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% Intervalle d'entiers
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\begin{document}

\begin{center}\textbf{\Large CAPES externe de Mathématiques\\[7pt]
Session 2007 --- Première composition\\[0.5em]}
\end{center}
\date{}

\medskip

\date{}

\section*{Introduction}

L'objet du problème est l'étude de la suite $(s_n)_{n \geqslant 1}$ définie par :

\[\forall n \geqslant 1, \quad s_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}.\]

Dans une première partie, nous nous attacherons à démontrer, de différentes façons,
par des méthodes élémentaires, que cette suite converge. Les parties 2, 3 et 4 suivantes
seront consacrées à la détermination de sa limite $S$ par divers moyens. Les parties 5 et
6 utiliseront la valeur de $S$ pour calculer la somme de certaines séries numériques.

On rappelle que, pour tous entiers $m$, $n$ vérifiant $m \leqslant n$, on note $\llbracket m, n \rrbracket$
l'intervalle d'entiers

\[\llbracket m, n \rrbracket = \{ p \in \Z \mid m \leqslant p \leqslant n \}.\]

\section*{Première partie : Convergence de la suite}

\textit{Dans cette partie, le candidat utilisera uniquement les connaissances faisant partie
du programme de Terminale S.}

\subsection*{1. Première méthode}

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Démontrer que, pour tout entier $k \geqslant 2$, on a la majoration

\[\frac{1}{k^2} \leqslant \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}.\]

\item En déduire que la suite $(s_n)_{n \geqslant 1}$ est majorée.
\item Démontrer que la suite $(s_n)_{n \geqslant 1}$ converge et donner un majorant de sa limite.
\end{enumerate}

\noindent\textit{Dans toute la suite du problème, on notera $S$ cette limite.}

\subsection*{2. Deuxième méthode}

On considère la suite $(t_n)_{n \geqslant 1}$, définie par :

\[\forall n \geqslant 1, \quad t_n = s_n + \frac{1}{n}.\]

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Démontrer que les suites $(s_n)_{n \geqslant 1}$ et $(t_n)_{n \geqslant 1}$ sont adjacentes.
\item Donner, en le justifiant, un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ de $S$.
\end{enumerate}

\subsection*{3. Troisième méthode}

Écrire le texte d'un exercice de niveau Terminale S démontrant, par comparaison à une
intégrale, la convergence de la suite $(s_n)_{n \geqslant 1}$.

\section*{Deuxième partie : Utilisation de polynômes}

\begin{enumerate}
\item Soit $P \in \C [X]$ un polynôme de degré $n \geqslant 1$ :
 $P(X) = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n$.
 Rappeler la formule permettant de calculer la somme

\[\sigma_1 = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i = \alpha_1 + \cdots + \alpha_n\]
  des racines de $P$ en fonction de ses coefficients $a_k$, $k \in \llbracket 0, n \rrbracket$.

\item
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Soient $p \in \N$ et $\varphi \in \R$. Démontrer l'égalité

\[\sin\!\bigl((2p+1)\varphi\bigr)
 = \sum_{k=0}^{p} (-1)^k \binom{2p+1}{2k+1} \cos^{2p-2k}(\varphi)\,\sin^{2k+1}(\varphi),\]

où $\dbinom{2p+1}{2k+1}$ désigne le coefficient binomial pour $k \in \llbracket 0, p \rrbracket$.

\item En déduire que, pour tout entier $p \in \N$ et pour tout réel $\varphi \not\equiv 0\,[\pi]$, on 

\[\sin\!\bigl((2p+1)\varphi\bigr)
 = \sin^{2p+1}(\varphi) \sum_{k=0}^{p} (-1)^k \binom{2p+1}{2k+1}
 \bigl(\cot^2\varphi\bigr)^{p-k},\]

où $\cot\varphi = \dfrac{\cos\varphi}{\sin\varphi}$.
\end{enumerate}

\item Soit $p \in \N^*$ et $P \in \R[X]$ le polynôme défini par :

\[P(X) = \sum_{k=0}^{p} (-1)^k \binom{2p+1}{2k+1} X^{p-k}.\]

	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Pour tout entier $k \in \llbracket 1, p \rrbracket$, on pose
 $\gamma_k = \cot^2\!\left(\dfrac{k\pi}{2p+1}\right)$.
 Calculer $P(\gamma_k)$ pour tout $k \in \llbracket 1, p \rrbracket$.
		\item Vérifier que, pour tout $k \in \llbracket 1, p \rrbracket$, le réel $\dfrac{k\pi}{2p+1}$ appartient à l'intervalle $\left]0, \dfrac{\pi}{2}\right[$. En déduire que le polynôme $P$ possède $p$ racines distinctes, que l'on déterminera.
		\item En déduire les égalités :

\[\sum_{k=1}^{p} \cot^2\!\!\left(\frac{k\pi}{2p+1}\right) = \frac{p(2p-1)}{3},
\qquad \sum_{k=1}^{p} \frac{1}{\sin^2\!\left(\dfrac{k\pi}{2p+1}\right)} = \frac{2p(p+1)}{3}.\]

	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Démontrer, pour tout réel $\varphi \in \left]0, \dfrac{\pi}{2}\right[$, les encadrements

\[0 < \sin\varphi < \varphi < \tan\varphi.\]

\item En déduire que, pour tout entier $p \geqslant 1$, on a l'encadrement

\[\frac{p(2p-1)}{3}
  < \frac{(2p+1)^2}{\pi^2} \sum_{k=1}^{p} \frac{1}{k^2}
 < \frac{2p(p+1)}{3}.\]

		\item Démontrer que $S = \dfrac{\pi^2}{6}$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que les suites $(u_n)_{n \geqslant 1}$, $(v_n)_{n \geqslant 1}$ et $(w_n)_{n \geqslant 1}$ définies par :

\[\forall n \geqslant 1, \quad
 u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k)^2}, \qquad
 v_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(2k+1)^2}, \qquad
 w_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k^2}\]

sont convergentes et déterminer les valeurs exactes de leurs limites, respectivement
 notées $U$, $V$ et $W$.
\end{enumerate}

\section*{Troisième partie : Utilisation des intégrales de Wallis}

Pour tout entier $n \in \N$, on pose

\[I_n = \int_0^{\pi/2} \cos^{2n} t\,\text{d}t, \qquad
 J_n = \int_0^{\pi/2} t^2 \cos^{2n} t\,\text{d}t, \qquad
 K_n = \frac{4^n (n!)^2}{(2n)!}\,J_n.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer les intégrales $I_0$ et $J_0$.
\item
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Démontrer que pour tout $n \in \N$, on a :

\[I_{n+1} = \frac{2n+1}{2n+2}\,I_n.\]

\textit{(Indication : on pourra penser à une intégration par parties.)}

		\item En déduire que pour tout $n \in \N$, on a :

\[I_n = \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}\,\frac{\pi}{2}.\]

	\end{enumerate}
\item Soit $n \geqslant 1$.
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Démontrer la relation $I_n = n(2n-1)J_{n-1} - 2n^2 J_n$.
		\item En déduire que $K_{n-1} - K_n = \dfrac{\pi}{4n^2}$.
		\item Démontrer la relation

\[\frac{\pi}{4} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} = J_0 - K_n.\]
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Démontrer que, pour tout réel $x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$, on a :

\[x \leqslant \frac{\pi}{2}\sin x.\]

		\item En déduire que, pour tout entier $n$, on a

\[
0 \leqslant J_n \leqslant \frac{\pi^2 I_n}{8(n+1)},
 \qquad\text{puis}\qquad
 0 \leqslant K_n \leqslant \frac{\pi^3}{16(n+1)}.\]

		\item Retrouver la valeur de $S$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Quatrième partie : Noyau de Dirichlet}

Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $D_n$ le noyau de Dirichlet, défini par :

\[\forall x \in \R, \quad D_n(x) = \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n} \cos(kx).\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$ et tout réel $x \not\equiv 0\,[2\pi]$, on a

\[D_n(x) = \frac{1}{2}\,\frac{\sin\!\left(\left(n + \tfrac{1}{2}\right)x\right)}{\sin\tfrac{x}{2}}.\]

\item Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $L_n$ l'intégrale

\[L_n = \int_0^{\pi} x\,D_n(x)\,\text{d}x.\]

	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_0^{\pi} x\cos(kx)\,\text{d}x$ pour tout entier $k \geqslant 1$.
		\item En déduire que

\[L_n = \frac{\pi^2}{4} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} + \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{k^2}.\]
	\end{enumerate}
\item On note $f$ le prolongement par continuité en $0$ de la fonction définie sur
 l'intervalle $]0, \pi]$ par : $x \mapsto \dfrac{x}{\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}$.
 Démontrer que la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur l'intervalle $[0, \pi]$.

\item Soit $\varphi : [0, \pi] \to \R$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0, \pi]$.
Démontrer que

\[\lim_{\lambda \to +\infty} \int_0^{\pi} \varphi(x)\sin(\lambda x)\,\text{d}x = 0.\]

\textit{(Indication : on pourra penser à une intégration par parties.)}

\item
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Démontrer que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} L_n = 0$.
		\item Retrouver la valeur de $S$. \textit{(On utilisera la relation entre $W$ et $S$
 obtenue à la question 5 de la deuxième partie.)}
	end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Cinquième partie : Une somme double}

L'objet de cette partie est de calculer la limite de la somme double

\[\lim_{M \to +\infty} \left( \lim_{N \to +\infty}
 \sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{M} \frac{1}{nm(n+m-1)!} \right).\]

On pose, pour tout entier $N \geqslant 1$, $H_N = \displaystyle\sum_{n=1}^{N} \dfrac{1}{n}$.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Démontrer que pour tout entier $N \geqslant 1$, on a :

\[\ln(1+N) \leqslant H_N \leqslant 1 + \ln(N).\]

		\item En déduire que $\displaystyle\lim_{N \to +\infty} \frac{H_N}{N} = 0$.
		\item Démontrer que pour tout entier $M \geqslant 2$, on a :

\[\sum_{m=1}^{M-1} \frac{H_m}{m(m+1)} = \sum_{m=1}^{M} \frac{1}{m^2} - \frac{H_M}{M}.\]

		\item En déduire que la série $\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} \frac{H_m}{m(m+1)}$
 converge et déterminer sa limite.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier $N \geqslant 1$ et pour tout entier $m \geqslant 2$, on pose

\[Z_{N,m} = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(n+m-1)}.\]

	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Démontrer que pour tout entier $m \geqslant 2$

\[Z_{N,m} = \frac{1}{m-1}\left( H_{m-1} - \sum_{n=N+1}^{N+m-1} \frac{1}{n} \right).\]

		\item En déduire que $\displaystyle\lim_{N \to +\infty} Z_{N,m} = \frac{H_{m-1}}{m-1}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Montrer que pour tout entier $N \geqslant 1$ et pour tout entier $M \geqslant 2$ on a :

\[\sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{M} \frac{1}{nm(n+m-1)}
 = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^2} + \sum_{m=2}^{M} \frac{Z_{N,m}}{m}.\]

		\item Montrer que

\[\lim_{N \to +\infty} \sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{M} \frac{1}{nm(n+m-1)}
 = \frac{\pi^2}{6} + \sum_{m=2}^{M} \frac{H_{m-1}}{m(m-1)}.\]

		\item En déduire alors

\[\lim_{M \to +\infty} \left( \lim_{N \to +\infty}
 \sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{M} \frac{1}{nm(n+m-1)} \right).\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Sixième partie : La fonction Dilogarithme}

Pour tout réel $x \in [-1~;~1[$, on considère l'intégrale

\[\mathrm{Li}(x) = -\int_0^x \frac{\ln(1-t)}{t}\,dt.
\]

\begin{enumerate}
\item Justifier l'existence de cette intégrale pour tout réel $x \in [-1, 1[$.
\item On définit la fonction Dilogarithme

\[\mathrm{Li} :
\begin{array}{rcl}
[-1, 1[ & \longrightarrow & \R \\
x & \longmapsto & \mathrm{Li}(x)
\end{array}\]

Démontrer que la fonction $\mathrm{Li}$ est prolongeable par continuité en $1$. On notera
 encore $\mathrm{Li}$ ce prolongement par continuité.
\item
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Montrer que pour tout $x \in ]-1, 1[$, on a

\[
\mathrm{Li}(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n^2}.\]

		\item En déduire la valeur de $\mathrm{Li}(1)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Pour $x \in ]0~;~1[$, calculer la dérivée de $\mathrm{Li}(x) + \mathrm{Li}(1-x)$.
		\item Démontrer la relation fonctionnelle

\[\forall x \in ]0, 1[, \quad
 \mathrm{Li}(x) + \mathrm{Li}(1-x) = \frac{\pi^2}{6} - \ln(1-x)\ln(x).\]
	\end{enumerate}
\item Déduire de la question précédente la valeur de la somme
 $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n n^2}$.
\item
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Pour tout réel $x \in ]-1~;~1[$, démontrer la relation

\[\mathrm{Li}(x) + \mathrm{Li}(-x) = \frac{1}{2}\,\mathrm{Li}(x^2).
\]

		\item Retrouver la valeur de la somme $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Pour tout réel $x \in ]0~;~1[$, démontrer la relation

\[\mathrm{Li}(x) - \mathrm{Li}(-x)
 + \mathrm{Li}\!\left(\frac{1-x}{1+x}\right)
 - \mathrm{Li}\!\left(\frac{x-1}{1+x}\right)
 = \frac{\pi^2}{4} + \ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\ln(x).
 \]

		\item En déduire la valeur de la somme
 $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(\sqrt{2}-1)^{2n+1}}{(2n+1)^2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
