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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small CAPES externe}
\lfoot{\small{épreuve 1}}
\rfoot{\small{CAPES 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES externe 2003 mathématiques ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{\large Première épreuve écrite}\end{center}

\medskip

\noindent\textbf{Calculatrice électronique de poche} -- y compris programmable, alphanumérique ou à écran graphique, à fonctionnement autonome, non imprimante, autorisée conformément à la circulaire n°~99-186 du 16 novembre 1999.

\medskip

\noindent Tout document et tout autre matériel électronique sont interdits.

\medskip

\noindent La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les résultats indiqués dans l'énoncé peuvent être utilisés par les candidats pour la suite du problème.

\medskip

\noindent Les candidats doivent reporter sur leur copie, devant leurs réponses, la numérotation complète des questions de l'énoncé.

\medskip

\noindent Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale dans sa copie et poursuit sa composition en indiquant les initiatives qu'il est amené à prendre de ce fait.

\hrule

\section*{Notations et objets du problème}

On désigne par $\mathbb{N}$ l'ensemble des entiers naturels, par $\mathbb{R}$ le corps des nombres réels et par $\mathbb{R}^+$ l'ensemble des réels positifs ou nuls.

Pour tout entier naturel $n$ et tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$, on note $C_n^k$ le coefficient binomial défini par :

\[C_n^k = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}\]

avec la convention $0! = 1$.

Si $A$, $B$ sont deux ensembles, avec $B$ inclus dans $A$, on note $A \setminus B$ l'ensemble :

\[A \setminus B = \{x \in A \mid x \notin B\}.\]

On rappelle que si $E$ est un espace vectoriel réel, une famille $\mathcal{B} = (e_i)_{i \in K}$ de vecteurs non nuls de $E$ est une base si pour tout vecteur $x$ dans $E$ il existe une unique famille de scalaires $(x_j)_{j \in L}$, où $L$ est une partie finie de $K$, telle que $x = \sum_{j \in L} x_j e_j$.

Sauf indication contraire, on désigne par $a$ et $b$ des réels tels que $a < b$ et par $I$ l'intervalle fermé borné $[a, b]$.

On note $\mathcal{C}(I)$ l'espace vectoriel réel des fonctions définies sur $I$ à valeurs réelles et continues.

On note $\mathcal{F}$ l'espace vectoriel réel des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ à valeurs réelles périodiques de période $2\pi$ et continues.

Pour éviter les répétitions dans les définitions qui suivent on désigne par $H$ l'espace vectoriel $\mathcal{C}(I)$ ou $\mathcal{F}$ et par $J$ l'intervalle $I$ dans le cas où $H$ est l'espace $\mathcal{C}(I)$ ou l'intervalle $\mathbb{R}$ dans le cas où $H$ est l'espace $\mathcal{F}$.

Pour toute fonction $f$ appartenant à $H$ on désigne par $|f|$ la fonction définie par :

\[|f| : J \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto |f(x)|.\]

L'espace $H$ est muni de la norme de la convergence uniforme définie par :

\[\forall f \in H, \quad \|f\|_\infty = \sup_{x \in J} |f(x)|.\]

On munit l'espace $H$ de la relation d'ordre partiel notée $\leqslant$ et définie par :

\[\forall (f,g) \in H \times H, \quad (f \leqslant g) \iff (\forall x \in J,\ f(x) \leqslant g(x)).\]

On dit qu'une fonction $f$ appartenant à $H$ est \emph{positive} et on note $0 \leqslant f$, si $0 \leqslant f(t)$ pour tout $t$ dans $J$.

On désigne par $\mathcal{L}(H)$ l'espace vectoriel des endomorphismes de $H$. Un élément de $\mathcal{L}(H)$ est aussi appelé un \emph{opérateur linéaire} sur $H$.

On dit qu'un opérateur linéaire $u$ sur $H$ est \emph{positif} s'il transforme toute fonction positive appartenant à $H$ en une fonction positive.

On note $\mathbb{R}[x]$ l'espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ des fonctions polynomiales d'une variable à coefficients réels. Cet espace est muni de la base $\{e_k \mid k \in \mathbb{N}\}$ définie par :

\[\forall k \in \mathbb{N},\ \forall x \in \mathbb{R}, \quad e_k(x) = x^k.\]

On note $\mathcal{P}$ le sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}$ formé des polynômes trigonométriques à coefficients réels, c'est-à-dire des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ de la forme :

\[x \mapsto a_0 + \sum_{k=1}^{n} \bigl(a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)\bigr),\]
où $n$ est un entier naturel, le coefficient $a_0$ et les coefficients $a_k$, $b_k$ pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $n$ sont réels. Cet espace est muni de la base $\{c_k \mid k \in \mathbb{N}\} \cup \{s_k \mid k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\}$ définie par :

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad
\begin{cases}
\forall k \in \mathbb{N}, & c_k(x) = \cos(kx),\\
\forall k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}, & s_k(x) = \sin(kx).
\end{cases}\]

On remarquera que $c_0 = e_0$.

Pour toute fonction $f$ appartenant à $\mathcal{F}$, on désigne par $\bigl(a_k(f)\bigr)_{k \geqslant 0}$ et $\bigl(b_k(f)\bigr)_{k \geqslant 1}$ les coefficients de Fourier de $f$ définis par :

\[\forall k \in \mathbb{N}, \quad a_k(f) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)\cos(kt)\,dt,
\]

\[\forall k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}, \quad b_k(f) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)\sin(kt)\,dt.\]

On note :
\begin{equation}
S_0(f) = \frac{a_0(f)}{2}\,c_0 \label{eq:S0}
\end{equation}
et pour tout entier $n$ strictement positif, on désigne par $S_n(f)$ le polynôme trigonométrique défini par :
\begin{equation}
S_n(f) = \frac{a_0(f)}{2}\,c_0 + \sum_{k=1}^{n}\bigl(a_k(f)\,c_k + b_k(f)\,s_k\bigr). \label{eq:Sn}
\end{equation}

\medskip

La partie~I est consacrée aux opérateurs linéaires positifs. Cette partie est utilisée par les parties~II et~III.

La partie~II est consacrée au théorème suivant sur l'approximation uniforme des fonctions continues sur un intervalle fermé borné et à valeurs réelles :

\begin{quote}
\textbf{Théorème 1 (Korovkin).} Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite d'endomorphismes positifs de $\mathcal{C}(I)$, où $I$ est un intervalle fermé borné de $\mathbb{R}$, telle que pour toute fonction $f$ appartenant à $\{e_0, e_1, e_2\}$ la suite $(u_n(f))_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $f$ sur $I$, alors pour toute fonction $f$ appartenant à $\mathcal{C}(I)$ la suite de fonctions $(u_n(f))_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $f$ sur $I$.
\end{quote}

La partie~III indépendante de la partie~II est consacrée au théorème suivant sur l'approximation uniforme des fonctions périodiques, continues sur $\mathbb{R}$ et à valeurs réelles :

\begin{quote}
\textbf{Théorème 2 (Korovkin).} Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite d'endomorphismes positifs de $\mathcal{F}$ telle que pour toute fonction $f$ appartenant à $\{c_0, c_1, s_1\}$, la suite $(u_n(f))_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}$, alors pour toute fonction $f$ appartenant à $\mathcal{F}$, la suite $(u_n(f))_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}$.
\end{quote}

\newpage

\section*{I -- Opérateurs linéaires positifs. Propriétés et exemples}

\begin{enumerate}[label=\textbf{I.\arabic*.}]
\item Soit $u$ un opérateur linéaire positif sur $H$. Montrer que :

\[\forall f \in H, \quad |u(f)| \leqslant u(|f|).\]

\item Soit $u$ un opérateur linéaire positif sur $H$. Montrer que $u$ est l'endomorphisme nul si et seulement si $u(e_0) = 0$.

\item Montrer que tout opérateur linéaire positif sur $H$ est continu.

\item Soit $u$ un opérateur linéaire positif sur $H$. Justifier l'existence de :

\[\|u\|_\infty = \sup_{f \in H \setminus \{0\}} \frac{\|u(f)\|_\infty}{\|f\|_\infty}\]

et exprimer cette quantité en fonction de $u$ et de $e_0$.

\item Pour cette question on se place dans $H = \mathcal{C}(I)$ avec $I = [a,b]$.

Soit $n$ un entier strictement positif. Étant donnés $n+1$ points $(x_{n,k})_{0 \leqslant k \leqslant n}$ deux à deux distincts de $I$ et $n+1$ fonctions $(u_{n,k})_{0 \leqslant k \leqslant n}$ de $\mathcal{C}(I)$, montrer que l'opérateur linéaire $u_n$ défini sur $\mathcal{C}(I)$ par :

\[\forall f \in \mathcal{C}(I), \quad u_n(f) = \sum_{k=0}^{n} f(x_{n,k})\,u_{n,k}\]

est positif si et seulement si toutes les fonctions $u_{n,k}$, pour $k$ compris entre $0$ et $n$, sont positives.

\item Pour cette question on se place dans $H = \mathcal{C}(I)$ avec $I = [0,1]$ et on se donne un entier $n$ strictement positif.

On note $\varphi_n$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^2$ par :

\[\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \quad \varphi_n(x,y) = \left(x\, \e^{\frac{y}{n}} + \frac{1-x}{1}\right)^n.\]

\noindent\emph{(Note : la formule exacte est $\varphi_n(x,y) = \bigl(x {\rm{e}}^{y/n} + 1-x\bigr)^n$.)}

Pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$, on désigne par $B_{n,k}$ la fonction polynomiale définie par :
\begin{equation}
\forall x \in I, \quad B_{n,k}(x) = C_n^k\, x^k (1-x)^{n-k} \label{eq:Bnk}
\end{equation}
et $B_n$ est l'opérateur linéaire positif défini par :
\begin{equation}
\forall f \in \mathcal{C}(I), \quad B_n(f) = \sum_{k=0}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right) B_{n,k}. \label{eq:Bn}
\end{equation}

\begin{enumerate}[label=\textbf{I.6.\arabic*.}]
\item Pour tout réel $y$ on désigne par $f_y$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad f_y(x) = \e^{xy}.\]

Montrer que :

\[\forall x \in I, \quad B_n(f_y)(x) = \varphi_n(x,y).\]

\item Montrer que pour tout entier naturel $j$ on a :

\[B_n(e_j)(x) = \frac{\partial^j \varphi_n}{\partial y^j}(x,0).\]

\item Exprimer $B_n(e_j)$ dans la base $\{e_k \mid k \in \mathbb{N}\}$ pour $j = 0, 1, 2$.
\end{enumerate}

\item Pour cette question on se place dans $H = \mathcal{F}$ et on désigne par $K$ un polynôme trigonométrique. On associe à ce polynôme l'opérateur linéaire $u$ défini sur $\mathcal{F}$ par :

\[\forall f \in \mathcal{F},\ \forall x \in \mathbb{R}, \quad u(f)(x) = \int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)\,K(t)\,dt.\]

\begin{enumerate}[label=\textbf{I.7.\arabic*.}]
\item Montrer que pour toute fonction $f$ appartenant à $\mathcal{F}$ on a :

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad u(f)(x) = \int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,K(x-t)\,dt.\]

\item Montrer que pour toute fonction $f$ appartenant à $\mathcal{F}$, $u(f)$ est un polynôme trigonométrique.

\item Montrer que l'opérateur linéaire $u$ est positif si et seulement si la fonction $K$ est à valeurs positives ou nulles.
\end{enumerate}

\item Pour cette question on se place dans $H = \mathcal{F}$, on se donne un entier naturel $n$ strictement positif et on considère l'opérateur linéaire $T_n$ défini sur $\mathcal{F}$ par :
\begin{equation}
\forall f \in \mathcal{F}, \quad T_n(f) = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} S_k(f), \label{eq:Tn}
\end{equation}
où $S_0$ désigne l'opérateur linéaire défini sur $\mathcal{F}$ par \eqref{eq:S0} et pour tout entier naturel $k$ non nul, $S_k$ désigne l'opérateur linéaire défini sur $\mathcal{F}$ par \eqref{eq:Sn}.

\begin{enumerate}[label=\textbf{I.8.\arabic*.}]
\item Montrer que, pour tout entier naturel $p$ strictement positif, la fonction $\theta_p$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}\pi$ par :

\[x \mapsto \frac{\sin(px)}{\sin(x)}\]

se prolonge en une fonction continue et périodique de période $2\pi$ sur $\mathbb{R}$. On note encore $\theta_p$ ce prolongement.

\item Montrer que pour tout réel $x$ on a :
\begin{equation}
\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n}\cos(kx)\right) = \frac{1}{2}\sin\!\left(\frac{2n+1}{2}x\right). \label{eq:6}
\end{equation}

\item Montrer que pour toute fonction $f$ appartenant à $\mathcal{F}$ on a :

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad S_n(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\theta_{2n+1}\!\left(\frac{x-t}{2}\right)dt.\]

\item Montrer que pour tout réel $x$ on a :
\begin{equation}
\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\left(\sum_{k=0}^{n-1}\sin\!\left(\frac{(2k+1)x}{2}\right)\right) = \sin^2\!\left(\frac{n}{2}x\right). \label{eq:7}
\end{equation}

\item Montrer que pour toute fonction $f$ appartenant à $\mathcal{F}$ on a :

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad T_n(f)(x) = \int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,K_n(x-t)\,dt,\]

où $K_n$ est un polynôme trigonométrique.
\item Montrer que l'opérateur linéaire $T_n$ est positif.
\item Calculer $S_n(c_j)$, $T_n(c_j)$ pour tout entier naturel $j$ et $S_n(s_j)$, $T_n(s_j)$ pour tout entier naturel $j$ non nul.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{II -- Théorème de Korovkin sur $\mathcal{C}(I)$}

\noindent Pour cette partie on se place dans $H = \mathcal{C}(I)$ avec $I = [a,b]$.

\begin{enumerate}[label=\textbf{II.\arabic*.}]
\item Soit $f$ un élément de $\mathcal{C}(I)$. Montrer que pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, on peut trouver un réel $\eta$ strictement positif tel que :
\begin{equation}
\forall (t,x) \in I \times I, \quad |f(t) - f(x)| \leqslant \varepsilon + \frac{2\|f\|_\infty}{\eta^2}(t-x)^2. \label{eq:8}
\end{equation}
\item Pour toute fonction $g$ appartenant à $\mathcal{C}(I)$, pour tout entier naturel $k$ et pour tout réel $x$ fixé dans $I$, on désigne par $g - g(x)\,e_k$ la fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$ définie par :

\[t \mapsto g(t) - g(x)\,t^k.\]

Soit $f$ appartenant à $\mathcal{C}(I)$. Montrer que pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, on peut trouver un réel $\eta$ strictement positif tel que :
\begin{equation}
\forall x \in I, \quad |f - f(x)\,e_0| \leqslant \varepsilon\,e_0 + \frac{2\|f\|_\infty}{\eta^2}\bigl(e_2 - 2x\,e_1 + x^2\,e_0\bigr). \label{eq:9}
\end{equation}

\item Soient $u$ un opérateur linéaire positif sur $\mathcal{C}(I)$ et $f$ une fonction appartenant à $\mathcal{C}(I)$. Montrer que pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, on peut trouver un réel $\eta$ strictement positif tel que :
\begin{equation}
\forall x \in I, \quad \bigl|u(f - f(x)\,e_0)\bigr| \leqslant \varepsilon\,u(e_0) + \frac{2\|f\|_\infty}{\eta^2}\bigl(u(e_2) - 2x\,u(e_1) + x^2\,u(e_0)\bigr). \label{eq:10}
\end{equation}

\item Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'endomorphismes positifs de $\mathcal{C}(I)$ telle que pour toute fonction $f$ appartenant à $\{e_0, e_1, e_2\}$ la suite $(u_n(f))_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $f$ sur $I$.

\begin{enumerate}[label=\textbf{II.4.\arabic*.}]
\item Montrer que la suite de fonctions $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :

\[\forall n \in \mathbb{N}, \quad g_n = u_n(e_2) - 2e_1\,u_n(e_1) + e_2\,u_n(e_0)\]

converge uniformément vers la fonction nulle sur $I$.

\item Montrer que pour toute fonction $f$ appartenant à $\mathcal{C}(I)$, la suite de fonctions $(h_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :

\[\forall n \in \mathbb{N},\ \forall x \in I, \quad h_n(x) = \bigl(u_n(f - f(x)\,e_0)\bigr)(x)
\]

converge uniformément vers la fonction nulle sur $I$ (on peut utiliser l'inégalité~\eqref{eq:10}).

\item Montrer que, pour toute fonction $f$ appartenant à $\mathcal{C}(I)$, la suite $(u_n(f))_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $f$ sur $I$.
\end{enumerate}

\item Pour cette question on prend $[a,b] = [0,1]$ et on considère la suite d'opérateurs linéaires $(B_n)_{n \geqslant 1}$ définie par~\eqref{eq:Bn}.

Montrer que pour toute fonction $f$ appartenant à $\mathcal{C}(I)$, la suite $(B_n(f))_{n \geqslant 1}$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]$.

\item Pour cette question $I = [a,b]$ est à nouveau un intervalle quelconque.

Montrer que le sous-espace vectoriel $\mathbb{R}[x]$ des fonctions polynomiales à coefficients réels est dense dans l'espace vectoriel $\mathcal{C}(I)$ muni de la norme de la convergence uniforme.

\item Pour cette question on prend $I = [0,b]$ avec $b$ réel strictement positif. Si $f$ est une fonction continue sur $I$, on la prolonge en une fonction continue sur $\mathbb{R}^+$ en posant $f(x) = f(b)$ pour $x$ supérieur ou égal à $b$.

\begin{enumerate}[label=\textbf{II.7.\arabic*.}]
\item Montrer que pour toute fonction $f$ appartenant à $\mathcal{C}(I)$ et pour tout entier naturel $n$ strictement positif on peut définir une fonction $u_n(f)$ appartenant à $\mathcal{C}(I)$ en posant :

\[\forall x \in I, \quad u_n(f)(x) = \e^{-nx}\sum_{k=0}^{+\infty} f\!\left(\frac{k}{n}\right)\frac{n^k}{k!}\,x^k.\]

\item Montrer que pour toute fonction $f$ appartenant à $\mathcal{C}(I)$ la suite de fonctions $(u_n(f))_{n \geqslant 1}$ converge uniformément vers $f$ sur $I$.
\end{enumerate}

\item Pour cette question $I = [a,b]$ est à nouveau un intervalle quelconque.

Soient $\theta_0, \theta_1, \theta_2$ trois fonctions appartenant à $\mathcal{C}(I)$ pour lesquelles on peut trouver des coefficients réels $a_0, a_1, a_2$ non tous nuls tels que la fonction $\theta = a_0\theta_0 + a_1\theta_1 + a_2\theta_2$ admette au moins trois racines réelles deux à deux distinctes, $x_0, x_1, x_2$ dans $I$.

\begin{enumerate}[label=\textbf{II.8.\arabic*.}]
\item Montrer qu'on peut trouver trois réels $\lambda_0, \lambda_1, \lambda_2$ non tous nuls tels que :

\[\begin{cases}
|\lambda_k| < 1 \quad (k = 0, 1, 2),\\
\text{au moins deux des } \lambda_k \text{ sont positifs ou nuls,}\\
\lambda_0\,\theta_k(x_0) + \lambda_1\,\theta_k(x_1) + \lambda_2\,\theta_k(x_2) = 0 \quad (k = 0, 1, 2).
\end{cases}\]

En modifiant si nécessaire la numérotation des racines de la fonction $\theta$, on peut supposer que :

\[-1 < \lambda_0 \leqslant \lambda_1 \leqslant \lambda_2 < 1, \quad \lambda_1 \geqslant 0.\]

Pour tout entier $n$ strictement positif, on désigne par $\delta_n$ la restriction à l'intervalle $I$ de la fonction affine par morceaux et continue définie sur $\mathbb{R}$ par :

\[x \notin \left[x_0 - \tfrac{1}{n},\, x_0 + \tfrac{1}{n}\right] \Rightarrow \delta_n(x) = 0,\]

\[\delta_n(x_0) = 1,\]

\[\delta_n \text{ affine sur } \left[x_0 - \tfrac{1}{n},\, x_0\right] \text{ et sur } \left[x_0,\, x_0 + \tfrac{1}{n}\right].\]

On associe à $\delta_n$ l'opérateur linéaire $u_n$ défini sur $\mathcal{C}(I)$ par :

\[\forall f \in \mathcal{C}(I), \quad u_n(f) = (e_0 - \delta_n)\,f + \bigl((1+\lambda_0)\,f(x_0) + \lambda_1\,f(x_1) + \lambda_2\,f(x_2)\bigr)\,\delta_n.\]

\item Montrer que, pour tout entier $n$ strictement positif, l'opérateur linéaire $u_n$ est positif.

\item Montrer que, pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $2$, la suite de fonctions $(u_n(\theta_k))_{n \geqslant 1}$ converge uniformément vers $\theta_k$ sur $[a,b]$.

\item Montrer qu'on peut trouver une fonction $f$ appartenant à $\mathcal{C}(I)$ telle que la suite $(u_n(f))_{n \geqslant 1}$ ne converge pas uniformément vers $f$ sur $I$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage

\section*{III -- Théorème de Korovkin sur $\mathcal{F}$}

\noindent Pour cette partie on se place dans $H = \mathcal{F}$.

\begin{enumerate}[label=\textbf{III.\arabic*.}]

\item Montrer que toute fonction $f$ appartenant à $\mathcal{F}$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$.

Pour tout $x$ fixé dans $\mathbb{R}$, on désigne par $\psi_x$ la fonction définie par :

\[\forall t \in \mathbb{R}, \quad \psi_x(t) = \sin^2\!\left(\frac{t-x}{2}\right).\]

\item Soient $f$ appartenant à $\mathcal{F}$. Montrer que pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, on peut trouver un réel $\eta$ dans l'intervalle $]0, \pi[$ tel que l'on ait :
\begin{equation}
\forall (t,x) \in \mathbb{R}^2, \quad |f(t) - f(x)| \leqslant \varepsilon + \frac{2\|f\|_\infty}{\psi_0(\eta)}\,\psi_x(t). \label{eq:11}
\end{equation}

Pour $f$ appartenant à $\mathcal{F}$ et $x$ fixé dans $\mathbb{R}$, $f - f(x)\,c_0$ désigne la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

\[t \mapsto f(t) - f(x).\]

\item Soit $f$ une fonction appartenant à $\mathcal{F}$. Montrer que pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, on peut trouver un réel $\eta$ dans l'intervalle $]0, \pi[$ tel que l'on ait :
\begin{equation}
\forall x \in \mathbb{R}, \quad |f - f(x)\,c_0| \leqslant \varepsilon\,c_0 + \frac{\|f\|_\infty}{\psi_0(\eta)}\bigl(c_0 - \cos(x)\,c_1 - \sin(x)\,s_1\bigr). \label{eq:12}
\end{equation}

\item Soient $u$ un opérateur linéaire positif sur $\mathcal{F}$ et $f$ une fonction appartenant à $\mathcal{F}$. Montrer que pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, on peut trouver un réel $\eta$ dans l'intervalle $]0, \pi[$ tel que l'on ait :
\begin{equation}
\forall x \in \mathbb{R}, \quad \bigl|u(f - f(x)\,c_0)\bigr| \leqslant \varepsilon\,u(c_0) + \frac{\|f\|_\infty}{\psi_0(\eta)}\bigl(u(c_0) - \cos(x)\,u(c_1) - \sin(x)\,u(s_1)\bigr). \label{eq:13}
\end{equation}

\item Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'endomorphismes positifs de $\mathcal{F}$ telle que pour toute fonction $f$ appartenant à $\{c_0, c_1, s_1\}$, la suite $(u_n(f))_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}$.

\begin{enumerate}[label=\textbf{III.5.\arabic*.}]
\item Montrer que la suite de fonctions $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :

\[\forall n \in \mathbb{N}, \quad g_n = u_n(c_0) - c_1\,u_n(c_1) - s_1\,u_n(s_1)\]

converge uniformément vers la fonction nulle sur $\mathbb{R}$.

\item Montrer que, pour toute fonction $f$ appartenant à $\mathcal{F}$, la suite de fonctions $(h_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :

\[\forall n \in \mathbb{N},\ \forall x \in \mathbb{R}, \quad h_n(x) = \bigl(u_n(f - f(x)\,c_0)\bigr)(x),\]

converge uniformément vers la fonction nulle sur $\mathbb{R}$ (on peut utiliser~\eqref{eq:13}).

\item Montrer que, pour toute fonction $f$ appartenant à $\mathcal{F}$, la suite $(u_n(f))_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\item Montrer que, pour toute fonction $f$ appartenant à $\mathcal{F}$, la suite $(T_n(f))_{n \geqslant 1}$ définie par~\eqref{eq:Tn} converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}$.

\end{enumerate}
\end{document}