\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\geometry{top=2.5cm, bottom=2.5cm, left=3.5cm, right=3.5cm}
\geometry{margin=2.5cm}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\PP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\Lb}[2]{L_{#1}^{#2}}
\newcommand{\lsig}{\ell(\sigma, f)}
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|}
\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}
\newcommand{\e}{\,\text{e}}
\begin{document}

\begin{center}\textbf{\Large CAPES externe -- Épreuve 2 -- 2008}

\date{}

\medskip

\textbf{\Large À propos d'un théorème de Tchebychev\\
sur la répartition des nombres premiers}
\date{}
\end{center}

\section*{Introduction}

Étant donné un entier naturel $n$, on considère $\pi(n)$ le nombre de nombres premiers
compris entre $0$ et $n$. Ce sujet s'intéresse au comportement de la suite $(\pi(n))_n$.
Il est composé de deux grandes parties A et B.

La partie A vise à établir l'encadrement suivant :

\[(\ln 2)\,\frac{n}{\ln n} \leqslant \pi(n) \leqslant \e\,\frac{n}{\ln n}\]

valable pour tout $n \geqslant 3$. Elle est composée de deux sous-parties, A.I et A.II,
consacrées respectivement à la minoration et à la majoration annoncées.

Ce genre d'encadrement suggère l'existence d'un lien asymptotique fort entre les suites
$(\pi(n))_n$ et $\left(\dfrac{n}{\ln n}\right)_n$. La partie B s'intéresse à cette question
puisque son objectif principal est de montrer le résultat suivant :

[Tchebychev\footnote{Pafnouti Lvovitch Tchebychev, mathématicien russe,
Okatovo 1821 -- Saint-Pétersbourg 1894.}]
S'il existe un réel $c > 0$ tel que $\pi(n) \sim_n c\,\dfrac{n}{\ln n}$, alors
nécessairement $c = 1$.

\medskip

Elle est composée de quatre sous-parties B.I, B.II, B.III et B.IV. C'est dans la partie
B.III qu'on établit le théorème annoncé. La preuve qu'on en propose repose sur l'étude
du comportement asymptotique de la suite $\left(\displaystyle\sum_{\substack{p \text{ premier} \\ p \leqslant n}} \frac{1}{p}\right)_n$.
Cette étude est réalisée au début de la partie B.III. Les parties B.I et B.II sont
consacrées à l'établissement de formules importantes pour la suite. Dans la partie B.I
on établit une formule due à Legendre\footnote{Adrien-Marie Legendre, mathématicien
français, Paris 1752 -- Auteuil 1833.} qui donne l'expression de la valuation $p$-adique
de $n!$. Dans la partie B.II on démontre un théorème de Mertens\footnote{Franz Mertens,
mathématicien autrichien, 1840 -- 1927.} qui précise le comportement asymptotique de la
suite $\left(\displaystyle\sum_{\substack{p \text{ premier} \\ p \leqslant n}} \frac{\ln p}{p}\right)_n$.
La partie B.IV est une application de la formule asymptotique trouvée dans la partie
B.III. On y étudie la densité de l'ensemble des entiers possédant de grands facteurs
premiers.

À la fin du sujet, une note documentaire met en perspective, d'un point de vue historique,
le théorème de Tchebychev démontré ici. Sa lecture n'est pas essentielle au bon traitement
du sujet.

\medskip
\noindent\textit{Les parties de ce problème ne sont pas indépendantes entre elles.}

\section*{Notations et rappels}

\begin{itemize}
\item On note $\PP$ l'ensemble des nombres premiers positifs.
\item Si $E$ désigne un ensemble fini, on note $\#E$ le cardinal de cet ensemble,
 c'est-à-dire le nombre d'éléments de $E$.

\item Si $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ désignent deux suites numériques, on notera $u_n \sim_n v_n$
 pour dire que ces suites sont équivalentes. On notera $u_n = o(v_n)$ pour dire que la suite
 $(u_n)_n$ est négligeable devant la suite $(v_n)_n$ et enfin, on notera $u_n = O(v_n)$ pour
 dire que la suite $(u_n)_n$ est dominée par la suite $(v_n)_n$, c'est-à-dire qu'il existe
 un réel $c$ et un entier $n_0$ tels que pour tout $n \geqslant n_0$ on ait $|u_n| \leqslant c|v_n|$.
\item Si $x$ désigne un réel, on notera $[x]$ sa partie entière, c'est-à-dire le plus grand
 entier inférieur ou égal à $x$ ; autrement dit, $[x]$ est l'unique élément de $\Z$ vérifiant :

\[[x] \leqslant x < [x] + 1.\]

\item On rappelle que si $a$ et $b$ sont deux entiers tels que $0 \leqslant b \leqslant a$, le
 coefficient binomial $\dbinom{a}{b}$ est égal à $\dfrac{a!}{(a-b)!\,b!}$.
\item Pour tout entier $n \geqslant 0$, on note $\pi(n)$ le nombre de nombres premiers compris
 dans l'intervalle $[0, n]$ ; ainsi on a $\pi(0) = \pi(1) = 0$, $\pi(2) = 1$, $\pi(3) = 2$,
 $\pi(4) = 2$, etc. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $\delta(n) = \pi(n) - \pi(n-1)$,
 de sorte que si l'on pose $\delta(0) = 0$, on voit que $\delta$ est la fonction
 caractéristique de $\PP$ dans $\N$ (c'est-à-dire, $\delta(n)$ vaut $1$ si $n$ est premier,
 et $0$ sinon).
\item Dans tout ce texte la lettre $p$ désignera toujours et exclusivement un nombre
 premier, ceci y compris lorsque la lettre $p$ sera utilisée comme symbole d'indice d'une
 somme ou d'un produit. Par exemple, la notation $\displaystyle\sum_{p \leqslant x} \frac{1}{p}$ désigne la somme des inverses des nombres premiers $p$ inférieurs ou égaux au réel $x$.
\item Étant donnés un entier $n \geqslant 1$ et un nombre premier $p$, on appelle \emph{valuation
 $p$-adique} de $n$ l'entier noté $v_p(n)$ et égal à l'exposant de $p$ dans la décomposition
 en facteurs premiers de $n$. Par exemple, si l'on prend $n = 350 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$
 on a $v_2(350) = 1$, $v_3(350) = 0$, $v_5(350) = 2$, $v_7(350) = 1$ et $v_p(350) = 0$
 pour tout nombre premier $p \geqslant 11$.
\end{itemize}

On admet les propriétés élémentaires suivantes :
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $v_p(n)$ est l'entier $k$ tel que $p^k$ divise $n$ et $p^{k+1}$ ne divise pas $n$.
		\item Pour tout $n \geqslant 1$ fixé, la suite $(v_p(n))_{p \in \PP}$ est nulle à partir d'un certain rang, de sorte que l'on peut écrire $n = \displaystyle\prod_{p \in \PP} p^{v_p(n)}$ (ce produit pouvant alors être considéré comme un produit fini). Cette écriture n'est alors rien d'autre que la décomposition en facteurs premiers de l'entier $n$.
		\item Pour tous $n, m$ entiers naturels non nuls et tout $p \in \PP$, on a

\[v_p(nm) = v_p(n) + v_p(m).\]

\end{enumerate}

\noindent\textit{Aucune preuve de ces trois résultats n'est demandée aux candidats.}

\section*{A. Une estimation à la Tchebychev}

\subsection*{I. Une minoration de la fonction $\pi$}

On considère, pour tout entier $n \geqslant 1$, l'entier $\Delta_n = \mathrm{ppcm}(1, 2, \ldots, n)$.
Dans cette partie nous allons établir une minoration de $\Delta_n$. Nous en déduirons ensuite
une minoration de $\pi(n)$. On considère $a, b \in \N$ vérifiant $1 \leqslant b \leqslant a$ et l'on pose :

\[I(b, a) = \int_0^1 x^{b-1}(1-x)^{a-b}\,\text{d}x.\]

\bigskip

\noindent\textbf{A.I.1.}

\medskip

\noindent\textbf{A.I.1.a.} Expliciter $I(1, a)$ en fonction de $a$.

\medskip

\noindent\textbf{A.I.1.b.} Montrer que si $b < a$ alors $I(b+1, a) = \dfrac{b}{a-b}\,I(b, a)$.

\medskip

\noindent\textbf{A.I.1.c.} En déduire que $I(b, a) = \dfrac{1}{b\dbinom{a}{b}}$.

\bigskip

\noindent\textbf{A.I.2.} On se propose dans cette question de donner une autre méthode pour
calculer $I(b, a)$. On considère un réel $y \in [0, 1[$.

\medskip

\noindent\textbf{A.I.2.a.} En développant à l'aide de la formule du binôme de Newton, montrer que :

\[\int_0^1 (1 - x + xy)^{a-1}\,\text{d}x = \sum_{k=1}^{a} \binom{a-1}{k-1} y^{k-1} I(k, a).\]

\medskip

\noindent\textbf{A.I.2.b.} En calculant maintenant directement l'intégrale, montrer que :

\[\int_0^1 (1 - x + xy)^{a-1}\,\text{d}x = \frac{1}{a} \sum_{k=1}^{a} y^{k-1}.\]

\medskip

\noindent\textbf{A.I.2.c.} En déduire que $I(b, a) = \dfrac{1}{b\dbinom{a}{b}} = \dfrac{1}{a\dbinom{a-1}{b-1}}$.

\bigskip

\noindent\textbf{A.I.3.}

\medskip

\noindent\textbf{A.I.3.a.} Montrer que $I(b, a) = \displaystyle\sum_{k=0}^{a-b} (-1)^k \binom{a-b}{k} \frac{1}{k+b}$.

\medskip

\noindent\textbf{A.I.3.b.} En déduire que $I(b, a)\,\Delta_a \in \N$.

\medskip

\noindent\textbf{A.I.3.c.} Prouver que l'entier $b\dbinom{a}{b}$ divise l'entier $\Delta_a$.

\bigskip

\noindent\textbf{A.I.4.} Soit $n \geqslant 1$ un entier.

\medskip

\noindent\textbf{A.I.4.a.} Montrer que les entiers $n\dbinom{2n}{n}$ et $(2n+1)\dbinom{2n}{n}$
divisent l'entier $\Delta_{2n+1}$.\\
\textit{(Indication : On remarquera que pour tout $k \geqslant 1$, $\Delta_k$ divise $\Delta_{k+1}$.)}

\medskip
\noindent\textbf{A.I.4.b.} En déduire que l'entier $n(2n+1)\dbinom{2n}{n}$ divise $\Delta_{2n+1}$.\\
\textit{(Indication : On remarquera que les entiers $n$ et $2n+1$ sont toujours premiers entre eux.)}

\medskip

\noindent\textbf{A.I.4.c.} Montrer que pour tout $k \in \{0, \ldots, 2n\}$ on a l'inégalité
$\dbinom{2n}{k} \leqslant \dbinom{2n}{n}$.

\medskip

\noindent\textbf{A.I.4.d.} En déduire que $(2n+1)\dbinom{2n}{n} \geqslant 4^n$.\\
\textit{(Indication : On développera l'égalité $4^n = (1+1)^{2n}$.)}

\medskip

\noindent\textbf{A.I.4.e.} En déduire que $\Delta_{2n+1} \geqslant n\,4^n$.

\medskip

\noindent\textbf{A.I.4.f.} Montrer que si $n \geqslant 9$ alors $\Delta_n \geqslant 2^n$ et vérifier que
cette inégalité est encore vraie pour $n = 7$ et $8$.

\bigskip

\noindent\textbf{A.I.5.} Soit $n \geqslant 1$ un entier.

\medskip

\noindent\textbf{A.I.5.a.} Soit $p \in \PP$, montrer que $p^{v_p(\Delta_n)} \leqslant n$.\\
\textit{(Indication : On commencera par exprimer $v_p(\Delta_n)$ en fonction des entiers
$v_p(1), \ldots, v_p(n)$.)}

\medskip

\noindent\textbf{A.I.5.b.} Montrer que $\Delta_n = \displaystyle\prod_{p \leqslant n} p^{v_p(\Delta_n)}$.

\medskip

\noindent\textbf{A.I.5.c.} En déduire que $\Delta_n \leqslant n^{\pi(n)}$.

\bigskip

\noindent\textbf{A.I.6.}

\medskip

\noindent\textbf{A.I.6.a.} Montrer que pour tout $n \geqslant 7$ on a

\[\pi(n) \geqslant (\ln 2)\,\frac{n}{\ln n}.\]

\medskip

\noindent\textbf{A.I.6.b.} Pour quels entiers $n \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ l'inégalité de la
question précédente est-elle encore vraie ?

\subsection*{II. Une majoration de la fonction $\pi$}

\noindent\textbf{A.II.1.} On cherche dans cette question à majorer simplement le produit
$\displaystyle\prod_{p \leqslant n} p$ en fonction de l'entier $n \geqslant 1$.

\medskip

\noindent\textbf{A.II.1.a.} Soient $a$ et $b$ deux entiers tels que $0 < \frac{b}{2} \leqslant a < b$.
Montrer que le produit $\displaystyle\prod_{a < p \leqslant b} p$ divise l'entier $\dbinom{b}{a}$
(le produit considéré est supposé être égal à $1$ dans le cas où il n'y aurait pas de nombre
premier $p$ dans l'intervalle $]a, b]$).

\medskip

\noindent\textbf{A.II.1.b.} En déduire que pour tout $m \geqslant 1$, le produit
$\displaystyle\prod_{m+1 < p \leqslant 2m+1} p$ divise l'entier $\dbinom{2m+1}{m+1}$.

\medskip

\noindent\textbf{A.II.1.c.} Comparer, pour $m \geqslant 1$, les entiers $\dbinom{2m+1}{m}$ et
$\dbinom{2m+1}{m+1}$.

\medskip

\noindent\textbf{A.II.1.d.} En déduire que pour tout entier $m \geqslant 1$ on a
$\dbinom{2m+1}{m} \leqslant 4^m$.\\
\textit{(Indication : On développera la quantité $(1+1)^{2m+1}$.)}

\medskip

\noindent\textbf{A.II.1.e.} Montrer que pour tout entier $m \geqslant 1$, on a
$\displaystyle\prod_{m+1 < p \leqslant 2m+1} p \leqslant 4^m$.

\medskip

\noindent\textbf{A.II.1.f.} Prouver finalement que pour tout entier $n \geqslant 1$, on a

\[\prod_{p \leqslant n} p \leqslant 4^n.\]

\textit{(Indication : On pourra montrer par récurrence, pour $n \geqslant 1$, la propriété $\mathcal{P}_n$ :
pour tout $k \in \{1, \ldots, 2n\}$ on a $\displaystyle\prod_{p \leqslant k} p \leqslant 4^k$.)}

\bigskip

\noindent\textbf{A.II.2.}

\medskip

\noindent\textbf{A.II.2.a.} Montrer que pour tout entier $m \geqslant 1$ on a $m! \geqslant \left(\dfrac{m}{\e}\right)^m$.\\
\textit{(Indication : On pourra penser au développement en série entière de la fonction
exponentielle.)}

\medskip

\noindent\textbf{A.II.2.b.} Déduire de ce qui précède que, pour tout $n \geqslant 2$, on a
$\pi(n)! \leqslant 4^n$ et que par suite, on a

\[\pi(n)\ln\pi(n) - \pi(n) \leqslant n\ln 4.\]

\bigskip

\noindent\textbf{A.II.3.} On souhaite montrer, à partir du résultat précédent, que pour tout
$n \geqslant 3$ on a

\[\pi(n) \leqslant \e\,\frac{n}{\ln n}.\]

Pour cela on raisonne par l'absurde, en supposant qu'il existe un entier $n_0 \geqslant 3$ tel que

$\pi(n_0) > \e\,\dfrac{n_0}{\ln n_0}$.

\medskip

\noindent\textbf{A.II.3.a.} Montrer que la fonction $x \mapsto x\ln x - x$ est strictement
croissante sur $[1~;~+\infty[$. En déduire que

\[\frac{\e - \ln 4}{\e} < \frac{\ln\ln n_0}{\ln n_0}.\]

\medskip

\noindent\textbf{A.II.3.b.} Montrer que la fonction $x \mapsto \dfrac{\ln x}{x}$ est majorée
par $e^{-1}$ sur $[1~;~+\infty[$. Conclure.

\section*{B. Autour d'un théorème de Mertens}

\subsection*{I. Une formule de Legendre sur la valuation $p$-adique de $n!$}

On considère un entier $n \geqslant 2$ et un nombre premier $p$. Pour tout entier $k \geqslant 0$,
on considère les sous-ensembles finis $U_k$, $V_k$ et $\Omega_k$ de $\N$ définis par
\begin{align*}
U_k &= \{\, a \in \{1,\ldots,n\} \mid p^k \text{ divise } a \,\}, \\
V_k &= \{\, a \in \{1,\ldots,n\} \mid p^k \text{ ne divise pas } a \,\}, \\
\Omega_k &= \{\, a \in \{1,\ldots,n\} \mid v_p(a) = k \,\}.
\end{align*}

\medskip

\noindent\textbf{B.I.1.} Justifier qu'il existe un plus petit entier $k_0 \geqslant 0$ tel que
$n < p^{k_0}$. Montrer que $k_0 \geqslant 1$ et expliciter $k_0$ en fonction de $n$ et $p$.

\bigskip

\noindent\textbf{B.I.2.}

\medskip

\noindent\textbf{B.I.2.a.} Montrer que, pour tout $k \in \{0, \ldots, k_0 - 1\}$, l'ensemble
$U_{k+1}$ est strictement inclus dans $U_k$ et que pour $k \geqslant k_0$ on a $U_k = \emptyset$.

\medskip

\noindent\textbf{B.I.2.b.} Montrer que, pour tout $k \in \{0, \ldots, k_0 - 1\}$, l'ensemble
$V_k$ est strictement inclus dans $V_{k+1}$ et que pour $k \geqslant k_0$ on a $V_k = \{1,\ldots,n\}$.

\medskip

\noindent\textbf{B.I.2.c.} Prouver que la famille de parties $\{\Omega_0, \ldots, \Omega_{k_0-1}\}$
forme une partition de l'ensemble $\{1, \ldots, n\}$.

\bigskip

\noindent\textbf{B.I.3.}

\medskip

\noindent\textbf{B.I.3.a.} Pour tout $k \geqslant 0$, établir que $\Omega_k = U_k \cap V_{k+1}$.

\medskip

\noindent\textbf{B.I.3.b.} Calculer, pour tout $k \geqslant 0$, $\#U_k$ et $\#V_k$ puis $\#\Omega_k$ en fonction de $n$, $p$.

\bigskip

\noindent\textbf{B.I.4.} Montrer que $v_p(n!) = \displaystyle\sum_{k \geqslant 0} k\,\#\Omega_k$
et en déduire que
\[
  v_p(n!) = \sum_{k \geqslant 1} \left[\frac{n}{p^k}\right]
\]
\textit{(formule de Legendre)}.

\subsection*{II. Un théorème de Mertens}

Dans toute cette partie II, on considère un entier $n \geqslant 2$.

\medskip

\noindent\textbf{B.II.1.} Prouver que pour tout $p \in \PP$ on a

\[\frac{n}{p} - 1 < v_p(n!) \leqslant \frac{n}{p} + \frac{n}{p(p-1)}.\]

\textit{(Indication : On pourra utiliser l'encadrement $x - 1 < [x] \leqslant x$ valable pour
tout réel $x$ et la formule de Legendre.)}

\bigskip

\noindent\textbf{B.II.2.} En déduire que
\[n\sum_{p \leqslant n} \frac{\ln p}{p} - \sum_{p \leqslant n} \ln p
 < \ln n!
 \leqslant n\sum_{p \leqslant n} \frac{\ln p}{p} + n\sum_{p \leqslant n} \frac{\ln p}{p(p-1)}.\]

\textit{(Indication : On pourra commencer par montrer que $n! = \displaystyle\prod_{p \leqslant n} p^{v_p(n!)}$.)}

\bigskip

\noindent\textbf{B.II.3.} Dans cette question on établit plusieurs majorations techniques
utiles aux deux questions suivantes.

\medskip

\noindent\textbf{B.II.3.a.} Montrer la convergence de la série $\sum \dfrac{r}{2^r}$ et
prouver que $\displaystyle\sum_{r=1}^{+\infty} \dfrac{r}{2^r} = 2$.

\textit{(Indication : On pourra s'intéresser à la série entière $\sum_{k \geqslant 0} \dfrac{x^k}{2^k}$ ainsi qu'à sa série dérivée.)}

\medskip

\noindent\textbf{B.II.3.b.} Calculer pour tout entier $r \geqslant 1$ la somme finie
$\displaystyle\sum_{2^{r-1} < m \leqslant 2^r} \dfrac{1}{m(m-1)}$. En déduire que si l'on pose
$U_r = \displaystyle\sum_{2^{r-1} < m \leqslant 2^r} \dfrac{\ln m}{m(m-1)}$, alors on a
$U_r \leqslant \dfrac{r}{2^r} \ln 2$.

\medskip

\noindent\textbf{B.II.3.c.} Montrer que la série $\sum U_r$ converge. Donner un majorant de
$\displaystyle\sum_{r=1}^{+\infty} U_r$.

\medskip

\noindent\textbf{B.II.3.d.} En déduire que la série $\sum \dfrac{\ln m}{m(m-1)}$ est
convergente et que l'on a :
\[\sum_{m=2}^{+\infty} \frac{\ln m}{m(m-1)} \leqslant \ln 4.\]

\medskip
\noindent\textbf{B.II.3.e.} Montrer que l'on a :
\[
  1 - \frac{1}{2n} \leqslant n\ln\!\left(1 + \frac{1}{n}\right) \leqslant 1
  \qquad \text{et} \qquad
  \ln\!\left(1 + \frac{1}{n}\right) \geqslant \frac{1}{2n}.
\]
\textit{(Indication : On commencera par déterminer pour quels réels $u$ on a les inégalités
$u - u^2/2 \leqslant \ln(1+u) \leqslant u$.)}

\medskip
\noindent\textbf{B.II.3.f.} En déduire, par récurrence sur $n$, qu'il existe un réel
$\theta_n \in [0, 1]$ tel que :
\[
  \ln n! = n\ln n - n + 1 + \theta_n \ln n.
\]

\bigskip

\noindent\textbf{B.II.4.} Prouver, en utilisant les résultats des questions B.II.2 et
B.II.3, que :

\[\ln n - (1 + \ln 4) < \sum_{p \leqslant n} \frac{\ln p}{p}.\]

\bigskip

\noindent\textbf{B.II.5.} De même, en utilisant les questions B.II.2, B.II.3 et A.II.1.f,
montrer que :

\[\sum_{p \leqslant n} \frac{\ln p}{p} < \ln n + \ln 4.\]

En déduire que

\[\sum_{p \leqslant n} \frac{\ln p}{p} = \ln n + O(1)\]

\textit{(théorème de Mertens)}.

\subsection*{III. Le comportement asymptotique de $\displaystyle\sum_{p \leqslant n} \frac{1}{p}$}

\noindent\textbf{B.III.1.} Dans cette question on établit des résultats préliminaires utiles
pour la suite.

\medskip

\noindent\textbf{B.III.1.a.} Montrer que la série $\sum \dfrac{1}{n\ln^2 n}$ est convergente,
que la série $\sum \dfrac{1}{n\ln n}$ est divergente et qu'on a

\[\sum_{k=2}^{n-1} \frac{1}{k\ln k} = \ln\ln n + O(1).\]

(Indication : On comparera les séries considérées avec les intégrales généralisées
$\displaystyle\int_2^{+\infty} \frac{dt}{t\ln^2 t}$ et $\displaystyle\int_2^{+\infty} \frac{dt}{t\ln t}$.)

\medskip

\noindent\textbf{B.III.1.b.} On considère la suite $(u_n)_{n \geqslant 3}$ définie par
$u_n = \displaystyle\sum_{k=2}^{n-1} \dfrac{1}{k\ln k} - \ln\ln n$. Montrer que

\[u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2n^2\ln n} + o\!\left(\frac{1}{n^2\ln n}\right).\]

\medskip

\noindent\textbf{B.III.1.c.} En déduire qu'il existe un réel $\ell$ tel que

\[\sum_{k=2}^{n-1} \frac{1}{k\ln k} = \ln\ln n + \ell + o(1).\]

\bigskip

\noindent\textbf{B.III.2.} On note $(\psi(n))_{n \geqslant 2}$ la suite définie par
$\psi(n) = \displaystyle\sum_{p \leqslant n} \dfrac{\ln p}{p}$. On considère un entier $n \geqslant 3$.

\medskip
\noindent\textbf{B.III.2.a.} Montrer que

\[\sum_{p \leqslant n} \frac{1}{p}
 = \sum_{k=2}^{n-1} \psi(k)\,\frac{\ln(1+1/k)}{\ln k\,\ln(k+1)} + \frac{\psi(n)}{\ln n}.\]

(Indication : On pourra remarquer que $\displaystyle\sum_{p \leqslant n} \frac{1}{p}
= \sum_{k=2}^{n} \frac{\delta(k)\ln k}{k} \cdot \frac{1}{\ln k}$ où $\delta$ est la fonction
caractéristique de $\PP$, puis utiliser la transformation d'Abel sous la forme suivante :
si $(a_n)_{n \geqslant 1}$, $(b_n)_{n \geqslant 1}$ sont deux suites numériques et si pour $n \geqslant 1$ on pose $A_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k$, alors pour tout $N \geqslant 2$,
\[\sum_{n=1}^{N} a_n b_n = A_N b_N + \sum_{n=1}^{N-1} A_n(b_n - b_{n+1}).\,)\]

\medskip
\noindent\textbf{B.III.2.b.} Prouver, en utilisant le théorème de Mertens, que :

\[\psi(k)\,\frac{\ln(1+1/k)}{\ln k\,\ln(k+1)}
 = \frac{1}{k\ln k} + O\!\left(\frac{1}{k\ln^2 k}\right).\]

(Indication : On commencera par écrire la fraction $\dfrac{\ln(1+1/k)}{\ln k\,\ln(k+1)}$
sous la forme $\dfrac{1}{\ln k}\cdot\dfrac{t(k)}{1+t(k)}$, où $t(k)$ est une suite qu'on
déterminera. On montrera ensuite que 
$\dfrac{t(k)}{1+t(k)} = \dfrac{1}{k\ln k} - \dfrac{1}{2k^2\ln k} + o\!\left(\dfrac{1}{k^2\ln k}\right)$.)

\bigskip

\noindent\textbf{B.III.3.} Déduire de ce qui précède qu'il existe une constante $\lambda \in \R$ telle que

\[\sum_{p \leqslant n} \frac{1}{p} = \ln\ln n + \lambda + o(1).\]

\bigskip

\noindent\textbf{B.III.4.} Montrer que pour tout $n \geqslant 2$ on a
$\displaystyle\sum_{p \leqslant n} \frac{1}{p} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{\pi(k)}{k(k+1)} + \frac{\pi(n)}{n}$.

En déduire que s'il existe une constante réelle $c$ telle que $\pi(n) \sim_n c\,\dfrac{n}{\ln n}$, alors $c = 1$ \textit{(théorème de Tchebychev)}.

\subsection*{IV. Une application à l'étude des entiers possédant de grands facteurs premiers}

Étant donné un entier $n \geqslant 2$, on note $P^+(n)$ le plus grand facteur premier apparaissant dans la décomposition en facteurs premiers de $n$. Par exemple, $P^+(50) = P^+(2\cdot 5^2) = 5$.
On s'intéresse dans cette question à l'ensemble $A$ constitué des entiers $n \geqslant 2$ vérifiant
$P^+(n) > \sqrt{n}$ (c'est ce qu'on entend par \emph{entiers possédant de grands facteurs
premiers} dans le titre de cette partie). L'objectif de cette partie est de montrer que
l'ensemble $A$ possède une densité valant $\ln 2$. En d'autres termes, si pour un réel $x \geqslant 2$
on pose $A(x) = A \cap [0, x]$ et $a(x) = \#A(x)$ le cardinal de $A(x)$, nous allons montrer
que la suite $\left(\dfrac{a(n)}{n}\right)_n$ possède une limite (on dira alors que $A$ possède
une densité) et que cette limite vaut $\ln 2$ (qui sera donc appelée la densité de $A$). Ce
résultat signifiera que, « moralement », il y a une proportion de $\ln 2 \approx 0{,}69$
d'entiers dans $\N$ qui possèdent de grands facteurs premiers.

\bigskip

\noindent\textbf{B.IV.1.} En utilisant la question B.III.3, montrer que la suite
$\left(\displaystyle\sum_{\sqrt{n} < p \leqslant n} \dfrac{1}{p}\right)_n$ possède une limite et
donner cette limite.

\bigskip

\noindent\textbf{B.IV.2.} Soit $x \geqslant 2$ un réel.

\medskip
\noindent\textbf{B.IV.2.a.} Soient $p \in \PP$, $m \in \N^*$ et $n = mp$. Montrer que

\[\bigl(p = P^+(n) \text{ et } n \in A(x)\bigr)
 \iff m < p \leqslant x/m.\]

\medskip

\noindent\textbf{B.IV.2.b.} Soient $p, p' \in \PP$ et $m, m' \in \N^*$ tels que $m < p \leqslant x/m$
et $m' < p' \leqslant x/m'$. Montrer que

\[mp = m'p' \iff (p = p' \text{ et } m = m').\]

\medskip

\noindent\textbf{B.IV.2.c.} En déduire que les entiers de la forme $mp$ avec $p \in \PP$,
$m \in \N^*$, et vérifiant $m < p \leqslant x/m$ décrivent de manière biunivoque l'ensemble $A(x)$.

\medskip

\noindent\textbf{B.IV.2.d.} Prouver finalement que

\[a(x) = \sum_{p \leqslant x} \min\!\left(p - 1,\, \left[\frac{x}{p}\right]\right).\]

\bigskip

\noindent\textbf{B.IV.3.} Soit $x \geqslant 1$ un réel.

\medskip
\noindent\textbf{B.IV.3.a.} Montrer que pour tout nombre premier $p$, on a l'équivalence

\[p - 1 \leqslant [x/p] \iff p \leqslant \varphi(x),\]

où $\varphi(x) = \dfrac{1 + \sqrt{1 + 4x}}{2}$.

\medskip
\noindent\textbf{B.IV.3.b.} Montrer que $\sqrt{x} < \varphi(x) < \sqrt{x} + 1$.

\medskip

\noindent\textbf{B.IV.3.c.} En déduire que
$a(x) = \displaystyle\sum_{p \leqslant \sqrt{x}} (p-1) + \sum_{\sqrt{x} < p \leqslant x} [x/p]$.\\
\textit{(Indication : On examinera le cas où il existe un nombre premier dans l'intervalle
$]\sqrt{x},\,\varphi(x)]$ et le cas où il n'en existe pas.)}

\medskip

\noindent\textbf{B.IV.3.d.} En utilisant les encadrements obtenus dans la partie A, démontrer
que $\displaystyle\sum_{p \leqslant \sqrt{x}} (p-1) = o(x)$.

\medskip

\noindent\textbf{B.IV.3.e.} En utilisant la question B.IV.1 et les encadrements obtenus dans
la partie A, montrer que
$\displaystyle\sum_{\sqrt{x} < p \leqslant x} \!\left[\frac{x}{p}\right] = x\ln 2 + o(x)$.

\medskip

\noindent\textbf{B.IV.3.f.} En déduire que $a(x) = x\ln 2 + o(x)$ et conclure.

\bigskip

\begin{center}
\textbf{FIN DE L'ÉPREUVE}
\end{center}

\newpage
\section*{Un peu d'histoire\ldots}

La notion de nombre premier est fondamentale en arithmétique des entiers. Très tôt dans
l'histoire de l'esprit humain, en fait dès l'antiquité, on s'est intéressé à ces nombres.
On savait depuis cette époque qu'ils étaient en nombre infini (théorème
d'Euclide\footnote{Euclide, mathématicien probablement d'origine grecque, $\approx 330$
av.~J.-C.\ -- $\approx 275$ av.~J.-C.}). Au cours des âges on s'est intéressé en particulier
à leur mystérieuse répartition. Il faudra réellement attendre le \textsc{xix}$^\text{e}$~siècle
pour qu'on dispose d'idées et d'outils suffisamment sophistiqués pour mieux comprendre cette
problématique.

Une première série d'idées importantes sur le sujet fut introduite par Tchebychev.
En 1845 Bertrand\footnote{Joseph Louis François Bertrand, mathématicien français,
Paris 1822 -- Paris 1900.} conjectura que pour tout entier $n \geqslant 2$ il existait toujours
un nombre premier compris strictement entre $n$ et $2n$. Il vérifia sa conjecture jusqu'au
rang $n = 3\,000\,000$, mais il appartient à Tchebychev de la démontrer en 1851. Pour ce
faire il entreprit de trouver des encadrements (qu'on appelle maintenant \emph{encadrements
à la Tchebychev}) de la fonction $\pi(n)$. Ces encadrements sont de la forme
\[
  \alpha\,\frac{n}{\ln n} < \pi(n) < \beta\,\frac{n}{\ln n}
  \qquad \text{pour } n \geqslant n_0 \text{ effectif.}
\]
L'objectif était de trouver des constantes $\alpha$, $\beta$ les plus proches possibles de
$1$ pour pouvoir conclure. Il y arrivera en montrant que cette inégalité est vraie pour
$\alpha \approx 0{,}92$ et $\beta \approx 1{,}1$. Dans la partie A de ce sujet nous
établissons un tel encadrement mais avec des constantes ($\alpha \approx 0{,}69$ et
$\beta \approx 2{,}72$) trop éloignées de $1$ pour pouvoir conclure sur la conjecture de
Bertrand. Ceci est dû aux méthodes d'encadrement utilisées. À ce sujet, signalons que la
méthode de minoration de $\pi(n)$ proposée en A.I repose sur la minoration effective de
$\mathrm{ppcm}(1, \ldots, n)$ par $2^n$. Cette méthode de minoration de
$\mathrm{ppcm}(1, \ldots, n)$ est récente puisqu'elle date de 1982, elle est due à Nair. La
majoration de $\pi(n)$ proposée en A.II repose sur la majoration effective de
$\displaystyle\prod_{p \leqslant n} p$ par $4^n$. Cette méthode de majoration de
$\displaystyle\prod_{p \leqslant n} p$ est due à Erd\H{o}s\footnote{Pál Erd\H{o}s, mathématicien
hongrois, Budapest 1913 -- Varsovie 1996.} et date de 1939.

Les encadrements à la Tchebychev laissent suggérer l'existence d'un lien étroit, en termes
de comportement asymptotique, entre $\pi(n)$ et $\dfrac{n}{\ln n}$. En fait, il avait
longtemps été conjecturé, notamment par Gau\ss{}\footnote{Carl Friedrich Gau\ss{},
mathématicien allemand, Brunswick 1777 -- Göttingen 1855.} et Legendre, que l'on avait
l'équivalence (\emph{théorème des nombres premiers}) :

\[\pi(n) \sim_n \frac{n}{\ln n}.\]

Il appartiendra à Hadamard\footnote{Jacques Salomon Hadamard, mathématicien français,
Paris 1865 -- Auteuil 1963.} et de la Vallée-Poussin\footnote{Charles Jean de La
Vallée-Poussin, mathématicien belge, Louvain 1866 -- Boitsfort 1962.} de montrer (de
manières indépendantes) ce résultat en 1896, confirmant ainsi la conjecture. Leur approche
du problème fut la même et utilise l'analyse complexe. Elle repose sur l'étude sur la droite
de partie réelle $1$ de la fonction $\zeta$ de
Riemann\footnote{Georg Friedrich Bernhard Riemann, mathématicien allemand, Breselenz 1826 --
Selasca 1866.}. Pendant plusieurs années les experts, en particulier
Hardy\footnote{Godfrey Harold Hardy, mathématicien anglais, Cranleigh 1877 -- Cambridge 1947.},
ont pensé qu'une preuve du théorème des nombres premiers ne pouvait se dispenser de l'analyse
complexe, tant il semblait que ce théorème était intrinsèquement lié aux propriétés de la
fonction $\zeta$. Pourtant en 1949 Erd\H{o}s et Selberg\footnote{Atle Selberg, mathématicien
norvégien, Langesund 1917.} en proposèrent une preuve élémentaire (c'est-à-dire, n'utilisant
pas d'analyse complexe). Daboussi a proposé en 1984 une nouvelle preuve élémentaire de ce
théorème. Les considérations utilisées dans ces preuves élémentaires sont du même acabit que
celles présentées dans ce sujet (en plus sophistiquées bien sûr, vu l'ampleur du résultat
démontré).

On peut considérer que le théorème de Tchebychev dont il est question dans ce sujet fut
historiquement l'une des premières avancées significatives vers le théorème des nombres premiers.

\end{document}
