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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small épreuve 1}
\lfoot{\small{CAPES externe Mayotte 8 avril 2025}}
\rfoot{\small{Épreuve 1}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES À AFFECTATION LOCALE À MAYOTTE  ~\decofourright\\[7pt]Section mathématiques\\[7pt] 8 avril 2025 épreuve 1}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\hrule \vspace{0.2cm}

{\Large \textbf{Problème 1 : codage et décodage d’un message chiffré}}
\vspace{0.2cm}
\hrule

\medskip

\textbf{\large Partie A : équation diophantienne}

\medskip

Dans cette partie, on considère l’équation diophantienne 

\[(E) :\quad 17x - 26y = 1\]

d’inconnue $(x~;~y) \in \Z^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une solution particulière de $(E)$.
\item Résoudre l'équation $(E)$.
\item Démontrer qu'il existe un unique couple solution $(u~;~v)$ de $(E)$ tel que $0 \leqslant u < 26$.
\item Démontrer que, pour tous nombres entiers relatifs $p$ et $q$ , on a l'équivalence:
\[17p \equiv q \quad [26] \iff p \equiv 23q \quad [26].\]
\end{enumerate}

\medskip

\begin{tabular}{|p{14cm}|}\hline
\textbf{Codage :}\\
Soient $a$ un entier non nul et $b$ un entier.\\
La fonction $f$, qui à tout entier $n$ compris entre 0 et 25 associe $f(n) = an + b$
 est appelée fonction de codage.\\
Le codage d'une lettre par cette fonction se fait comme suit :\\
\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item Remplacer la lettre par son équivalent numérique $n$ donné par le tableau ci-dessous
\item Calculer le reste $r$ de la division euclidienne de $f(n) = an + b$ par $26$
\item Remplacer l'entier obtenu $r$ par la lettre correspondante dans le tableau
\end{itemize}\\

\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\ \hline
0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline
N &O	&P& Q& R&S& T& U& V &W& X& Y& Z\\ \hline
13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline
\end{tabularx}\\
Le codage d'un mot consiste alors à coder chacune de ses lettres.\\ \hline
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{\large Partie B :: un exemple de codage}

\medskip

Dans cette partie, la fonction de codage $f$ est définie par $f(n)= 17n + 22$ où $n$ est un entier compris entre 0 et 25.

Pour le codage de la lettre H, correspondant au nombre $n = 7$, on a :

$f(7)= 17 \times 7 + 22 = 141 = 5 \times 26 + 11$, d'où $r ~ 11$.

Ainsi la lettre H sera codée par la lettre L, correspondant au nombre 11.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Coder le mot \og HUIT \fg{} en utilisant la fonction $f$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression d'une fonction de décodage $g$ telle que:

\[r \equiv f(n) \quad [26] \iff  n \equiv g(r) \quad [26]\]

		\item Décoder alors le mot \og QWXA \fg.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie C : cas général}

\medskip

Soient $a$ un entier non nul et $b$ un entier.

Dans cette partie, la fonction de codage est définie par $f(n) = an + b$, pour tout entier $n$
compris entre O et 25.

On dit que $f$ admet une fonction de décodage $g$, si deux lettres distinctes sont codées par des lettres distinctes, c'est-à-dire si:

pour tout couple d'entiers $(n_1~;~ n_2)$ compris entre 0 et 25, $f(n_1) \equiv f(n_2) \quad [26] \Rightarrow  n_1 = n_2$.

On admet qu'il existe alors une fonction affine de décodage $g$, définie pour tout entier $r$ par

$g(r) = n$ où $n$ un entier tel que $f(n) \equiv r \quad [26]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que si $a$ et 26 sont premiers entre eux alors $f$ admet une fonction de décodage.
\item Soit une fonction de codage $f$ telle que $a$ et 26 sont premiers entre eux.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'il existe un entier relatif $u$ tel que $au \equiv 1 \quad[26]$
		\item Déterminer en fonction de $u$ une fonction de décodage $g$.
		\item La fonction de décodage est-elle unique ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\hrule \vspace{0.2cm}

\textbf{\Large Problème 2: géométrie dans l'espace}

\vspace{0.2cm}\hrule

\medskip

Soit ABCDEFGH un cube de côté 4.

On note I le milieu du segment [CG] et J celui du segment
[GH].

On admet que les droites (BI) et (EJ) sont sécantes en un point K.

\medskip

\begin{minipage}{0.53\linewidth}
Dans tout l'exercice, on se place dans le repère
orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$ avec :

$\vect{\imath} = \frac 14 \vect{\text{AB}}, \:\vect{\jmath} = \frac 14 \vect{\text{AD}}$
et $\vect{k} = \frac 14 \vect{\text{AE}}$. On a ainsi:

A(0~;~0~;~0), B(4~;~0~;~0), C(4~;~4~;~0), D(0~;~4~;~0),

E(0~;~0~;~4), F(4~;~0~;~4), G(4~;~4~;~4) et H(0~;~4~;~4).
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.43\linewidth}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(5.4,5.4)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(2.5,2.5)%ABFE
\psline(2.5,0.2)(3.7,1.4)(3.7,3.7)(2.5,2.5)%BCGF
\psline(3.7,3.7)(1.2,3.7)(0.2,2.5)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.4,1.4)(3.7,1.4)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.4,1.4)(1.2,3.7)%DH0
\psline[linecolor=red](4.8,4.8)(2.45,3.7)(0.2,2.5)(2.5,0.2)(3.7,2.55)(4.8,4.8)
\pspolygon[fillstyle=hlines,hatchcolor=blue](3.7,2.5)(2.5,3.7)(0.2,2.5)(2.5,0.2)%IJEB
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](3.7,2.5)(2.5,3.7)
\uput[d](0.2,0.2){A}\uput[d](2.5,0.2){B}\uput[r](3.7,1.4){C}
\uput[l](1.4,1.4){D}\uput[ul](0.2,2.5){E}\uput[ur](2.5,2.5){F}
\uput[u](3.7,3.7){G}\uput[u](1.2,3.7){H}\uput[dr](4.8,4.8){K}
\uput[r](3.7,2.45){I}\uput[u](2.45,3.7){J}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier par le calcul que I a pour coordonnées (4~;~ 4~;~2).
		
On admettra que le point J a pour coordonnées (2~;~ 4~;~4).
		\item Donner une représentation paramétrique de la droite (BI).
		
On admet qu'une représentation paramétrique de la droite (EJ) est :
		
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&2s\\y&=&4s\\
z &=&4
\end{array}\right.,\: \text{où } s \in \R.\]

		\item Démontrer que K a pour coordonnées (4~;~8~;~4).
		\item En exprimant le produit scalaire $\vect{\text{KE}} \cdot \vect{\text{KB}}$ de deux façons différentes, déterminer,, au degré près, une mesure de l'angle géométrique $\widehat{\text{EKB}}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BIJ).
		\item Démontrer qu'une équation cartésienne du plan (BIJ) est:

\[2x - y + 2z - 8 = 0.\]
		\end{enumerate}
\item On note $\Delta$ la droite orthogonale au plan (BIJ) passant par le point D, et N le point d'intersection de $\Delta$ avec le plan (BIJ).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
		\item Démontrer que le point N a pour coordonnées $\left(\dfrac 83~;~\dfrac 83~;~\dfrac 83\right)$.
		\item Calculer la distance du point D au plan (BIJ).
		\end{enumerate}
\item Soit $M$ un point mobile sur le segment [EJ], et soit $s$ le réel de l'intervalle [0~;~1] tel que $\vect{\text{EM}} = s\vect{\text{EJ}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que DM$^2 = 20s^2  - 32s + 32$.
		
Déterminer la valeur du paramètre $s$ qui rend la distance D$M$ minimale.
		\item Déterminer les coordonnées du point $M$ qui réalise cette condition.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\hrule \vspace{0.2cm}

\textbf{\Large Problème 3 : fonctions}

\vspace{0.2cm}\hrule 

\medskip

On note $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (x + 1)^2\e^{-x}.\]

On suppose que $f$ est dérivable sur $\R$ et l'on note $f'$ sa dérivée.

\bigskip

\textbf{\large Partie A : la représentation graphique}

\medskip

Une représentation graphique $(\mathcal{C})$ de la fonction $f$ est donnée ci-après mais les graduations ne sont pas indiquées.

On se propose dans cette partie de préciser cette représentation graphique.

\psset{unit=1.25cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-2,-3)(5,4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{5}{x 1 add dup mul 2.71828 x exp div}
\psline[linewidth=1.25pt](-2,-2)(5,5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](-1,0)(0,0)(0,1)(1,1.47152)(1.415,1.415)
\psplotTangent[arrows=<->]{1}{0.7}{x 1 add dup mul 2.71828 x exp div}
\uput[dr](0,0){\small O}\uput[u](-1,0){\small A}\uput[ul](0,1){\small J}\uput[u](1,1.47152){\small B}\uput[u](1.415,1.415){\small $M_0$}
\rput{45}(3.5,3.7){$y = x$}
\rput{-16}(4,0.75){\red $y = (x + 1)^2\e^{-x}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{figure}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout $x \in \R$, déterminer $f'(x)$.
\item Démontrer que la fonction $f$ est décroissante sur $[1~;~+\infty[$.
\item Soit B le point de $(\mathcal{C})$ d'abscisse positive tel que la tangente en B à $(\mathcal{C})$ est parallèle à l'axe des abscisses.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées de B.
		\item En déduire l'équation de la tangente à $(\mathcal{C})$ en B.
	\end{enumerate}
\item La courbe coupe l'axe des ordonnées au point J.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées de J.
		\item La tangente $(\Delta)$ à la courbe $(\mathcal{C})$ au point J passe-t-elle par le point A de coordonnées $(-1~;~0)$ ?
		\item $(T)$ est-elle parallèle à la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x$ ?
	\end{enumerate}
\item La courbe $(\mathcal{C})$ admet-elle une asymptote en $+\infty$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie B : recherche de l'intersection de la courbe $(\mathcal{C})$ avec la droite $(\Delta)$.}

\medskip

On désigne par $x_0$ l'abscisse du point d'intersection de la courbe $(\mathcal{C})$ avec la droite $(\Delta)$.

On admet dans cette partie que 1 < ~~ <~. 2

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une valeur arrondie, à $10^{-2}$ près, de $f(1)$ puis de $f\left(\dfrac 32\right)$.
\item On considère la suite numérique $(u_n)_{n \in \N}$ définie par 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0&=&\dfrac 32\\
u_{n+1}&=&f(u_n) \: \text{pour tout } n \in \N
\end{array}\right.\]

À l'aide des questions précédentes, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\:,1 \leqslant u_n \leqslant \dfrac 32$.
\item On admet que pour tout entier naturel $n,\: \left|u_{n+1} - _0\right| \leqslant \dfrac12\left|u_n - x_0\right|$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\left|u_n - x_0\right| \leqslant \left(\dfrac 12\right)^{n+1}$.
		\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \in \N}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la décroissance de $f$ sur $\left[1~;~\dfrac 32\right]$[, justifier que pout tout entier naturel $n,\: u_n- x_0$ et $u_{n+1} - x_0$ sont de signes contraires.
		\item Écrire un algorithme permettant d'obtenir, pour un entier naturel $n$ donné,
tous les termes de la suite du rang 0 au rang $n - 1$.
		\item Calculer les cinq premiers termes de la suite et en donner une valeur arrondie
à $10^{-5}$ près.
		\item En déduire une valeur approchée de $x_0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie C :  un calcul d'aire}

\medskip

Soit $a$ un nombre négatif.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de deux intégrations par partie, calculer en fonction de $\alpha$:
\[\displaystyle\int_{\alpha}^0  f(x)\:\text{d}x.\]

\end{enumerate}
On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en cm$^2$, de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = \alpha$ et $x = 0$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ quand $\alpha = -1$.
\item On se propose de déterminer une valeur approchée de $\alpha$ tel que $\mathcal{A} = 5$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $\mathcal{A} = 5$ est équivalent à $\e^{-\alpha}\left(\alpha^2 + 4\alpha + 5\right) = 10$.
		\item Démontrer que l'équation $\e^{-\alpha}\left(x^2 + 4x + 5\right) = 10$ admet une unique solution sur $\R$.
		\item Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\alpha$ tel que $\mathcal{A} = 5$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}