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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small épreuve 2}
\lfoot{\small{CAPES avec affectation à Mayotte juin 2021}}
\rfoot{\small{}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES avec affectation à Mayotte Option mathématiques ~\decofourright\\[5pt]juin 2021 épreuve 2}}

\vspace{1cm}
\hrulefill
\textbf{\large Problème 1 : Vrai-Faux}
\hrulefill

\end{center}

\emph{Préciser si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.\\
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère un entier naturel $n$.

\textbf{Proposition :} si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.
\item \textbf{Proposition :} toute suite strictement croissante tend vers $+ \infty$.
\item Soit la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ définie par :$\left\{\begin{array}{l c l}
u_0 &=& -1\\
u_1 &=& 1\\
u_{n+2}&=& 4u_{n+1} - 3u_n,\: \text{pour tout entier naturel }\:n \geqslant 0
\end{array}\right.$

\textbf{Proposition :} pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 3^n - 2$.
\item \textbf{Proposition :} pour tout entier naturel $n$,\: $\displaystyle\sum_{k = 0}^n  k^3 = \left(\displaystyle\sum_{k = 0}^n k\right)^2$.
\item Soient $a$ et $b$ deux réels et $f$ une fonction dérivable de $\R$ dans $\R$.
\item \textbf{Proposition :} si $a \leqslant b$ et si $f(a) \leqslant f(b)$, alors $f$ est croissante sur l’intervalle $[a~;~b]$.
\item \textbf{Proposition :} toute fonction définie et continue sur un intervalle $I \subset \R$ est dérivable sur l’intervalle $I$.
\item Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $]a~;~b[$ et soit $x_0 \in ]a~;~b[$ tel que 

$f'\left(x_0\right) = 0$.

\textbf{Proposition :} la fonction $f$ admet un extremum en $x_0$.
\item Soit $f$ une fonction dérivable de $\R$ dans $\R$.

\textbf{Proposition :} si $f$ est impaire, alors $f'$ est paire.
\item Soit la fonction $f$ définie sur $R\{2\}$ par $f(x) = \dfrac{x + 2}{x - 2}$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère.

\textbf{Proposition :} $\mathcal{C}_f$  est symétrique par rapport au point A(2~;~1).
\item Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(x)= x\ln \left(\dfrac{x + 5}{x}\right)$ pour $x > 0$ et $f(0) = 0$.

\textbf{Proposition :} la fonction $f$ est dérivable en $0$.
\item Soit une fonction $f$ définie et continue sur l’intervalle $[-2~;~5]$ telle que $f(-2) = -2$ et $f(5) = 3$.

\textbf{Proposition :} l’équation $f(x) = 0$ admet exactement une solution dans l’intervalle $[-2~;~5]$.
\item Soit $f$ une fonction continue sur l’intervalle [1~;~2].

\textbf{Proposition :} si $\displaystyle\int_1^2 f(t)\:\text{d}t \geqslant 1$, alors $f(x) \geqslant 1$ pour tout nombre réel $x \in [1~;~2]$.
\item Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on note $(P)$ le plan d’équation
 $3x + 2y - z - 1 = 0$ et $(D)$ la droite de vecteur directeur $\vect{u} = \vect{\imath} + \vect{\jmath} - \vect{k}$ passant par le point A(2~;~1~;~7).

\textbf{Proposition :} le plan $(P)$ et la droite $(D)$ ont un unique point commun.


\item Dans le plan muni d’un repère orthonormé \Oij, on considère la droite $(D)$ d’équation
$x + y + 3 = 0$ et le cercle $(C)$ d’équation $x^2 + y^2 - 2y - 7 = 0$.

\textbf{Proposition :}la droite $(D)$ est tangente au cercle $(C)$.
\item Dans le plan complexe, on considère les points M, N, P d’affixes respectives $1 + 3\text{i},\: 5 + 4\text{i},\: 2 - \text{i}$.

\textbf{Proposition :} le triangle MNP est isocèle rectangle en M.
\item Une entreprise fabrique des boîtes en bois qui ne peuvent présenter que deux défauts : un défaut d’aspect et un défaut de dimensions.

À la suite d’un contrôle qualité de la fabrication, on constate que :

\begin{itemize}
\item 91\,\% des boîtes fabriquées n’ont pas de défaut d’aspect ;
\item parmi les boîtes n’ayant pas de défaut d’aspect, 96\,\% n’ont pas de défaut de dimensions ; 
\item 3\,\% des boîtes fabriquées présentent les deux défauts.
\end{itemize}

On prélève au hasard une boîte dans la production. 

On définit l’évènement $A$ : \og la boîte ne présente pas de défaut de dimensions \fg.

\textbf{Proposition :} la probabilité de l’évènement $A$ est égale à $0,97$.
\item On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. 

On note $X$ la variable aléatoire donnant le numéro inscrit sur la face supérieure du dé.

On suppose que le dé est truqué de telle sorte que la probabilité d’obtenir une face est proportionnelle au carré du numéro inscrit sur cette face.

\textbf{Proposition :} l’espérance de la variable aléatoire $X$ est égale à $\dfrac{63}{13}$.
\item On considère l’algorithme ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$k \gets 0$\\
$u \gets 100$\\
$S \gets 100$\\
Tant que $S < \np{2000}$\\
\qquad $k \gets k + 1$\\
\qquad $u \gets u + 5$\\
\qquad $S = S + u$\\
Fin Tant que\\
Afficher $S$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Proposition :} cet algorithme retourne la valeur $15$.
\end{enumerate}

\newpage

\hrulefill

\textbf{Problème 2 : nombres entiers, décimaux, rationnels, irrationnels}

\hrulefill

\medskip

\emph{Ce problème est constitué de $6$ parties indépendantes.}

\medskip

\textbf{I - Nombres décimaux}

\medskip

\textbf{Fractions et nombres décimaux au cycle 3}

\medskip

\emph{Ressources MEN/DGESCO-IGEN, Eduscol, novembre $2016$}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Lorsqu’on coupe une unité en un nombre entier de parts égales et qu’on prend un nombre entier de ces parts, éventuellement supérieur au nombre de parts contenues dans cette unité, on obtient une fraction.\\
(...)\\
Lorsque le partage de l’unité se fait en un nombre de parts égal à une puissance de 10 (comme 10, 100, \np{1000}, \ldots), la fraction obtenue est appelée fraction décimale : $\dfrac{3}{10},\:\dfrac{547}{100}, \: \dfrac{3}{\np{1000}}$, etc.\\
(...)\\
Un \textbf{nombre décimal} est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Justifier, en utilisant les définitions du document ressource, les affirmations suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les nombres entiers sont des nombres décimaux.
\item $\dfrac{1}{\np{65536}}$ est un nombre décimal.
\item $\dfrac13$ n’est pas un nombre décimal.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II - Division euclidienne}

\medskip

Soit $(a~;~b) \in \N \times \N^{*}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer qu’il existe un entier naturel $n$ tel que nb > a.
\item Soit $S = \{s \in \N, bs > a\}$.  Comme $S$ est non vide, on admet qu’il possède un plus petit élément $t$.

En déduire l’existence d’un couple d’entiers naturels $(q~;~r)$ vérifiant $bq \leqslant a < b(q + 1)$.
\item Démontrer l’unicité du couple d’entiers naturels $(q~;~r)$ vérifiant $a = bq + r$ et $0 \leqslant r < b$.
\end{enumerate}

L’opération qui associe au couple $(a~;~b)$ le couple $(q~;~r)$ est la division euclidienne de $a$ par $b$. $a$ est appelé le dividende, $b$ le diviseur, $q$ le quotient et $r$ le reste de la division euclidienne.

\begin{enumerate}[resume]
\item On effectue une division euclidienne où le dividende est égal à $53$ et le reste à $5$.

Quels peuvent être le diviseur et le quotient ?
\item On suppose $a > b$ et on divise $a$ et $b$ par leur différence $a - b$.

Comparer les quotients et les restes obtenus.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{III - Division euclidienne et nombres décimaux}

\medskip

Soit $(a~;~b) \in \N \times \N^{*}$.


Pour tout $n \in N$,\: $q_n$ est le quotient et $r_n$ le reste de la division euclidienne de $a \times 10^n$ par $b$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\left(q_0,\:r_0\right),\: \left(q_1,\: r_1\right),\: \left(q_2,\:r_2\right)$ et $\left(q_3,\:r_3\right)$ pour $a = 22,\: b = 7$.
		\item Repérer les restes $r_1$ et $r_2$ dans la division posée \og en potence \fg{} de 22 par 7 pour établir une relation entre $r_1,\: r_2,\: q_1,\: q_2$ et $b$.
	\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tabular}{cccccc|l}
	&2	&2	&	&	&	&7\\ \hline
$-$	&2	&1	&	&	&	& 3,142\\ \cline{2-3}
	&	&1	&0	&	&	&\\
	&$-$&	&7	&	&	&\\ \cline{3-4}
	&	&	&3	&0	&	&\\
	&	&$-$&2	&8	&	&\\ \cline{4-5}
	&	&	&	&2	&0	&\\
	&	&	&$-$&1&4&\\ \cline{5-6}
	&	&	&	&	&6	&\\
\end{tabular}
\end{center}

\item Démontrer que, pour tout $n \in \N$.
\[\dfrac{q_n}{10^n} \leqslant \dfrac ab < \dfrac{q_n + 1}{10^n}.\]

\item Démontrer que, pour tout $n \in \N^*, \: r_n -  10 \times r_{n-1} = \left(10 \times q_{n -1} - q_n\right)\times b$.
\item Démontrer qu’il existe un entier $k$ tel que $r_k = 0$ si et seulement si $\dfrac ab$ est un nombre décimal.
\item Pour $n \in  \N^*$, \:$Q(n)$ est le quotient et $R(n)$ le reste de la division euclidienne de $10r_{n-1}$ par $b$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $0 \leqslant Q(n)\leqslant 9$.
		\item Exprimer $q_n$ et $r_n$ en fonction de $q_{n-1}$,\: $Q(n)$ et $R(n)$.
		\item Démontrer que, pour tout $n \in \N^*$,
\[\dfrac{q_{n-1}}{10^{n-1}} \leqslant \dfrac{q_n}{10^n}\quad  \text{et}\quad \dfrac{q_{n}+ 1}{10^n} \leqslant \dfrac{q_{n-1} + 1}{ 10^{n-1}}.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On a montré que, pour tout $n \in \N^*$,

\[q_0\leqslant \dfrac{q_1}{10} \leqslant \ldots \leqslant \dfrac{q_{n-1}}{10^{n-1}} \leqslant \dfrac{q_n}{10^n} \leqslant \dfrac ab < \dfrac{q_n+ 1}{10^n} \leqslant \dfrac{q_{n-1}+ 1}{10^{n-1}} \leqslant \ldots \leqslant \dfrac{q_1 + 1}{10} \leqslant q_0 + 1.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer que s’il existe $r_n \ne 0$ et $k \in \N^*$ tel que $r_{n+k} = r_n$, alors $r_{n+k+1} = r_{n+1}$.

$r_0,\: r_1,\: r_2$ \ldots sont les restes partiels de la division posée \og en potence \fg.
\item Lorsque l’on poursuit la division \og en potence \fg{} de 22 par 7, on obtient $r_6 = 1$. On a alors $r_6 = r_0$.

Est-ce que l’existence d’un reste partiel non nul répété permet de conclure à la périodicité des décimales ?
\end{enumerate}

\textbf{IV - Approximation de }\boldmath $\sqrt 2$\unboldmath 

\medskip

Soit la suite $\left(a_n\right)_{n \in \N}$ définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
a_0&=&\dfrac32\\
a_{n+1}&=&\dfrac12\left(a_n + \dfrac{2}{a_n}\right) \quad \text{pour tout } n \in \N
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur l’intervalle [1~;~2] par $f(x) = \dfrac 12 \left(x + \dfrac 2x\right)$.
\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier $n \in \N$,\: $\sqrt 2 \leqslant a_{n+1} < a_n\leqslant \dfrac 32$.
\item Démontrer que, pour tout entier $n \in \N$,\: $ a_{n+1}- \sqrt 2 \leqslant \dfrac12 \left(a_n - \sqrt 2\right)$.
\item En déduire que, pour tout entier $n \in \N$,\: $ 0 <a_n -  \sqrt 2 \leqslant \left(\dfrac12\right)^{n+1}$.
\item En déduire la limite de la suite $\left(a_n\right)_{n\in \N}$.
\item Écrire un programme en Python permettant de donner, à partir de l’encadrement du IV-4, une valeur approchée à $10^{- 10}$10  de $\sqrt 2$ à l’aide de la suite $\left(a_n\right)_{n \in \N}$ .
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{V - Irrationalité de} \boldmath $\sqrt 2$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $n \in \N$, déterminer les chiffres des unités possibles pour $n^2$, puis les chiffres des unités possibles pour $2n^2$ ?
\end{enumerate}

Pour démontrer par l’absurde l’irrationalité de $\sqrt 2$, on suppose que $\sqrt 2 = \dfrac pq$, avec $\dfrac pq$ fraction irréductible.

\begin{enumerate}[resume]
\item En raisonnant sur le chiffre des unités de $p$ et de $q$, montrer que la seule possibilité est que le chiffre des unités de $p$ soit 0 et que celui de $q$ soit $0$ ou $5$.
\item En déduire que $2$ est un nombre irrationnel. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{VI - Approximation de }\boldmath$\ln 2$\unboldmath

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur [1~;~2] par $f(x) = \dfrac 1x$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère donné. 

Soit $n \in \N^*$, on découpe l’intervalle [1~;~2] en $n$ intervalles réguliers et on construit n rectangles de côtés $\dfrac 1n$ et $f\left(1 + \dfrac kn\right)$
 pour $k$ entier naturel compris entre $1$ et $n$.
 
On note $S_n$ la somme des aires de ces rectangles. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 1$,
\[Sn = \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + cdots + \dfrac{1}{2n}.\]
\item Démontrer que la suite $S_n$ est convergente.
\item Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 1$,
\[S_n \leqslant \displaystyle\int_1^2 \dfrac 1x \:\text{d}x \leqslant S_n + \dfrac{1}{2n}.\]
\item En déduire un encadrement de $S_n$ et déterminer sa limite.
\end{enumerate}

\medskip

\hrulefill

Problème 3 : angles, relations métriques et variations de l’aire d’un triangle

\hrulefill

\medskip

\textbf{I - Formules d’addition}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
On considère la configuration du plan correspondant à la figure ci-contre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que les angles $\widehat{\text{CDE}}$ et $\widehat{\text{BAC}}$ ont même mesure.
\item En remarquant que $\sin(a + b) = $ EF + DF, établir la relation 
\[\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a\sin b.\]
\item On admettra que $\cos (a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$.

En déduire la relation:
\[\tan (a + b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}.\]
\item Exprimer $\tan (2a)$ en fonction de $\tan a$, puis calculer la valeur exacte de $\tan \dfrac{\pi}{8}$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5.4)
\pspolygon(0.3,0.3)(5.4,0.3)(5.4,2.2)(4.4,4.8)%ABCD
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[dr](5.4,0.3){B} \uput[r](5.4,2.2){C} \uput[u](4.4,4.8){D}
\psline(4.4,4.8)(4.4,0.3)%DE
\uput[dl](4.4,0.3){E}\uput[dl](0.3,0.3){A}
\psline(0.3,0.3)(5.4,2.2)(4.4,2.2)%ACF
\uput[dl](4.4,2.2){F}
\psframe(4.4,0.3)(4.2,0.5)
\psframe(4.4,2.2)(4.6,2.4)
\psframe(5.4,0.3)(5.2,0.5)
\rput{105}(5.4,2.2){\psframe(0.2,0.2)}
\uput[ul](2.35,2.55){1}
\end{pspicture}

\end{minipage}

\medskip

\textbf{II - Relations métriques}

\medskip

Soit un triangle ABC, de périmètre $2p$, où $p$ est un nombre réel strictement positif donné.

I est le centre et $r$ le rayon du cercle inscrit dans ce triangle.

P, Q et R sont les projetés orthogonaux de I respectivement sur les droites (BC),(AC) et (AB).

On note $a = \widehat{\text{BAI}},\:b = \widehat{\text{CBI}}$ et $c = \widehat{\text{ABI}}$.

\medskip
\begin{minipage}{0.52\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l’aire du triangle ABC est égale $p \times r$.
\item Démontrer que 

$p = r \left(\dfrac{1}{\tan a} + \dfrac{1}{\tan b} + \dfrac{1}{\tan c}\right)$.
\item On suppose le triangle ABC rectangle en A.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $\tan c$ en fonction de $\tan b$.
		\item En déduire que $r = p \dfrac{\tan b(1 - \tan b)}{1 + \tan b}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.44\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(6.4,5.3)
%\psgrid
\rput{-10}{\pspolygon(0,0)(5.8,0)(0,4.1)%ABC
\pscircle(1.4,1.4){1.4}%cercle centre I
\psline(0,0)(1.4,1.4)(5.8,0)%AIB
\psline(0,4.1)(1.4,1.4)(2.25,2.5)%CIP
\psline(0,4.1)(1.4,1.4)(0,1.4)%CIQ
\psline(1.4,1.4)(1.4,0)%IR
\psframe(0.2,0.2)\psframe(1.4,0)(1.6,0.2)
\rput{140}(2.25,2.5){\psframe(0.2,0.2)}
\rput{-10}(0,1.4){\psframe(0.2,0.2)}
\psarc(0,0){0.8}{0}{47}
\psarc(5.8,0){0.7}{160}{182}\psarc(5.8,0){0.6}{160}{182}
\psarc(0,4){0.7}{270}{299}\psarc(0,4){0.6}{270}{299}\psarc(0,4){0.5}{270}{299}
}
\uput[u](0.7,4){C} \uput[l](0.22,1.4){Q} \uput[ur](2.62,2.08){P} \uput[dl](0,0){A} \uput[dl](1.3,-0.2){R} \uput[r](1.6,1.18){I} \uput[r](5.7,-1){B}
\rput(1,0.3){$a$}\rput(4.9,-0.7){$b$}\rput(0.7,3.1){$c$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

%%%%%%
\textbf{III - Variations du rayon et de l’aire du triangle rectangle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$ définie sur ]0~;~1[ par 
\[f(x) = p \dfrac{x(1 - x)}{1 + x},\]
où $p$ est un nombre réel strictement positif.

Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Soit $g$ la fonction de la variable réelle $b$ définie sur l’intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{4}\right[$ par $g(b) = f(\tan b).$

Étudier le sens de variation de la fonction $g$.
\item Pour quelle mesure $b$ de l’angle, le rayon du cercle inscrit dans le triangle rectangle ABC, de
périmètre $2p$ donné, est-il maximal ?
\item Exprimer, en fonction de $b$,l’aire $S(b)$ du triangle ABC.
\item Pour quelle mesure $b$ de l’angle, l’aire du triangle rectangle ABC, de périmètre $2p$ donné, est-elle maximale ?
\end{enumerate}
\end{document}