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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small épreuve 1}
\lfoot{\small{CAPES externe 18 mars 2024}}
\rfoot{\small{}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe  Option mathématiques ~\decofourright\\[5pt]18 mars 2024 épreuve 1}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants.

\medskip

Notations :

\begin{description}
\item[ ] $\N$ désigne l'ensemble des nombres entiers naturels.
\item[ ] $\N^*$ désigne l'ensemble des nombres entiers naturels non nuls. 
\item[ ] $\R$ désigne l'ensemble des nombres réels.
\item[ ] $\R_+$ désigne l'ensemble des nombres réels positifs.
\item[ ] $\R_+^*$ désigne l'ensemble des nombres réels strictement positifs.
\end{description}

\bigskip

{\large \textbf{Problème 1 : VRAI - FAUX}}

\medskip

Pour chacune des assertions suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

\begin{center}\textbf{Proportionnalité}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Pour que le tableau ci-dessous soit un tableau de proportionnalité il faut et il suffit que $m = 5$.
\begin{center}$\begin{array}{|c|c|}\hline
1 - m& -3\\\hline
8&1 + m\\ \hline
\end{array}$\end{center}

\item Après une augmentation de 55\,\%, le coût d'un produit a baissé de 28\,\%. Le pourcentage d'augmentation total est de 27\,\%.
\item Si l'on augmente son rayon de 22\,\%, l'aire d'un disque augmente de 44\,\%.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Analyse}\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par
\[F(x) = \displaystyle\int_0^x \e^{-t^2}\:\text{d}t.\]

On a
\[\dfrac{1}{\e} \leqslant F(1) \leqslant 1 - \dfrac{1}{\e}.\]

\item On note pour tout réel $t \geqslant 1$,
\[A(t) = \displaystyle\int_1^t x^2 \ln x \:\text{d}x.\]

On a

\[\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \dfrac{A(t)}{t^2} = + \infty.\]

\item Toute suite $\left(u_n\right)$ qui vérifie l'assertion suivante tend vers $+\infty$. 

\[\exists n_0 \in \N ~;~ \forall A \in \R, \: n \in \N, \quad (n \geqslant n_0 \Rightarrow u_n \geqslant A).\]
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Arithmétique}\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item On a $\dfrac{3}{11} = 0,272727272727$.
\item Le produit de deux nombres irrationnels est un nombre irrationnel.
\item Soit $n \in \N$. La contraposée de l'assertion \og $n^2$ pair $\Rightarrow n$ pair \fg est \og $n$ pair $\Rightarrow n^2$ pair \fg.
\item Si la somme des chiffres en base 10 d'un entier naturel est divisible par 3 alors cet entier est divisible par 9.
\item Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels et $n$ un entier naturel non nul.

Si $2a =2b$ (mod $n$) alors $a = b$ (mod $n$).
\item  Soit $n$ un entier naturel non nul, la somme des $n$ premiers nombres impairs est égale au carré de $2n+ 1$.
\item  Soient $a, b$ et $c$ trois entiers tels que $a^2 = b^2 + c^2$.

L'un au moins des nombres $a, b$ et $c$ est multiple de $5$.
Géométrie
\item  Un triangle dont les mesures des angles sont dans un ratio 1 : 2 : 3 est un triangle rectangle.
\item  Dans un plan affine euclidien, on considère un triangle ABC sur lequel sont construits extérieurement les triangles équilatéraux ABD et ACE.

On a BE = DC.
\item  Dans un espace affine euclidien, muni d'un repère cartésien orthonormé, les droites $D$ et $D'$ de représentations paramétriques
\begin{center}
$\left\{\begin{array}{l c l}
x& = &1+t\\
y& = &3 - t\\
z &=& 5- 2t
\end{array}\right. \quad t \in \R$ \quad et \quad 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1 + t\\
y &=& 3 - t\\
z &=& - 5t - 1
\end{array}\right. \quad t \in \R$ \quad  sont coplanaires.\end{center}

\item On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous.

\begin{minipage}{0.75\linewidth}
On se place dans le repère $\left(\text{D},~\vect{\text{DA}}~;~\vect{\text{DC}}~;~\vect{\text{DH}}\right)$.

Le point K$(9~;~-10~;~-8)$ est un point du plan (ABG).
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.22\linewidth}
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(2.5,2.3)
\psframe(0.1,0.2)(1.6,1.7)%ABFE
\psline(1.6,0.2)(2.2,0.6)(2.2,2.1)(1.6,1.7)%BCGF
\psline(2.2,2.1)(0.7,2.1)(0.1,1.7)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.1,0.2)(0.7,0.6)(2.2,0.6)%ADC
\psline[linestyle=dashed](0.7,0.6)(0.7,2.1)%DH
\psline[linestyle=dashed](0.1,0.2)(0.7,2.1)%AH
\psline(1.6,0.2)(2.2,2.1)%BG
\uput[dl](0.1,0.2){A} \uput[dr](1.6,0.2){B} \uput[r](2.2,0.6){C} \uput[ur](0.7,0.6){D}
\uput[l](0.1,1.7){E} \uput[u](1.6,1.7){F} \uput[ur](2.2,2.1){G} \uput[u](0.7,2.1){H}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Dénombrement - Probabilités}\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $E$ un ensemble fini non vide dont un des éléments est noté $a$.

Il y a autant de parties de $E$ contenant $a$ que de parties ne le contenant pas.
\item Le nombre de trajets les plus courts pour aller du départ à l'arrivée sur le quadrillage ci-dessous est égal à 120.
\item Une agence reçoit en moyenne 8 appels téléphoniques par heure. On modélise le nombre d'appels reçus par heure par une loi de Poisson.

La probabilité qu'il y ait plus de 3 appels téléphoniques au cours d'une heure est supérieure à $0,95$.
\item Soient $A$ et $B$ deux évènements d'un espace probabilisé. Les assertions suivantes sont équivalentes 
\begin{itemize}
\item les évènements $A$ et $B$ sont indépendants;
\item les évènements $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants.
\end{itemize}
\item On dépose au hasard $n$ boules numérotées de 1 à $n$ dans $n$ urnes numérotées de 1 à $n$, en plaçant une boule par urne.

L'espérance du nombre de coïncidences (boule de même numéro que l'urne où elle se trouve) est égale à 1.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Algorithmique}\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item Le programme ci-dessous est écrit en langage Python.

En saisissant la commande \emph{encadrement}(0, 2, 0.001), on obtient un encadrement de longueur inférieure à $10^{-3}$ de la solution de l'équation $\e^{\frac x2}~ + x^2 - 3 = 0$ dans l'intervalle [0~;~2].

\begin{tabular}{l l}
1 &from math import *\\
2&v def f(x) :\\
3&\quad return exp(0.5*x)+x**2-3\\
4&v def encadrement (a, b, epsilon) :\\
5&m= (a + b)/2\\
6&v  while b-a > epsilon : \\
7&v if f(a)*f(m) < 0 :\\
8& \quad b=m\\
9&else :\\
10&v a=m\\
11& return a, b\\
\end{tabular}

\end{enumerate}

\newpage

{\Large \textbf{Problème 2 : quelques modèles de dynamique d'une population}}

\medskip

Dans ce problème, on s'intéresse à différents modèles d'évolution d'une population.

Les trois parties sont indépendantes.

\begin{center}\textbf{Le modèle logistique discret}\end{center}

\smallskip

Dans cette partie, on modélise la taille de la population par une suite $\left(u_n\right)$ où $n$ est un entier naturel qui désigne le temps écoulé depuis un instant donné pris pour origine.

On suppose que la taille de la population est bornée, c'est-à-dire qu'il existe un réel strictement positif $M$ tel que 
\[\forall n \in \N, \quad 0 \leqslant u_n < M.\]

Dans toute cette partie, on suppose $0 < u_0 < M$, et on pose $v_n = \dfrac{u_n}{M}$ pour tout entier $n \in \ N$. On a alors $v_0 \in ]0~;~1]$.

On suppose qu'il existe un réel $a$ tel que la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ vérifie la relation de récurrence suivante :
\[\forall n \in \N , \quad v_{n+1} = av_n\left(1 - v_n\right)\hfill(1)\]

Le but de cette partie est d'étudier le comportement de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ dans le cas où $0 < a \leqslant 1$ et de faire une étude numérique pour le cas $a = \dfrac52$.

\medskip

\textbf{Le cas }\boldmath $0 < a \leqslant 1$\unboldmath

On rappelle que $v_0 \in ]0~;~1[$.

On considère les fonctions $f_a$ et $g_a$ définies sur [0~;~1] par

\begin{center}$\forall x \in [0~;~1], f_a(x) = ax(1 - x)$\quad  et \quad $g_a(x) = f_a(x) - x$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f_a$ sur l'intervalle [0~;~1].
\item Déduire de la question précédente que pour tout $n \in \N,\: v_n \in [0~;~1]$.
\item Démontrer que si la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ converge vers un réel $C \in [0~;~1]$, alors $C$ est un point fixe de $f_a$, c'est-à-dire que $f_a(C) = C$.
\item Démontrer que $f_a$ admet $0$ pour unique point fixe dans l'intervalle [0~;~1].
\item Démontrer que $g_a(x) \leqslant 0$ pour tout $x \in ]0~;~1[$. On pourra utiliser l'inégalité  $1 - \dfrac 1a \leqslant 0$.
\item En déduire que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est décroissante.
\item Justifier la convergence de la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ vers un réel que l'on déterminera.
\item Que prédit le modèle sur l'évolution de la taille de la population dans ce cas?
\end{enumerate}

\textbf{Le cas }\boldmath $a = \dfrac52$.\unboldmath

On pose $v_0 = \dfrac12$. On introduit les fonctions $f, g$ et $h$ définies pour $x \in [0~;~1]$, par

\begin{center}$f(x) = \dfrac52 x(1 - x),\quad  g(x) = f(x) - x$ et $h(x) = f \circ f(x) - x$.\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer que $f$ admet sur [0~;~1] exactement deux points fixes.
\item Calculer $v_1, v_2, v_3$ et $v_4$. On donnera les valeurs décimales à $10^{-3}$ près.
\item Écrire un algorithme qui permet de calculer les 10 premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$.

En déduire $v_{10}$.
\item Dans un repère orthonormé on a représenté, sur le graphique ci-dessous, pour des abscisses comprises entre 0,5 et 0,7 :

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item la courbe représentative de la fonction $f$,
\item la droite d'équation $y = x$.
\end{itemize}

Reproduire le graphique en mettant en évidence les nombres $v_0, v_1, v_2, v_3$ et $v_4$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.58\linewidth}

\end{minipage}

\item Vérifier que l'on a

\[\forall x \in [0~;~1], \:\:h(x) = - \dfrac{x(5x - 3)\left(25x^2 - 35x + 14\right)}{8}.\]

\item En déduire que les fonctions $f$ et $f \circ f$ ont les mêmes points fixes sur [0~;~1].
\item Étudier le signe de la fonction $h$ sur l'intervalle $\left[0~;~\frac35\right]$.
\item On admet que l'intervalle $\left[\frac25~;~\frac35\right]$ est stable par la fonction $f \circ f$. Déduire de la question précédente que la suite $\left(v_{2n}\right)_{n\in \N}$ est croissante.
\item Démontrer que la suite $\left(v_{2n}\right)_{n\in \N}$ converge vers $\dfrac35$.
\item En déduire que la suite $\left(v_{2n+1}\right)_{n\in \N}$ converge également vers $\dfrac35$, puis que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ converge vers $\dfrac35$.
\item Conclure sur le comportement asymptotique de la taille de la population prédit par le modèle.
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Le modèle logistique continu}\end{center}

Dans cette partie, on modélise l'évolution de la population par une fonction. La taille de la population à l'instant $t \in \R_+$ est représentée par le réel $y(t)$ où $y$ désigne une fonction de $\R_+$ vers $\R_+$.

On suppose que la taille de la population est bornée par un réel strictement positif $M$, c'est-à-dire que 
\[\forall t\in  \R, \: 0 < y(t) < M.\]

On suppose qu'il existe un réel strictement positif $a$ tel que $y$ soit une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ solution de l'équation

\[\forall t\in  \R, \: y'(t) = ay(t) (M - y(t)).\]

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'il existe des réels $\alpha,\:\beta$, fJ que l'on déterminera tels que pour tout réel $z$ vérifiant $0 < z < M$,

\[\dfrac{1}{z(M - z)} = \alpha \dfrac 1z + \beta \dfrac{1}{M - z}.\]

En déduire que $y$ vérifie l'équation:

\[\forall t\in  \R, \quad \alpha \dfrac{y'(t)}{y(t)} + \beta \dfrac{y'(t)}{M - y(t)} - a = 0.\]

		\item Déterminer en fonction de $a$ et de $M$, une primitive de la fonction

\begin{center}$\psi : t \longmapsto \alpha \dfrac{y'(t)}{y(t)} + \beta \dfrac{y'(t)}{M - y(t)} - a$ sur $\R_+$.\end{center}
	\end{enumerate}
\item Déduire de la question précédente qu'il existe un réel $c > 0$ tel que pour tout $t \in  \R_+$,
\[y(t) = \dfrac{cM \e^{aMt}}{1 + c\e^{aMt}}.\]

\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} y(t)$.
\item Qu'en déduire sur l'évolution de la population prédite par le modèle ?
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Un modèle proies-prédateurs discret}\end{center}

On s'intéresse dans cette partie à l'évolution de deux populations dans le même milieu: une population de proies, et une population de prédateurs.

En préliminaire, on étudie les suites $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ définies par les relations de récurrence suivantes. :

\[\forall n \in \N\:\left\{\begin{array}{l c l}
x_{n+1}&=&x_n - \alpha y_n\\
y_{n+1}&=&y_n + \alpha x_n\\
\end{array}\right.\]
où $\alpha$ est un réel strictement positif et indépendant de $n$.

\medskip
\begin{enumerate}[resume]
\item  On introduit la matrice $A = \begin{pmatrix}1&- \alpha\\\alpha&1
\end{pmatrix}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour $n \in \N$, exprimer $\begin{pmatrix}(x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}$ à l'aide de $\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ et $A$.
		\item Démontrer que pour tout $n \in \N$,
		\[\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix} = A^n\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}.\]
		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $A$ admet deux valeurs propres complexes, notées $\lambda$ et $\mu$, que l'on précisera.
		\item Justifier l'existence de $r \in  \R_+^*$ et $\theta \in  [0~;~2\pi[$ tels que $\lambda = r\e^{\text{i}\theta}$ et $\mu = r\e^{-\text{i}\theta}$, et donner l'expression de $r$ en fonction de $\alpha$.
	\end{enumerate}
\item Justifier l'existence d'une matrice inversible $P \in \mathcal{M}_2(\C)$ telle que

\[A = P\begin{pmatrix}\lambda^n&0\\0&\mu^n\end{pmatrix} P^{-1}.\]
\item Démontrer que $P = \begin{pmatrix}1&1\\-\text{i}&\text{i}\end{pmatrix}$ et déterminerP-l. -1 1
\item Démontrer que pour tout $n \in \N,\: A^n = P\begin{pmatrix}\lambda^n&0\\0&\mu^n\end{pmatrix}P^{-1}$.
\item  En déduire que pour tout $n\in \N$,
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x_n& =& r^n \left(\cos(n\theta)x_0  - \sin(n\theta)y_0\right),\\
y_n&=&r^n\left(\sin(n\theta)x_0+ \cos(n\theta)y_0\right).
\end{array}\right.\]
\item  On propose dans la suite un modèle discret pour suivre l'évolution des populations de proies et de prédateurs.

\medskip

L'entier $n$ désigne le temps écoulé depuis un instant donné pris pour origine. Les tailles des populations de proies et de prédateurs sont respectivement données par les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$  définies par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_n&=&\overline{u} + x_n,\\
v_n&=&\overline{v} + y_n,
\end{array}\right.\]

où les réels strictement positifs $\overline{u}$ et $\overline{v}$ sont fixés et correspondent à des tailles de référence pour les populations de proies et de prédateurs.

On a tracé sur le graphique ci-dessous les points de coordonnées $\left(u_n~;~v_n\right)$ pour les premières valeurs de $n$ comprises entre 0 et un entier $N$ strictement positif.

\begin{center}
\begin{pspicture}(10,8)
%\psgrid

\rput(5,4){\includegraphics[width=10cm]{Couples(u_n-v_n)}}
\rput(-0.25,3.5){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](0.5,0.6)}
\rput(0,3.8){$\overline{v}$}
\rput(4.8,-0.6){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](0.5,0.6)}
\rput(5,-0.3){$\overline{u}$}
\end{pspicture}
\end{center}

Faire une description qualitative de l'évolution des populations de proies et de prédateurs prédite par le modèle.
\item  On suppose que $x_0$ et $y_0$ ne sont pas tous les deux nuls. Pour $n \in \N$, exprimer $x_n^2 + y_n^2$, en fonction de $r,\: x_0,\: y_0$ et en déduire que les suites $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ et $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ ne peuvent pas être toutes les deux bornées.

Discuter de la pertinence du modèle.
\end{enumerate}




\end{document}