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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{CAPES externe avril 2018}}
\rfoot{\small{}}
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\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe session 2018 Option mathématiques ~\decofourright\\[5pt] Épreuve 1}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

Le sujet comporte cinq parties

\medskip

{\large Notations}

\medskip

$\N$ désigne l'ensemble des entiers naturels et $\N^*$ l'ensemble des entiers naturels non nuls.

Pour $m$ et $n$ deux entiers naturels, $\llbracket m~;~n\rrbracket$ désigne l'ensemble des naturels $k$ tels que $m \leqslant k \leqslant n$.

$\Z$ désigne l'ensemble des entiers relatifs.

$\Q$ désigne l'ensemble des nombres rationnels.

$\R$ désigne l'ensemble des nombres réels.

On note e le nombre exp(1), image de $1$ par la fonction exponentielle.

On rappelle que, pour tout nombre réel $x$, il existe un unique entier relatif $E(x)$ tel que 

$E(x) \leqslant x < E(x) + 1$. Cet entier $E(x)$ est appelé \emph{partie entière de } $x$.

\begin{center}
\textbf{\large Partie A : suites adjacentes}
\end{center}

Étant données deux suites réelles $\left(a_n\right)_{n\in \N}$ et $\left(b_n\right)_{n\in \N}$, on  rappelle qu'elles sont dites adjacentes si l'une des deux est croissante, l'autre décroissante et si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\left(a_n - b_n\right) = 0$.

\medskip

\textbf{I} On suppose dans cette question que la suite $\left(a_n\right)_{n\in \N}$ est croissante et que la suite $\left(b_n\right)_{n\in \N}$ est décroissante.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(a_n - b_n\right)_{n\in \N}$ est monotone et en déduire que pour tout entier naturel $n$,\: $a_n \leqslant  b_n$.
\item Justifier que les suites $\left(a_n\right)_{n\in \N}$ et $\left(b_n\right)_{n\in \N}$ sont convergentes vers une même limite $\ell$ vérifiant :
\[\forall n \in \N, \quad a_n \leqslant \ell \leqslant b_n.\]

\item On suppose de plus les suites $\left(a_n\right)_{n\in \N}$ et $\left(b_n\right)_{n\in \N}$ strictement monotones. Montrer que:

\[\forall n \in \N, \quad a_n < \ell < b_n.\]
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{II.}  Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $a_n = \displaystyle\sum_{p=0}^{n} \dfrac{1}{p!}$  et $b_n = a_n + \dfrac{1}{n \times n!}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les suites $\left(a_n\right)_{n\in \N*}$ et $\left(b_n\right)_{n\in \N*}$ sont adjacentes.
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, e$ - a_n = \dfrac{1}{n!}\displaystyle\int_0^1 (1 - t)^n\text{e}^t\:\text{d}t$.

\emph{Indication :} on pourra procéder par récurrence.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul, $0 < \text{e} - a_n < \dfrac{1}{n \times n!}$.

En déduire la limite de la suite $\left(a_n\right)_{n\in \N*}$.

\emph{Indication :} on pourra étudier les variation de la fonction $t \longmapsto (1 - t)\text{e}^t$.
\item En déduire une valeur de $n$ telle que $a_n$ soit une valeur approchée de e  à $10^{-5}$
près.
\item  On suppose  que e est un nombre rationnel.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'il existe un entier  naturel non nul $q$ tel que le nombre e$q!$ soit un entier naturel.
		
%Tournez la page S. V. P{}.
		\item  Montrer que $x = q!\left(\text{e} - \displaystyle\sum_{p=0}^q \dfrac{1}{p!}\right)$ est un entier naturel.
		\item Montrer que $0 < x < 1$.
		\item Conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

Soit $f$ une fonction à valeurs réelles définie sur  un intervalle ouvert $I$ contenant $0$. On rappelle que $f$ est dite \emph{développable en série entière} au voisinage de $0$ s'il existe un nombre réel $R > 0$ 
 et une  suite $\left(a_n\right)_{n\geqslant 0}$ de nombres réels tels que $]- R~;~R[$ est inclus dans $I$ et :

\[\forall x \in  ]- R~;~R[,\quad  f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} a_n x^n.\]

\bigskip

\textbf{III.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $x\longmapsto \dfrac{1}{1 + x}$est développable en série entière au voisinage de $0$.

Préciser son développement et donner le rayon de convergence de cette série entière.
\item  Justifier que, pour tout nombre réel $x$ dans l'intervalle $] - 1~;~1[$,

\[\ln (1 + x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{+ \infty}  (- 1)^k \dfrac{x^{k+1}}{k + 1}.\]

On énoncera avec soin le théorème utilisé.
\item Pour $x \in  [0~;~1]$ et $n \in  \N$, on pose $S_n(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}(- 1)^k \dfrac{x^{k+1}}{k + 1}$.

Démontrer que les deux suites $\left(S_{2n}(x)\right)_{n\in \N}$ et $\left(S_{2n+1}(x)\right)_{n\in \N}$ sont adjacentes.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ et tout nombre réel $x$ dans l'intervalle
[0~;~1[,

\[S_{2n+1}(x) \leqslant \ln (1 + x) \leqslant S_{2n}(x).\]

\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,

\[S_{2n+1}(1) \leqslant \ln (2) \leqslant S_{2n}(1).\]
\item Démontrer que $\ln (2) = \displaystyle\sum_{k=0}^{+ \infty} \dfrac{(- 1)^k}{k + 1}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\large Partie B : écriture d'un entier en base deux}
\end{center}

\medskip

Le but de cette partie est de démontrer que tout entier naturel $N$ supérieur ou égal à 2
s'écrit de manière unique

\[N = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} d_k 2^k \quad \text{avec} \quad n \geqslant 2\: \text{et} \: \left\{\begin{array}{l}
\forall k \in \llbracket 0~;~n - 1\rrbracket, \quad d_k \in \{0,\:1\},\\
d_{n-1} = 1.
\end{array}\right.\]

L'égalité précédente se note $N = \overline{d_{n-1}d_{n-2}\ldots d_0}$ (écriture de $N$ en base deux) ; la suite finie $\left(d_k\right)_{0\leqslant k \leqslant n - 1}$ s'appelle la suite des chiffres dans l'écriture de $N$ en base deux.

\medskip

Dans toute cette partie, $N$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
\medskip

\textbf{IV.} On suppose que $N = \displaystyle\sum_{k=0}^{n - 1} d_k2^k$ avec $\forall k \in  \llbracket 0~;~n - 2\rrbracket,\: d_k \in \{0,\:1\}\quad \text{et} \quad d_{n - 1} = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $2^{n-1} \leqslant  N \leqslant 2^n - 1$.
\item Montrer que $d_0$ est le reste de la division euclidienne de $N$ par 2.
\item Démontrer que la suite $\left(d_0, \ldots ,d_{n-1}\right)$ est déterminée de manière unique.
\end{enumerate}

\textbf{V.} On définit deux suites d'entiers $\left(y_k\right)_{k \in \N}$ et $\left(d_k\right)_{k \in \N}$  par $y_0 = N$ et pour tout entier naturel $k$,\: $y_{k+1}$ et $d_k$ désignent respectivement le quotient et le reste de la division
euclidienne de $y_k$ par 2.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On fixe $k \in \N*$. Exprimer $N$ en fonction de $k, d_0,\: \ldots,\:d_{k-1}$ et $y_k$.
\item Démontrer que la suite $\left(y_k\right)_{k\in \N}$ est nulle à partir d'un certain rang et qu'il existe un entier $n \geqslant 1$ tel que $\overline{d_{n-1}d_{n-2}\ldots d_0}$ soit l'écriture de $N$ en base deux.
\item Écrire un algorithme qui, pour tout entier naturel $N$ supérieur ou égal 2 donné,
renvoie la suite $\left(d_0,\: d_1,\:\ldots,\: d_{n-1}\right)$ des chiffres de son écriture en base deux.
\item Écrire en base deux le nombre qui s'écrit $391$ en base dix.
\end{enumerate}

\textbf{VI.} On se propose à présent de calculer le nombre $N$ qui s'écrit $\overline{d_{n-1}d_{n-2} \ldots d_0}$ en base deux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Première méthode : méthode \og  naïve \fg.

On écrit $N = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}  d_k2^k$. Combien d'opérations (additions et multiplications) doit-on effectuer \emph{a priori} pour calculer $N$ avec cette méthode ?
\item Deuxième méthode : méthode de Hörner.

On écrit $N = \left(\left(\left(\left(d_{n-1} \times 2 + d_{n-2}\right) \times  2 + d_{n-3}\right) \times 2 + \ldots \right) \times 2\right) + d_0$. 

Combien d'opérations (additions et multiplications) doit-on effectuer \emph{a priori} pour calculer
$N$ avec cette méthode ?
\item  Écrire un algorithme qui, pour toute suite de chiffres $\left(d_0,\: \ldots , d_{n-1}\right)$ donnée, renvoie la valeur de $N$ calculée à l'aide de cette deuxième méthode.
\item  Quel est le nombre dont l'écriture en base deux est $\overline{101001000100001}$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\large Partie C : nombres dyadiques}
\end{center}

L'ensemble $D_2 = \left\{\dfrac{a}{2^p}~;~a \in \Z,\: p \in \N\right\}$ est appelé ensemble des nombres dyadiques. On note $D^{+}_2$ l'ensemble des nombres dyadiques positifs ou nuls.

\textbf{VII.} Montrer que $\Z$ est strictement inclus dans $D_2$ et que $D_2$ est strictement inclus dans $\Q$. 

\emph{Indication} : on pourra montrer que $\dfrac{1}{3} \in D_2$.

\textbf{VIII.} Soit $x \in D^+_2\verb+\+ \N$. On se propose de démontrer qu'il existe un unique entier $n \geqslant 1$ et une unique suite $\left(a_0,\:a_1,\:\ldots,\:a_n\right)$ avec $a_0 \in \N$ et $\left(a_1,\:\ldots,\:a_n\right) \in  \{0,\: 1\}^n$ tels que

\[x = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k2^{-k},\quad  \text{avec}\: a_n \neq  0.\]

Le membre de droite de cette égalité s'appelle le développement dyadique de $x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose qu'une telle suite existe. Montrer que $a_0 = E(x)$ puis montrer que la
suite $\left(a_0,\: a_1,\:\ldots,\: a_n\right)$ est déterminée de manière unique.
\item On souhaite à présent montrer l'existence d'une telle suite. À l'aide de la partie
précédente, montrer l'existence d'un entier $a_0$, d'un entier $p \geqslant 1$ et d'une suite de
nombres entiers $d_0, \ldots,\:d_{p-1}$ égaux à $0$ ou $1$, non tous nuls, tels que

\[x = a_0 + \displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}  d_k2^{k-p}.\]

\item Conclure.
\end{enumerate}

\textbf{IX.} Donner le développement dyadique de $\dfrac{35}{4}$.

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\large Partie D : développement dyadique illimité}
\end{center}

On appelle suite dyadique toute suite $\left(a_k\right)_{k\in \N*}$ où pour tout $k \in \N*$,\: $a_k$ est un élément de $\{O,\:1\}$. De plus :

\begin{itemize}
\item une suite dyadique $\left(a_k\right)_{k\in \N*}$ est dite impropre s'il existe un entier $m \in \N*$ tel que pour tout $k \geqslant m$,\: $a_k = 1$ ;
\item une suite dyadique $\left(a_k\right)_{k\in \N*}$ est dite propre si elle n'est pas impropre.
\end{itemize}

\textbf{X.} On suppose que $a = \left(a_k\right)_{k\in \N*}$ est une suite dyadique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la série de terme général $a_k2^{-k}$ est convergente. On note sa somme

\[s(a) = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} a_k2^{-k}.\]

\item Soit $N$ un entier naturel. Que vaut $\displaystyle\sum_{k=N}^{+\infty}2^{-k}$ ?
\item Vérifier que $s(a) \in [0~;~1]$.
\item Montrer que si $a$ est une suite dyadique propre, alors $s( a) \in  [0~;~1[$.
\item Montrer que si $a$ est une suite dyadique impropre, alors $s(a)$ est un nombre dyadique.
\item Soit $a = \left(a_k\right)_{k\in \N*}$ la suite définie par

\[a_k = \left\{\begin{array}{l c l}
0&\text{si} &k\: \text{est impair}\\
1&\text{si} &k\: \text{est pair}
\end{array}\right.\]

Montrer que $s(a) = \dfrac{1}{3}$.
\end{enumerate}

\textbf{XI.} Soit $x$ un nombre dyadique compris dans l'intervalle [0,\: 1[.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les résultats de la partie C, montrer qu'il existe une suite dyadique
propre $a$ telle que

\[x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+ \infty} a_k2^{-k}.\]

\item  Montrer que si $x$ est non nul, alors il existe également une suite dyadique impropre
$b$ telle que

\[x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+ \infty} b_k2^{-k}.\]

\end{enumerate}

\textbf{XII.} Dans cette question, on considère un nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~1[.

On lui associe la suite $\alpha(x) = \left(\alpha_k(x)\right)_{k \in \N*}$ définie pour tout $k \in \N$* par l'égalité
\[\alpha_k(x) = E\left(2^k x\right) - 2E\left(2^{k-1}x \right).\]

Pour tout $n \in \N*$, on pose $u_n(x) = \displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha_k(x)2^{-k}$  et $v_n(x) = u_n(x) + 2^{-n}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(\alpha_k(x)\right)_{k \in \N*}$ est une suite dyadique.
\item Démontrer que les deux suites $\left(u_n(x)\right)_{k \in \N*}$ et $\left(v_n(x)\right)_{k \in \N*}$ sont adjacentes et prennent leurs valeurs dans $D_2 \cap [0~;~1]$.
\item Vérifier que $E\left(2^nx\right) = 2^nu_n(x)$ et en déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$,

\[u_n(x) \leqslant x < v_n(x).\]

\item Quelle est la limite commune des suites $\left(u_n(x)\right)_{k \in \N*}$ et $\left(v_n(x)\right)_{k \in \N*}$ ?
\item Montrer que $\left(\alpha_k(x)\right)_{k \in \N*}$ est une suite dyadique propre et que

\[x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+ \infty} \alpha_k(x)2^{-k}.\]

\item En déduire que pour tout nombre réel $x$ dans l'intervalle [0~;~1[, il existe une unique
suite dyadique propre $\left(a_k(x)\right)_{k \in \N*}$ telle que :

\[x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} a_k2^{-k}.\]

On note alors

\[x = \overline{0, a_1a_2a_3\ldots}\]

Cette nouvelle représentation de $x$ est appelée la représentation dyadique propre
de $x$. 

Si la suite $\left(a_k(x)\right)_{k \in \N*}$ est nulle à partir d'un certain rang, on dit que la représentation dyadique de $x$ est finie.
\item  Si $d = \left(d_n\right)_{n \in \N*}$ est une suite dyadique propre, on note $x = s(d)$ et $d' = \left(d_{n+1}\right)_{n\in \N*}$.

Justifier que $d_1 = E(2x)$ et $s\left(d'\right) = 2x - d_1$.

En déduire un algorithme qui prend en entrées un nombre réel $x \in [0~;~1[$ et un
entier $n \in \N*$ et qui renvoie la liste des $n$ premiers chiffres du développement
dyadique propre de $x$.

On admettra l'existence d'une fonction \emph{floor} qui renvoie la
partie entière de son argument.
\end{enumerate}
 
\textbf{XIII.} Démontrer que $D_2 \cap [0~;~1]$ est dense dans $[0~;~1]$. En déduire que $D_2$ est dense dans $\R$.

\textbf{XIV.} Démontrer que $\R\backslash D_2$ est dense dans $\R$.

\emph{Indication} : on pourra utiliser la question \textbf{VII.}

\textbf{XV.} Soit $x$ un nombre réel dans l'intervalle  [0~;~1[ dont un développement dyadique,
propre ou impropre, est $\overline{0, a_1a_2a_3\ldots}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le développement dyadique de $1 - x$ ?
\item On suppose que $2x \in [0~;~1[$. Quel est le développement dyadique de $2x$ ?

Plus généralement, quel est le développement dyadique de $2^lx$, lorsque $l$ est un entier
relatif et que $2^lx \in [0~;~1[$ ?
\item Donner le développement dyadique de $\dfrac{2}{3}$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\large Partie E : suite extraite de la suite \boldmath$(\cos( n\pi \theta))_{n\in \N}$\unboldmath}
\end{center}
\medskip

\textbf{XVI.} Dans cette question, $\theta$ désigne un nombre réel strictement positif. On pose
\[c_n = \cos (n\pi \theta),\qquad  s_n = \sin (n\pi \theta).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour tout entier naturel $n$,
\[\begin{array}{r c l}
c_{n+1} + c_{n-1}& =& 2c_n \cos(\pi \theta),\\
c_{n+1} - c_{n-1} &=& - 2s_n\sin (\pi \theta),\\
c_n^2 + s_n^2 &=& 1.
\end{array}\]

\item  En déduire que la suite $\left(c_n\right)_{n\in \N}$ converge si et seulement si $\theta$ est un entier relatif pair.

\emph{Indication }: on pourra raisonner par disjonction de cas, suivant la valeur de $\cos(\pi \theta)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{XVII.} On s'intéresse à présent à la suite $\left(c_{2^n}\right)_{n\in \N}$ extraite de $\left(c_n\right)_{n\in \N}$.

Pour tout entier naturel $n$, on pose :

\[u_n = c_{2^n} = \cos \left(2^n \pi \theta\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose (dans cette question uniquement) que $\theta$ est un nombre dyadique.

Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ ?
\item On suppose (dans cette question uniquement) qu'il existe un nombre dyadique $x$
tel que

$\theta  = x + \dfrac{1}{3}$.

Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ ?
\item On suppose (dans cette question uniquement) qu'il existe un nombre dyadique $x$
tel que 

$\theta  = x + \dfrac{2}{3}$.

Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ ?
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = 2u_n^2 - 1$.
\item Lorsque la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ converge vers $\ell$, quelles sont les seules valeurs possibles pour le réel $\ell $?
\item Soit $\left(a_n\right)_{n\in \N*}$ la suite définissant le développement dyadique propre de $\theta - E(\theta)$.

Montrer que, quel que soit l'entier naturel $n$, il existe un entier relatif $k_n$ et un
réel $\epsilon_n$ appartenant à l'intervalle $\left[0~;~\frac{1}{2}\right]$ tels que :

\[2^n \theta = 2k_n + a_n + \dfrac{a_{n+1}}{2} + \epsilon_n.\]

\item Démontrer que :

\begin{itemize}
\item si $a_n = a_{n+1}$, alors $u_n \geqslant 0$ ;
\item si $a_n \neq  a_{n+1}$, alors $u_n \leqslant 0$.
\end{itemize}

Puis que :

\begin{itemize}
\item  si $u_n > 0$, alors $a_n = a_{n+1}$ ;
\item si $u_n < 0$, alors $a_n \neq  a_{n+1}$.
\end{itemize}
\item On suppose que la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ converge vers un nombre réel $\ell > 0$.

Montrer qu'à partir d'un certain rang, $a_n = 0$.

En déduire que $\theta$ est un nombre dyadique.
\item On suppose que la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ converge vers un nombre réel $\ell < 0$.

Montrer qu'à partir d'un certain rang, $a_{n+1} \neq  a_n$. En déduire que $\theta - \dfrac{1}{3}$ ou $\theta - \dfrac{2}{3}$ est un nombre dyadique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{XVIII.} Énoncer et démontrer une condition nécessaire et suffisante pour que la suite 
$\left(u_n\right)_{n\in \N}$ converge.

On justifiera ce résultat et on précisera le cas échéant la valeur de sa limite.
\end{document}