recopier vers le bas pour pouvoir obtenir la simulation d'une suite de tirages ?
	\end{enumerate}
\item Soit $X_{n}$ la variable aléatoire correspondant au nombre de boules blanches dans l'urne au bout de $n$ tirages, $n$ entier supérieur ou égal à 1. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de $X_{1}$. 
		\item À l'aide d'un arbre déterminer les lois de $X_{2}$ et de $X_{3}$. 
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ et pour tout entier $k$ compris entre $2$ et $n$,  on a : 
\begin{multline}P\left(X_{n} = k\right) = P\left(X_{n-1} = k - 1\right)P\left(X_{n} = k | X_{n-1} = k -1\right) +\\ P\left(X_{n-1} = k\right)P\left(X_{n} = k | X_{n-1} = k\right).\end{multline}
 
		\item Montrer, par récurrence sur $n$, que pour tout entier $k$ appartenant à $\{1, 2, \ldots , n + 1\}$,  $P\left(X_{n} =k\right) = \dfrac{1}{n + 1}$. 
		\item Exprimer par une phrase ce que signifie la relation démontrée à la question 2. d.
		\item Pour tout entier $n \geqslant 2$, on appelle $B_{n}$ l'évènement \og tirer une boule blanche au $n$-ième tirage \fg.   
		\begin{enumerate}
			\item Calculer $P\left(B_{3}\right)$. 
			\item Justifier, pour tout entier $n \geqslant 2$, que : 

\[p\left(B_{n}\right) = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n P\left(X_{n} = k + 1| X_{n-1} = k \right).\] 
 
			\item En déduire la probabilité d'obtenir une boule blanche au $n$-ième tirage.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
On s'intéresse à une étude portant sur l'évolution du nombre d'organismes vivants placés dans une enceinte close dont le milieu nutritif est renouvelé en permanence.
 
On admet que Le nombre d'individus en millions présents à l'instant $t$ (exprimé en heures) est égal à $N(t)$ où $N$ est une fonction dérivable et strictement positive sur $[0~;~+\infty[$.
 
On suppose qu'il existe une constante $M$ strictement positive telle que, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on ait : 

\[	\left(E_{1}\right) :\qquad  	N'(t) = N(t) \left(1- \dfrac{N(t)}{M}\right)\]
	
\begin{enumerate}
\item Démontrer qu'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et à valeurs strictement positives vérifie l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$ si et seulement si la fonction $\dfrac{1}{f}$ est solution 
de l'équation différentielle 

\[\left(E_{2}\right) :\qquad y' + y = M\]

\item Résoudre l'équation $\left(E_{2}\right)$. 
\item En déduire les solutions de l'équation $\left(E_{1}\right)$ strictement positives sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 

On suppose dans la suite que, dans l'expérience observée, la fonction $N$ est définie pour tout réel positif $t$ par :
 
 \[N(t) = \dfrac{M}{1 + C\text{e}^{- t}}\]
  
où $C$ est une constante réelle strictement supérieure à $1$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $N$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $N$ en $+ \infty$. 
		\item Décrire l'évolution du nombre d'organismes vivants au cours du temps.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer qu'il existe un unique réel $t_{0}$ positif tel que :

\[N\left(t_{0}\right) = \dfrac{M}{2}.\]
 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la fonction $N$ est deux fois dérivable. On admet que, pour tout réel positif $t$ : 

\[N''(t) = \dfrac{MC\text{e}^{- t}\left(C\text{e}^{- t} - 1\right) }{\left(1 + C\text{e}^{- t} \right)^3} \]

		\item Étudier le signe de la fonction $N''$. 
		\item En déduire que la vitesse d'accroissement du nombre d'organismes vivants est décroissante à partir de l'instant $t_{0}$ et exprimer $t_{0}$ en fonction de $C$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $T$ un réel strictement positif. Le nombre moyen d'organismes vivants sur l'intervalle de temps $[0~;~T]$ est la valeur moyenne de la fonction $N$ sur ('intervalle $[0, T]$.
 
On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction continue $f$ sur un intervalle $[a~;~b]$ est donnée par $\mu = \displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $N$ sur l'intervalle $\left[0~;~t_{0}\right]$. 

On pourra observer que : $N(t) = \dfrac{M}{1 + C\text{e}^{- t}} = \dfrac{M\text{e}^{t}}{\text{e}^{t} + C}$. 
		\item En déduire le nombre moyen d'organismes vivants entre les instants $0$ et $t_{0}$ en fonction de $N(0)$ et de la constante $C$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4}

\medskip
 
Cet exercice porte sur l'étude de courbes que l'on peut visualiser sur un oscilloscope.
 
Sur un oscilloscope utilisé en mode $XY$, on applique deux tensions de même pulsation $\omega$ ($\omega > 1$) présentant entre elles un décalage de phase, exprimé en radians et noté $\varphi$ ; $0 \leqslant  \varphi  \leqslant \frac{\pi}{2}$. 

Les tensions, exprimées en volts  appliquées sur les entrées $X$ et $Y$ sont : 

\[U_{1}(t) = V_{1}\cos (\omega t)\quad  \text{et} U_{2}(t) = V_{2}\cos(\omega t - \varphi),\quad  \left(t \in  \left[0~;~\dfrac{2\pi}{D}\right[\right).\]

Dans tout le problème, on se place dans un repère \Ouv{} orthonormé d'unité graphique 1~cm correspondant à 1~volt sur chacun des deux axes.
 
On appelle $\Gamma_{\varphi}$ la courbe de représentation paramétrique : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& v_{1} \cos (\omega t)\\
y&=& v_{2} \cos (\omega t - \varphi)
\end{array}\right. \quad \left(t \in  \left[0~;~\dfrac{2\pi}{\omega}\right[\right), \:\:v_{1}, v_{2}\: \text{réels strictement positifs}\]

Pour $t \in  \left[0~;~\dfrac{2\pi}{\omega}\right[$, on note $M(t)$ le point de coordonnées $\left(v_{1} \cos(\omega t), v_{2} \cos(\omega t - \varphi \right)$).
 
\begin{center} \textbf{Partie I}\end{center} 

On considère dans cette partie que $\varphi = 0$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la courbe $\Gamma_{0}$ a pour équation cartésienne dans le repère \Ouv{} :

\[y = \dfrac{v_{2}}{v_{1}}x, \quad x \in \left[- v_{1}~;~v_{1}\right].\]

\item En déduire la nature de la courbe $\Gamma_{0}$. 
\item Tracer $\Gamma_{0}$ pour les valeurs de $v_{1}$ et $v_{2}$ suivantes : $v_{1}= 4$ et $v_{2} = 3$.
\end{enumerate}
 
\begin{center} \textbf{Partie II}\end{center}
 
On considère désormais que $\varphi =  \dfrac{\pi}{2}$.
 
On appelle (E) la courbe d'équation cartésienne dans le repère \Ouv{} :

\[\dfrac{x^2}{v_{1}^2} + \dfrac{y^2}{v_{2}^2} = 1.\] 
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que tout point $M$ de $\Gamma_{\frac{\pi}{2}}$ appartient à la courbe (E). 
		\item Réciproquement, soit $M(x~;~y)$ un point de (E). On pose $u = \dfrac{x}{v_{1}}$  et $v = \dfrac{y}{v_{2}}$. 

Montrer que $u^2 + v^2 = 1$. En déduire que le point $M$ appartient à la courbe $\Gamma_{\frac{\pi}{2}}$. 
		\item Que peut-on déduire des questions précédentes ?
	\end{enumerate}
\item	 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $M(x~;~y)$ appartenant à $\Gamma_{\frac{\pi}{2}}$. Montrer que le point $M'( -x~;~y)$ appartient aussi à $\Gamma_{\frac{\pi}{2}}$. 
		\item En déduire que l'axe (O$y$) est axe de symétrie de $\Gamma_{\frac{\pi}{2}}$. 
		\item Montrer que l'axe (O$x$) est lui aussi axe de symétrie de $\Gamma_{\frac{\pi}{2}}$.
		\item Déduire des questions précédentes que le centre O du repère est centre de symétrie de $\Gamma_{\frac{\pi}{2}}$. 
		\item Soit (E$'$) la courbe d'équation: 
x2 y2 
\[\dfrac{x^2}{v_{1}^2} + \dfrac{y^2}{v_{2}^2} = 1, \quad x \geqslant 0 ; y \geqslant 0.\]
 
Indiquer, sans justifier, par quelles transformations géométriques simples on obtient l'intégralité de la courbe $\Gamma_{\frac{\pi}{2}}$ à partir de la courbe (E$'$). 
	\end{enumerate}
\item Montrer que (E$'$) est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[0~;~v_{1}]$ par : 

\[f(x) = \dfrac{v_{1}}{v_{2}}\sqrt{v_{1}^2 - x^2}.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f$ est dérivable sur $[0~;~v_{1}[$[ et calculer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $[0~;~v_{1}[$[. 
		\item Montrer que la courbe (E$'$) admet une tangente verticale en $v_{1}$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$. 
		\item Tracer (E$'$), puis $\Gamma_{\frac{\pi}{2}}$ dans le repère \Ouv. On prendra $v_{1} = 4$ et $v_{2} = 3$. 
	\end{enumerate}
	
\item Un oscilloscope, utilisé en mode $XY$, fournit l'image ci-dessous. Les axes de l'écran sont gradués en volts.
 
On a appliqué sur les entrées $X$ et $Y$ respectivement deux tensions $u_{1}$ et $u_{2}$ de même pulsation $\omega$, présentant entre elles un décalage de phase $\varphi$,  $0  \leqslant \varphi \leqslant \dfrac{\pi}{2}$. Ces tensions sont définies en fonction du temps respectivement par 

\[U_{1}(t) = V_{1} \cos(\omega t)\quad  \text{et}\quad  U_{2}(t) = V_{2} \cos(\omega t - \varphi),\]

 avec $t \in  \left[0~;~\frac{2\pi}{\omega}\right[$.
 
On admet que les valeurs maximales des tensions $U_{1}$ et $U_{2}$ exprimées en volts sont entières et que le point A de coordonnées $(0~;~1,4)$ appartient au tracé fourni par l'oscilloscope. 
	\begin{enumerate}
		\item Lire sur le graphique les valeurs de $V_{1}$ et de $V_{2}$. 
		\item Calculer une valeur approchée de $\varphi$ au degré près. (On pourra utiliser le fait que le point A appartient. au tracé et déterminer $\sin \varphi$). 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=1pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-4,-3)(4,3)
\rput{30}(0,0){\psellipse(0,0)(3.37,1.23)}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Partie III}

\medskip
 
L'objectif de cette partie est d'étudier quelques propriétés géométriques de la courbe r d'équation cartésienne dans le repère \Ouv{} : 

\[\dfrac{x^2}{16}  + \dfrac{y^2}{9} = 1.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $M(x~;~y)$ appartenant à la courbe $\Gamma$ et soient F$\left(\sqrt{7}~;~0\right)$ et F$'\left(-\sqrt{7}~;~0\right)$ deux points de l'axe (O$x$). 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que MF$^2 = \left(\frac{\sqrt{7}}{4} x - 4\right)^2$. 
		\item En déduire que tout point $M$ de $\Gamma$ vérifie MF + MF$' = 8$.
	\end{enumerate} 
\item Réciproquement, on cherche à déterminer l'ensemble (E) des points du plan tels que MF + MF$'= 8$. 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $M(x~;~y)$ un point du plan, Calculer $\text{MF}^2 - \text{MF}'^2$ et $\text{MF}^2 + \text{MF}'^2$. 
		\item Montrer que si $M$ appartient à (E), alors $\text{MF} - \text{MF}'= - \frac{\sqrt{7}}{4}x$. 
		\item En déduire que tout point de (E) appartient à $\Gamma$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}