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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small épreuve 1}
\lfoot{\small{CAPES externe Mayotte 8 avril 2025}}
\rfoot{\small{Épreuve 1}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES À AFFECTATION LOCALE À MAYOTTE  ~\decofourright\\[7pt]Section mathématiques\\[7pt] 9 avril 2025 épreuve 2}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\hrule \vspace{0.2cm}

\textbf{\Large Problème 1: Vrai --Faux}
\vspace{0.2cm} \hrule
\medskip

\emph{Préciser si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.}

\emph{Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Proposition} : L'inverse d'un nombre décimal est un nombre décimal.
\item \textbf{Proposition} : Le volume d'un cylindre est proportionnel à son rayon.
\item \textbf{Proposition} : L'inverse de $\sqrt 2 - 1$ est $\sqrt 2 + 1$. 
\item \textbf{Proposition} : Les réels $x$ vérifiant $\dfrac 19 \leqslant \dfrac{1}{x^2} \leqslant  \dfrac 14$ sont les réels de l'intervalle [2~;~3].
\item \textbf{Proposition} : Pour tout réel $x$, on a $- x \leqslant x^2$.
\item Soit ABCD un carré.

M est un point du côté [AB] et N un point du côté [BC] tels que AM = BN.

\textbf{Proposition} : Les droites (AN) et (DM) sont perpendiculaires.

\item~

\begin{minipage}{0.48\linewidth}

Dans la figure ci-contre, D est un point du segment [AB], E un point du segment [AC] et F un point du segment [BC], avec AB = 35 et AD = BC = 21. 

\textbf{Proposition} : Le rectangle BDEF est un carré.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=0.85cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(7,4.4)
\pspolygon(0.2,0.2)(6.7,0.2)(6.7,4.1)%ABC
\psline(4.2,0.2)(4.2,2.6)(6.7,2.6)%DEF
\psframe(4.2,0.2)(4.4,0.4)\psframe(6.7,0.2)(6.5,0.4)\psframe(6.7,2.6)(6.5,2.4)\psframe(4.2,2.6)(4.4,2.4)
\uput[ul](0.2,0.2){A}\uput[r](6.7,0.2){B}\uput[ur](6.7,4.1){C}
\uput[d](4.2,0.2){D}\uput[ul](4.2,2.6){E}\uput[r](6.7,2.6){F}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\item Soit ABCD un carré de côté 2 cm. I et J sont les milieux des côtés [DC] et [CB].

\textbf{Proposition} : $\cos \widehat{\text{JAI}} = \dfrac 45$.
\item Proposition : La somme des carrés des sinus de deux angles complémentaires est égale à 1.
\item Soient $\vect{u},\: \vect{v }$ et $\vect{w}$ trois vecteurs d'un espace vectoriel euclidien.

\textbf{Proposition} : Si $\vect{u} \perp (\vect{v} - \vect{w})$ et $\vect{w} \perp (\vect{u} - \vect{v})$, alors $\vect{w} \perp (\vect{u} - \vect{v})$.
\item Soit $(E)$ l'équation $ax^2 + bx  + c = 0$, où $a,\:b$ et $c$ sont des réels, avec $a \ne 0$.

\textbf{Proposition} : Si l'équation $(E)$ admet deux solutions opposées non nulles, alors $b = 0$.
\item On définit deux fonctions $f$ et $g$ sur $\R$ par :

\[f(x) = x^3 + 3x - 1 \quad \text{et} \quad g(x) = 3x - \cos(x)+ x^2 \sin (x).\]

\textbf{Proposition} : Les courbes représentatives des fonctions$f$ et $g$ ont la même tangente au point d'abscisse 0.

\item \textbf{Proposition} : La fonction $x \longmapsto \ln[\ln (x)]$ est définie sur $]0~;~+\infty[$.
\item \textbf{Proposition} : Les parties à 10 éléments sont deux fois plus nombreuses dans un ensemble à 20 éléments que dans un ensemble à 19 éléments.
\item Soit l'expérience aléatoire consistant à tirer l'une après l'autre et sans remise deux cartes dans un paquet de 12 cartes composé des 4 as, des 4 rois et des 4 dames.

\textbf{Proposition} : La probabilité de tirer une dame en second est $\dfrac 13$.
\item On lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6. La variable aléatoire $X$ est définie par : 
\[X = \left\{\begin{array}{l}
2 \quad\text{si on obtient un nombre pair}\\
0 \quad \text{sinon}
\end{array}\right.\]

\textbf{Proposition} : La variable aléatoire $X$ a pour espérance $E(X) = 1$.
\item Un QCM est constitué de trois questions. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées dont une seule est correcte.

Axel répond au hasard et ses réponses sont indépendantes les unes des autres.

\textbf{Proposition} : La probabilité qu'Axel ait au moins deux réponses correctes est supérieure à $\dfrac14$.
\item La durée de vie $T$, en année, d'un objet suit une loi exponentielle de paramètre 0,25.

\textbf{Proposition} : L'objet dure depuis 15 ans. La probabilité que l'objet ne fonctionne plus dans les cinq années suivantes est supérieure à $0,9$.
\item \textbf{Proposition} : La somme de deux diviseurs d'un entier est un diviseur de cet entier.
\item Les entiers $x,\:y$ et $z$ vérifient $x^2 + y^2 = z^2$.

\textbf{Proposition} : $x,\:y$ et $z$ ne peuvent pas être impairs tous les trois.
\end{enumerate}

\bigskip

\hrule \vspace{0.2cm}
\textbf{\Large Problème 2 : géométrie dans l'espace}
\vspace{0.2cm}\hrule

\bigskip

La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH d'un espace affine de dimension 3.

\begin{center}
\psset{unit=0.85cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(6,6)
\pspolygon(0,0.6)(3.5,0)(3.5,3.8)(0,4.4)%ABFE
\psline(3.5,0)(5.8,1.2)(5.8,5)(3.5,3.8)%BCGF
\psline(5.8,5)(2.3,5.6)(0,4.4)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0,0.6)(2.3,1.8)(5.8,1.2)%ADC
\psline[linestyle=dashed](2.3,1.8)(2.3,5.6)
\uput[dl](0,0.6){A}\uput[d](3.5,0){B}\uput[r](5.8,1.2){C}
\uput[ur](2.3,1.8){D}\uput[l](0,4.4){E}\uput[u](3.5,3.8){F}
\uput[ur](5.8,5){G}\uput[u](2.3,5.6){H}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que les plans (AEH) et (BGD) ne sont pas parallèles.
\end{enumerate}

La section plane d'un solide est la surface obtenue lors d'une coupe de ce solide par un plan.
\begin{enumerate}[resume]
\item Donner, sans justifier, la nature de la section du cube par le plan(BGD).
\item Répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Le triangle CDE est-il rectangle ?
		\item Les droites (DE) et (BD) sont-elles orthogonales ?
		\item Les droites (FD) et (AG) sont-elles sécantes ? sont-elles orthogonales ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\hrule \vspace{0.2cm}
\textbf{\Large Problème 3 : suites, raisonnement et algorithmique}
\vspace{0.2cm} \vspace{0.2cm}

\medskip

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

\[u_{n+1} = 4u_n - 9n + 6 \quad \text{avec}\quad u_0 = 0.\]

\begin{enumerate}
\item Étude des termes de la suite :
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1,\: u_2$ et $u_3$.
		\item La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? 

Préciser le type de raisonnement utilisé pour répondre à cette question. 
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n,\:u_n$ est multiple de 3.

Préciser le type de raisonnement utilisé pour répondre à cette question.
	\end{enumerate}
\item Forme explicite de la suite $(u_n)$ :

Soit la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n =u_n - 3n + 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $4$.
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n : \:u_n = 4^n +3n - 1$.
	\end{enumerate}
\item Propriété caractéristique de la suite $(u_n)$

Justifier que pour tout entier naturel $n,\:u_n$ est pair, si et seulement si $n$ est impair. 

Préciser le type de raisonnement(s) utilisé(s) pour répondre à cette question.
\item  Comportement de la suite $(u_n)$ :
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
		\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
		\item Écrire une fonction python \textbf{seuil}$(S)$ qui donne, lorsque le seuil $S$ est donné, la première valeur de $n$ telle que $u_n > S$.
		\item Justifier l'arrêt de cet algorithme pour toute valeur de $S$ et on donnera la valeur renvoyée par \textbf{seuil}(10**9).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\hrule \vspace{0.2cm}
\textbf{\Large Problème 4 : fonctions}
\vspace{0.2cm}\hrule 

`\bigskip

\textbf{\large Partie A : étude mathématique d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = 6x \e^{-0,5x}.\]

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $f$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$, et que, pour tout $x \in  [0~;~+ \infty[$, on a :

\[f'(x) = (6 - 3x)\e^{-0,5x}.\]

		\item Établir le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Justifier que l'équation $f(x) = \dfrac{6}{\e}$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle $[2~;~+ \infty[$.

Donner une valeur approchée de $\alpha$ par excès, à $10^{-2}$ près.
\item On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $[0~;~+ \infty[$, et que sur cet intervalle :

\[f''(x) = (1,5x - 6)\e^{-0,5x}.\]

Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. Préciser les points d'inflexion éventuels.
\item Soit $A$ un réel strictement positif.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier, à l'aide d'une intégration par parties, que :

\[\displaystyle\int_0^A f(x)\:\text{d}x = - 12A\e^{-0,5A} - 24\e^{-0,5A} + 24.\]

		\item Interpréter graphiquement le résultat ci-dessus.
		\item Déterminer la limite de $\displaystyle\int_0^A f(x)\:\text{d}x$
lorsque $A$ tend vers $+\infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{\large Partie B : application}

\medskip

On étudie la concentration dans le sang d'un patient, en milligramme par litre (mg/L), d'un médicament absorbé par voie orale, en fonction du temps, exprimé en heure. Les résultats observés conduisent à modéliser l'évolution de la concentration du médicament par la fonction $f$ étudiée dans la \textbf{partie A} et représentée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(12.5,5.5)
\psgrid[subgriddiv=1,linewidth=0.15pt,gridlabels=0pt](0,0)(13,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(12.5,5.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{6 x mul 2.71828 0.5 x mul exp div}
\rput(1.5,1.8){phase}\rput(1.5,1.3){d'absobtion}\psline{->}(1.5,2)(0.8,3.2)
\rput(4,1.8){phase}\rput(4,1.3){d'élimination}\psline{->}(4,2)(4.5,2.83)
\uput[u](12.2,0){$x$}\uput[r](0,5.2){$y$}\uput[u](10.5,0.35){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}
La partie croissante correspond à la phase d'absorption.

La partie décroissante correspond à la phase d'élimination.

\medskip

Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la partie A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après ce modèle, quelle est la concentration maximale du médicament dans le sang ?
\item On appelle demi-vie le temps nécessaire pour que la concentration de médicament présente dans le sang dans la phase d'élimination ait diminué de moitié par rapport à la concentration maximale.

Préciser, d'après ce modèle, la demi-vie de ce médicament à la minute près.
\item Le coefficient directeur des tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ correspond à la vitesse d'absorption ou d'élimination du médicament dans le sang.

D'après ce modèle, à quel instant la vitesse d'élimination est-elle la plus élevée ?
\item La mesure de l'exposition du patient au médicament, exprimée en mg/L.h est égale à l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

D'après ce modèle, quelle est l'exposition du patient à ce médicament ?
\end{enumerate}
\end{document}