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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\dots\lfoot{\small{CAPES externe 2015}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center}

{\Large \textbf{CAPES externe session 2015 Épreuve 1}}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{Problème \no 1}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

￼￼￼￼￼￼\textbf{Notations}

\medskip

On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes.

La partie réelle du nombre complexe $z$ est notée Re $z$.

Le module du nombre complexe $z$ est noté $|z|$ et on rappelle que, pour tout nombre complexe $z,\:|z|^2 = z \times \overline{z}$.

Soient $p$ et $q$ deux entiers relatifs tels que $p \leqslant q$, on note $\llbeacket p, q\rrbrackett$ l'ensemble des entiers relatifs $k$ tels
que $p \leqslant k \leqslant q$.

\medskip

\textbf{Préambule}

\medskip

Ce problème est composé de trois parties.

La partie A généralise l'inégalité triangulaire dans $\C$ et son cas d'égalité.

La partie B est une application d'un résultat de la partie A à un problème d'optimisation.

La partie C est une application d'un résultat de la partie B a un problème de géométrie du triangle.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère un entier naturel $n$ non nul.

\medskip

\textbf{I}. 
\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout nombre complexe $z$,\:\: Re $z \leqslant  |z|$ et étudier le cas d'égalité.
\item \textbf{Question de cours.} - Démontrer que. pour tout couple $\left(z_1,~z_2\right)$ de nombres complexes, $\left|z_1 + z_2 \right| \leqslant \left|z_1\right| + \left|z_2\right|$.
\item On suppose $z_1$ et $z_2$ sont des nombres complexes non nuls. Montrer que l'inégalité précédente est une égalité si et seulement s'il existe un réel positif $\lambda$ tel que $z_2 = \lambda z_1$. Interpréter ce résultat en termes d'argument.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II.} 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $n$-uplet $\left(z_1, z_2, \ldots , z_n\right)$ de nombres complexes,

\[\left|\displaystyle\sum_{k=1}^{n} z_k\right| \leqslant \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left|z_k\right|.\]

\item Montrer que, si $z_1, z_2, \ldots ,z_n$ sont des nombres complexes tous non nuls, l'inégalité précédente est une égalité si et seulement si

\[\forall k \in \llbracket1,~n\rrbracket, \quad \exist \lambda_k \in \R_{+}, \quad z_k = \lambda_k z_1.\]

Interpréter ce résultat en termes d'arguments.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On se place désormais dans le plan complexe $\mathcal{P}$, d'origine O, Soit un entier $n \geqslant  3$. On considère $n$ points $A_1, A_2, \ldots, A_n$, d'affixes respectives $z_1,. z_2, \ldots, z_n$ tels que :

(i) Pour tout $k \in  \llbracket1,~n\rrbracket,~ A_k$ est distinct de O.

(ii) Les $A_k$ sont deux à deux distincts.

(iil) Il n'existe aucune droite du plan $\mathcal{P}$ contenant tous les $A_k$.

(iv) $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{z_k}{\left|z_k\right|} = 0$.

\textbf{I.} Donner un exemple de $n$-uplet $z_1,. z_2, \ldots, z_n$ vérifiant l'égalité précédente.

\textbf{II.} Pour tout $k \in  \llbracket1,~n\rrbracket$, on pose $u_k = \dfrac{z_k}{\left|z_k\right|}$. Soit $M$ un point de $\mathcal{P}$ d'affixe z.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que
n n
\[\displaystyle\sum_{k=1}^{n}  \overline{u_k}\left(z - z_k\right) = - \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left|z_k \right|.\]

\item En déduire l'inégalité ($\star$) ci-dessous :

\[\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(z - z_k\right) \geqslant \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left|z_k \right|.\qquad \qquad (\star)\]

\item En utilisant la question \textbf{II. 2. } de la partie A, démontrer que l'inégalité (\starJ est une égalité si et seulement si, pour tout $k \in  \llbracket1,~n\rrbracket,\: \overline{u_k}\left(z - z_k\right)$ est un réel négatif.
\item En déduire que l'inégalité ($\star$) est une égalité si et seulement si $z = 0$.
\item Établir que la somme $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} MA_k$ atteint son minimum en un unique point $M$ que l'on précisera.
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}

\medskip

On se place toujours dans le plan complexe $\mathcal{P}$. On considère trois points $A,\: B,\: C$ d'affixes respectives $a,\: b,\: c$ et tels que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Les points A, B, C ne sont pas alignés.
\item[$\bullet~~$] Chacun des angles $\left(\vect{AB},~ \vect{AC}\right),\:\: \left(\vect{BC},~ \vect{BA}\right),\:\: \left(\vect{CA},~ \vect{CB}\right)$ possède une mesure appartenant à l'intervalle $[0~;~2\pi/3[$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Sur les côtés du triangle ABC, on construit vers l'extérieur trois triangles équilatéraux $AC'B,\:\: BA'C$ et $CB'A$. On nomme $a',\: b',\: c'$ les affixes respectives des points $A',\: B',\: C'$.

\medskip

\textbf{I.} Faire une figure et tracer les droites $(AA'),\: (BB')$ et $(CC')$.

\textbf{II.} On admet que les droites $(AA'),\: (BB')$ et $(CC')$ sont concourantes en un point $\Omega$ strictement compris à l'intérieur du triangle $ABC$. En utilisant une rotation de centre $A$ exprimer $b'$ en
fonction de $a$ et $c$ et $b$ en fonction de $a$ et $c'$.

\textbf{III.} En déduire le module et un argument de $\dfrac{b'- b}{c - c'}$.

\textbf{IV.} Déterminer une mesure de chacun des angles $\left(\vect{\Omega B},~\vect{\Omega C}\right),\: \left(\vect{\Omega C},~\vect{\Omega A}\right)$ et $\left(\vect{\Omega A},~\vect{\Omega B}\right)$.

\textbf{V.} Démontrer que

\[\dfrac{\vect{\Omega A}}{\Omega A} + \dfrac{\vect{\Omega B}}{\Omega B}  + \dfrac{\vect{\Omega C}}{\Omega C}  = \vect{0}.\]

\textbf{VI.} En utilisant les résultats de la partie B, établir que la somme 

$MA + MB + MC$ admet son minimum en un unique point que l'on précisera.

\newpage

\textbf{\large Problème \no 2}

\medskip

\textbf{Notations}

\medskip

On note $\N$ l'ensemble des. entiers naturels et $\N*$ l'ensemble des entiers naturels non nuls,

On note $\R$ l'ensemble des nombres réels et $\R_+^{*}$ l'intervalle ]0~;~+0 \infty[$.

La partie imaginaire du nombre complexe $z$ est notée Im $z$.

\medskip

\textbf{Préambule}

\medskip

Dans tout le problème, les suites considérées sont à valeurs réelles.

La partie A aborde la convergence des suites monotones et aboutit à quelques résultats sur la série harmonique.

Les parties B et C envisagent l'étude de la convergence au sens de \textsc{CESÀRO} et son lien avec la convergence au sens usuel,
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\textbf{I. Questions de cours}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que si $\left(u_n\right)_{n  \in \N}$ est une suite croissante et non majorée, alors elle diverge vers $+ \infty$.
\item Démontrer que si $\left(u_n\right)_{n  \in \N}$ est une suite croissante et majorée alors. elle converge.
\item Établir une condition nécessaire et suffisante pour qu'une suite décroissante soit convergente.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II.} On considère la suite définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par
\[a_n =  \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}.\]
\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une interprétation graphique de $a_n$ à partir de la représentation graphique de la
fonction inverse sur l'intervalle $[1~;~n+ 1]$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$,
		
		\[a_{2n} - a_n \geqslant \dfrac{1}{2}.\]
		
		\item La suite $\left(u_n\right)_{n  \geqslant 1}$  est-elle convergente ?
	\end{enumerate}
\item Recherche d'un équivalent de $a_n$ au voisinage de $+ \infty$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $k$ non nul,
		
		\[\dfrac{1}{k + 1} \leqslant \displaystyle\int_k^{k+1} \dfrac{1}{t}\:\text{d}t \leqslant \dfrac{1}{k}.\]
		
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n  \geqslant 1,\: a_n - 1 \leqslant  \ln n \leqslant a_n$.
		\item En déduire un équivalent de $a_n$ au voisinage de $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item On pose, pour tout $n \geqslant 1,\: b_n = a_n ~ \ln n$. 
	
À l'aide des résultats des questions \textbf{II. 3. a} et \textbf{II. 3. b},
démontrer que la suite $\left(b_n\right)_{n  \geqslant 1}$ est convergente.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

À toute suite $\left(u_n\right)_{n  \geqslant 1}$ on associe la suite $\left(v_n\right)_{n  \geqslant 1}$ définie. par

\[\forall n \geqslant 1, \quad v_n = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n u_k.\]

On dit que la suite $\left(u_n\right)_{n  \geqslant 1}$ converge au sens de \textsc{‘CESÀRO} si la suite $\left(v_n\right)_{n  \geqslant 1}$ converge.

\medskip

\textbf{I.}
\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)_{n  \geqslant 1}$ une suite de limite nulle et 
$\epsilon \in  \R_{+}^*$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'il existe $n_O \in  \N^{*}$ tel que, pour tout $n \geqslant  n_0$
		
		\[\dfrac{1}{n} \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n_0} u_k \right) - \epsilon \leqslant v_n \leqslant \dfrac{1}{n}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n_0} u_k \right) + \epsilon.\]

		\item En déduire que la suite $\left(v_n\right)_{n  \geqslant 1}$ converge vers $0$.
	\end{enumerate}
\item Énoncer et démontrer la généralisation du résultat précédent au cas où la suite $\left(u_n\right}_{n  \geqslant 1}$ converge vers un réel $\ell$ quelconque.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II.}  Application à la recherche d'un équivalent :

On considère la suite définie par

\[x_1 = 1 \quad \text{et} \quad  \forall n \in \N^{*}, \quad  x_{n+1} = \dfrac{x_n\left(1 + x_n \right)}{1 + 2x_n}.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n \geqslant 2$,\: $0 < x_n < 1$.
\item Montrer que la suite $\left(x_n\right)_{n \geqslant 1}$ est décroissante.
\item La suite $\left(x_n\right)_{n \geqslant 1}$ est-elle.convergente ? Si oui, déterminer sa limite.
\item Vérifier que, pour tout $n \in  \N^{*}$,

\[\dfrac{1}{x_{n+1}} - \dfrac{1}{x_n} = \dfrac{1}{1 + x_n}.\]

\item Pour tout $n geqslant 1$, on pose

\[u_n =  \dfrac{1}{x_{n+1}} - \dfrac{1}{x_n} \quad \text{et} \quad v_n = \dfrac{1}{n} \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} u_k \right).\]

Montrer que $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ converge vers 1.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $x_{n+1}$ et $x_1$ et en déduire un équivalent de $x_n$ au voisinage de $+ \inbfty$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{III.} Soit $\left(x_n\right)_{n \geqslant 1}$ une suite réelle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose que la suite $\left(x_n\right)_{n \geqslant 1}$ converge. Montrer que la suite $\left(x_{n+1} - x_n\right)_{n \geqslant 1}$ converge.
\item On suppose que la suite $\left(x_{n+1} - x_n\right)_{n \geqslant 1}$ converge vers un nombre réel $\ell$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(\dfrac{x_n}{n}\right)_{n \geqslant 1}$ converge et préciser sa limite.
		\item Étudier la convergence de la suite $\left(x_n\right)_{n \geqslant 1}$ dans le cas où $\ell \ne 0$.
		\item Dans le cas où $\ell = 0$, la suite $\left(x_n\right)_{n \geqslant 1}$ est-elle nécessairement convergente ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip


\textbf{I.} Dans cette question, pour $n \geqslant  1$, on pose $u_n = (- 1)^n$ et $v_n  = \dfrac{1}{n} \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} u_k \right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier la convergence de la suite $\left(v_n\right)_{n \geqslant 1}$.
\item Conclure quant à la validité de la réciproque de la proposition énoncée à la question  \textbf{I. 2.} de la partie B.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II.} Soit $\alpha$ un nombre réel. Dans cette question, pour $n \geqslant 1$, on pose 

\[u_n = \sin n \alpha\quad  \text{et} \quad  v_n = v_n  = \dfrac{1}{n} \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} u_k \right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier Ia.nature des suites $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ et $\left(v_n\right)_{n \geqslant 1}$ lorsque $\alpha \equiv 0 \:\:(\text{mod} \pi)$,
\item Pour $n \geqslant 1$, on pose $c_n = \cos n \alpha$. 

Exprimer $u_{n+2} - u_n$ en fonction de $c_{n+1}$ et $u_{n+2} + u_n$ en
fonction de $u_{n+1}$.
\item On suppose dans cette question que $\alpha \ne   0\:\: (\text{mod}\: \pi)$.
	\begin{enumerate}
		\item On fait l'hypothèse que  la suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ converge. En utilisant les deux relations établies à la question \textbf{II. 2.}, démontrer qu'alors la suite $\left(c_n\right)_{n \geqslant 1}$ converge également et préciser les limites des suites $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ et $\left(c_n\right)_{n \geqslant 1}$.
		\item Conclure quant à la convergence de la suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$.
		\item En remarquant que $\sin k \alpha = \text{Im} \left(\text{e}^{\text{i}k\alpha}\right)$, montrer que la suite $\left(v_n\right)_{n \geqslant 1}$ converge et donner
la valeur de sa limite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{III.} Dans cette question, on suppose que. la suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ est croissante et que la suite $\left(v_n\right)_{n \geqslant 1}$ converge.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer, pour tout $n \geqslant 1$, l'inégalité

\[nu_{n+1}  \leqslant \displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}  u_k.\]

\item En déduire que, pour tout $n \geqslant 1$,\: u_{n+1} \leqslanrt  2v_{2n} - v_n$.
\item Établir la convergence de la suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ et préciser sa limite.
\item Énoncer la propriété ainsi démontrée sous la forme d'une condition nécessaire et suffisante.
￼￼￼￼￼￼￼￼\end{enumerate}
\end{document}