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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small }
\lfoot{\small{CAPES externe}}
\rfoot{\small{9 mars 2011}}
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\thispagestyle{empty}
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\begin{center}
{\Large \textbf{CAPES épreuve 1 session 2011}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\hrule

\begin{center}{\large Problème 1 : construction de triangles}\end{center}

\hrule

\medskip

Dans un plan affine euclidien orienté, on considère deux points distincts $B$ et $C$ et un point $M$ n'appartenant pas à la droite ($BC$). 

Pour chacune des assertions suivantes, déterminer s'il existe un point $A$ qui la vérifie.

\emph{On précisera pour chaque cas le nombre de solutions et on prendra soin de fournir toutes les explications et justifications utiles.}

\begin{enumerate}
\item $M$ est le centre de gravité du triangle $ABC$. 
\item $M$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$. 
\item $M$ est l'orthocentre du triangle $ABC$. 
\item $M$ est le centre du cercle inscrit au triangle $ABC$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\hrule

\begin{center}{\large Problème 2 : autour du théorème des valeurs intermédiaires}\end{center}

\hrule

\medskip

\emph{Darboux \footnote{Gaston Darboux (1842-1917)} systématisera dans son mémoire de 1875 la démarche amorcée dans sa correspondance où il expose au coup par coup [...] les propriétés implicites de la pratique commune de la notion de fonction continue.\\
Il cherche à dégrossir le concept de fonction continue et à le dépouiller de tout ce qui n'est pas strictement induit par sa définition, et que l'\og usage \fg, l'activité mathématique passée lui avait donc conféré. Cauchy \footnote{Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)} avait cassé le cadre fonction continue/fonction analytique. Darboux cherche à casser les assimilations suivantes: fonction continue/fonction monotone, fonction continue entre $a$ et $b$/ fonction qui passe par toutes les valeurs intermédiaires entre $f(a)$ et $f(b)$, fonction continue/fonction dérivable.\\ 
En réduisant à sa juste mesure la classe des fonctions continues, Darboux donne une réalité, une épaisseur aux classes des fonctions qui ne le sont pas. Il libère le concept de fonction du carcan de la continuité.\footnote{Principes de l'analyse chez Darboux et Houël : textes et contextes (Hélène Gispert in Revue d'histoire des sciences, 1990, Tome 43, $\no$ 2-3. pp 181-220)}}

\bigskip

On se propose dans ce qui suit de mettre en lumière quelques points évoqués par le texte précédent.

\medskip

\textbf{Partie 1 : préliminaires}

\medskip

On pourra utiliser les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\lozenge$] toute partie non vide majorée de $\R$ admet une borne supérieure ; 
\item[$\lozenge$] soient $a$ et $b$ des réels tels que $a < b$ ; toute application continue $f : [a,~b] \to \R$ est bornée et atteint ses bornes ; 
\item[$\lozenge$] toute suite croissante et majorée est convergente, toute suite décroissante et minorée est convergente ; 
\item[$\lozenge$] si deux suites réelles $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(v_{n}\right)_{n \in \N}$ convergent alors 

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(u_{n} + v_{n}\right) = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_{n} + \displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_{n}$ 
et si pour tout entier $n$ on a $u_{n} \leqslant v_{n}$ alors 
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_{n} \leqslant  \displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_{n}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\bigskip

\textbf{Les résultats suivants sont à démontrer; ils ne doivent pas être considérés ici comme des propriétés connues.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que si $\left(w_{n} \right)_{n \in \N}$ est une suite décroissante de limite $\ell$ alors, pour tout entier $n$, on a $w_{n} \geqslant  \ell$ (on raisonnera par l'absurde).
\item \textbf{Théorème des suites adjacentes}

On considère deux suites $\left(u_{n} \right)_{n \in \N}$ et $\left(v_{n} \right)_{n \in \N}$ adjacentes, c'est à dire telles que :

\[\left\{\begin{array}{l} 
\left(u_{n} \right)_{n \in \N}\quad \text{est une suite croissante}\\
\left(v_{n} \right)_{n \in \N}\quad \text{est une suite décroissante} \\
\text{la suite} \,\left(v_{n} - u_{n} \right)_{n \in \N}\, \text{converge vers}\, 0
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_{n} - u_{n} \right)_{n \in \N}$ est décroissante. 
		\item En déduire que, pour tout entier $n$, on a : $v_{n} - u_{n} \geqslant  0$. 			
		\item Montrer que les suites $\left(u_{n} \right)_{n \in \N}$ et $\left(v_{n} \right)_{n \in \N}$ convergent. 		
		\item Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{n}$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Suite et application continue}

\medskip

Soit $X$ une partie non vide de $\R$ et soit $\left(u_{n} \right)_{n \in \N}$ une suite d'éléments de $X$ qui converge vers un réel $\ell$. Soit $f$ une application, définie sur $X$, à valeurs dans $\R$, définie et continue en $\ell$.

Montrer que la suite $\left[\left(f\left(u_{n}\right)\right)\right]_{n \in \N}$ converge vers $f(\ell)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II : propriété des valeurs intermédiaires}

\medskip

Soit $f$ une fonction à valeurs dans $\R$. définie sur un intervalle $I$ d'intérieur non vide. On dit que $f$ possède la propriété des valeurs intermédiaires si pour tout $(a,\, b) \in  I^2$ tel que $a < b$ et pour tout réel $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c \in [a,\, b]$ tel que $f(c) = \lambda$.

Cette propriété sera notée $\mathcal{P}$ dans la suite.

\begin{enumerate}
\item \textbf{Démonstration du théorème des valeurs intermédiaires}

\medskip

On se propose dans ce qui suit de démontrer le théorème suivant (théorème des valeurs intermédiaires) : 

\begin{center}si $f$ est une application continue de $I$ dans $\R$, alors $f$ possède la propriété $\mathcal{P}$.\end{center}

Soit $(a,\, b) \in I^2$ tel que $a < b$. La conclusion étant immédiate si $f(a) = f(b)$, on peut toujours supposer (quitte à remplacer $f$ par $-f$) que $f(a) < f(b)$ ; dans la suite on supposera cette hypothèse vérifiée.

On considère les suites $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(b_{n}\right)_{n \in \N}$ définies par $a_{0} = a,\, b_{0} = b$ et pour tout entier $n$ :

alors

\[\begin{array}{l c l}
\text{si}\, f\left(\dfrac{a_{n}+ b_{n}}{2} \right) < \lambda&\text{ 
alors}&\left\{\begin{array}{l}
 a_{n+1}= \dfrac{a_{n}+ b_{n}}{2}\\
b_{n+1}=b_{n}
\end{array}\right.\\
\text{si}\, f\left(\dfrac{a_{n}+ b_{n}}{2} \right) \geqslant \lambda&\text{alors}&\left\{\begin{array}{l}
a_{n+1}=a_{n}\\
b_{n+1}=\dfrac{a_{n}+ b_{n}}{2}
\end{array}\right.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier $n,\, a_{n} \in  [a,\, b]$ et $b_{n} \in  [a,\, b]$.
\item Montrer que, pour tout entier $n$ :

\[b_{n+1} - a_{n+1} = \dfrac{b_{n} - a_{n}}{2}.\]

\item Montrer que les suites $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(b_{n}\right)_{n \in \N}$ sont adjacentes.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\item \textbf{Application 1 : un théorème du point fixe}

\medskip

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ et soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[a,\,b]$ à valeurs dans l'intervalle $[a,\,b]$.

Montrer qu'il existe $c \in [a,\,b]$ tel que $f(c) = c$.
\item \textbf{Application 2 : première formule de la moyenne}

\medskip

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ et soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l'intervalle $[a,\,b]$. Montrer que si $g$ est positive sur $[a,\,b]$ alors il existe $c \in [a,\,b]$ tel que :

\[\int_{a}^b f(x)g(x)\:\text{d}x = f(c)\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x\]

\item \textbf{Application 3}

\medskip

Soit $f$ une fonction continue sur [0~;~1] telle que $f(0) = f(1)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier $n$ non nul, il existe $c_{n} \in \left[0~;~\dfrac{1}{n}\right]$ tel que :

\[f\left(c_{n} \right) = f\left(c_{n} + \dfrac{1}{n}\right)\]

\emph{indication} : on pourra considérer la fonction $f_{n}$ définie sur $\left[0~;~\dfrac{1}{n}\right]$ par

\[f_{n}(x) = f\left(x + \dfrac{1}{n}\right) - f(x)\]

et écrire $f(1) - f(0)$ en fonction de $f_{n}$.
		\item  Montrer que si on remplace $\dfrac{1}{n}$ par un réel $\alpha  \in ]0~;~1[$ tel que $\dfrac{1}{\alpha} \notin \N$ le résultat précédent 
n'est plus vrai. On pourra considérer la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par :

\[f(x) = \cos \left(\dfrac{2\pi x}{\alpha}\right) - x\left[\cos \left(\dfrac{2\pi}{\alpha} \right) - 1 \right]\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III : réciproque du théorème des valeurs intermédiaires}

\medskip

\emph{Bien avant Darboux, [...] Bolzano\footnote{Bernard Bolzano (1781-1848)} avait critiqué comme incorrect l'acceptation du concept de continuité d'une fonction dans le sens où la propriété des valeurs intermédiaires est vérifiée par la fonction. Mais Lebesgue\footnote{Henri Lebesgue (1875-1941)} note dans ses leçons sur l'intégration qu' \og on avait pris en France l'habitude de définir une fonction continue celle qui ne peut passer d'une valeur à l'autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires, et l'on considérait cette définition comme équivalente à celle de Cauchy. Darboux, qui construisait dans son \og Mémoire \fg{} des fonctions dérivées non continues au sens de Cauchy, a pu montrer que les deux définitions de la continuité étaient forts différentes \fg.}\footnote{Gispert, op. cit., p2 }

\begin{enumerate}
\item \textbf{Un exemple}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(0)&=&0\\
f(x)&=& \sin \left(\dfrac{1}{x}\right)\quad \text{si}\, x \neq 0
\end{array}\right.\]

Montrer que la fonction $f$ vérifie la proposition $\mathcal{P}$ mais n'est pas continue en $0$.
\item \textbf{Une classe de fonctions qui vérifient $\mathcal{P}$ : un théorème de Darboux}

\medskip

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ d'intérieur non vide et soit $(a,\,b) \in I^2\,\, (a < b)$.

On se propose de montrer que $f'$ vérifie $\mathcal{P}$.

On suppose $f'(a) < f'(b)$ et on considère $\lambda \in ]f'(a)~;~f'(b)[$. On considère la fonction $g$ définie sur $I$ par $g(x) = f(x) - \lambda x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il existe $c \in [a,\, b]$ tel que $g(c) = \substack{\inf}{x \in [a,\,b]} g(x)$. 
		\item Montrer que $c \neq a$ et $c \neq b$. 
		\item Conclure. 
		\item En déduire un exemple d'une fonction définie sur $\R$ et qui ne possède pas de primitive sur $R$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Une condition pour qu'une fonction qui vérifie $\mathcal{P}$ soit continue}

\medskip

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ d'intérieur non vide et telle que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\lozenge$] $f$ vérifie $\mathcal{P}$ 
\item[$\lozenge$] pour tout $x \in I,\,  f^{- 1} \left(\{f(x)\}\right)$ est fermé dans $I$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Montrer que $f$ est continue sur $I$.
\end{enumerate}

\bigskip

\hrule

\begin{center}\textbf{Problème 3 : quelques propriétés des polynômes de Laguerre\footnote{Edmond Laguerre (1834-1886)}}\end{center}

\hrule

\medskip

On pose pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $x$ : 

\[h_{n}(x) = x^n\text{e}^{-x}\quad \text{et} \quad L_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^x}{n!}h_{n}^{(n)}(x)\]

\medskip

\textbf{Partie 1 : étude de la famille}\, \boldmath $\left(L_{n}\right)$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier les écritures précédentes, c'est-à-dire que $L_{n}$ est bien définie pour tout entier $n$.
\item Calculer $L_{0},\, L_{1}$ et $L_{2}$ explicitement.
\item En précisant le logiciel de calcul formel ou le modèle de calculatrice utilisé, écrire une procédure permettant d'afficher $L_{n}$ pour une valeur de $n$ donnée.
\item Montrer que pour tout entier $n,\, L_{n}$ est une fonction polynomiale et déterminer son degré.

\medskip

\emph{Dans toute la suite, on identifiera la fonction polynomiale $L_{n}$ et le polynôme associé.}

\medskip
 
\item Soit $n \in \N$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $h_{n}^{(n)}$ et $h_{n}^{(n+1)}$ en fonction de $L_{n}$ et $L'_{n}$.
		\item Donner une relation simple entre $h_{n+1}$ et $h_{n}$.
		\item En déduire que : $L_{n+1} = \dfrac{X}{n + 1}L'_{n} + \left(1 -  \dfrac{X}{n + 1}\right)L_{n}$.
	\end{enumerate}
\item En remarquant que $\left(h'_{n+1} \right)^{(n + 1)} = \left(\left(h_{n+1}^{(n + 1)}\right)\right)'$, montrer la relation :

\[L'_{n+1} = L'_{n} - L_{n}.\]

\item En utilisant les différents résultats obtenus, montrer que : 

\[\forall n \in \N,\, XL''_{n} + (1 - X)L'_{n} + nL_{n} = 0\] 

et que :

\[\forall n \geqslant 1,\, (n + 1)L_{n+1} + (X - 2n - 1)L_{n} + nL_{n-1} = 0.\]
\end{enumerate}

\textbf{Partie II : application à un calcul de somme de coefficients binomiaux}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant la formule de Leibniz, déterminer pour $n \in \N$, les coefficients du polynôme $L_{n}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soient $n$ un entier naturel et $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(0) &=& 0 \\
f(x) &=& x^{n+2}\sin \left(\dfrac{1}{x^{n+1}}\right) \,\, \text{si}\,  x \neq 0\\
\end{array}\right.\]

Démontrer que $f$ admet un développement limité à l'ordre $n + 1$ en $0$ mais que $f'$ n'admet pas de développement limité à l'ordre $0$ en $0$.
		\item  Soient $f$ une fonction admettant un développement limité à l'ordre $n$ en 0 et $k$ un entier naturel tel que $k \leqslant n$. Donner une condition suffisante pour que $f^{(n-k)}$ admette un développement limité à l'ordre $k$ en $0$.
	\end{enumerate}
On fixe $n \in \N$ et on considère $N \in \N$ tel que $N \geqslant n$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le développement limité à l'ordre $n + N$ en 0 de $h_{n}$. 
		\item En déduire le développement limité à l'ordre $N$ en $0$ de $h_{n}^{(n)}$. 
		\item  Montrer alors que l'on a au voisinage de 0 :

\[L_{n}(x) = \sum_{p=0}^{N} c_{p}x^{p} + o\left(x^N\right)\, \text{où}\, \forall p \in  \llbracket0,\, N\rrbracket, c_{p} = \dfrac{1}{p!} \sum_{k=0}^p (- 1)^k \binom{n + k}{k}\binom{p}{k}.\]
		\item  En déduire que pour tout entier $p \in \N$ :

\[\sum_{k=0}^p (- 1)^k \binom{n + k}{k}\binom{p}{k} = \left\{\begin{array}{l c l}
(- 1)^p\binom{n}{p}&\text{si}& 0 \leqslant  p \leqslant n\\
0&\text{si}& p > n
\end{array}\right.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III : étude des polynômes de Laguerre comme base orthonormée}

\medskip

Pour tous $P$ et $Q$ appartenant à $\R[X]$, on pose : 
 
\[\varphi(P,\, Q) = (P | Q) = \int_{0}^{+ \infty} P(x)Q(x)\text{e}^{-x}\: \text{d}x\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\varphi$ est bien définie.
\item Montrer que $\varphi$ est un produit scalaire sur $\R[X]$.
\item Calculer pour $n \in \N,\, \varphi\left(L_{0},\, X^n\right)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : $\forall k \in \llbracket0,\,n\rrbracket, \exists Q_{k} \in  \R[X], \forall x \in \R,\, h_{~n}^{(k)}(x) = x^{n-k}\text{e}^{-x}Q_{k}(x)$.
		\item Établir que :

\[\forall n \in \N, \forall P \in \R[X],\, \forall p \in  \llbracket0,\,n\rrbracket,\, \varphi \left(L_{n},\,P\right) = \dfrac{(- 1)^p}{n!}\int_{0}^{+ \infty}  h_{n}^{(n - p)}(x)P^{(p)} (x)\:\text{d}x.\]

	\end{enumerate}
\item En déduire que $\left(L_{n}\right)_{n \in \N}$ est une famille orthonormée de $(\R[X],\, \varphi)$.
\end{enumerate}
\end{document}