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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{CAPES externe 3 avril 2017}}
\rfoot{\small{}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe et CAFEP session 2017~\decofourright\\[7pt] Épreuve 1}}

\vspace{0,5cm}

Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants

\bigskip

{\Large \textbf{Problème \no 1 }}
\end{center}


Notations

\medskip

$\Z$ désigne des entiers relatifs et $\R$ l'ensemble des nombres réels.

Le plan $\R^2$ est muni de sa structure usuelle de plan euclidien. La distance euclidienne sur
$\R^2$ est notée $d$.

Les éléments de $\R^2$ sont représentés par des vecteurs colonnes à 2 lignes. On note

\[O = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \qquad e_1 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\qquad e_2 = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\]

On appelle réseau l'ensemble $\Z^2$, inclus dans le plan $\R^2$. On le note $\mathcal{R}$. Le schéma ci-dessous représente une partie du réseau $\mathcal{R}$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\multido{\n=-3+1}{7}{\multido{\na=-3+1}{7}{\psdots(\n,\na)}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

{\Large \textbf{Partie A : $\Z$-bases du réseau}}

\medskip

Soient $\mathcal{B} = \left(e'_1,~e'_2\right)$ une famille de deux vecteurs de $\R^2$. On dit que $\mathcal{B}$ est une $\Z$-base de $\mathcal{R}$ si :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item $e'_1, e'_2 \in \mathcal{R}$
\item Tout élément $X$ de $\mathcal{R}$  s'écrit de façon unique $X = ae'_1 + be'_2$, avec $a$, $b \in \Z$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{I.} Soit $C = \left(e_1,~e_2\right)$ la base canonique de $\R^2$. Montrer que $C$ est une $\Z$-base de $\mathcal{R}$.

\textbf{II.} Soient $e'_1 = \begin{pmatrix}a_1\\b_1 \end{pmatrix}$ et $e'_2 = \begin{pmatrix}a_2\\b_2 \end{pmatrix}$ deux vecteurs de $\R^2$. On note :

\[A = \begin{pmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2 \end{pmatrix}\]

\begin{enumerate}
\item Soit $X \in \R^2$ et $x,\: y \in \R$. Montrer que $X = xe'_1 + ye'_2$  si, et seulement si,

\[X = A\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}.\]

\item On suppose dans cette question que $\left(e'_1,~e'_2\right)$ est une $\Z$-base de $\mathcal{R}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(a_1,~a_2,~b_1,~b_2\right) \in \Z^4$.
		\item Montrer qu'il existe $\left(x_1,~x_2,~y_1,~y_2\right) \in \Z^4$ tels que
		
		\[x_1e'_1 + y_1e'_2 = e_1\quad x_2e'_1 + y_2e'_2 = e_2.\]
		
		\item Soit $B = \begin{pmatrix}x_1&x_2\\y_1&y_2\end{pmatrix}$. Montrer que $AB = I_2$.		\item En déduire que det$(A) \in \{-1~;~1\}$.
	\end{enumerate}
\item On suppose dans cette question que $\left(a_1,~a_2,~b_1,~b_2\right) \in \Z^4$ et que 
	
det$(A) \in \{-1~;~ 1\}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $A$ est une matrice inversible et que les coefficients de $A^{-1}$ sont tous des entiers relatifs.
		\item Montrer que $\left(e'_1,~e'_2\right)$ est une $\Z$-base de $\mathcal{R}$.
	\end{enumerate}
\item Conclure.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{III.} Soit $e'_1 = \begin{pmatrix}a_1\\b_1\end{pmatrix}$ un vecteur de $\mathcal{R}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $e'_1$ est le premier vecteur d'une $\Z$-base de $\mathcal{R}$ , alors $a_1$ et $b_1$ sont premiers entre eux.
\item Réciproquement, montrer que si $a_1$ et $b_1$ sont premiers entre eux, alors il existe un vecteur $e'_2$ de $\mathcal{R}$  tel que $\left(e'_1,~e'_2\right)$ soit une $\Z$-base de $\mathcal{R}$.
\item Donner une $\Z$-base de $\mathcal{R}$  dont le premier vecteur est $\begin{pmatrix}7\\10\end{pmatrix}$.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B : transformations linéaires du réseau}
\end{center}

Soit $f : \R^2 \longmapsto \R^2$ une application linéaire. Sa matrice dans la base $C = \left(e_1,~e_2\right)$ de $\R^2$ est notée $A$.

\medskip

\textbf{I.} Montrer que $f(\mathcal{R}) \subseteq \mathcal{R}$ si, et seulement si, les coefficients de $A$ sont tous des entiers relatifs.

\textbf{II.} On suppose dans cette question que $f(\mathcal{R}) = \mathcal{R}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que Im $f$ contient deux vecteurs linéairement indépendants.
\item En déduire que $f$ est surjective, puis bijective.
\item Montrer que $f^{- 1}(\mathcal{R}) \subseteq \mathcal{R}$.
\item Justifier que $A$ est inversible et que les coefficients de $A^{-1}$ sont tous des entiers relatifs.
\item Montrer que det$(A) \in \{-1~;~ 1\}$.
\end{enumerate}

\textbf{III.} On suppose dans cette question que les coefficients de $A$ sont des entiers relatifs et que det$(A) \in \{-1~;~ 1\}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les résultats de la partie A., montrer que $\left(f\left(e_1\right),~ f\left(e_2\right)\right)$ est une $\Z$-base de $\mathcal{R}$.
\item En déduire que $f(\mathcal{R}) = \mathcal{R}$.
\end{enumerate}

\textbf{IV.} Conclure.

\begin{center}\textbf{Partie C : isométries du réseau}
\end{center}

Soit $G$ l'ensemble des isométries affines $f$ de $\R^2$ telles que $f(\mathcal{R}) = \mathcal{R}$ et soit $G_0$ l'ensemble des éléments $f$ de $G$ tels que $f(O) = O$.

\medskip

\textbf{I.} Montrer que $G$, muni de la loi de composition des applications, est un groupe et que $G_0$ est un sous-groupe de $G$.

\textbf{II.}  Soit $f \in G_0$. On remarque qu'alors $f$ est une application linéaire et que les résultats de la partie B. s'appliquent. Soit $A$ la matrice de $f$ dans la base canonique de $\R^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer tous les points $X$ de $\mathcal{R}$ situés à la distance 1 de $O$.
\item Montrer que $f\left(e_1\right)$ et $f\left(e_2\right)$ appartiennent à l'ensemble

\[\left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},~\begin{pmatrix}- 1\\0\end{pmatrix},~\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},~\begin{pmatrix}0\\- 1\end{pmatrix}\right\}.\]

\item Montrer que $A$ appartient à l'ensemble

\[H = \left\{\begin{array}{l}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix},\\
~\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},
~\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},
~\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},
~\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}
\end{array}\right\}\]

\end{enumerate}

\textbf{III.} Soient $s_1$ et $s_2$ les applications linéaires de matrices respectives dans la base $\mathcal{C}$

\[A_1 = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\qquad  A_2 = \begin{pmatrix}- 1&0\\0&1\end{pmatrix}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décrire la nature géométrique de $s_1$ et $s_2$.
\item Décrire la nature géométrique de $s_1 \circ s_2$ et de $s_2 \circ s_1$ et donner leurs matrices dans la base canonique.
\item Montrer que $s_1$ et $s_2$ sont des éléments de $G_0$.
\item En déduire que, si la matrice dans la base canonique d'une application linéaire $f$
de $\R^2$ dans $\R^2$ est dans $H$, alors $f$ est un élément de $G_0$.
\end{enumerate}

\textbf{IV.} Donner tous les éléments de $G_0$.

\textbf{V.} Soit $t$ la translation de vecteur $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$. Montrer que $t \in  G$ si, et seulement si, $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \in  \mathcal{R}$.

\textbf{VI.} Soit $f \in G$ et soit $t'$ la translation de vecteur $- f(O)$. Montrer que $t'$ est un élément de $G$ et que $g = t' \circ f$ est un élément de $G_0$·

\textbf{VII.} Montrer que tout élément $f$ de $G$ s'écrit de façon unique $f = t \circ g$, avec $t$ une translation de vecteur dans $\mathcal{R}$ et $g$ un élément de $G_0$.

\begin{center}\textbf{Partie D : un pavage du plan}
\end{center}

On note $T$ la surface délimitée par le triangle de $\R^2$ de sommets

\[\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \qquad  \begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\0\end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{pmatrix} \] 

et on note $C$ la surface délimitée par le carré de sommets

\[ \begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} \qquad  \begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}- \frac{1}{2}\\- \frac{1}{2}\end{pmatrix}\qquad \begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\- \frac{1}{2}\end{pmatrix}. \]

\begin{center}
\psset{unit=3cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.6,-0.6)(0.6,0.6)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.6,-0.6)(0.6,0.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(0.5,0)(0.5,0.5)
\psframe(-0.5,-0.5)(0.5,0.5)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}

\end{center}

\textbf{I.}
\begin{enumerate}
\item Justifier que
\[C = \bigcup_{g \in G_0} g(T).\]

\item Montrer que, si $g_1$ et $g_2$ sont deux éléments distincts de $G_0$, alors l'intersection des
triangles $g_1(T)$ et $g_2(T)$ est, soit un segment, soit un point.
 \end{enumerate}
 
\textbf{II.} Pour tout $X \in \R^2$, on note $t_X$ la translation de vecteur $X$.
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que

\[\R^2 = \bigcup_{X \in \mathcal{R}} t_X(C).\]

\item Montrer que si $X$ et $Y$ sont deux éléments distincts de $\mathcal{R}$, alors l'intersection des carrés $t_X(C)$ et $t_Y(C)$ est, soit un segment, soit un point, soit l'ensemble vide.
\end{enumerate}

\textbf{III.}

\begin{enumerate}
\item Justifier que

\[\R^2 = \bigcup_{f \in G_0} f(T).\]

\item Montrer que si $f_1$ et $f_2$ sont deux éléments distincts de $G$, alors l'intersection des
triangles $f_1(T)$ et $f_2(T)$ est, soit un segment, soit un point, soit l'ensemble vide.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie E : un sous-groupe et deux frises}
\end{center}

\textbf{I.} Soit $k$ un entier relatif. On considère les applications

\[t_k : \left\{\begin{array}{l c l} \R^2&\to& \R^2\\
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&\longmapsto&\begin{pmatrix}x + k\\y\end{pmatrix}
\end{array}\right. \qquad s_k : \left\{\begin{array}{l c l} \R^2&\to& \R^2\\
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&\longmapsto&\begin{pmatrix}- x + k\\- y\end{pmatrix}
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature géométrique de $t_k$ et $s_k$ ?
\item Soit $k$ et $l$ deux entiers relatifs. Décrire $t_k \circ  s_l,\: s_k \circ  t_l,\: s_k \circ s_l$, et $t_k \circ t_l$.
\end{enumerate}

\textbf{II.} Soit $H = \left\{t_k,\: s_k | k \in  \Z\right\}$. 

Montrer que $H$ est un sous-groupe de $G$.

\textbf{III.}  On considère l'ensemble

\[F = \bigcup_{f \in H} f(T),\]

où $T$ est le triangle défini dans la section D. Décrire l'ensemble $F$.

\textbf{IV.} On considère la frise suivante :

\begin{center}
\psset{unit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.8,-0.8)(2.8,0.8)
\def\moulin{\multido{\n=0+90}{4}{\rput{\n}(0,0){\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(0.5,0)(0.5,0.5)}}}
\multido{\n=3+-1.0}{5}{\rput(\n,0){\moulin}}
\psaxes[Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.8,-0.8)(2.8,0.8)
\psaxes[Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(2.8,0.8)
\end{pspicture*}

\end{center}
Montrer que le groupe des isométries qui conservent cette frise est un sous-groupe de
$G$ qu'on décrira.

\newpage

\begin{center}{\Large \textbf{Problème \no 2 }}\end{center}

\textbf{Notations}

$\R$ désigne l'ensemble des nombres réels.

Dans ce problème, on cherche à déterminer les applications $f$ définies sur $]0~;~+\infty[$ et à
valeurs dans $]0~;~+\infty[$ qui vérifient les deux propriétés suivantes :

\medskip

\textbf{(a)} Pour tous nombres réels strictement positifs $x$ et $y$,

\[f(xf(y)) = yf(x).\]

\textbf{(b)} $f$ est bornée sur $]1~;~+ \infty[$ : il existe un nombre réel $A$ tel que pour tout nombre réel $x \geqslant  1,\: f(x) \leqslant  A$.

\medskip

\textbf{I.} Soit $I$ un intervalle de $\R$ et soit $\varphi$ une application définie sur $I$ et à valeurs dans $I$. On dit que $\varphi$ est une involution de $I$ si pour tout nombre réel $x$ dans $I$,

\[\varphi(\varphi(x)) = x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner un exemple d'involution de $\R$ dans $\R$ autre que l'identité.
\item Donner un exemple d'involution de $]0~;~+ \infty[$ dans v autre que l'identité.
\item Montrer qu'une involution de $I$ dans $I$ est bijective.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II.} Soit $f$ une fonction vérifiant les conditions \textbf{(a)} et \textbf{(b)}.

\begin{enumerate}
\item Soit deux nombres réels $y_1,\: y_2$ strictement positifs tels que $f(y_1) = f(y_2)$. Montrer
que $y_1f(1) = y_2f(1)$.
\item Montrer que $f$ est injective.
\item Montrer que $f(f(1)) = f(1)$ puis que $f(1) = 1$.
\item Montrer que $f$ est une involution de $]0~;~+ \infty[$.
\item Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Montrer que $f(ab) = f(a)f(b)$.

Indication : on pourra poser $y = f(b)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{III.} On note $F$ l'ensemble des points fixes de $f$ :

\[F = \left\{x \in ]0~;~+\infty[,\: f(x) = x\right\}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x \in ]0~;~+\infty[,\: xf(x) \in  F$.
\item Montrer que $1 \in F$.
\item Montrer que si $x$ et $y$ sont des éléments de $F$, alors $xy$ et $\dfrac{x}{y}$ sont également des  éléments de $F$.
\item Montrer que si $x$ est un élément de $F$, alors pour tout entier naturel $n$,\: $x^n$ est un
élément de $F$.
\item Montrer que si $x$ est un élément de $F$, alors $x \leqslant 1$.

Indication : on pourra considérer la suite $\left(x^n\right)_{n \geqslant 0}$.
\item Montrer que $F = \{1\}$.
\item En déduire $f$.
\end{enumerate}

\textbf{IV.} Donner toutes les applications répondant au problème posé.
\end{document}