\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage{diagbox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \usepackage{graphicx} \usepackage{color,colortbl} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage[first=1,last=6]{lcg} \usepackage{calc} \usepackage{pst-plot,pstricks,pst-func,pstricks-add} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=2cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {CAPLP }, pdftitle = {18 avril 2023}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{CAPLP externe 18 avril 2023}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \rfoot{\small } \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~CAPLP Concours externe et CAFEP \decofourright\\Section : Mathématiques -- Physique--Chimie Session 2023\\ }} Durée : 4 heures \end{center} \vspace{0,25cm} \begin{center} \textbf{\large PARTIE 1 : MATHÉMATIQUES} \end{center} \emph{La partie Mathématiques est constituée de deux exercices indépendants qui peuvent être traités dans un ordre quelconque.\\ Le premier exercice est un vrai faux avec justification.\\ Le deuxième exercice est constitué de quatre parties.} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \emph{Préciser si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.\\ Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.} \medskip \begin{enumerate} \item Un fabriquant de gâteaux souhaite faire des offres promotionnelles. Affirmation: \og En tant que consommateur, il est préférable d'avoir une réduction tarifaire de $20\,\%$ plutôt que $24\,\%$ de produit en plus pour le prix initial \fg. \item Un domino est constitué de deux cases, chaque case contenant un nombre de points compris entre 0 et 6. Exemples de dominos: \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7.5,1.4) %\psgrid \psframe[linewidth=1.5pt,framearc=0.5](0.1,0.1)(2.4,1.2) \psline(1.25,0.2)(1.25,1.1)\psdots(1.45,0.3)(2.15,1) \psframe[linewidth=1.5pt,framearc=0.5](2.6,0.1)(4.9,1.2) \psline(3.75,0.2)(3.75,1.1)\psdots(2.8,0.3)(3.5,1)(3.15,0.65) \psline(6.25,0.2)(6.25,1.1)\psdots(4.2,0.3)(4.2,1)(4.7,1)(4.7,0.3) \psframe[linewidth=1.5pt,framearc=0.5](5.1,0.1)(7.4,1.2) \psdots(5.3,1)(5.65,1)(6,1)(5.3,0.3)(5.65,0.3)(6,0.3) \psdots(6.5,1)(6.85,1)(7.2,1)(6.5,0.3)(6.85,0.3)(7.2,0.3) \end{pspicture} \end{center} \textbf{Affirmation :} \og Il y a 28 dominos différents \fg. \item $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 1,5$ et, pour tout $n \in \N,\: u_{n+1} = \dfrac{2}{3 - u_n}$. \textbf{Affirmation :} \og La suite $\left(u_n\right)$ vérifie l'inégalité : $\forall n \in \N, 1 \leqslant u_n \leqslant 2$ \fg. \item Soit k un nombre entier naturel non nul. On pose pour tout réel $x,\: f_k(x) = x - 2 + k\text{e}^{-x}$ et on note $\mathcal{C}_k$ sa courbe représentative. On admet que pour tout entier naturel $k$ non nul, la fonction $f_k$ admet un minimum et on appelle $A_k$ le point de la courbe $\mathcal{C}_k$ correspondant. \textbf{Affirmation :} \og Les points $A_k$ appartiennent tous à une même droite \fg. \item Un sujet de physique est créé par l'un des trois professeurs M. Lavoisier, M. Newton et M. Galilée. Statistiquement, on sait que 35\,\% des sujets sont écrits par M. Lavoisier, 40\,\% sont écrits par M. Newton et que les autres sujets sont écrits par M. Galilée. Les étudiants savent que 20\,\% des sujets écrits par M. Lavoisier traitent de la relativité, que la moitié des sujets écrits par M. Newton portent sur le thème de la relativité et que 80\,\% des sujets écrits par M. Galilée portent sur le thème de la relativité. Lors de l'épreuve, ils découvrent un sujet sur le thème de la relativité. \textbf{Affirmation :} \og La probabilité qu'il ait été écrit par M. Newton est égale à 0,40 \fg. \item La fonction $f$ désigne une fonction définie sur $\R$ qui vérifie, pour tous réels $x$ et $y$, \[f(x +y) = f(x) + f(y)\] et telle que $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(h)}{h} = 1$. \textbf{Affirmation :} \og Seule la fonction identité répond à ces conditions \fg. \item On considère l'équation différentielle \[4y'' - 12y' + 9y = 1.\] \textbf{Affirmation :} \og Il existe une solution à cette équation différentielle qui est strictement négative sur $\R$. \fg. \item Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij. On considère la droite $d$ d'équation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&1 - 2t\\y &=&5 - \phantom{2}t, \end{array}\right., t \in \R$ et le cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega(5~;~2)$ et de rayon 4. \textbf{Affirmation :} \og Le point A de la droite $d$ de coordonnées (3~;~6) dans le repère \Oij{} est le point le plus proche du cercle $\mathcal{C}$ \fg. \item Soit $\left(u_n\right)$ une suite définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n}$. \textbf{Affirmation :} \og La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante minorée par 0 et converge vers 0 \fg. \item Soit l'ensemble $E$ des matrices carrées de taille $2 \times 2$ à coefficients réels. \textbf{Affirmation :} \og La matrice $\begin{pmatrix}2&0\\1&2\end{pmatrix}$ est diagonalisable dans $E$ \fg. \item On considère la proposition suivante: \og Si deux matrices $B$ et $C$ carrées de taille $3 \times 3$ sont égales, alors pour toute matrice $A$ carrée de taille $3 \times 3$, on a $A \times B = A \times C$ \fg. \textbf{Affirmation :} \og La proposition réciproque est vraie \fg. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \textbf{Partie 1 : La fonction sinus} \medskip \begin{enumerate} \item Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij. On note $(\mathcal{C})$ le cercle trigonométrique de centre O et $M_x$ le point de $(\mathcal{C})$ tel que $x$ soit une mesure en radian de l'angle orienté $\left(\vect{\imath}~;~\vect{\text{O}M_x}\right)$. Rappeler la définition des nombres $\cos (x)$ et $\sin (x)$ pour tout $x$ réel. \item Montrer que l'aire d'un triangle dont on connaît l'un des angles $\theta$ et les longueurs $\alpha$ et $\beta$ des côtés adjacents à cet angle est égale à $\dfrac{\alpha \beta \sin \theta}{2}$. \end{enumerate} \begin{minipage}{0.58\linewidth} \begin{enumerate}[resume] \item Sur la figure ci-contre, $a$ et $b$ désignent les mesures en radian des angles $\left(\vect{\text{AC}}~;~\vect{\text{AH}}\right)$ et $\left(\vect{\text{AH}}~;~\vect{\text{AB}}\right)$ et $u, v$ et $w$ sont respectivement les longueurs AC, AH et AB. En vous appuyant sur cette figure, démontrer à l'aide de la question précédente l'égalité suivante : \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.38\linewidth} \psset{unit=0.9} \begin{pspicture}(6.5,3) %\psgrid \pspolygon(0.3,0.3)(6.1,0.3)(2.4,2.4)%CBA \psline(2.4,2.4)(2.4,0.3)%AH \psframe(2.4,0.3)(2.6,0.5) \psarc(2.4,2.4){0.3}{225}{270}\psarc(2.4,2.4){0.35}{270}{330} \uput[dl](0.3,0.3){C} \uput[dr](6.1,0.3){B} \uput[u](2.4,2.4){A} \uput[d](2.4,0.3){H} \uput[ul](1.35,1.35){$u$} \uput[l](2.4,1.35){$v$} \uput[ur](4.25,1.35){$w$} \rput(2.2,1.9){$a$} \uput[dr](2.55,2.15){$b$} \end{pspicture} \end{minipage} \[\sin (a + b) = \sin (a) \cos(b) + \sin(b) \cos(a)\] pour tous réels $a$ et $b$ positifs vérifiant $0 < a + b < \pi$. \begin{enumerate}[start=4] \item À l'aide de l'exponentielle complexe, montrer que l'égalité de la question 3 est vraie pour tous les réels $a$ et $b$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2 : Étude d'une fonction} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \sin ^5 (x)$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe dans le repère orthonormé \Oij. \medskip \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $f$ est $2\pi$-périodique et impaire sur $\R$. \item Montrer que pour tout $t \in \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$, \: $f\left(\dfrac{\pi}{2} - t\right) = f\left(\dfrac{\pi}{2} + t\right)$. \item Justifier que l'étude de la fonction $f$ peut être limitée à l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$. \end{enumerate} \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ et en déduire celui de $f$ sur l'intervalle $[- \pi~;~\pi]$. \item Déterminer l'équation des tangentes à la courbe respectivement aux points d'abscisse 0, d'abscisse $\dfrac{\pi}{4}$, puis d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$. \item Démontrer que la fonction $f$ admet un unique point d'inflexion sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$. \item Représenter une allure de la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[- \pi~;~ \pi]$. \item En utilisant la méthode des rectangles à gauche et à droite avec 5 rectangles dont la longueur de la base est $\dfrac{\pi}{10}$, donner un encadrement de $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^5 x \:\text{d}x$. \end{enumerate} \begin{minipage}{0.62\linewidth} \begin{enumerate}[resume] \item On utilise la méthode des rectangles avec $n$ rectangles dont la longueur de la base est $\dfrac{\pi}{2n}$. Préciser ce qu'il faut écrire à la place du mot TEXTE dans l'algorithme ci-contre, écrit en langage Python, afin d'obtenir une valeur approchée par défaut du nombre $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^5 x \:\text{d}x$. Il n'est pas demandé ici d'en calculer une valeur approchée. \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.34\linewidth} \begin{tabular}{|l|}\hline from math import*\\ ~\\ def integrale (n):\\ \quad aire = 0\\ \quad for k in range (n):\\ \quad \quad aire aire = aire + TEXTE\\ \quad return aire\\ \hline \end{tabular} \end{minipage} \bigskip \textbf{Partie 3 : Les intégrales de Wallis} \medskip On considère la suite d'intégrales $\left(S_n\right)_{n\in \N}$ définie pour tout entier naturel $n$ par \[S_n = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n (x)\:\text{d}x.\] \begin{enumerate}[start=12] \item \textbf{Les premiers termes} \begin{enumerate} \item Calculer $S_0$ et $S_1$. \item Soit $x \in \R$. Exprimer $\sin^2 (x)$ en fonction de $\cos (2x)$ et en déduire la valeur de $S_2$. \item Après avoir justifié que, pour tout réel $x$, on a $\sin ^3 (x) = \sin (x) - \sin (x) \cos ^2 (x)$, calculer la valeur de $S_3$. \end{enumerate} \item \textbf{Sens de variation de la suite} \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ et tout entier naturel $n$, on a : $0 < \sin ^{n+1} (x) < \sin ^n (x)$. \item En déduire que la suite $\left(S_n\right)_{n\in \N}$ est convergente. \end{enumerate} \item \textbf{Limite de la suite} \begin{enumerate} \item Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que pour tout entier naturel $n$, \[S_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2}S_n.\] - \item Montrer que la suite $\left(R_n\right)_{n\in \N}$ définie par $R_n = (n + 1)S_nS_{n+1}$ est constante et donner la valeur de cette constante. \item En déduire que $\left(S_n\right)_{n\in \N}$ a pour limite 0. \end{enumerate} \item \textbf{Application aux calculs des termes} \begin{enumerate} \item À l'aide de la relation de récurrence trouvée précédemment, retrouver la valeur de $S_3$ déjà obtenue à la question 12. \item Donner l'expression générale de $S_n$ selon la parité de $n$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 4 : Une loi de probabilité} \medskip On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ par \[g(x) = \dfrac{15}{16} \sin ^5 (x)\] et sa courbe $\Gamma$ dans un repère orthogonal. \begin{enumerate}[resume] \item Dans cette question, on cherche l'expression d'une primitive de la fonction $g$ sur $[0~;~\pi]$. \begin{enumerate} \item Rappeler la formule générale du binôme de Newton. \item Développer l'expression $\left(\text{e}^{\text{i}t} - \text{e}^{-\text{i}t}\right)^5$. \item En déduire que pour tout réel $x$, \[\sin ^5 (x) = \dfrac{1}{16}\sin (5x) - \dfrac{5}{16} \sin (3x) + \dfrac{5}{8} \sin (x).\] \item En déduire une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $\displaystyle\int_0^{\pi} g(x)\:\text{d}x = 1$. \item En déduire que $g$ définit la fonction densité de probabilité d'une variable aléatoire à densité. \end{enumerate} \end{enumerate} On note $X$ la variable aléatoire de densité $g$ et $P$ la probabilité associée définie, pour tout $t \in [0~;~\pi]$ par $P(X \leqslant t) = \displaystyle\int_0^{t} g(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate}[resume] \item Montrer que $P\left(X \leqslant \dfrac{\pi}{2}\right) = P\left(X \geqslant \dfrac{\pi}{2}\right) = 0,5$. \item En admettant que $P\left(X \leqslant \dfrac{\pi}{4}\right) \approx 0,02$, donner une valeur approchée de $P\left(\dfrac{\pi}{2} \leqslant X < \leqslant \dfrac{3\pi}{4}\right)$. \item Montrer qu'il existe un unique $t_0 \in \left[\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ tel que $P\left(X \leqslant t_0 \right) = 0,3$. \item Par la méthode de votre choix, déterminer une valeur approchée de $t_0$ à 0,01 près. \item Dans cette question, on cherche à calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$. \begin{enumerate} \item Pour tout nombre $k$ réel non nul, déterminer l'expression de l'intégrale $\displaystyle\int_0^{\pi}x \sin (kx) \:\text{d}x$. \item En déduire l'espérance de $X$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}