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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{Épreuve 2\small}
\lfoot{\small{CAPES externe 2016}}
\rfoot{\small{}}
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\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe et CAFEP session 2016~\decofourright\\[7pt] Épreuve 2}}
\end{center}

\medskip

Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants.

\begin{center}\textbf{\large Problème \no 1}\end{center}

\textbf{Notations} Pour $m$ et $n$ deux entiers naturels tels que $m \leqslant  m, \: n, \llbracket m,~ n\rrbracket$ désigne l’ensemble
des entiers $k$ tels que $m \leqslant  k \leqslant  n$.

\bigskip

Voici un problème proposé aux élèves d'une classe de première :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Aline et Bertrand commandent, chacun un café et une carafe de lait. Aline ajoute immédiatement le lait dans son café puis attend trois minutes que: le mélange  refroidisse avant de le boire. Bertrand attend trois minutes que le café refroidisse avant d'y ajouter le lait.\\
~\\
\textbf{Question posée aux élèves :}  qui d'Aline ou de Bertrand a bu le café au lait le plus chaud ?\\
~\\
\textbf{Données :}
\begin{itemize}
\item Chaque café est servi à la température de 48\degres C.
\item La température ambiante $T_a$, qui est aussi celle du lait, est de 22\degres C.
\item Chaque tasse contient 15 cL de café et chacun y ajoute 3 cL de lait.
\item Lorsque l'on mélange un volume $V_1$ d’un premier liquide à température $T_1$ et un volume $V_2$ d'un second liquide à température $T_2$, on obtient un liquide dont la température est égale à

\[\dfrac{V_1T_2 + V_2T_1}{V_1 + V_2}\]

\item L'évolution, à partir d'un temps initial $t_0 = 0$, de la température d'un liquide est modélisée par l'équation différentielle :

\[(\epsilon)\quad  T'(t) = - 0,04 \left(T(t) - T_a\right),\]

où $T_a$ désigne, la température ambiante exprimée en degré  Celsius, $T(t)$ la température du liquide exprimée en degré Celsius à l'instant $t$ (exprimé en minute) et $T'(t)$ la valeur à l’instant $t$ de la dérivée de la fonction $T$.
\end{itemize}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

La théorie des équations différentielles n'étant pas au programme des classes de première, le professeur décide d'utiliser une méthode de résolution approchée, appelée méthode d'Euler,
dont le principe est le suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Méthode d'Euler :} on part d'une condition initiale $T(0) = \alpha$, où $\alpha$ est un nombre réel et d'une relation

\[(\mathcal{R})\qquad  T’(t) = F(T(t)),\]\\

vérifiée par une fonction $T$ dérivable  sur $[0,~;~a]$, où $a$ est un réel strictement positif et $F$ une fonction définie sur $\R$. On détermine une valeur approchée de $T(a)$ selon le procédé détaillé ci-dessous.\\
On choisit un entier $n$ strictement positif.\\
On détermine une subdivision $0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = a$ partageant l’intervalle $[0,~;~a]$ en $n$ intervalles de même longueur.\\
On pose $y_0 = \alpha$. On note $\mathcal{D}_0$ la droite passant par le point $A_0$ de coordonnées $\left(t_0~;~y_0\right)$ et de coefficient directeur $F\left(y_0\right)$.\\
On note $A_1$ le point d'abscisse $t_1$ de la droite $\mathcal{D}_0$. L'ordonnée $y_1$ de ce point est prise comme valeur approchée de $T\left(t_1\right)$.\\
On note $\mathcal{D}_1$ la droite passant par $A_1$ et de coefficient directeur $F\left(y_1\right)$. On note $A_2$ le point
de $\mathcal{D}_1$ d'abscisse $t_2$. L'ordonnée $y_2$ de ce point est pris comme valeur approchée de $T\left(t_1\right)$.\\
On itère ce processus jusqu'à $y_n$, qui est pris comme valeur approchée de $T(a)$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large Partie A : mise en oeuvre de la méthode d'Euler}

\medskip

Soit $n$ un  entier strictement positif. On applique la méthode d'Euler à l'équation différentielle
$(\epsilon)$. On note $T_n(3)$ la valeur approchée de $T(3)$ obtenue selon le procédé détaillé ci-dessus.

Dans toute la suite, on note $\left(t_k~;~y_k\right)$ les coordonnées des points $A_k$ construits à la $k$-ième étape de la méthode d'Euler.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer les réels $t_0, \ldots,\: t_n$ subdivisant le segment [0~;~3] en $n$ intervalles de même longueur.
\item Pour $k \in \llbracket0~, n - 1\rrbracket$, déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}_k$.
\item En déduire que $y_{k+1} = \left(1 - \dfrac{0,12}{n}\right) y_k + \dfrac{2,64}{n}$. 
\item Le professeur demande aux élèves de donner des valeurs approchées des températures
 du cafe de Bertrand et du café au lait d'Aline au bout de trois minutes à l'aide de la
méthode d'Euler. Voici la production d'un élève ayant utilisé un tableur pour calculer
la température du café de Bertrand.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B\\ \hline
1&Température ambiante& 22\\ \hline 
2&Température initiale&48\\ \hline
3&$n$&20\\ \hline
4&&\\ \hline
5&Temps&Température café\\ \hline
6&0&48\\ \hline
7&1&47,844\\ \hline
8&2&47,688936\\ \hline
9&3&47,534802384\\ \hline
10&4&47,3815935697\\ \hline
11&5&47,2293040083\\ \hline
12&6&47,0779281842\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule l'élève a t-il pu saisir dans la cellule B7 pour  obtenir ces résultats en étirant la formule vers le bas et en utilisant les données contenues dans les,
cellules B1,  B2 et B3 ?
		\item Gomment l'élève peut-il modifier sa production pour calculer une valeur approchée
de la température du café au lait d'Aline au bout de trois minutes ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Écrire un algorithme permettant d'obtenir $y_n$ à partir des entrées $\alpha = T(0)$ et
$n \in \N$.
		\item Utiliser cet algorithme pour répondre à la question posée dans le problème en
prenant $n = 20$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie B : résolution exacte}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\alpha$ un réel strictement positif. Déterminer la solution exacte du problème de Cauchy:

\[\left\{\begin{array}{l c r}
y'(t) &=& - 0,04 [y(t) - 22]\\
y(0)  &=& \alpha
\end{array}\right.\]

\item En appliquant le résultat de la question précédente pour deux valeurs bien choisies de
$\alpha$ répondre à la question posée aux élèves. On donnera une valeur approchée décimale
de la température en degré Celsius des cafés au lait d'Aline et de Bertrand à $10^{- 2}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie C : étude de la convergence de la méthode d'Euler}


On étudie la convergence de la suite $\left(T_n(3)\right)_{n \geqslant 1}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ lorsque l'on prend la condition initiale $\alpha = 48$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, $n$ est fixé.
	\begin{enumerate}
		\item Donner deux réels $a$ et $b$ tels que pour tout $k \in \llbracket 0,~n - 1\rrbracket$

\[y_{k+1} = ay_k + b.\]

		\item Déterminer le réel $\ell$ tel que $\ell = a\ell + b$.
		\item En considérant la suite $\left(y_k - \ell\right)_{k \in \llbracket 0,~n - 1\rrbracket}$, exprimer $y_n = T_n(3)$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item  Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} T_n(3)$ et comparer avec le résultat obtenu dans la partie B.
\item  Déterminer un équivalent de $\left|T(3) - T_n(3)\right|$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{\large Problème \no 2}\end{center}

\medskip

\textbf{Notations}

Pour $m$ et $n$ deux entiers naturels tels que $m \leqslant  m, \: n, \llbracket m,~ n\rrbracket$ désigne l’ensemble des entiers $k$ tels que $m \leqslant  k \leqslant  n$.

\medskip

Le protocole de tirage d'une boule dans une urne, décrit ci-dessous, est utilisé tout au
long de ce problème.

\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Une urne contient $b$ boules blanches et $r$ boules rouges indiscernables au toucher ($b$ et $r$
sont des entiers naturels dont au moins un est non nul).\\
On tire une boule au hasard dans l'urne. Si elle est blanche, on la remet dans l'urne. Si elle
est rouge, elle n'est pas remise dans l'urne et elle y est remplacée par une boule blanche,
de sorte que le nombre $N = b + r$ de boules dans l'urne reste constant.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Le but de ce problème est d'étudier plusieurs expériences aléatoires de tirages successifs
en suivant ce protocole.

\bigskip

\textbf{\large Partie A : un cas particulier}

\medskip

On suppose dans cette partie que $b = 2$ et $r = 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Première expérience aléatoire}

On répète le protocole de tirage jusqu'à l'obtention d'une boule blanche.
	\begin{enumerate}
		\item Modéliser cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré.
		\item On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
		\begin{enumerate}
			\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
			\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ et calculer son
espérance $E(X)$. Donner une valeur approchée décimale à $10^{-2}$ près ainsi
qu'une interprétation de cette espérance.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\item \textbf{Seconde expérience aléatoire}

On effectue trois fois le protocole de tirage.
	\begin{enumerate}
		\item Modéliser cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré.
		\item On note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues.
		\begin{enumerate}
			\item Quelles sont, les valeurs prises par $Y$ ?
			\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$ et calculer son
espérance $E(Y)$. Donner  une valeur approchée décimale à $10^{-2}$ près ainsi
qu'une interprétation de cette espérance.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\item  L'algorithme suivant utilise une fonction \textbf{alea}$(1\ldots .. n)$ qui rend un nombre entier aléatoire obtenu de façon équiprobable dans l'ensemble $\llbracket 1,ñ\rrbracket$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Entrer}$(b,~r)$\\
$d \leftarrow $\textbf{alea}$(1 \ldots b + r)$\\
\textbf{Si}  $(d > b)$ \textbf{Alors}\\
\hspace{0.8cm}\begin{tabular}{|l}
résultat $\leftarrow $ rouge\\
$b \leftarrow  b + 1$\\
$r \leftarrow  r - 1$\\
\end{tabular}\\
\textbf{Sinon}\\
\hspace{0.8cm}\begin{tabular}{|l}
résultat $\leftarrow$ blanche\\
\end{tabular}\\
\textbf{Fin Si}\\
\textbf{Retourner} (résultat)\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Que simule cet algorithme ?
		\item Compléter cet algorithme en un nouvel algorithme simulant la variable aléatoire
 $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie B : généralisation}

\medskip

Dans cette partie, on généralise les résultats obtenus précédemment au cas où $b$ et $r$ sont
des entiers naturels non nuls quelconques.

\medskip

\textbf{I. Première expérience aléatoire}

On répète le protocole de tirage jusqu'à l'obtention d'une boule blanche. 

Pour tout entier strictement positif $n$, on note $A_n$ l'évènement \og la $n$-ième boule tirée est rouge \fg. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Donner l'ensemble $E$ des valeurs prises par $X$.
		\item Pour $k \in E$, exprimer l'évènement $(X = k)$ en fonction d'évènements liés aux
évènements $A_1,\: A_2,\:\ldots,\:A_k$.
		\item \textbf{Question de cours}. Soit $\left(\Omega,\: \mathcal{A},\: P\right)$ un espace probabilisé.
		\begin{enumerate}
			\item Soient $A$ et $B$ deux évènements de $\mathcal{A}$ tels que, $P(B) > 0$. Rappeler la définition de la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$. On la notera $P(A | B)$ ou
$P_B(A)$.
			\item  Soit $i$  un entier strictement positif et soient $B_1,\: \ldots ,\: B_i$ des évènements de $\mathcal{A}$ tels que $P\left( B_1 \cap \ldots \cap  B_{i-1}\right) > 0$. 
			
Après avoir justifié l'existence des probabilités conditionnelles 

$P\left(B_2 | B_1\right),\:\ldots, \:P\left(B_i | B_1 \cap  \ldots \cap  B_{i-1}\right)$, montrer que

\[P\left(B_1 \cap \ldots \cap  B_i\right) = P\left(B_1\right)P\left(B_2|B_1\right) \ldots P\left(B_i\cap B_1 \cap B_1 \cap \ldots \cap  B_{i-1}\right)\]
	\end{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
			\item Vérifier que $P(X = r + 1) = \dfrac{r!}{N^r}$ et que, pour tout $k \in  \llbracket 1,~r\rrbracket$,
			
\[P(X = k) = \dfrac{r!}{(r - (k - 1))!N^{k-1}} - \dfrac{r!}{(r - k)!N^k}.\]

		\end{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Démontrer que, pour tout entier strictement positif $n$ et tous réels $p_0, \ldots,\:p_n$,
			
\[\sum_{k=1}^{n} k\left(p_{k-1} - p_k\right) = \left(\sum_{k=0}^{n - 1} p_k\right)- np_n.\]

			\item En déduire que l'espérance de $X$ est donnée par

\[E(X) = \sum_{k=0}^{n}\binom{r}{k} \dfrac{k!}{N^k}.\]

		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\textbf{II. Seconde expérience aléatoire}

Soit $n$ un entier strictement positif. On effectue $n$
fois le protocole de tirage. Pour tout entier $m \in \llbracket1,~ n\rrbracket$, on note $Y_m$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges, obtenues: à I'Issue du $m$-ième tirage. Par convention, $Y_0$ est la variable aléatoire nulle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de $P\left(Y_n = k\right)$ lorsque $k > n$.
		\item Donner la valeur de $P\left(Y_n = k\right)$ lorsque  $k > r$.
		\item Donner la valeur de $P\left(Y_n = 0\right)$.
	\end{enumerate}
\item Pour $k \in \llbracket 0,~ n\rrbracket$ et $i \in \llbracket 0,~ n - 1\rrbracket$, exprimer la probabilité conditionnelle

\[P\left(Y_n = k |Y_{n-1} = i\right).\]

En déduire que pour tout $k \in  \llbracket 1,~ n\rrbracket$,

\[P\left(Y_n  = k\right) = \dfrac{b + k}{N} P\left(Y_{n-1} = k\right) + \dfrac{r + 1 - k}{N}P\left(Y_{n-1}\right) = k - 1.\]

\item En déduire que pour tout entier $n$ strictement positif,

\[E\left(Y_n\right) = \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{r + k(N - 1)}{N}P\left(Y_{n-1}\right) = k) = \left(1 - \dfrac{1}{N} \right)E\left(Y_{n-1}\right) + \dfrac{r}{N}.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout entier naturel $n$ :

		\[E\left(Y_n\right) = r \left(1 - \left(1 - \dfrac{1}{N} \right)^n \right).\]

		\item Étudier la convergence de la suite $\left(E\left(Y_n\right)\right)_{n \geqslant 0}$ et montrer l'existence d'un entier $n_0$ tel que, pour tout entier $n \geqslant  n_0$,
		
\[\left|E\left(Y_n\right) - r\right| \leqslant \dfrac{1}{4}.\]
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier strictement positif $k$ on note $A_k$ l'évènement \og la $k$-ième boule tirée est rouge \fg. En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que,
pour tout entier $n$ strictement positif,

\[P\left(A_{k+1}\right) = \sum_{i=0}^{k} \dfrac{r - i}{N} P\left(Y_k = i\right).\]


%\[E\left(Y_n\left(Y_n - 1\right)\right) = \sum_{k=1}^{n-1} \left(\dfrac{k(k - 1)(N - 2) + 2(r - 1)k}{N} \right)P\left(Y_{n-1} = k \right).\]

		\item Exprimer $P\left(A_{k+1}\right)$ en fonction de $E\left(Y_k\right)$ et en déduire une expression de $P\left(A_{k+1}\right)$ en fonction de $r, k$ et $N$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la question B. II. 2, et le théorème dû transfert, montrer que, pour
tout entier $n$ strictement positif,

\[E\left(Y_n\left(E_n - 1\right) \right) = \sum_{k=1}^{n - 1} \left(\dfrac{k(k - 1)(N - 2) + 2(r - 1)k}{N} \right)P\left(Y_{n-1} = k \right).\]

		\item En déduire que, pour tout entier $n$ strictement positif,

\[E\left(Y_n\left(E_n - 1\right) \right) = \left(1 - \dfrac{2}{N} \right)E\left(Y_{n-1}\left(E_{n-1} - 1\right) \right) + \dfrac{2r(r - 1)}{N}\left(1 - \left(1 - \dfrac{1}{N} \right)^{n-1} \right).\]

		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
		
\[E\left(Y_n\left(E_n - 1\right) \right)= r(r - 1) \left(1 + \left(1 - \dfrac{2}{N}\right)^n - 2\left(1 - \dfrac{1}{N}\right)^n\right).\]

		\item Exprimer $V\left(Y_n\right)$ en fonction de $E\left(Y_n\left(E_n - 1\right) \right)$ et de $E\left(Y_n\right)$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,

\[V\left(Y_n\right) = r(r - 1)\left( 1 - \dfrac{2}{N}\right)^n  + r \left( 1 - \dfrac{1}{N}\right)^n - r^2 \left(1 - \dfrac{1}{N}\right)^{2n}.\]

	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} V\left(Y_n\right)$.
		\item À l'aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout réel $\alpha$
strictement positif,

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} P\left(\left|Y_n  - E\left(Y_n\right)\right|\right) \geqslant \alpha = 0.\]

		\item En déduire que

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} P\left(\left|Y_n  - r\right| - \left|r -  E\left(Y_n\right)\right| \geqslant \alpha\right) = 0.\]
		\item On rappelle que $n_0$ est introduit dans la question B. 2 d. ii. On fixe $\alpha = \dfrac{1}{2}$. Montrer que si $n \geqslant n_0$, alors :

\[P\left(\left|Y_n - r\right| - \left|r -E\left(Y_n\right)\right| \geqslant \alpha\right) = P\left(Y_n \ne r\right)\].
		\item Conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}