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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}  
\lhead{\small CAPES interne}%tapez un titre
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{2005}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

 {\Large \textbf{\gray \decofourleft~CAPES interne   2005~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{Problème 1}
 
Dans tout le problème, on considère la fonction numérique $f$ de variable réelle définie par : 
\[\text{pour tout}~ x~ \text{réel},~ f(x) = - x^2 + 2 x + 1 \]
et la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \N}$ définie par : 
\[u_{0}~ \text{réel fixé et pour tout entier naturel}~ n,~ u_{n+1} = f\left(u_{n}\right).\] 

\medskip

\textbf{I. Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath
 
\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$. 
\item Déterminer les deux racines de l'équation $f(x) - x = 0$. 

Ces deux racines sont réelles et de signe contraire. On note $\ell_{1}$ la racine négative et $\ell_{2}$ la racine positive. 
\item  Montrer que, pour tout $x$ réel : 
\begin{center}\begin{tabular}{l l l}
si $x < \ell_{1}$	& alors	& $f(x) < \ell_{1}$ ;\\ 
si $1 < x < 2$	& alors	& $1 <f(x) < 2$.\\
\end{tabular}
\end{center} 
\item  Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ en faisant notmnment figurer dans le tableau les valeurs de $x$ égales à $\ell_{1},~\ell_{2},~1$ et $2$ ainsi que les valeurs correspondantes de $f(x)$. 
\item  Tracer la courbe représentative de la fonction $f$,  notée $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormal du plan d'unité graphique 2~cm.
 
Préciser les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des abscisses. 
\item  Sur le même graphique, tracer la droite $D$ d'équation $y = x$.
 
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et de la droite $D$ ainsi que la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $D$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{II. Étude de la suite}~\boldmath  $\left(u_{n}\right)_{n\in \N}$ \unboldmath
 
\begin{enumerate}
\item  Sur le graphique précédent représenter à l'aide de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et de la droite $D$ les quatre premiers termes de la suite   $\left(u_{n}\right)_{n\in \N}$ 
	\begin{enumerate}
		\item  lorsque $u_{0} = - 0,7$ ; 
		\item  lorsque $u_{0} = 1,25$. 
	\end{enumerate}
\item Montrer que si la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \N}$ a une limite finie $\lambda$, alors $\lambda$ ne peut prendre que l'une des deux valeurs  $\ell_{1}$ ou $\ell_{2}$. 
\item  \textbf{Dans cette question, on suppose : } \boldmath $u_{0} < \ell_{1}$ \unboldmath 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} < \ell_{1}$. 
		\item  Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \N}$ est décroissante. 
		\item  La suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \N}$ est-elle convergente ? Justifier la réponse. 
	\end{enumerate}
\item  \textbf{Dans cette question, on suppose :} \boldmath $u_{0} \in  ]1~;~\ell_{2}[$ \unboldmath 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $\ell_{2} < u_{1} < 2$.
		 
Dans les questions qui suivent, on note $\left(v_{n}\right)_{n\in \N}$ et $\left(w_{n}\right)_{n\in \N}$ les suites définies pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = u_{2n}$ et $w_{n} = u_{2n+1}$. 
		\item  Prouver que, pour tout entier naturel $n, v_{n+1} = f \circ f\left(v_{n}\right)$ et 
		
$w_{n+1}=  f \circ f\left(w_{n}\right)$. 
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,$ 
\[1 < v_{n} < \ell_{2}\quad  \text{et} \quad  \ell_{2} < w_{n} < 2.\] 
		\item  Pour tout réel $x$, calculer $f \circ f(x)$. 
		\item  Déterminer $a$ et $b$ réels tels que, pour tout réel $x,$
		 
\[f \circ f(x) - x = \left(-x^2 + x + 1\right)\left(x^2 + a x + b\right). \]
		\item  Détermincr les valeurs du réel $x$ telles que $f \circ f(x) - x = 0$. 
		
En déduire le signe de $f \circ f(x) - x$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]1~;~ 2[$. 
		\item  En étudiant le signe de $v_{n+1} - v_{n}$ pour $n$ entier naturel, démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)_{n\in \N}$ est décroissante. 
		
Montrer par la même méthode que la suite $\left(w_{n}\right)_{n\in \N}$ est croissante. 
		\item  Prouver que les suites $\left(v_{n}\right)_{n\in \N}$ et $\left(w_{n}\right)_{n\in \N}$ sont convergentes et préciser la limite de chacune d'entre elles. 
		\item  La suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \N}$ est-elle convergente ? Justifier la réponse. 

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
	
\textbf{Problème II}
 
Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij. 

Étant donné un réel strictement positif $p~ (p > 0)$, on désigne par $D$ la droite d'équation $y =  - \dfrac{p}{2}$  et par F le point de coordonnées $\left(0~;~ \dfrac{p}{2}\right)$.

On considère l'ensemble des points $M$ du plan équidistants du point F et de la droite $D$ c'est-à- dire tels que MF = MH où H est le projeté orthogonal de M sur la droite $D$.
 
Par définition, cet ensemble est la parabole $\mathcal{P}$ de directrice $D$ et de foyer F. 

\bigskip

\textbf{Pour répondre aux différentes questions, il est vivement conseillé de faire plusieurs schémas qui pourront servir de support aux divers raisonnements.} 

\medskip

\textbf{Question préliminaire}
 
On désigne par K le projeté orthogonal de F sur la droite $D$. 

Vérifier que O appartient à la parabole $\mathcal{P}$ et que O est le milieu du segment [FK]. O est appelé sommet de la parabole. 

\medskip

\textbf{Partie 1 Étude de quelques propriétés de la parabole et de ses tangentes}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Soit M un point du plan de coordonnées $(x~;~y)$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les coordonnées de H projeté orthogonal de M sur la droite $D$. 
		\item Déterminer une équation de l'ensemble des points M du plan tels que : 

\[\text{MF}^2  = \text{MH}^2.\] 
		\item~En déduire que la parabole $\mathcal{P}$ de foyer F et de directrice $D$ a pour équation 
 $y = \dfrac{1}{2p}x^2$ dans le repère \Oij. 
	\end{enumerate}
\item En choisissant 2~cm pour unité graphique dans le plan, tracer la parabole $\mathcal{P}_{0}$ correspondant au cas $p = \dfrac{1}{2}$. On placera sur le graphique le foyer F$_{0}$ et la directrice $D_{0}$ de la parabole. 

\medskip

\emph{On revient maintenant au cas général où $p$ est un réel strictement positif quelconque. }

\medskip

\item Soient M$_{0}$ un point de la parabole $\mathcal{P}$ d'abscisse $x_{0}$ et H$_{0}$ le projeté orthogonal de M$_{0}$ sur la droite $D$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}_{0}$ en M$_{0}$ à la parabole $\mathcal{P}$. Préciser la tangente au sommet de la parabole ; cette droite sera désignée par $d$. 
		\item  Montrer que la droite $\mathcal{T}_{0}$ est la médiatrice du segment $\left[\text{FH}_{0}\right]$. 

		\item  Soit T$_{0}$ le point d'intersection de la tangente $\mathcal{T}_{0}$ en M$_{0}$ à la parabole $\mathcal{P}$ avec la 
droite $D$. 
 
Que représente la droite $\mathcal{T}_{0}$ pour l'angle $\widehat{\text{H}_{0}\text{T}_{0}\text{F}}$ ? 
		\item  Montrer que les droites $\left(\text{FT}_{0}\right)$ et $\left(\text{FM}_{0}\right)$ sont perpendiculaires.
		\item Soit $f_{0}$ le projeté orthogonal de F sur la tangente $\mathcal{T}_{0}$ en M$_{0}$  à $\mathcal{P}$.
		
		 Montrer que $f_{0}$ est un point de la droite $d$. 
	\end{enumerate}
\item Soient A et B deux points de la parabole $\mathcal{P}$ d'abscisses respectives $a$ et $b$ avec $a < b$. Les tangentes en A et B à la parabole $\mathcal{P}$ se coupent au point Q. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les coordonnées des points A, B et Q. 
		\item  On désigne par I le milieu du segment [AB] et par E le point d'intersection de la droite (IQ) avec la parabole $\mathcal{P}$.
		 
Montrer que les droites (IQ) et $D$ sont perpendiculaires.
 
Déterminer les coordonnées du point E ; vérifier que E est milieu du segment [IQ]. 
		\item  Montrer que la droite qui passe par les points $\alpha $ et $\beta$ milieux respectifs des segments [AQ] et [BQ] est tangente en E à la parabole $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie II}
 
\textbf{On s'intéresse dans cette partie II à la construction « à la règle et au compas »  des tangentes à la parabole $\mathcal{P}$ issues d'un point donné du plan.} 

\begin{enumerate}
\item  On appelle : 

« intérieur de la parabole $\mathcal{P}$ » l'ensemble des points M du plan de coordonnées $(x~;~ y)$ tels que  $y > \dfrac{1}{2p}x^2$, 

« extérieur de la parabole $\mathcal{P}$ » l'ensemble des points M du plan de coordonnées $(x~;~ y)$ tels que  $y < \dfrac{1}{2p}x^2$. 
 
Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les distances du point M au point F et du point M à la droite $D$ pour que ce point M appartienne à l'intérieur (respectivement à l'extérieur) de la parabole $\mathcal{P}$J' 
\item Soit Mo un point de la parabole $\mathcal{P}$,  H$_{0}$ le projeté orthogonal de M$_{0}$ sur la droite $D$ et $\mathcal{T}_{0}$ la tangente à la parabole $\mathcal{P}$ au point M$_{0}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout point N de la droite $\mathcal{T}_{0}$,~ NH$_{0} = $ NF. 
		\item  Montrer que tout point N de la droite $\mathcal{T}_{0}$, distinct de M$_{0}$, est extérieur à la parabole $\mathcal{P}$. 
		\item  N désigne un point du plan. 
		
Déterminer le nombre de tangentes à la parabole $\mathcal{P}$ passant par N selon la position de N  dans le plan. 
		\item  Dans le cas où il existe deux tangentes à la parabole $\mathcal{P}$ passant par le point N, déduire des questions précédentes une construction « à la règle et au compas » de ces tangentes. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie III On s'intéresse dans cette partie à la construction « à la règle et au compas~» du ou des points d'intersection de la parabole $\mathcal{P}$ de foyer F et de directrice $D$ avec une droite du plan, s'ils(s) existe(nt).}

\medskip

Le point F et la droite $D$ étant donnés, on désigne par $\Delta$ une droite du plan. 
\begin{enumerate}
\item  Étude de deux cas particuliers 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le (ou les) point(s) d'intersection de la droite $\Delta$ et de la parabole $\mathcal{P}$ lorsque la droite $\Delta$ est perpendiculaire à la droite $D$. 
		\item Construire, s'ils existent, le (ou les) points) d'intersection de la droite $\Delta$ et de la parabole $\mathcal{P}$ lorsque la droite $\Delta$ est parallèle à la droite $D$. 
 	\end{enumerate}
\item Prouver que la parabole $\mathcal{P}$ est l'ensemble des centres des cercles passant par le point F et tangents à la droite $D$. 
\item Etude du cas général 

On suppose que la droite $\Delta$ n'est ni parallèle, ni perpendiculaire à $D$. On note T le point d'intersection de la droite $D$ et de la droite $\Delta$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Soient $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ deux cercles centrés sur la droite $\Delta$ et tangents à la droite $D$. 
		Montrer que le cercle $\mathcal{C}'$ est l'image du cercle $\mathcal{C}$ par une homothétie de centre T. 
		
\medskip

\emph{On suppose dans les deux questions suivantes qu'il existe au moins un point M de la parabole $\mathcal{P}$ appartenant à la droite $\Delta$.}
		\item  Montrer que tout cercle centré sur la droite $\Delta$ et tangent à la droite $D$ coupe la droite (TF) en au moins un point. 
		\item  Proposer une construction « à la règle et au compas » du ou des points d'intersection de la droite $\Delta$ avec la parabole $\mathcal{P}$ lorsque ces points existent. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie IV On se propose dans cette partie de déterminer, par deux méthodes différentes, l'aire d'un « segment » de parabole c'est à dire l'aire de la partie de plan délimitée par un arc de parabole et la corde qui le sous-tend}

\medskip

Dans cette partie, on considère toujours la parabole $\mathcal{P}$ de directrice $D$ et de foyer F admettant  dans le repère orthonormal \Oij{} l'équation $y = \dfrac{1}{2p}x^2$.

A et B sont deux points de la parabole $\mathcal{P}$ ; les tangentes en A et B à $\mathcal{P}$ se coupent au point Q. 

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Méthode analytique} 
On note $a$ et $b$ les abscisses respectives des points A et B avec $a < b$. 
	\begin{enumerate}
		\item	 Déterminer l'aire $\mathcal{A}$ du triangle ABQ. 
		\item  Déterminer une équation de la droite (AB). 
		\item   Déterminer l'aire $\mathcal{A}'$ de la partie de plan délimitée par l'arc de parabole $\wideparen{\text{AB}}$ et la corde [AB] en fonction de $\mathcal{A}$. 
		\item   Quelle relation existe-t-il entre $\mathcal{A}$ et $\mathcal{A}'$ ? 
	\end{enumerate}
\item \textbf{Méthode géométrique}
 
Les résultats des questions \textbf{1.} à \textbf{4.} sont utilisés par Archimède dans son ouvrage sur la « quadrature du segment de parabole ». 

I désigne le milieu du segment [AB], E l'intersection de la droite (IQ) avec la parabole $\mathcal{P}$ ; $\alpha$  et $\beta$ sont les milieux respectifs des segments [AQ] et [BQ].
 
\emph{On admet que tout point situé à l'intérieur ou sur les côtés du triangle AEB appartient à la partie de plan délimitée par l'arc de parabole $\wideparen{\text{AB}}$  et la corde [AB] qui le sous-tend et que tout point de cette partie du plan est situé à l'intérieur ou sur les côtés du triangle ABQ.} 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que E est le milieu du segment $[\alpha \beta]$ 
		\item  Exprimer l'aire du triangle ABE en fonction de $\mathcal{A}$, aire du triangle ABQ et justifier l'inégalité suivante : 
\[\dfrac{1}{2}\mathcal{A} \leqslant  \mathcal{A}' \leqslant \mathcal{A}.\] 
		\item  On désigne par K et K$'$ les milieux respectifs des segments [AE] et [BE] et, par L et L$'$, les points d'intersection de la parabole $\mathcal{P}$ respectivement avec les droites ($\alpha$K) 
et ($\beta$K$'$). 
		\begin{enumerate}
			\item  Exprimer l'aire des triangles AEL et EBL$'$ en fonction de $\mathcal{A}$, aire du triangle ABQ. 
			\item   Exprimer l'aire du triangle $\alpha \beta$Q à l'aide de $\mathcal{A}$.
			\item	Démontrer la double inégalité suivante : 
\[\dfrac{1}{2}\mathcal{A}\left(1 + \dfrac{1}{4} \right) \leqslant \mathcal{A}' \leqslant \mathcal{A}\left(1 - \dfrac{1}{4} \right).\] 
		\end{enumerate}
\item En itérant $n$ fois ($n$ entier naturel strictement positif) le procédé décrit précédemment, déterminer un encadrement de l'aire $\mathcal{A}'$ de la partie de plan délimitée par l'arc de parabole $\wideparen{\text{AB}}$ et la corde [AB] en fonction de $\mathcal{A}$. 
\item Qu'obtient-on par passage à la limite ? 
\item À quelle époque et où vivait Archimède? Citer au moins un résultat scientifique et au moins une invention technologique attribués à Archimède.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}