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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
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\lfoot{\small{CAPES externe 2016}}
\rfoot{\small{}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe et CAFEP session 2016~\decofourright\\[7pt] Épreuve 1}}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{Problème \no 1 }}

\medskip
Les parties D et E de ce problème sont indépendantes des parties B et C
\end{center}

\textbf{Notations}

\medskip

$\N$ désigne l'ensemble des entiers naturels et $\R$ l'ensemble des nombres réels.

Pour $m$ et $n$ deux entiers naturels, $\llbracket m,~n\rrbracket$ désigne l'ensemble des entiers $k$ tels que $m \leqslant k \leqslant n$.

Soit $I$ un intervalle de $\R$.  Pour $n \in \N$, on note $\mathcal{C}^n(I)$ l'ensemble des fonctions à valeurs réelles définies sur $I,\: n$ fois dérivables et dont la dérivée $n$-ième est continue.

Pour $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls, $\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ désigne l'ensemble des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes, à coefficients réels. $\mathcal{M}_{n,n}(\R)$ est noté $\mathcal{M}_{n}(\R)$.

$\R[X]$ désigne le $\R$-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.

Pour tout entier naturel $n,\: \R_n[X]$ désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels
de degré inférieur ou égal à $n$.

\begin{center}
{\large \textbf{Partie A : interpolation de Lagrange}}
\end{center}

Soit $n$ un  entier supérieur ou égal à 2 et soient $a_1, \ldots, a_n$ des réels deux à deux distincts.

Pour tout entier $k \in  \llbracket 1,~ n\rrbracket$, on considère le polynôme

\[L_k(X) = \prod_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n\\ i \neq k}} \dfrac{X - a_i}{a_k - a_i}.\]

\begin{enumerate}
\item Soit $k \in  \llbracket 1,~n\rrbracket$. Montrer que $L_k$ est l'unique polynôme $P$ de $\R_{n-1}[X]$ tel que pour tout $i \in  \llbracket 1,~ n\rrbracket$,

\[P\left(a_i\right) = \left\{\begin{array}{l c l}
0& \text{si}& i \neq k,\\
1&\text{si}& i = k
\end{array}\right.\]
\item On considère l'application

\[F :  \left\{\begin{array}{l c l}
 \R_{n-1}[X]&\to&\R^n\\
 P &\to & \left(P\left(a_1\right), \ldots, P\left(a_n\right)\right).
 \end{array}\right.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une application linéaire.
		\item Soit $\left(e_1,\ldots, e_n\right)$ la base canonique de $\R$n. Pour $k \in \llbracket 1,~n\rrbracket$, montrer qu'il existe un polynôme $P$ dans $\R_{n-1}[X]$ tel que $F(P) = e_k$.
		\item Montrer que $F$ est surjective, puis justifier que $F$ est bijective.
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'il existe un unique polynôme $P \in  \R_{n-1}[X]$ tel que pour tout $k \in  \llbracket 1,~n\rrbracket$,\:
$P\left(a_k\right) = f\left(a_k\right)$. Ce polynôme $P$ est appelé polynôme d'interpolation de $f$ en les points d'abscisses $a_1, \ldots, a_n$.
		\item Exprimer le polynôme d'interpolation de $f$ en les points d'abscisses $a_1, \ldots, a_n$ à l'aide des polynômes $L_1, \ldots , L_n$ et des valeurs de $f$ en $a_1, \ldots, a_n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{Partie B : erreur d'interpolation}}
\end{center}

Soient $[a,~b]$ un segment de $\R$ et $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Soit $f$ une fonction dans $\mathcal{C}^n([a,~b])$ et $a_1 < ... < a_n$ des nombres réels appartenant à $[a,~b]$. On note $P$ le polynôme d'interpolation de $f$ en les points d'abscisses $a_1, \ldots, a_n$ (on rappelle que $P \in R_{n-1}[X]$). 

Le but de cette partie est de majorer la valeur absolue de la différence entre $f$ et $P$ sur le segment $[a,~ b]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ une fonction définie sur $[a,~ b]$ à valeurs dans $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item Question de cours. Énoncer le théorème de Rolle.
		\item On suppose que $g$ est $n$ fois dérivable sur $[a,~ b]$ et s'annule en au moins $n + 1$
points distincts de $[a,~ b]$. Montrer que la fonction dérivée $n$-ième $g^{(n)}$ s'annule en
au moins un point de $[a,~ b]$.
	\end{enumerate}
\item On fixe $c \in  [a,~b]$, distinct de $a_1, \ldots, a_n$. On définit la fonction $g_c$ sur $[a,~ b]$par

\[g_c(x) = f(x) - P(x) - [f(c) - P(c)]\prod_{k=1}^n \dfrac{x - a_k}{c - a_k}.\]
	

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $g_c$ s'annule en au moins $n + 1$ points distincts de $[a,~ b]$.
		\item Montrer que $g_c$ est $n$ fois dérivable sur $[a,~ b]$ puis que $g(n)$ s'annule en au moins un point de $[a,~ b]$.
		\item Soit $h_c$ la fonction définie sur $\R$ par $h_c(x) = \displaystyle\prod_{k=1}^n\dfrac{x - a_k}{c - a_k}.$
		
En remarquant que $h_c$ est une fonction polynôme de degré $n$, donner une expression
de $h_c^{(n)}$, puis de $g_c^{(n)}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déduire des questions précédentes qu'il existe un réel $\zeta \in  [a,~b]$ tel que
		
\[f(c) - P(c) = \dfrac{f^{(n)}(\zeta)}{n!} \prod_{k=1}^n\left(c - a_k\right).\]

		\item Montrer que le résultat établi dans la question 3 . a. reste vrai si $c$ est égal à l'un
des $a_k$.
		\item En déduire que $\displaystyle\max_{x \in [a,~b]} |f(x) - P(x)| \leqslant \dfrac{1}{n!}\displaystyle\max_{x \in [a,~b]}\left|f^{(n)}(x)\right| \times  \displaystyle\max_{x \in [a,~b]}\prod_{k=1}^n \left|x - a_k\right|$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{Partie C : un exemple}}
\end{center}

Dans cette partie, on interpole de deux manières différentes la fonction

\[f  : \left\{\begin{array}{l c l}
[0~;~\pi]&\to& \R\\
x &\to& \sin (x).
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item \textbf{Première méthode}

On considère le polynôme d'interpolation $P$ de $f$ en les points
d'abscisses $0,\:\frac{\pi}{2},\:\pi$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P$.
		\item En utilisant les résultats de la partie B, montrer que pour tout $x \in  [0~;~\pi]$,
		
\[\left|f(x) - P(x)\right|\leqslant  \max_{x \in  [0~;~\pi]} \dfrac{x\left(x - \frac{\pi}{2}\right)(x -\pi)}{6}.\]

		\item En déduire que pour tout $x \in  [0~;~\pi]$,

\[\left|f(x) - P(x)\right|\leqslant  \dfrac{\pi^3\sqrt{3}}{216}.\]

	\end{enumerate}
\item \textbf{Seconde méthode}
	
On choisit un entier $n \geqslant 1$.

Pour tout $k \in \llbracket0,~ n - 1\rrbracket$, on note $P_k$ le polynôme (de degré inférieur ou égal à 1) d'interpolation de $f$ aux deux points d'abscisses $\dfrac{k\pi}{n}$ et $\dfrac{(k + 1)\pi}{n}$.

On note $Q_nn$ la fonction affine par morceaux définie par :

\[Q_n(x) = \left\{\begin{array}{l c l}
P_0(x)& \text{si}&0 \leqslant  x < \frac{\pi}{n},\\
P_1(x)&\text{si}&\frac{\pi}{n} \leqslant x < \frac{2\pi}{n},\\ 
\vdots&\vdots&\vdots\\
P_k(x ) &\text{si}&\frac{k\pi}{n} \leqslant x < \frac{(k + 1)\pi}{n} \:(k \in  \llbracket0,~ n - 2\rrbracket),\\
\vdots&\vdots&\vdots\\
P_{n-1}(x)&\text{si}& \frac{(n - 1)\pi}{n}  \leqslant x <\leqslant \pi.
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $Q_1$ et $Q_2$. Tracer la courbe représentative de $Q_2$.
		\item Justifier que $Q_n$ est continue sur $[0~;~\pi]$.
		\item Soit $k \in  [0~;~n - 1]$. Montrer que pour tout $x \in  \left[\frac{k\pi}{n}~;~\frac{(k+1)\pi}{n}\right]$
		
\[\left|\left(x - \dfrac{k\pi}{n}\right)\left(x -  \dfrac{(k + 1)\pi}{n}\right)\right| \leqslant \dfrac{\pi^2}{4n^2}.\]
 
		\item Montrer que pour tout $x \in  [0~;~\pi]$,
 
\[\left|f(x) - Qn(x)\right|  \leqslant \dfrac{\pi^2}{8n^2}.\]
	\end{enumerate} 
\item Parmi ces deux méthodes d'approximation, quelle est la meilleure? Justifier la réponse.

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie D : déterminant de Vandermonde}

\medskip
 
On considère la matrice de Vandermonde

\[A = \begin{pmatrix}1&a_1&a_1^2&\ldots &a_1^{n-1}\\
1&a_2&a_2^2&\ldots &a_2^{n-1}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\\
1&a_n&a_n^2&\ldots &a_n^{n-1}\\
\end{pmatrix}\]

où $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et $a_1, \ldots, a_n$ sont des nombres réels.

On cherche à déterminer par deux méthodes différentes une condition nécessaire et suffisante
portant sur les $a_k$ pour que A soit inversible.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le déterminant de $A$ lorsque $n = 2$ et $n = 3$.
\item Première méthode.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $A$ est la matrice de l'application linéaire $F$ définie dans la question
A. 2. dans des bases bien choisies.
		\item En déduire que si les $a_k$ sont deux à deux distincts $A$ est inversible.
		\item Qu'en est-il si deux des $a_k$ sont égaux ?
		\item Conclure.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Seconde méthode}
	
On considère le polynôme

\[P(X) = \left(X - a_1\right) ... \left(X - a_{n-1}\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'il existe des nombres réels $\lambda_0, \ldots, \lambda_{n - 2}$ tels que
		
\[P(X) = X^{n-1} + \lambda_{n - 2}X^{n-2} + \ldots + \lambda_1X + \lambda_0.\]

		\item On note $C_1, \ldots, C_n$ les colonnes de $A$. Montrer que

\[C_n +\lambda_{n - 2}C_{n-1}+ \ldots  + \lambda_0C_1 = \begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\P\left(a_n\right)\end{pmatrix}.\]

		\item En déduire que

\[\det(A) = P\left(a_n\right)\begin{vmatrix} 1&a_1&a_1^2&\ldots &a_1^{n-1}\\
1&a_2&a_2^2&\ldots &a_2^{n-1}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\\
1&a_{n-1}&a_{n-1}^2&\ldots &a_{n-1}^{n-2}\\
\end{vmatrix}.\]

		\item Montrer que

\[\text{det}(A) = \prod_{1\leqslant k \leqslant l \leqslant n}\left(a_i - a_k\right).\]


		\item Conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie E : application à la recherche de paraboles}

\medskip

On fixe trois points distincts $A_1,\: A_2,\: A_3$ du plan affine euclidien. On recherche toutes les
paraboles de ce plan passant par $A_1,\: A_2$ et $A_3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on impose en plus aux paraboles recherchées d'avoir un axe parallèle
à une droite $D$ donnée. On choisit un repère orthonormé du plan tel que $D$ ait
pour équation $x = 0$. Par définition, les paraboles d'axe parallèle à $D$ sont les courbes
d'équation

\[y = \alpha x^2 + \beta x + \gamma,\]

avec $(\alpha, \beta, \gamma) \in  \R^3,\: \alpha  \neq 0$. 

Les coordonnées du point $A_i$ dans ce repère sont notées
$\left(a_i~;~b_i \right)$ pour $1 \leqslant  i \leqslant 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la recherche des paraboles d'axe parallèle à $D$ et passant par les
points $A_1,\: A_2$ et $A_3$ est équivalente à la recherche des solutions $(\gamma, \beta, \alpha)$, avec $\alpha  \neq 0$, du système :
{

\[(S)\: :\: \left\{\begin{array}{l c l}
\gamma + a_1\beta + a_1^2\alpha &=& b_1,\\
\gamma + a_2\beta + a_2^2\alpha &=& b_2,\\
\gamma + a_3\beta + a_3^2\alpha &=& b_3.
\end{array}\right.\]

\item Montrer que si deux des points $A_i$ ont la même abscisse $(S)$ n'a aucune solution.
\item On suppose que les abscisses des points $A_i$ sont deux à deux distinctes.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le système $(S)$ possède une unique solution $(\gamma, \beta, \alpha)$.
		\item Exprimer $\alpha$ sous forme d'un quotient de déterminants.
		\item Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
			\begin{enumerate}
				\item $\alpha = 0$.
				\item $\begin{vmatrix}a_2 - a_1& b_2 - b_1\\a_3 - a_1& b_3 - b_1
			\end{vmatrix}= 0$.
				\item $A_1,\: A_2$ et $A_3$ sont alignés.
			\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\item Montrer que le problème admet une solution si et seulement si $A_1,\: A_2,\: A_3$ ne sont pas alignés et aucune des droites $\left(A_1A_2\right),\: \left(A_2A_3\right)$ et $\left(A_1A_3\right)$ n'est parallèle à $D$.
\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On suppose $A_1,\: A_2$ et $A_3$ alignés. En utilisant les résultats précédents, montrer qu'il n'existe aucune parabole passant par $A_1,\: A_2$ et $A_3$.
		\item On suppose que $A_1,\: A_2$ et $A_3$ ne sont pas alignés. Montrer qu'il existe une infinité de paraboles passant par $A_1,\: A_2$ et $A_3$ et préciser les directions de leurs axes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\Large \textbf{Problème \no 2}}

\medskip

\textbf{Notations}

\medskip

Pour $m$ et $n$ deux entiers naturels, $\llbracket m,~n \rrbracket$ désigne l'ensemble des entiers $k$ tels que $m \leqslant  k \leqslant n$.

Soit $I$ un intervalle de $\R$. Pour $n \in \N$ on note $\mathcal{C}^n(I)$ l'ensemble des fonctions définies sur $I$ et à valeurs réelles, $n$ fois dérivable et dont la dérivée $n$-ième est continue.

\begin{center}
\textbf{\large Partie A : calcul d'un déterminant et applications}
\end{center}
On fixe un entier $n \geqslant 1$. On considère la matrice $A_n$ à $n$ lignes et $n$ colonnes définie par

\[A_n = \begin{pmatrix}2&-1&0&\ldots&0\\
-1&\dots&\dots&\dots&\vdots\\
0&\dots&\dots&\dots&0\\
\vdots&\dots&\dots&\dots&- 1\\
0&\ldots&0&- 1&2
\end{pmatrix}.\]

\begin{enumerate}
\item Le déterminant de cette matrice est noté $D_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $D_1,\: D_2$ et $D_3$.
		\item Montrer que pour tout entier $n \geqslant 3,\: D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$.
		\item En déduire une expression de $D_n$.
		\item Montrer que pour entier $n \geqslant 1$,\: $A_n$ est inversible.
	\end{enumerate}
\item Soient $B = \begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{pmatrix} \in \R^n$ et $U = \begin{pmatrix}u_1\\\vdots\\u_n\end{pmatrix} \in \R^n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $U = A_n^{-1}B$ si et seulement si pour tout $i \in \llbracket1,~ n\rrbracket$,

\[2u_i - u_{i - 1} - u_{i+1} = b_i,\]

à condition de poser $u_0 = u_{n+1} = 0$.

On suppose désormais que $U = A_n^{-1} B$.
		\item On suppose dans cette question que pour tout $i \in \llbracket1,~ n\rrbracket$,\: $b_i = 1$. Montrer que pour tout $i \in  \llbracket0,~ n + 1\rrbracket,\: u_i = \frac{i(n+1-i)}{2}$.

En déduire que $\max\left(u_1, \ldots , u_n\right) \leqslant \dfrac{(n + 1)^2}{8}$.
		\item On suppose dans cette question que pour tout $i \in \llbracket1,~ n\rrbracket$, $b_i \geqslant 0$.
			\begin{enumerate}
				\item Soit $j$ le plus grand indice tel que $u_j = \min\left(u_1, \ldots, u_n \right)$. En raisonnant par l'absurde, montrer que $j = 1$ ou $j = n$.
				\item En déduire que toutes les composantes de $U$ sont positives ou nulles.
			\end{enumerate} 
		\item On ne fait dans cette question aucune hypothèse sur le signe des $b_i$.
		
Soit  $\beta = \max \left(\left|b_1\right|, \ldots,  \left|b_n\right|\right)$. On considère les vecteurs $V$ et $W \in  \R^n$ définis par
		
\[V = \begin{pmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{pmatrix} = A_n^{-1}\left(\beta\begin{pmatrix}1\\ \vdots\\1\end{pmatrix}  \right), \: W = \begin{pmatrix}w_1\\\vdots\\w_n\end{pmatrix} = A_n^{-1}\left(\beta\begin{pmatrix}1\\ \vdots\\1\end{pmatrix} + B  \right).\]

			\begin{enumerate}
				\item Montrer que pour tout $i \in \llbracket1,~ n\rrbracket$,\:$v_i \geqslant 0$ et $w_i \geqslant 0$.
				\item Montrer que pour tout $i \in \llbracket1,~ n\rrbracket$,\:$v_i + w_i \leqslant \beta\dfrac{(n + 1)^2}{4}$.
				\item Montrer que pour tout $i \in \llbracket1,~ n\rrbracket$,
				
\[u_i = \dfrac{w_i - v_i}{2} \leqslant \dfrac{v_i + w_i}{2} \leqslant \beta \dfrac{(n  1)^2}{8}.\]				 
			\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie B : inégalité de Taylor-Lagrange}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1. On considère une fonction $f \in \mathcal{C}^n(I)$. Soient deux nombres réels $a$ et $b$ dans l'intervalle $I$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $f(b) = f(a) + \displaystyle\int_a^b  f'(t)\:\text{d}t$.
		\item Montrer que si $n \geqslant 2$, alors $f(b) = f(a) + f'(a)(b - a) + \displaystyle\int_a^b  f''(t)(b - t)\:\text{d}t$.
		\item Montrer que

\[f(b) = f(a) + f'(a)(b - a) + \ldots + \dfrac{f^{(n - 1)}(a)}{(n - 1)!} +  \displaystyle\int_a^b \dfrac{f^{(n)}}{(n - 1)!}(b - t)\:\text{d}t.\]
		
Cette égalité est connue sous le nom de \emph{formule de Taylor avec reste intégral à
l'ordre $n$}.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'existence de $M_n = \displaystyle\max_{x \in [a~;~b]} \left|f^{(n)}(x)\right|$.
		\item Démontrer que 

\[\left|f(b) - f(a) - f'(a)(b - a) - \ldots  - \dfrac{f^{(n - 1)}(a)}{(n - 1)!}(b - a)^{n-1}\right| \leqslant  M_n \dfrac{(b - a)^n}{n!}.\]

Cette inégalité est connue sous le nom d'\emph{inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $n$
appliquée à $f$}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie C : un problème de condition aux bords}

\medskip

Soient $a, b$ deux nombres réels, $g \in \mathcal{C}^2([0~;~1]),\: M = \displaystyle\max_{x \in [0~;~1]} \left|g''(x)\right|$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe une unique fonction $f \in  \mathcal{C}^4([0~;~1])$ vérifiant
\[\left\{\begin{array}{l}
\text{pour tout }\:x \in  [0~;~1],\: f''(x) = g(x)\\
f(0) = a,\: f(1) = b\: (\text{condition aux bords}).
\end{array}\right.\]

Le but de cette partie est de chercher une approximation des valeurs de $f$.
\item En appliquant l'inégalité de Taylor-Lagrange à la fonction $f$ à un ordre et sur des
intervalles bien choisis, montrer que, pour tous nombres réels $x$ et $h$ tels que
$0 \leqslant l - h \leqslant x + h \leqslant 1$,

\[\left|\dfrac{f(x + h) + f(x - h) - 2f(x)}{h^2} - f''(x)\right| \leqslant \dfrac{Mh^2}{12}.\]

\item On fixe un entier $n \geqslant 1$ et d'après la question précédente, on convient d'approcher
$f''(x)$ par

\[\dfrac{f(x + h) + f(x - h) - 2f(x)}{h^2},\]

avec $h = \dfrac{1}{n+1}$. Pour tout $i \in  \llbracket0,~ n + 1\rrbracket$, on pose $x_i = ih$. Sachant que 

$f" = g$,\:
$f(0) = a$ et $f(1) = b$, on approxime $f\left(x_0\right), f\left(x_1\right), \ldots , f\left(x_n\right),\: f\left(x_{n+1}\right)$ par respectivement
$u_0,\: u_1, \ldots ,\:u_n,\: u_{n+1}$ avec $u_0 = a,\: u_{n+1} = b$ et, pour tout $i \in  \llbracket1, n\rrbracket,$

\[\dfrac{u_{i+1}  + u_{i-1} - 2u_i}{h^2} = g\left(x_i\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item La matrice $A_n$ a été définie dans la partie A. Montrer qu'il existe un vecteur
$B \in \R^n$, que l'on explicitera, tel que
		
\[U = \begin{pmatrix}u_1\\\vdots\\u_n\end{pmatrix} = A_n^{-1}B.\]

		\item Soit $F$ le vecteur $\begin{pmatrix}f\left(x_1\right)\\\vdots\\f\left(x_n\right)\end{pmatrix}$. Montrer que les valeurs absolues des composantes du vecteur $A_n(F - U)$ sont majorées par $M \dfrac{h^4}{12}$.
		\item En utilisant les résultats de la partie A, donner une majoration des réels $\left|f\left(x_i\right) - u_i\right|$ pour $i \in  \llbracket1,~ n\rrbracket$ en fonction de $n$ et $M$.
		\item Conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}