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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small CAPES }
\lfoot{\small{Deuxième épreuve (annulée)}}
\rfoot{\small{ 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES externe 2005 mathématiques~\decofourright}}

\bigskip

{\Large Deuxième épreuve écrite (annulée)}\end{center}

\medskip

\textbf{Notations}

$\mathcal{P}$ est un plan euclidien.

Étant donnés deux points distincts $A$ et $B$ du plan $\mathcal{P}$, on note $]AB[$ le segment $[AB]$ privé de ses extrémités.

Si $\Gamma$ est un cercle de  centre $\Omega$, de rayon $R$, on appellera \og intérieur du cercle $\Gamma$ \fg{} et on notera
$\mathcal{I}(\Gamma)$ le disque ouvert, de centre 
$\Omega$, de rayon $R$ qui est limité par $\Gamma$.

On a donc $\mathcal{I}(\Gamma) = \{M \in \mathcal{P}~ |~ 
\Omega M < R\}$.

 De même, l'extérieur du cercle $\Gamma$, noté $\mathcal{E}(\Gamma)$ est l'ensemble :
$\mathcal{E}(\Gamma) = \{M \in  \mathcal{P} ~|~ 
\Omega M > R\}$.

\medskip

\textbf{Recommandations importantes.}

\medskip

Les sept parties de ce problème sont très largement dépendantes. Il est recommandé de les traiter dans l'ordre, mais on pourra toujours admettre un résultat pour continuer le problème.

Dans ce problème, on demande plusieurs fois de proposer une \emph{construction géométrique} d'une figure ou d'un élément d'une figure. Ceci signifie que l'on demande une suite d'instructions
permettant de réaliser de façon théorique cette figure ou cet élément à l'aide de la règle et du compas. \emph{On réalisera effectivement cette construction dans une figure.}

Cependant, on supposera connues, on ne détaillera pas et on pourra utiliser sans explication les constructions géométriques élémentaires classiques suivantes :

\setlength{\parindent}{5mm}
\begin{itemize}
\item tracé de la médiatrice ou du milieu d'un bipoint ;
\item tracé du cercle passant par trois points non alignés ;
\item tracé de la parallèle à une droite passant par un point donné ;
\item tracé de la perpendiculaire à une droite passant par un point donné.
\end{itemize}
\setlength{\parindent}{0mm}

\newpage

{\Large \textbf{Partie I : Puissance d'un point par rapport à un cercle}}

\medskip

Soit $\Gamma$ un cercle de $\mathcal{P}$, de centre 
$\Omega$, de rayon $R > 0$.

\begin{enumerate}
\item  Soit $M$ un point de $\mathcal{P}$, et soit $\mathcal{D}$ une droite passant par $M$ et coupant $\Gamma$ en deux points $T_{1}$
et $T_{2}$. On pose
\[p_{[\mathcal{D},~\Gamma]}(M) = \overline{MT_{1}} \cdot \overline{MT_{2}}.\]

Montrer que $p_{[\mathcal{D},~\Gamma]}(M) = 
\Omega M^2 - R^2$ donc que $p_{[\mathcal{D},~\Gamma]}(M)$ ne dépend pas de la droite sécante $\mathcal{D}$.

(On pourra, introduire le point $H$, projeté orthogonal de $\Omega$
 sur $\mathcal{D}$).
 
Dans cette situation, on pose $p_{\Gamma}(M) = p_{[\mathcal{D},~\Gamma]}(M)$ (quelle que soit la droite $\mathcal{D}$ passant par $M$
et coupant $\Gamma$ en deux points) et on appelle cette quantité $p_{\Gamma}(M)$ \emph{la puissance du point $M$ par
rapport au cercle $\Gamma$}.
\item  Quel rapport y a-t-il entre le signe de la puissance d'un point $M$ par rapport à un cercle $\Gamma$ et sa position dans le plan ?
\item  Quelle est la puissance du centre d'un cercle par rapport à ce cercle ?
\item  Soit $\Gamma$ un cercle et soit $\mathcal{D}_{0}$ une droite passant par $M$ et tangente au cercle $\Gamma$ en un point $T$.

Que peut-on dire du point $M$ si une telle droite $\mathcal{D}_{0}$ existe ? $\mathcal{D}_{0}$ est-elle unique ?
Montrer que $p_{\Gamma}(M) = MT^2$.

\item  Soient $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ deux cercles sécants en deux points $A$ et $B$. Montrer que la droite $(AB)$ est
exactement l'ensemble de tous les points $M$ du plan qui vérifient la relation
\[p_{\Gamma_{1}}(M) = p_{\Gamma_{2}}(M)\]

\item  Déterminer la nature de l'ensemble des points qui ont la même puissance par rapport à deux cercles lorsque ceux-ci ne sont pas forcément sécants. Que peut-on en dire si les deux cercles
sont tangents ?
\item  $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal 
$\mathcal{R} =$ \Oij. Soit $\Gamma$ un cercle dont l'équation
cartésienne dans le repère $\mathcal{R}$ est 
$x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$.
 
Déterminer la puissance du point $O$ (origine du repère) par rapport à ce cercle.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

{\Large \textbf{Partie II : Construction d'une $\Pi$-droite}}

\medskip

Dans cette partie, $\mathcal{C}$ est un cercle de centre $O$ et de rayon $R$, et $\Pi$ le disque ouvert limité par
$\mathcal{C}$. $A$ et $B$ sont deux points distincts de $\Pi$.

Le but de cette partie est de montrer qu'en général, pour toute paire $\{A,~B\}$ de points du disque
ouvert $\Pi$, il y a existence et unicité, d'un cercle $\Gamma$ passant par $A$ et $B$, et coupant $\mathcal{C}$ en deux
points \emph{diamétralement opposés}, tout en proposant une construction géométrique de ce cercle $\Gamma$.
\begin{enumerate}
\item  On suppose que $A$ et $B$ sont situés sur un même diamètre du cercle $\mathcal{C}$. Montrer qu'aucun
cercle passant par A et B ne rencontre $\mathcal{C}$ en deux points diamétralement opposés. (On pourra
calculer de deux manières la puissance de $O$ par rapport à un cercle $\Gamma$ qui passerait par $A$ et $B$ et qui couperait $\mathcal{C}$ en deux points diamétralement opposés).
\item   On suppose que $A$ et $B$ ne sont pas situés sur un même diamètre et que $OA = OB$. Montrer
dans ce cas l'existence et l'unicité d'un cercle $\Gamma$ qui passe par $A$ et $B$ et qui rencontre $\mathcal{C}$ en deux points diamétralement opposés. Proposer une construction géométrique de ce cercle.
\item   On suppose que $OA \neq OB$ et que $A$ et $B$ ne sont pas sur un même diamètre. On suppose
qu'il existe un cercle $\Gamma$, de centre $\Omega$, qui rencontre $\mathcal{C}$ en deux points diamétralement opposés
$T_{1}$ et $T_{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $(AB)$ rencontre $\left(T1T2\right)$ en un point unique $S$.
		\item  Comparer $p_{\mathcal{C}}(S)$ et 
		$p_{\Gamma}(S)$.
		\item  Soit $\Gamma'$ un cercle quelconque passant par $A$ et $B$ et rencontrant $\mathcal{C}$ en deux points $U_{1}$ et $U_{2}$ distincts. Comparer la puissance de $S$ par rapport aux cercles $\mathcal{C}, ~\Gamma$ et $\Gamma'$ et en déduire que
$S \in \left(U_{1}U_{2}\right)$.
		\item  Lorsqu'on ne connaît pas le cercle $\Gamma$, déduire de ce qui précède une construction géométrique
du point $S$, puis du cercle $\Gamma$.
		\item  Justifier l'existence et l'unicité de $\Gamma$.
 	\end{enumerate}
\item Autre démonstration de l'existence et l'unicité de $\Gamma$ :

Dans cette question, le plan euclidien $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal $\mathcal{R} =$ \Oij et
$\mathcal{C}$ est le cercle de centre $O$, de rayon $R = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer qu'un cercle $\Gamma$ (distinct de $\mathcal{C}$) rencontre $\mathcal{C}$ en deux points diamétralement opposés si et seulement si $p_{\Gamma(O)} = - 1$.
		\item  En déduire une méthode analytique pour montrer l'existence et l'unicité de $\Gamma$ en en
déterminant une équation cartésienne puis son centre. Comment, dans cette méthode, reconnaît-on
que les coordonnées de $A$ et $B$ sont telles qu'on est dans le cas particulier étudié à la question 1. ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\Large \textbf{Partie III : Un problème de lieu géométrique}}

\medskip

Dans cette partie, $\mathcal{C}$ est un cercle de centre $O$, de rayon $R$, et $A$ est un point distinct de $O$,
situé dans le disque ouvert $\Pi$ limité par $\mathcal{C}$. Le but de cette partie est de déterminer le lieu $\mathcal{L}$
des centres des cercles qui passent par $A$ et qui coupent $\mathcal{C}$ selon deux points diamétralement opposés, puis d'en déduire une autre construction du cercle $\Gamma$ de la partie II.
\begin{enumerate}
\item  Soit $\left[T_{0}T'_{0}\right]$ le diamètre de $\mathcal{C}$ perpendiculaire à $(OA)$. Soit $\Gamma_{0}$ le cercle circonscrit au triangle $T_{0}T'_{0}A$, et 
$\Omega_{0}$ son centre. Soit  $\Omega$ un point de la perpendiculaire $\Delta$ à $(OA)$ qui passe par 
$\Omega_{0}$. Soit
$\left[T_{1}T_{2}\right]$ le diamètre de $\mathcal{C}$ qui est perpendiculaire à $(\Omega O)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que 
$\Omega T_{i} = 
\Omega A$ pour $i = 1,~ 2$.
		\item En déduire que $\Delta \subset \mathcal{L}$.
	\end{enumerate}
\item Montrer l'inclusion réciproque.
\item Déduire de cette étude une nouvelle construction géométrique du cercle $\Gamma$ qui passe par deux
points $A$ et $B$ (non situés sur un même diamètre) du disque $\Pi$, et qui coupe $\mathcal{C}$ en deux points diamétralement opposés.
\end{enumerate}

\bigskip

{\Large \textbf{Partie IV : Un « plan » étonnant}}

\medskip

On se place toujours dans un plan euclidien $\mathcal{P}$. On considère l'ensemble $\Pi = \mathcal{I}(\mathcal{C})$, qui est
le disque ouvert limité par le cercle $\mathcal{C}$ d'équation $x^2 + y^2 = 1$ dans le repère orthonormal
$\mathcal{R} =$ \Oij. On appelle $\Pi$-droite un sous-ensemble de $\Pi$ qui est d'un des deux types suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  soit c'est l'intersection de $\Pi$ avec un cercle $\Gamma$ (distinct de $\mathcal{C}$) qui passe par deux points
diamétralement opposés de $\mathcal{C}$.
\item  soit c'est l'intersection de $\Pi$ avec un diamètre de $\mathcal{C}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Le cercle [respectivement la droite] qui contient tous les points d'une $\Pi$-droite est le support de
la $\Pi$-droite.
\begin{enumerate}
\item  Justifier que par deux points distincts de $\Pi$ passe une unique $\Pi$-droite.

L'unique $\Pi$-droite passant par les deux points distincts $A$ et $B$ de $\Pi$ sera notée $((AB))$.
\item  Deux $\Pi$-droites seront dites $\Pi$-parallèles lorsqu'elles sont confondues ou que leur intersection est vide.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que si les supports de deux  $\Pi$-droites se coupent en deux points diamétralement
opposés de $\mathcal{C}$, alors ces $\Pi$-droites sont $\Pi$-parallèles.
		\item  Soit $U = \left]T_{0}T'_{0}\right[$ une $\Pi$-droite dont le support est un diamètre de $\mathcal{C}$ et soit $V$ une $\Pi$-droite dont le support est un cercle $\Gamma$ qui rencontre $\mathcal{C}$ en deux points diamétralement opposés $T_{1}$ et
$T_{2}$ (non confondus avec $T_{0}$ ou $T'_{0}$).

En considérant la puissance de $O$ par rapport à $\Gamma$, montrer que $O$ est intérieur au cercle $\Gamma$ puis
que la $\Pi$-droite $\left]T_{0}T'_{0}\right[$ rencontre la $\Pi$-droite dont le support est $\Gamma$ en un point unique.
		\item  Montrer que si $\Gamma$ et $\Gamma'$ sont deux cercles coupant $\mathcal{C}$ en des couples différents de points
diamétralement opposés respectivement $\left(T_{1},~  T_{2}\right)$ pour $\Gamma,~ (T'_{1},~  T'_{2})$ pour $\Gamma'$, alors $\Gamma$ et $\Gamma'$ se coupent en deux points d'un diamètre de $\mathcal{C}$ , dont un seul est dans $\Pi$ (on pourra considérer des équations cartésiennes de ces cercles).
		\item  Montrer que si deux $\Pi$-droites non confondues sont $\Pi$-parallèles, alors leurs supports se coupent en deux points diamétralement opposés de $\mathcal{C}$.
		\item  Montrer que la relation de $\Pi$-parallélisme est une relation d'équivalence dans l'ensemble des $\Pi$-droites.
 	\end{enumerate}
\item Montrer que si deux $\Pi$-droites ne sont pas $\Pi$-parallèles, alors leur intersection est un singleton.
\item Montrer qu'étant donnés un point $A$ de $\Pi$ et une $\Pi$-droite $U$, il existe une unique $\Pi$-droite $V$ qui est $\Pi$-parallèle à $U$ et qui passe par $A$.

L'ensemble $\Pi$ vérifie donc deux axiomes classiques d'incidence dans un plan affine.

Pour compléter l'étude de ce « plan », les parties suivantes vont montrer qu'il peut être mis en bijection avec un plan usuel.
\end{enumerate}

\bigskip

{\Large \textbf{Partie V : Grands cercles d'une sphère et droites d'un plan}}

\medskip

Dans cette partie, $\Pi_{0}$ désigne le plan d'équation $z = 1$ dans un espace affine euclidien de dimension 3 rapporté à un repère orthonormal $\mathcal{R}' =$ \Oijk, et $\mathcal{P}$ désigne le plan d'équation
$z = 0$ ; un repère orthonormal du plan $\mathcal{P}$ est donc $\mathcal{R} =$ \Oij.

$\Sigma$ désigne la sphère unité, d'équation cartésienne $x^2+y^2+z^2 = 1$, et $\Sigma^{+}$ désigne le sous-ensemble
de $\Sigma$ formé des points $M$ dont la troisième coordonnée $z$ dans le repère $\mathcal{R}'$ est strictement positive.

On rappelle qu'un grand cercle d'une sphère est l'intersection d'un plan passant par le centre de la sphère avec cette sphère.

$\mathcal{C}$ désigne le cercle du plan $\mathcal{P}$ qui a pour centre $O$ et pour rayon 1. $\mathcal{C}$ est donc aussi un grand
cercle de $\Sigma$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'intersection de deux grands cercles non confondus de $\Sigma$ consiste toujours en deux points diamétralement opposés pour $\Sigma$.
\item Soit $\mathcal{Q}$ un plan passant par $O$, distinct de $\mathcal{P}$. Quelle est l'intersection de $\mathcal{Q}$ avec $\Sigma$ ? Et avec $\Sigma^{+}$ ? Et avec $\mathcal{C}$ ?
\item Montrer qu'on définit correctement une application $\varphi$ entre $\Pi_{0}$ et $\Sigma^{+}$ en associant à chaque
point $M$ de $\Pi_{0}$ le point d'intersection $M_{0}$ de la droite $(OM)$ avec $\Sigma^{+}$. Montrer que $\varphi$ est une
bijection entre $\Pi_{0}$ et $\Sigma^{+}$.
\item Montrer que l'image d'une droite affine de $\Pi_{0}$ par $\varphi$ est un \og demi-grand-cercle \fg{} de $\Sigma$. Définir
avec précision cette notion de « demi-grand-cercle ».
Caractériser analytiquement l'image par $\varphi$ d'une droite d'équations cartésiennes dans $\mathcal{R}'$ :
\[ \left\{ \begin{array}{l c l}
ax + by + c &=& 0\\
z &=& 1\\
\end{array}\right. \quad 
(\text{avec}~ (a, b) \neq  (0, 0)).\]
\end{enumerate}

\bigskip

{\Large \textbf{Partie VI : Une autre correspondance entre sphère et plan}}

\medskip

Les notations sont les mêmes que dans la partie V. $\Sigma^{*}$ désigne la sphère $\Sigma$ privée de son \og pôle sud \fg, c'est-à-dire du point $S$ de coordonnées $(0~;~ 0~;~-1)$.
\begin{enumerate}
\item  Montrer qu'on définit correctement une application $\psi$  entre $\Sigma^{*}$ et $\mathcal{P}$ en associant à chaque point $M$ de $\Sigma^{*}$ le point d'intersection $M'$ de la droite $(SM)$ avec $\mathcal{P}$. $\psi$ est-elle bijective ?

\item Soit $M$ un point de $\Sigma^{*}$ de coordonnées $(x~ ;~ y~;~ z)$ (dans $\mathcal{R}'$). Déterminer en fonction de $(x~ ;~ y~;~ z)$
les coordonnées $(x'~ ;~ y'~;~ z')$ de $M' =  \psi(M)$.
\item Soit $N$ un point de $\mathcal{P}$ de coordonnées $(x~;~ y)$ dans $\mathcal{R}$. Déterminer en fonction de $(x~;~ y)$ les
coordonnées $(X~;~Y~;~Z)$ de l'antécédent éventuel $M$ de $N$ par  $\psi$.
\item Montrer qu'un grand cercle de $\Sigma$ peut être caractérisé par un système d'équations du type

\[ \left\{ \begin{array}{l c l}
ax + by + cz &=& 0\\
x^2 + y^2 + z^2 &=& 1\\
\end{array}\right. \quad (\text{avec}~ (a~ ;~ b~ ;~ c) \neq (0~ ;~ 0~ ;~0)).\]

\item Montrer que l'image par  $\psi$ d'un grand cercle de $\Sigma$ ne passant pas par $S$ est un cercle de $\mathcal{P}$.

Quelle est l'image par $\psi$ de l'intersection avec $\Sigma^{*}$ d'un grand cercle de $\Sigma$ passant par $S$ ?
\item Soit $\mathcal{D}$ un grand cercle de $\Sigma$ et soit $\mathcal{D}^{*} = \mathcal{D} \cap \Sigma^{*}$. Que peut-on dire de l'intersection de  $\psi\left(\mathcal{D}^{*}\right)$
avec $\mathcal{C}$ ?
\item On appelle  $\psi^{+}$ la restriction de $\psi$  à $\Sigma^{+}$. Montrer que  $\psi^{+}$ réalise une bijection de $\Sigma^{+}$ vers le disque ouvert limité par $\mathcal{C}$.
\item   Montrer que l'image d'un \og demi-grand-cercle \fg{} (voir V. 3) par $\psi^{+}$ est une $\Pi$-droite (voir partie IV).
\end{enumerate}

\bigskip

{\Large \textbf{Partie VII : Synthèse et application}}

\medskip

Les notations sont celles des parties précédentes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer l'existence d'une bijection $h$ du plan affine $\Pi_{0}$ vers l'ensemble $\Pi$ induisant une bijection entre l'ensemble des droites de $\Pi_{0}$ et l'ensemble des $\Pi$-droites et conservant le parallélisme (en ce sens que deux droites parallèles de $\Pi_{0}$ sont transformées en deux $\Pi$-droites $\Pi$-parallèles).
\item  Donner des formules analytiques de $h$, c'est-à-dire un système exprimant les coordonnées $(x'~;~ y')$ dans le repère $\mathcal{R}$ de l'image $h(M)$ d'un point $M$ en fonction de ses coordonnées $(x~;~y~;~1)$
dans $\mathcal{R'}$.
\item Inverser le système précédent pour obtenir en fonction des coordonnées d'un point $M$ celles de $h^{-1}(M)$.
\item Voici une \emph{définition du $\Pi$-milieu de deux points de $\Pi$.}

\emph{Soient $A$ et $B$ deux points de $\Pi$. Soit $C$ un point quelconque de $\Pi$, non situé sur $((AB))$. On considère le point $D$, intersection de la $\Pi$-droite qui passe par $B$ et qui est $\Pi$-parallèle à $((AC))$ et de la $\Pi$-droite qui passe par $A$ et qui est $\Pi$-parallèle \`a $((BC))$. On appelle $\Pi$-milieu de la paire $\{A,~B\}$ le point $I$ intersection des $\Pi$-droites $((AB))$ et $((CD))$.}

\medskip

En utilisant la bijection $h$, démontrer que cette définition est correcte : on vérifiera que les $\Pi$-droites $((AB))$ et $((CD))$ ne sont pas $\Pi$-parallèles, et que cette définition ne dépend pas du point $C$ arbitrairement choisi.
\item  Soit $A$ le point de $\Pi$ de coordonnées $\left(0~;~\frac{1}{2}\right)$ et $B$ le point de coordonnées $\left(\dfrac{1}{4}~;~0\right)$. Donner une construction géométrique détaillée du $\Pi$-milieu $I$ de $\{A,~B\}$. (On fera une figure en prenant 8~cm comme unité)
\item  Donner les coordonnées des points $A' = h^{-1}(A),~ B' = h^{-1}(B)$ et $I' = h^{-1}(I)$. En déduire les coordonnées de $I$ dans le repère $\mathcal{R}$.
\end{enumerate}
\end{document}