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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small épreuve 2}
\lfoot{\small{CAPES avec affectation à Mayotte 4 avril 2023}}
\rfoot{\small{}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES avec affectation à Mayotte Option mathématiques ~\decofourright\\[7pt]4 avril 2023 épreuve 2}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large Problème 1 : Vrai -Faux}
\vspace{-0.2cm}

\hrulefill

\medskip

\emph{Préciser si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse, puis justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'aire des mers et océans sur la Terre est d'environ 362 millions de km$^2$, pour une aire totale d'environ 510 millions de km$^2$. L'Océan Pacifique représente 46\,\% de la surface totale des mers et océans.

\textbf{Proposition :} l'Océan Pacifique représente plus d'un tiers de la surface de la Terre.
\item Le code d'accès à un immeuble est un nombre de cinq chiffres.

Ce code comporte un \og 1 \fg, un \og 2 \fg, un \og 7 \fg{} et deux fois le chiffre \og 8 \fg.

\textbf{Proposition:} on peut composer $60$ codes différents avec ces chiffres.
\item $A$ et $B$ sont deux évènements tels que $P(A) = 0,2,\:P_A(B) = 0,3$ et $P(A \cap B) = 0,56$. 

\textbf{Proposition:} les évènements $A$ et $B$ sont indépendants.
\item On considère un jeu pour lequel la probabilité de gagner est égale à $0,03$.

Une personne décide d'y jouer $n$ fois, chaque jeu étant indépendant des autres. 

\textbf{Proposition:} la probabilité que cette personne gagne au moins une fois au cours de ces $n$ parties est supérieure à 0,5 si et seulement si $n \geqslant 23$.
\item Un jeu consiste à lancer $20$ fois un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. 

À chaque lancer on gagne $6$~\euro{} si le nombre 1 apparait. La mise est de $15$~\euro. 

\textbf{Proposition:} On peut espérer un gain de $5$~\euro.
\item \textbf{Proposition:} $\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{2}}{4}\left(1 + \sqrt 3\right)$.
\item \textbf{Proposition:} l'équation $\cos 3x = \sin x$ admet six solutions dans l'intervalle $[0~;~2\pi]$.
\item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R^*$ telle que $f'(x) = 0$, pour tout réel $x$ non nul.

\textbf{Proposition:} il existe une constante réelle $k$ telle que, pour tout $x$ de $\R^*$,\: $f(x) = k.$
\item $f$ est la fonction définie sur $\R\backslash \{0\}$ par $f(x) = \dfrac{\sin (2x)}{x}$.

\textbf{Proposition:} La limite de $f$ en 0 est $+ \infty$.
\item Soit $P$ un polynôme de degré 3, à coefficients réels, et défini sur $\C$.

Soit $z$ une racine de P et soit $\overline{z}$ son conjugué.

\textbf{Proposition:} $\overline{z}$ est également une racine du polynôme $P$.
\item  Soit $\left(J_k\right)$ la suite définie par $J_k = \displaystyle\int_{\text{e}^{k-1}}^{\text{e}^k}\dfrac{\ln t}{t}\:\text{d}t$, pour tout entier naturel $k \geqslant 1$.

\textbf{Proposition:} pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$,\: $\displaystyle\sum_{k=1}^n J_k = \dfrac{n^2}{2}$.
\item  Le plan est muni d'un repère orthonormé \Ouv.

A est le point de coordonnées (0~;~1).

(E) est l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ vérifiant l'égalité:
\[\left|\left((1 - \text{i}\sqrt 3\right)z - \sqrt 3 - \text{i}\right|= 2.\] 

\textbf{Proposition:} (E) est le cercle de centre A et de rayon 1.
\item  Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $K_n = \displaystyle\int_1^{\text{e}} \dfrac{(\ln x)^n}{x^2}\:\text{d}x$.

\textbf{Proposition:} pour tout entier naturel $n$ non nul, $(n + 1)K_n - K_{n+1} = \dfrac{1}{\text{e}} $.
\item On considère le programme suivant écrit en langage Python :
\begin{center}
\begin{tabular}{l l}
1&def surprise(n) :\\
2&\quad k=0 \\
3&\quad u=1\\
4&\quad while k < n :\\
5&\quad \quad k=k+ 1\\
6&\quad \quad u=u*2\\
7& \quad return u
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Proposition :} surprise(4) renvoie la valeur 16.
\item \textbf{Proposition:} pour tout entier naturel $n$, le nombre $n^3 - n$ est divisible par 6.
\item \textbf{Proposition:} $3^{\np{2023}} + 6$ est divisible par $11$.
\item \textbf{Proposition :} pour tout entier relatif $k,\: (7k + 3)$ et $(2k + 1)$ sont premiers entre eux.
\item \textbf{Proposition:} il existe des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation 

$51x + 39y = 1$.
\item On pose $A = \dfrac{\ln 2}{\ln 3}$.

\textbf{Proposition:} $A$ est un nombre rationnel.
\item  Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + 2n + 3$ pour tout entier naturel $n$.

\textbf{Proposition :} tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont des carrés parfaits.
\end{enumerate}

\hrulefill

\textbf{\large Problème 2: suites}
\vspace{-0.2cm}

\hrulefill

\medskip

On considère :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^{-x}$ ;
\item[$\bullet~~$]la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1} = u_n \text{e}^{-u_n}$ ;
\item[$\bullet~~$]la suite $\left(S_n\right)$ définie, pour tout entier naturel n, par $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_k$.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Partie A- Étude de fonction} \boldmath $f$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
\item Étudier les variations de la fonction $f$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Étude de la suite } \boldmath $\left(u_n\right)$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: u_n > 0$.
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C - Étude de la suite }\boldmath $\left(S_n\right)$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de $\left(S_n\right)$.
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = \text{e}^{-S_n}$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(S_n\right)$.
\end{enumerate}

\hrulefill

\textbf{\large Problème 3: équation différentielle}
\vspace{-0.2cm}

\hrulefill

\medskip

Soit $m$ un nombre réel.

On considère l'équation différentielle 
\[\left(E_m\right)\: :\quad  y''- m^2y = 0.\]

Soit $h$ une fonction deux fois dérivable sur $\R$ vérifiant la propriété $\left(P_m\right)$ :

\begin{center}pour tout réel $x$,\: $h''(x) + 2mh'(x) = 0 \qquad \left(P_m\right)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, en fonction de $m$, l'expression de la fonction $h'$, puis celle de $h$.
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = h(x)\text{e}^{mx}$.

Démontrer que $f$ est une solution de $\left(E_m\right)$ si et seulement si $h$ vérifie la propriété $\left(P_m\right)$.
\item Résoudre l'équation différentielle $\left(E_m\right)$.
\item Le mouvement rectiligne du centre de gravité d'un solide est repéré sur un axe gradué d'origine O. On note $x$ la fonction donnant son abscisse en fonction du temps $t$.

À l'instant $t = 0$, le solide est au point d'abscisse 4 et sa vitesse est nulle.

$x$ est solution sur $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle $\left(E_{0,5}\right)$ :\: $y'' - 0,25y = 0$. 

Déterminer l'expression de la fonction $x$.
\end{enumerate}

\hrulefill

\textbf{\large Problème  4: distance entre deux droites de l'espace}
\vspace{-0.2cm}

\hrulefill

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.

$P$ est le plan d'équation : $2x + 5y - z + 20 = 0$.

$P'$ est le plan d'équation : $-2x + y+ z- 8 = 0$.

\medskip

\textbf{Partie A- intersection de deux plans}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que les plans $P$ et $P'$ sont sécants.

On notera $D$ la droite d'intersection des plans $P$ et $P'$.
\item Vérifier que le point A$(-4~;~-2~;~2)$ appartient à la droite $D$ puis déterminer un vecteur directeur de cette droite.

\item  Justifier que la droite $D$ a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& -4 + t\\
y &=& -2, \quad\text{où}\: t \in \R\\
z&=&\phantom{-} 2+2t
\end{array}\right.$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - position relative de deux droites}

\medskip

$\Delta$ est la droite de représentation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 5\\
y &=& 2 + t,\quad  \text{où }\: t \in \R\\
z&=&\phantom{2 +} t
\end{array}\right.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que les droites $D$ et $\Delta$ ne sont pas parallèles.
\item Justifier que les droites $D$ et $\Delta$ ne sont pas sécantes.
\item Que peut-on en déduire quant aux droites $D$ et $\Delta$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C- distance entre deux droites}

\medskip

Soit I$\left(x_1~;~y_1~;~z_1\right)$ un point de la droite $D$ et J$\left(x_2~;~y_2~;~z_2\right)$ un point de la droite $\Delta$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs des triplets $\left(x_1~;~y_1~;~z_1\right)$ et $\left(x_2~;~y_2~;~z_2\right)$ la droite (IJ) est-elle à la fois perpendiculaire à $D$ et à $\Delta$ ?
\item En déduire la valeur exacte de la distance entre les droites $D$ et $\Delta$.
\end{enumerate}
\end{document}