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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small CAPES externe}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{ 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES externe 2005 mathématiques ~\decofourright}}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{\large Première épreuve écrite}\end{center}

\begin{center}\textbf{Notations et objet du problème} \end{center}

\medskip

On désigne par :

$\N$ l'ensemble des entiers naturels ;

$\Z$ l'anneau des entiers relatifs ;

$\Q$ le corps des nombres rationnels ;

$\Q^{*}$ l'ensemble des nombres rationnels non nuls ;

$\R$ le corps des nombres réels ;

$\R^{*}$ [resp. $\R^{*}_{+}$ l'ensemble des réels non nuls [resp. strictement positifs] ;

$\C$ le corps des nombres complexes ;

$\C^{*}$ l'ensemble des nombres complexes non nuls ;

$\Z[x]$ l'anneau des fonctions polynomiales à coefficients entiers relatifs.

Pour tout entier naturel $n$, on note $n!$ la factorielle de $n$ avec la convention $0! = 1$.

Si $f$ est une fonction indéfiniment dérivable définie sur $\R$ à valeurs réelles et $k$ est un entier naturel non nul, on note $f\up{(k)}$ la fonction dérivée d'ordre $k$ de $f$. On utilise la convention habituelle,
$f\up{(0)}= f$.

Si $I$ est un intervalle réel non réduit à un point et $f$ une fonction dérivable de $I$ dans $\C^{*}$, on rappelle que la dérivée logarithmique de $f$ est la fonction $\dfrac{f'}{f}$.

\medskip

\setlength{\parindent}{5mm}
La première partie de ce problème est consacrée à la démonstration de quelques résultats utiles pour la suite.

\medskip

Dans la deuxième partie, à partir d'une caractérisation des sous groupes additifs de $\R$ (ils sont denses ou discrets), on déduit un critère d'irrationalité et on décrit une méthode permettant de
prouver qu'un réel est irrationnel.

\medskip

Cette méthode est utilisée dans la troisième partie pour montrer l'irrationalité de $\text{e}^r$ pour tout
nombre rationnel non nul $r$. Ce procédé permet également d'obtenir des approximations rationnelles de la fonction exponentielle.

\medskip

Dans la quatrième partie on s'intéresse aux racines réelles des solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients non constants et en particuliers aux racines réelles des fonctions de Bessel d'indice entier.

\medskip

Enfin dans la cinquième partie, on montre que les racines réelles non nulles des fonctions de Bessel d'indice entier sont irrationnelles en utilisant une méthode voisine de celle décrite dans la deuxième partie.

\setlength{\parindent}{0mm}
\medskip

On rappelle la formule d'intégration par parties itérée : si $a,~ b$ sont des réels tels que $a < b,~ n$ un
entier naturel non nul et $f,~ g$ des fonctions définies sur l'intervalle $[a~;~ b]$ à valeurs réelles et admettant des dérivées continues jusqu'à l'ordre $n$, alors :

\[\int_{a}^b f\up{(n)}(t) g(t)\:\text{d}t = \left[\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1} f^{(n-k)}g^{(k-1)}\right]_{a}^b + (-1)^n \int_{a}^b f(t) g^{(n)}(t)\:\text{d}t.\]

\newpage

\begin{center}
\textbf{- I - Résultats préliminaires} \end{center}

\emph{Pour cette partie, on désigne par $p$ un entier naturel, par $P$ une fonction polynomiale dans $\Z[x]$ non identiquement nulle, de degré $p$, et par $n$ un entier naturel.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $Q$ la fonction polynomiale définie par :
\[\forall x \in R, Q(x) = \dfrac{x^n}{n!}P(x).\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $k,~ Q^{(k)}(0)$ est un entier relatif.
		\item Montrer que pour tout entier naturel $k$ compris entre 0 et $p,~\dfrac{Q^{(n+k)}(0)}{k!}$ est un entier relatif.
 	\end{enumerate}
\item Soit $R$ la fonction polynomiale définie par :
	
\[\forall x \in \R,~ R(x) = \dfrac{1}{n!} [x (1 - x) P(x)]^n.\]
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $k$ les quantités $R^{(k)}(0)$ et $R^{(k)}(1)$ sont des entiers relatifs.
		\item Montrer que la fonction polynomiale $U$ définie par $U = R^{(n)}$ appartient à $\Z[x]$.
 	\end{enumerate}
\item  En reprenant les notations de \textbf{I. 2.},  où $P$ dans $\Z[x] \  \{0\}$ est de degré $p$, montrer que pour toute
fonction $f$ indéfiniment dérivable de $\R$ dans $\R$ on a :

\[\int_{0}^1 f(t)R^{(n)}(t)\: \text{d}t = (-1)^n \int_{0}^1 f^{(n)}(t)R(t)\:\text{d}t.\]
 \end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{- II - Sous-groupes additifs de} \boldmath $\R$ \unboldmath \textbf{et critères d'irrationalité} \end{center}

\medskip

\emph{On dit qu'un sous-groupe additif $H$ de $(\R,~ +)$ est discret si pour tout compact $K$ de $\R$, l'intersection $H \cap  K$ est vide ou finie.}

\emph{Pour tout réel $\theta$, on note $H_{\theta} = \Z + \theta\Z$ le sous-groupe additif de $\R$ engendré par 1 et $\theta$. Il est
défini par :}
\[H_{\theta} =  \left\{p + q\theta | (p,~ q) \in \Z^2\right\}.\]

\begin{enumerate}
\item  Montrer que les sous-groupes additifs de $\R$ discrets sont de la forme :
\[\alpha \Z = \{p \alpha | p \in \Z\},\]
où $\alpha$ est un réel.
\item   Soient $H$ un sous-groupe additif de $\R$ non réduit à $\{0\}$ et $K = H \cap \R^{*}_{+}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $K$ admet une borne inférieure $\alpha$ dans $\R_{+}$.
		\item  Montrer que si $\alpha$ est strictement positif, alors $\alpha$ est dans K.
		\item  Montrer que si $\alpha$ est strictement positif, alors $H$ est discret.
		\item  Montrer que si $\alpha$ est nul, alors $H$ est dense dans $\R$.
 	\end{enumerate}
\item Montrer qu'un réel $\theta$ est irrationnel si et seulement si le sous-groupe additif de $\R,~ H_{\theta} = \theta \Z + \Z$
est dense dans $\R$.
\item  Montrer qu'un réel $\theta$ est irrationnel si et seulement si il existe deux suites $\left(p_{n}\right)_{n\in \N}$ et  $\left(q_{n}\right)_{n\in \N}$ d'entiers relatifs telles que :
\begin{equation} \forall n \in \N, q_{n}\theta  - p_{n} \neq 0, \end{equation}
\begin{equation}\lim_{n \to + \infty} \left(q_{n}\theta - p_{n}\right) = 0.\end{equation}

\item  Montrer l'irrationalité du nombre e$ = \displaystyle\sum_{k=0}^{+ \infty} \dfrac{1}{k!}$ en utilisant le résultat de la question II.~4.

\item  Pour cette question, on se donne un entier naturel $p$, une fonction polynomiale $P$ dans $\Z[x]$ de
degré $p$ ne s'annulant pas sur $]0~;~ 1[$ et on lui associe les suites de fonctions polynomiales $\left(U_{n}\right)_{n \in \N}$
et $\left(L_{n}\right)_{n \in \N}$ définies par :
\[\forall n \in \N,~ \forall x \in \R, \left\{\begin{array}{l c l}
U_{n}(x)& =&\dfrac{1}{n!}[x (1 - x) P(x)]^n,\\
L_{n}(x) &=& U_{n}^{(n)}(x).\\
\end{array}\right.\]

On se donne également une fonction $f$ indéfiniment dérivable de $\R$ dans $\R$ et on lui associe la suite de réels $\left(R_{n}\right)_{n \in \N}$ définie par :
\[\forall n \in \N,~ R_{n} = \int_{0}^1 f(t)L_{n}(t)\:\text{d}t.\]
	\begin{enumerate}
		\item  On suppose que la fonction $f$ vérifie l'hypothèse suivante :
\[\forall n \in \N,~ \forall t \in ]0~;~1[,~ f^{(n)}(t) \neq 0. \tag{H1}\]
		
Montrer alors que $R_{n}$ est non nul pour tout entier naturel $n$.
		\item  On suppose que la fonction $f$ vérifie l'hypothèse suivante :
		
\[\text{il existe un réel}~ \rho  > 0~ \text{tel que la suite}~\left( \dfrac{\int_{0}^1 \left|f^{(n)}(t)\right|\:\text{d}t}{\rho^n}\right)_{n \in \N}~\text{soit born\'ee.}  \tag{H2}\]

Montrer que pour tout réel $\mu$ la suite $\left(\mu^n R_{n}\right)_{n \in \N}$ est convergente vers $0$.
		\item  On suppose que la fonction $f$ vérifie les hypothèses (H1), (H2) et l'hypothèse suivante :
		
\[\forall n \in \N,~ R_{n} = \dfrac{q_{n}\theta  - p_{n}}{\alpha \lambda ^n}  \tag{H3}\]

où $\alpha,~ \lambda,~\theta$ sont des réels non nuls et $\left(p_{n}\right)_{n \in \N},~ \left(q_{n}\right)_{n \in \N}$ deux suites d'entiers relatifs.

Montrer alors que le réel $\theta$ est irrationnel.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
 
\begin{center}
\textbf{- III - Irrationalité de} \boldmath $\text{e}^r$ \unboldmath \textbf{pour} \boldmath $r \in Q^{*}$ \unboldmath
 \end{center}
 
Pour cette partie, on désigne par $\left(U_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(L_{n}\right)_{n \in \N}$ les suites de fonctions définies par :
 
\[\forall n \in \N,~ \forall x \in \R,~\left\{\begin{array}{l c l}
U_{n}(x)& =&\dfrac{x^n (1 - x)^n}{n!},\\
L_{n}(x)& = &U_{n}^{(n)}(x)\\
 \end{array}\right.\]
et par $\left(R_{n}\right)_{n \in \N}$ la suite de fonctions définie par :
 
\[\forall n \in \N,~ \forall x \in \R, R_{n}(x) = \int_{0}^1 \text{e}^{xt} L_{n}(t)\:\text{d}t.\]
 
 \begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x$ non nul, $R_{n}(x)$ est non nul.
		\item   Montrer que pour tout entier naturel $n$ il existe un unique couple $\left(P_{n},~Q_{n}\right)$ de fonctions
polynomiales appartenant à $\Z[x]$ de degré égal à $n$ tel que :
\[\forall x \in \R^{*},~ R_{n}(x) = \dfrac{Q_{n}(x) \text{e}^x -  P_{n}(x)}{x^{n+1}}.\]
		\item   Montrer que pour tout réel $x$ on a, $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(x^n R_{n}(x)\right) = 0$.
		\item   Montrer que pour tout entier relatif non nul $r,~ \text{e}^r$ est irrationnel.
 	\end{enumerate}
\item Montrer que pour tout nombre rationnel non nul $r,~ \text{e}^r$ est irrationnel.
\item Montrer que pour tout nombre rationnel $r$ strictement positif et différent de 1, $\ln (r)$ est irrationnel.
\item Montrer que pour tout $n \in \N$ on a $Q_{n}(0) \neq 0$ et que les parties régulières d'ordre $2n$ des développements limités au voisinage de $0$ de $\text{e}^x$ et
$\dfrac{P_{n}}{Q_{n}}$ sont identiques (on peut utiliser I. 3).
\item Montrer que pour tout réel $x,~ Q_{2n}(x)$ est non nul et :
\[\lim_{n \to +\infty} \dfrac{P_{2n}(x)}{Q_{2n}(x)} = \text{e}^x.\]
\item Pour cette question, $n \in \{1~;~ 2\}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $\dfrac{P_{2n}(x)}{Q_{2n}(x)}$
pour ces deux valeurs de $n$.
		\item  En déduire des approximations rationnelles du nombre e en précisant une majoration de l'erreur d'approximation.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{- IV -  Zéros des solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2} \end{center}

\begin{enumerate}
\item  Soient $I = [a~;~ b]$ un intervalle réel compact avec $a < b, ~\alpha,~\beta$,  deux fonctions continues de $I$ dans
$\R$ et $f$ une solution sur $I$ non identiquement nulle de l'équation différentielle :
\[y'' + \alpha y' + \beta y = 0.\]
Montrer que l'ensemble des zéros dans $I$ de la fonction $f$ est fini.
\item  Soient $I$ un intervalle réel non réduit à un point et $f,~ g$ deux fonctions dérivables de $I$ dans $\C^{*}$. Montrer que $f$ et $g$ ont même dérivée logarithmique sur $I$ si, et seulement si, elles sont
proportionnelles.
\item  Soient $I$ un intervalle réel non réduit à un point, $a$ un réel dans $I,~ f$ une fonction continûment dérivable de $I$ dans $\C^{*}$ et $\theta_{0}$ un réel tel que $f(a) = |f(a)| \text{e}^{\text{i}\theta_{0}}$. Montrer qu'il existe une unique
fonction $\theta$ continûment dérivable de $I$ dans $\R$ telle que $\theta(a) = \theta_{0}$ et $f(x) = |f(x)| \text{e}^{\text{i}\theta(x)}$ pour
tout $x$ dans $I$.
\item  Pour cette question, $\alpha$ est une fonction continue de $I = [a~;~+\infty[$ dans $\R^{*}_{+}$, où $a$ est un réel, et
$f$ une solution sur $I$, à valeurs réelles, non identiquement nulle de l'équation différentielle :

\begin{equation}
y'' + \alpha y = 0.\end{equation}

On désigne par $r$ la fonction définie sur $I$ par :
\[\forall x \in I,~ r(x) = \sqrt{[f(x)]^2 + [f'(x)]^2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la fonction $r$ est à valeurs strictement positives et continûment dérivable sur $I$.
		\item Montrer qu'il existe une fonction $\theta$ continûment dérivable et strictement décroissante de $I$ dans $\R$ telle que :
\[\forall x \in I,~\left\{\begin{array}{l c l}
f(x)& =& r(x) \cos (\theta(x)),\\
f"(x) &=& r(x) \sin (\theta(x)).\\
		\end{array}\right.\]
		\item On suppose pour cette question et la suivante que la fonction $\alpha$ est minorée sur $I$ par une
constante réelle $\lambda$ strictement positive. Montrer que la fonction $\theta$ réalise une bijection de
$I$ sur $]- \infty~;~ \theta(a)]$.
		\item Montrer que l'ensemble des zéros de la fonction $f$ dans l'intervalle $I$ forme une suite infinie strictement croissante de réels qui tend vers l'infini.
 	\end{enumerate}
\item Pour cette question $p$ désigne un entier naturel et on s'intéresse aux zéros d'une solution non identiquement nulle de l'équation de Bessel d'indice $p$ :

\begin{equation}x^2y'' + xy' + \left(x^2 - p^2\right)y = 0. \end{equation}
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $f$ une solution réelle non identiquement nulle sur $I = \R^{*}_{+}$ de (4) et $g$ la fonction définie sur $I$ par :
\[\forall x \in I,~ g (x) = \sqrt{x}f(x).\]
Montrer que $g$ est solution sur $I$ d'une équation différentielle de la forme (3) où la fonction $\alpha$ est à déterminer.
		\item Montrer que la série entière de terme général
$\dfrac{1}{k! (p + k)!}x^k$, où $k$ est un entier naturel, a
un rayon de convergence infini et que la fonction $J_{p}$ définie par :
\[\forall x \in R,~ J_{p}(x) = \left( \dfrac{x}{2}\right)^p I_{p}\left( - \left(\dfrac{x}{2} \right)^2\right),\]
où on a noté pour tout réel $x$ :

\[I_{p}(x) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \dfrac{1}{k! (p + k)!} x^k,\]

est solution sur $\R$ de l'équation différentielle (4) .
		\item Montrer que l'ensemble des zéros dans $\R_{+}$ de la fonction $J_{p}$ forme une suite de réels qui
est strictement croissante à partir d'un certain rang et qui tend vers l'infini.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\begin{center} 
\textbf{- V - Irrationalité des zéros des fonctions de Bessel d'indice entier} \end{center}

\medskip

\emph{Pour cette partie, $p$ est un entier naturel fixé et les fonctions $I_{p}$ et $J_{p}$ sont celles définies en} \textbf{IV. 5. b.}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que :
\[\forall r \in N\ \{0\},~ \forall x \in \R,\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x^{p+r}I'_{p}(x) \right) = x^{p+r- 1}\left(I_{p}(x) + (r - 1)I'_{p}(x)\right).\]
		\item  Montrer que :
\[\forall x \in \R,~\int_{0}^x  t^p I_{p}(t)\:\text{d}t = x^{p+1}I'_{p}(x).\]
		\item  Montrer que pour tout entier naturel non nul $r$, il existe deux fonctions polynomiales $A_{r}$
et $B_{r}$ appartenant à $\Z[x]$ , de degrés respectifs $r - 1$ et $r$ telles que :
\[\forall x \in \R,~\int_{0}^x t^{p+r}I_{p}(t)\:\text{d}t = x^{p+1} \left(A_{r}(x) I_{p}(x) + B_{r}(x) I'_{p}(x)\right).\]

		\item  Préciser les valeurs de $A_{r}(0)$ et $B_{r}(0)$ pour tout entier naturel non nul $r$.
		\item  Montrer que si $x$ est une racine réelle de la fonction $I_{p}$ alors $x$ est strictement négatif et
n'est pas racine de $I'_{p}$.

\medskip

\emph{On désigne par $\left(U_{n}\right)_{n \in \N},~ \left(L_{n}\right)_{n\in \N}$ les suites de fonctions polynomiales définies par :}

\[\forall n \in \N,~ \forall x \in \R,~\left\{\begin{array}{l c l}
U_{n}(x)& =& \dfrac{x^{n+p} (1 - x)^n}{n!},\\
L_{n}(x)& =& U_{n}^{(n)}(x)\\
\end{array}\right. \]
et par $\left(R_{n}\right)_{n \in \N}$ la suite de fonctions définie par :
\[\forall n \in \N,~ \forall x \in \R,~R_{n}(x) = \int_{0}^1  I_{p}(xt)L_{n}(t)\:\text{d}t.\]
 	\end{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, il existe deux fonctions polynomiales $P_{n}$ et $Q_{n}$ appartenant à $\Z[x]$ telles que :
\[ \forall x \in \R^{*},~ Rn (x) = \dfrac{P_{n}(x) I_{p}(x) + Q_{n}(x) I'_{p}(x)}{x^n},\]

avec $P_{0} = 0,~ Q_{0} = 1$, et pour $n \geqslant  1,~ P_{n}$ est de degré inférieur ou égal à $n- 1,~ Q_{n}$ de degré
inférieur ou égal à $n$, les valeurs $P_{n}(0)$ et $Q_{n}(0)$ étant non nulles.
\item Pour tout entier naturel $n$ on désigne par $\varphi_{n}$ la fonction définie par :
\[ \forall x \in \R,~\varphi_{n}(x) = \int_{0}^1 I_{p}^{(n)}(xt) U_{n}(t)\:\text{d}t.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $\varphi_{n}$ est indéfiniment dérivable sur $\R$ et que $\varphi_{n}(0)$ est non nul.
		\item  Montrer que :
\[ \forall x \in \R,~ Pn(x) I_{p}(x) + Q_{n}(x) I'p(x) = (-1)^n x^{2n}\varphi_{n}(x).\]
		\item  Montrer que :
\[ \forall x \in \R,~ \left|\varphi_{n}(x)\right| \leqslant \dfrac{\text{e}^{|x|}}{n!}.\]
		\item  Montrer que pour tout réel $x$, on a $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} P_{n}(x) I_{p}(x) + Q_{n}(x) I'_{p}(x) = 0.$
 	\end{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, il existe une constante non nulle $c_{n}$ telle que :
\[ \forall x \in \R,~ P_{n-1}(x)Q_{n}(x) - P_{n}(x)Q_{n-1}(x) = c_{n}x^{2n-2}.\]
\item  Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$ et tout réel non nul $x$ l'une des deux quantités
$R_{n}(x)$ ou $R_{n-1}(x)$ est non nulle.
\item  Montrer que les racines réelles de la fonction $I_{p}$ sont toutes irrationnelles.
\item  Montrer que si $\alpha$ est une racine réelle non nulle de la fonction de Bessel $J_{p}$, alors $\alpha ^2$ est
irrationnel.
\end{enumerate}
\end{document}