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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{CAPES externe 18 mars 2026}}
\rfoot{\small{}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe Option mathématiques (bac +3) ~\decofourright\\[7pt] 18 mars 2026 épreuve 1}}


\vspace{0,5cm}

\textbf{Ce sujet est composé de quatre exercices indépendants}

\medskip

\textbf{\large Exercice 1 : Vrai/Faux}
\end{center}

\medskip

\emph{Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.}

\medskip

\textbf{Assertion 1.} Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$ .Si $a$ est un réel tel que $f'(a) = 0$, alors $f$ admet en $a$ un minimum local ou un maximum local.

\medskip

\textbf{Assertion 2.} Soit $n \in \N$

\[\displaystyle\int_0^{n \pi} \sin^2 (x)\:\text{d}x = \dfrac{n \pi}{2}.\]

\medskip

\textbf{Assertion 3.} Soit $t$ un réel différent de 1. Dans le plan complexe, on note A le point d'affixe $t$, B le point d'affixe 1, et C le point d'affixe $1 + \text{i}(1 - t)$.

Le triangle ABC est isocèle et rectangle.

\medskip

\textbf{Assertion 4.} On désigne par $\R[X]$ le $\R$-espace vectoriel des polynômes d'une indéterminée $X$ et à coefficients réels. Pour tout $P \in \R[X]$, par abus de notation on note $P : \R \to \R$ la fonction (polynomiale) obtenue en évaluant sur $\R$ le polynôme $P$. Si P ~ IR[X] est de degré impair, alors
il existe $x \in \R$ tel que $P(x) = 0$.

\medskip

\textbf{Assertion 5.} On rappelle qu'un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive sur un $\R$-esp ace vectoriel. On désigne par IR,[X] le R-espace vectoriel des polynômes d'une indéterminée $X$ et à coefficients réels de degré au plus 1. L'application suivante :

\[\begin{array}{r c l}
\varphi : \R_1[X] \times \R_1[X] &\to& \R\\
(P,\:Q) &\longmapsto& P(0)Q(0) + P(1)Q(1)
\end{array}\]
est un produit scalaire.

\medskip

\textbf{Assertion 6.} Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2.

Soient $\omega_0,\: \omega_1, \ldots, \omega_{n-1} \in  \C$ les $n$ racines $n$-ièmes
 de l'unité, et soit $p \in [1~;~n - 1]$. Alors : 

\[\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \omega_k^p = 0.\]

\medskip

\textbf{Assertion 7.} L'équation différentielle :

\[\forall x \in \R, \quad (1 - x)y'(x) + y(x) = 0\]

admet au moins une solution définie sur $\R$ autre que la fonction nulle.

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 : Une suite d'intégrales}

\medskip


\begin{enumerate}
\item Rappeler le développement en série entière de la fonction exponentielle en précisant le rayon de convergence.
\end{enumerate}
\emph{Dans cet exercice, on étudie la suite $(I_n)_{n\in \N}$ définie par :}

\[I_0 = 1 \:\text{et, pour}\: n \geqslant 1, \quad I_n  = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{\prod_{k=1}^n (x + k)} \:\text{d}x - \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{(x + 1)(x + 2)\ldots (x + n)}\:\text{d}x.\]

On rappelle que $0!= 1$.

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $I_1$.
		\item Déterminer $a$ et $b$ tels que pour tout $x \in [0~;~1]$,

\[\dfrac{1}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{a}{x + 1} + \dfrac{b}{x + 2}\]
		\item Calculer $I_2$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Établir que pour tout entier naturel $n$ :
		
\[\dfrac{1}{(n + 1)!} \leqslant I_n \leqslant \dfrac{1}{n!}.\]

		\item En déduire que la série de terme général $I_n$, converge et déterminer un réel $\alpha$ tel que :

\[\alpha - 1 \leqslant ~ \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} I_n \leqslant \alpha.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On rappelle pour la fin de l'exercice que, étant données $(un)_{n \in \N*}$ et $(v_n)_{n \in \N*}$ deux suites à valeurs réelle s dont les termes ne s'annulent pas, on dit que $(un)_{n \in \N*}$ et $(v_n)_{n \in \N*}$ sont équivalentes quand $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n}{v_n} = 1$.  On note alors $u_n  \sim v_n$.

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout réel $t \in [0~;~1]$
		\[1 + t \leqslant \text{exp} (t).\]
		\item Établir que, pour tout réel $t \in [0~;~1]$ :
\[t - t^2 \leqslant \ln (1 + t).\]
	
puis que, pour tout réel $t \in [0~;~1]$ :

\[\text{exp} \left(t - t^2\right)\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

Dans la suite, pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose :

\[H_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n 1 + \dfrac 12 + \ldots + \dfrac 1n \quad \text{et} \quad S_n = 
\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2} = 1 + \dfrac{1}{2^2} + \ldots + \dfrac{1}{n^2}.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Rappeler ce qu'est une série de Riemann et à quelle condition nécessaire et suffisante une série de Riemann converge.
		\item En déduire que la suite $(S_n)_{n\in \N*}$  converge.
		\item Préciser la limite de la suite $(H_n)_{n\in \N*}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item Soit $n \in \N*$.
	\begin{enumerate}
		\item Établir que, pour tout réel $x \in [0~;~1]$ :

\[n! \text{exp}\left(xH_n - x^2 S_n\right) \leqslant \displaystyle\prod_{k=1}^n [ (x +k) \leqslant n!\text{exp}\left(xH_n\right)\]

\emph{Indication : Vérifier que } $\displaystyle\prod_{k=1}^n (x+k) = n!\displaystyle\prod_{k=1}^n \left(1 + \dfrac xk \right)$ \emph{puis utiliser les résultats 
de la question} 4.
		\item En déduire que, pour tout réel $x \in [0~;~1]$:

\[\dfrac{1}{n!}\text{exp}\left(- xH_n\right) \dfrac{1}{\displaystyle\prod_{k=1}^n
(x + k)} \leqslant \dfrac{1}{n!}\text{exp}\left(- x(H_n - S_n)\right)\]

		\item Démontrer alors que

\[\dfrac{1 - \text{exp}(- H_n}{n!H_n} \leqslant I_n \leqslant \dfrac{\text{exp}(-(H_n - S_n))}{n!(H_n - S_n)}\]

		\item Établir que $I_n \sim \dfrac{1}{n! H_n}$.
	\end{enumerate}
\item On pose, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, $u_n~,= H_n - \ln (n)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 2$,\: $u_n = \dfrac 1n + \displaystyle\sum_{k-1}^{n-1}\left(\dfrac 1k - \displaystyle\int_{k}^{k+1} \dfrac 1t\:\text{d}t \right)$.
		\item En déduire que $(u_n)_{n \geqslant 2}$ est une suite décroissante à valeurs positives.
		\item En déduire que la suite $(u_n)_{n \geqslant 2}$ converge, puis que $I_n \sim \dfrac{1}{n! \ln (n)}$.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3: Puissances universelles}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, on se place dans un ensemble $E$ muni d'une structure d'anneau $(E, +, \times)$ et, pour $a$ appartenant à $E$ et $k$ appartenant à $\N*$, on s'intéresse à l'existence de solutions à l'équation $x^k = a$ d'inconnue $x$ appartenant à $E$.\\
Plus précisément, soit $a$  un élément de $E$ :}

\emph{\begin{itemize}
\item étant donné un entier naturel non nul $k$ , on dit que $a$ est une puissance $k$-ième s'il existe $x$ appartenant à $E$ tel que $x^k = a$ ;
\item on dit que $a$ est une puissance universelle si, pour tout $k \in N*$,\: $a$ est une puissance $k$-ième.
\end{itemize}}

\emph{Pour tout anneau $E$, les éléments $0_E$ et $1_E$ (respectivement éléments neutres pour + et $\times$) sont des puissances universelles de $E$ car pour tout $k \in \N*,\: 0_E^k = 0_E$ et $1_E^k = 1_E$.}

\emph{L'exercice a pour objectif d'étudier certains cas particuliers et d'établir quelques résultats généraux, dans divers anneaux usuels.}

\emph{Les deux parties sont indépendantes.}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Première partie} -- dans $\Z/n\Z$\end{center}

\medskip

\emph{Dans cette partie, $n$ est un entier supérieur ou égal à 2, et $E$ désigne $\Z/n\Z$ muni de ses lois usuelles + et $\times$ . On notera $\overline{0}, \overline{1} ,..., \overline{n - 1} $les éléments de $\Z/n\Z$}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Un premier exemple}

Dans cette question seulement, $n = 6$. Ainsi, $E =  \Z/6\Z = \{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5}\}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\overline{2}^2,\: \overline{3}^2,\: \overline{4}^2$, et $\overline{5}^2$, images respectives de $\overline{2},\overline{3},\overline{4}$ et $\overline{5}$ par l'application 

$x \mapsto x^2$.
		\item En déduire que $\overline{0}$ et $\overline{1}$ ne sont pas les seules puissances universelles de $\Z/6\Z$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Un deuxième exemple}

Dans cette question seulement, $n = 4$. Ainsi, $E = \Z /4\Z =  \{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$.

Démontrer, en s'inspirant éventuellement de la question précédente, que $\overline{0}$ et $\overline{1}$ sont les seules puissances universelles de $E = \Z /4\Z$.
\item \emph{Le cas particulier où $n$ est premier}

Dans cette question uniquement, $n$ est un entier premier, et, par souci de clarté, $n$ sera
plutôt désigné par la lettre $p$.
	\begin{enumerate}
		\item Énoncer le petit théorème de Fermat.
		\item En déduire à la fois que tout élément de $\Z/p\Z$ est une puissance $p$-ième, et que $\overline{0}$ et $\overline{1}$ sont les seules puissances universelles de $\Z/p\Z$.
		\item L'hypothèse \og $n$ est premier \fg{} est-elle une condition nécessaire pour que $\overline{0}$ et $\overline{1}$ soient les seules puissances universelles de $\Z/n\Z$ ?
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

%Démontrer que pour tout entier n~2, un- $ +2- ilz- ~ J·
%1 (e)En déduire que la suite (1m)n> 2 converge, puisque In a!na)*
%2 2 . 2 - ~2 ~
%%%

\begin{center}
\textbf{\large Deuxième partie\\[7pt]-- dans $\mathcal{M}_n(\R)$ : étude du 
cas particulier des matrices diagonalisables}\end{center}

\medskip

Dans cette partie $E = \mathcal{M}_n(\R)$, ensemble des matrices carrées de taille $n$ et à coefficients réels, et $A$ est un élément de $E$ 

\emph{Rappelons qu'étudier si $A$ est une puissance $k$-ième c'est chercher s'il existe une matrice $M$ appartenant à $\mathcal{M}_n(\R)$  telle que $M^k = A$. Étudier si $A$ est une puissance universelle, c'est étudier si, pour tout entier naturel non nul $k$, $A$ est une puissance $k$-ième.}

\begin{enumerate}[resume]
\item Dans cette question seulement $n =1$ et on confond $\mathcal{M}_1(\R)$ et $\R$.

Démontrer que l'ensemble des puissances universelles de $\R$ est $\R^{+}$.
\item Dans cette question, $n \geqslant 2$ et $A, P$ et $D$ sont trois éléments de $\mathcal{M}_n(\R)$ tels que $P$ est inversible, $D$ est diagonale et $A = PDP^{-1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $k \in \N*$ et soit $N \in \mathcal{M}_n(\R)$.

Vérifier que si $N^k = D$, alors $\left(PNP^{-1}\right)^k = A$.
		\item Démontrer que $A$ est une puissance universelle si, et seulement si $D$ est une puissance universelle.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, $n \geqslant 2$ et $D \in \mathcal{M}_n(\R)$ est la la matrice diagonale suivante :

\[D = \begin{pmatrix}\lambda_1&&&\\ &\lambda_2&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_n\end{pmatrix}\]

où les réels $\lambda_1,..., \lambda_n$ sont tous deux à deux distincts.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $M \in \mathcal{M}_n(\R)$ une matrice qui commute avec $D$. Démontrer que $M$ est une matrice diagonale.
		\item Soit $M \in \mathcal{M}_n(\R)$ et soit $k \in \N*$. Vérifier que si $M = D$, alors $M$ et $D$ commutent.
		
En déduire que $D$ est une puissance universelle dans $\mathcal{M}_n(\R)$ si, et seulement si, ses éléments diagonaux sont positifs.
		\item Supposons que $A$ est une matrice possédant $n$ valeurs propres réelles et deux à deux distinctes.

Quelle est la condition nécessaire et suffisante afin que la matrice A soit une puissance universelle dans $M \in \mathcal{M}_n(\R)$ ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item Pour tout $\theta \in \R$, on pose :

\[R_{\theta} = \begin{pmatrix}\cos(\theta)&- \sin(\theta )\\ \sin(\theta )&\cos(\theta)\end{pmatrix}\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout $\theta \in \R$ et pour tout $k \in \N^{*},\: \left(R_{\theta}\right)^k = R_{k \theta}$.

Donner une interprétation géométrique de cette égalité.
		\item Démontrer que la matrice $R_{\pi} = \begin{pmatrix}- 1&0\\0&- 1\end{pmatrix}$ est une puissance universelle.
	\end{enumerate}
\item Dans la question \textbf{6.b.} on a montré  la propriété suivante,

\og Soit $D$ une matrice diagonale à coefficients diagonaux réels deux à deux distincts. $D$ est une puissance universelle si, et seulement si, ses coefficients diagonaux sont positifs \fg.

Peut-on affirmer la propriété suivante ?

\og Soit $D$ une matrice diagonale à coefficients réels. $D$ est une puissance universelle si, et seulement si, ses coefficients diagonaux sont positifs \fg.

Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\bigskip
	
\begin{center}\textbf{\large Exercice 4 : Tous à 6}\end{center}

\medskip

\emph{Toutes les variables aléatoires introduites ci-après sont définies sur un même espace probabilisé $(\Omega,\:\mathcal{A},\:P)$.  Soit $m \in \N^{*}$ et soit $q \in ]0~;~1$[. On rappelle que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de premier paramètre $m$ et de second paramètre $q$ si :\\
\begin{itemize}
\item $X(\Omega) = \llbracket0~;~m\rrbracket$
\item $\forall ,k \in \llbracket0~;~m\rrbracket,\: P(X = k) = \binom{m}{k} q^k (1 - q)^{m-k}$
\end{itemize}}

\emph{On rappelle que, lorsqu'on répète $m$ fois, et de façon indépendante, la même expérience de Bernoulli dont la probabilité de succès vaut $q$, alors la loi du nombre de succès est la loi binomiale de premier paramètre $m$ et de second paramètre $q$.}

\emph{On rappelle aussi que si $B$ est un évènement de probabilité non nulle et si $A$ est un évènement quelconque on note $P(A/B)$ la probabilité de \og A sachant B\fg.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préliminaire : une suite arithmético-géométrique

Dans tout l'exercice, $(p_n)_{n\in \N^{*}}$ désigne la suite définie par

\begin{itemize}
\item $p_1 = \dfrac 16$
\item $\forall n \in \N^{*},\: p_{n+1} = \dfrac 56 p_n + \dfrac 16$
\end{itemize}

Déterminer, pour tout entier naturel $n$ non nul, une expression explicite de $p_n$, en fonction de $n$.
\end{enumerate}

Soit $N \in \N^{*}$. Un joueur dispose de $N$ dés classiques à six faces.

Il effectue un premier lancer des $N$ dés. À l'issue de ce premier lancer, il met de côté les dés ayant donné 6 et relance  les autres (s'il en reste).

Il continue ainsi avec pour objectif que tous les dés aient donné 6.

Pour tout $\omega \in \Omega$, univers des possibles qu'on ne cherchera pas à expliciter, on note $S_n(\omega)$ le nombre total de dés ayant, après $n$ lancers, donné 6.

On admet que $S_n$ définit bien une variable aléatoire. Si pour un certain rang $n_0$ , tous les dés ont donné 6, c'est-à-dire si $S_n = N$, alors on considérera que $S_n = N$ pour tout entier $n \geqslant n_0$.
\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n \in \N^{*}$. Préciser $S_n(\Omega)$, l'univers image de la variable aléatoire $S_n$.
		\item Quelle est la loi de $S_1$ i ? On précisera, en le justifiant, ses paramètres
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\emph{L'objectif des questions 3 à 5 est d'établir que, pour tout $n \in \N^{*},\: S$,suit la loi binomiale de paramètre $N$ et $p_n$.}

\begin{enumerate}[start=3]
\item Soit $n \in \N^{*}$, soit $k \in \llbracket0~;~N\rrbracket$, et soit $i \in \llbracket0~;~k\rrbracket$. Justifier que:

\[P(S_{n+1} = k|S_n = i) = \binom{N - i}{k - i} \dfrac{1}{6^{k-i}}\left(\dfrac 56\right)^{N-k}\]

\item Dans cette question et dans cette question seulement, on se donne $n \in \N^{*}$ et on suppose que $S_n$ suit une loi binomiale de premier paramètre $N$ et de second paramètre $p_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $k \in \llbracket 0~;~N \rrbracket$,

\[P(S_{n+1} = k = \displaystyle\sum_{i=0}^k\binom{N}{i}p_n^i(1 - p_n)^{N-i}\binom{N-i}{k-i}\dfrac{1}{6^{k-i}}\left(\dfrac 56 \right)^{N-k}\]

\emph{Indication : on pourra appliquer la formule des probabilités totales en remarquant que\\
$((S_n= i))_{i \in \llbracket0~;~N\rrbracket}$ est un système complet d'évènements.}

		\item Vérifier que pour tout $k  \in \llbracket0~;~N\rrbracket$, pour tout $i \in  \llbracket0~;~k\rrbracket$

\[\binom{N}{i}\binom{N - i}{k - i} = \binom{N}{k}\binom{k}{i}\]

		\item Obtenir alors que, pour tout $k \in \llbracket0~;~N\rrbracket$ :
		
\[P(S_{n+1} = k) = \binom{N}{k}\left(\dfrac{1 + 5p_n}{6} \right)^k\left(1 - \dfrac{1 + 5p_n}{6} \right)^{5N-k}\]

\end{enumerate}
\item Démontrer par récurrence et grâce aux questions précédentes, que pour tout $n \in \N^{*},\: S_n$ suit une loi binomiale de premier paramètre $N$ et de second paramètre $1 - \left(\dfrac 56\right)^n$.
\end{enumerate}

\emph{Dans la suite de l'exercice, on définit la variable aléatoire $T$ par :}

\[\forall \omega \in \Omega, \quad  T(\omega) = \left\{\begin{array}{l l}
\text{min}\{n \in \N*\:|\:S_n(\omega) = N\}&\text{si} \{n \in \N*\:|S_n(\omega) = N\} \neq \emptyset\\
0&\text{sinon}
\end{array}\right.\]

\emph{Ainsi $T$ représente le nombre de lancers nécessaires pour que tous les dés aient donné 6, en posant $T= 0$ si on n'obtient jamais tous les 6.}

\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout $n \in \N*,\: P(1 \leqslant T \leqslant n) = \left[1 -\left(\dfrac 56\right)^n\right]^N$.
		\item En déduire la valeur de $\displaystyle\sum_{k=1}^{+ \infty} P(T = k)$ puis démontrer que $P(T = 0) = 0$.

Comment interpréter ce résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{FIN DU SUJET}\end{center}
\end{document}