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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small épreuve 1}
\lfoot{\small{CAPES externe 12 avril 2022}}
\rfoot{\small{}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES avec affectation à Mayotte ~\decofourright\\[5pt]12 avril 2022 épreuve 2}}

\vspace{1cm}

\hrulefill

\textbf{\large Problème 1 : Vrai-Faux}
\vspace{-0.2cm}

\hrulefill

\end{center}

\emph{Préciser si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.\\ Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une anagramme est un mot obtenu par transposition des lettres d’un autre mot. 

\textbf{Proposition :} le nombre d’anagrammes du mot DENOMBRE est \np{20160}.
\item Une entreprise comprend 40 femmes et 70 hommes. Le salaire mensuel net moyen dans l’entreprise est de \np{1900} euros. Celui des hommes est de \np{2100} euros.

\textbf{Proposition :} dans cette entreprise, le salaire mensuel net moyen des femmes est de 35\,\% inférieur à celui des hommes.
\item \textbf{Proposition :} le produit de $3$ entiers naturels consécutifs est un multiple de $3$.
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.75\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item Deux engrenages A et B comportent respectivement 12 et 8 dents. L’engrenage A tourne dans le
sens direct. En position initiale, les flèches, marquant un repère, sont décalées de 3 crans.

\textbf{Proposition :} les flèches ne pourront jamais être alignées, quelle que soit la rotation effectuée.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.2\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(2.5,1.5)
%\psgrid
\def\engra{\pspolygon(0.6;-10)(0.6;10)(0.4;15)(0.4;30)
(0.6;35)(0.6;55)(0.4;60)(0.4;75)
(0.6;80)(0.6;100)(0.4;105)(0.4;120)
(0.6;125)(0.6;145)(0.4;150)(0.4;165)
(0.6;170)(0.6;190)(0.4;195)(0.4;210)
(0.6;215)(0.6;235)(0.4;240)(0.4;255)
(0.6;260)(0.6;280)(0.4;285)(0.4;300)
(0.6;305)(0.6;325)(0.4;330)(0.4;345)}
\def\engrb{\pspolygon(0.7;-5)(0.7;5)(0.5;10)(0.5;20)
(0.7;25)(0.7;35)(0.5;40)(0.5;50)
(0.7;55)(0.7;65)(0.5;70)(0.5;80)
(0.7;85)(0.7;95)(0.5;100)(0.5;110)
(0.7;115)(0.7;125)(0.5;130)(0.5;140)
(0.7;145)(0.7;155)(0.5;160)(0.5;170)
(0.7;175)(0.7;185)(0.5;190)(0.5;200)
(0.7;205)(0.7;215)(0.5;220)(0.5;230)
(0.7;235)(0.7;245)(0.5;250)(0.5;260)
(0.7;265)(0.7;275)(0.5;280)(0.5;290)
(0.7;295)(0.7;305)(0.5;310)(0.5;320)
(0.7;325)(0.7;335)(0.5;340)(0.5;350)}
\rput(1.8,0.9){\engra}
\rput(0.6,0.3){\engrb}
\psarc{->}(0.6,0.3){0.4}{0}{90}
\psline(0.6,0.3)(0.2,0.7)
\psline(1.8,0.9)(1.5,0.75)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit l’équation diophantienne $(E) :\quad 3x - 2y = - 1$.

\textbf{Proposition :} les couples de $\Z^2$ solutions de $(E)$ sont tous formés d’entiers relatifs de même signe.
\item \textbf{Proposition:} l’équation $4\sin^2 t - 3 = 0$ a exactement deux solutions dans l’intervalle $[0~;~2\pi]$.

\item À tout nombre complexe $z \ne=3$, on associe le nombre complexe $z'$ défini par : $z'= \dfrac{z- 5 + \text{i}}{z - 3}$.

\textbf{Proposition :} l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tel que $|z'| = 1$ est une droite privée d’un point.
\item Dans le plan muni d’un repère orthonormé \Oij, on considère les points E$(-1~;~0)$, F(5~;~0) et G (1~;~4).

\textbf{Proposition :} l’orthocentre du triangle EFG est le point H(1~;~2).
\item Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \Oijk, on considère :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]le plan $(P)$ de vecteur normal $\vect{n}(2~;~1~;~2)$ passant par le point A$(0~;~- 1~;~0)$ ;
\item[$\bullet~~$]le plan $(Q)$ d'équation cartésienne $x - 2y + 6z = 0$.
\end{itemize}

\textbf{Proposition :} les plans $(P)$ et $(Q)$ sont sécants selon une droite de vecteur directeur $\vect{u}(-1~;~2~;~0)$.
\item ABCD est un tétraèdre régulier : les six arêtes ont la même longueur $a\: (a \in \R\_{+}^*)$.

Deux arêtes sont dites opposées lorsqu’elles ne sont pas incluses dans une même face.

\textbf{Proposition :} les arêtes opposées du tétraèdre régulier ABCD sont orthogonales.
\item \textbf{Proposition :} toute suite convergente est monotone.

\item \textbf{Proposition :} toute suite non majorée tend vers $+\infty$.
\item Soit la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ définie par $u_0 =2$ et pour tout entier naturel $n,\:u_{n+1} = \sqrt{1 + u_n}$.

\textbf{Proposition :} la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est décroissante.
\item Soit $f$ une fonction strictement croissante sur l’intervalle $[-4~;~4]$ telle que $f(-4) = -3$ et $f(4) = 2$.

\textbf{Proposition :} l’équation $f(x) = 0$ admet exactement une solution dans l’intervalle $[-4~;~4]$.
\item Soit la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n\left(\text{e}^{\frac 1n} - 1\right)$.

\textbf{Proposition :} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 1$.
\item \textbf{Proposition :} pour tout réel $a$ positif ou nul, $\ln (1 + a) \leqslant a$.
\item On considère la suite $\left(I_n\right)_{n\in \N}$, définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :
\[I_n = \dfrac{1}{n!}\displaystyle\int_0^1  (1 - x)^n \text{e}^{-x}\:\text{d}x.\]

\textbf{Proposition :} pour tout entier naturel $n$ non nul : $I_{n+1} + I_n = \dfrac{1}{(n+1)!}$.
\item Soit l’équation différentielle $(E) :\quad  y' - 5y = 1$.

\textbf{Proposition :} si les fonctions $y_1$et $y_2$ sont solutions de l’équation différentielle $(E)$, alors la fonction $y_1 + y_2$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.
\item Soit la proposition $p$ : \og ABCD est un rectangle \fg{} et la proposition $q$ : \og ABCD est un quadrilatère ayant ses diagonales de même longueur \fg.

\textbf{Proposition :} $q \Rightarrow p$.
\item On considère la fonction Python Seuil :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
def Seuil(s) :\\
\qquad n=0\\
\qquad u=0.25\\
\qquad v = 0.75\\
\qquad while u < s :\\
\qquad \qquad u= 0.9*u+0.2*v\\
\qquad \qquad v=1-u\\
\qquad \qquad n=n+1\\
\qquad return n\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Proposition :} la valeur renvoyée par la commande Seuil(0.6) est le nombre 5.
\end{enumerate}

\bigskip

\hrulefill

\textbf{\large Problème 2 : lieu géométrique, fonction}
\vspace{-0.2cm}

\hrulefill

\medskip

\emph{Ce problème est constitué de deux parties indépendantes}

\medskip

\textbf{I - Lieu géométrique}

\medskip

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points J(0~;~1) et P(0~;~2), le cercle 
$(\mathcal{C})$ de centre J et de rayon 1 et la droite $(d)$ d’équation $y = 2$.

Soit A$\left(x_{\text{A}}~;~y_{\text{A}}\right)$ un point sur le cercle $(\mathcal{C})$ privé de O, l’origine du repère. On note :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]N le point d’intersection de la demi-droite [OA) et de la droite $(d)$.
\item[$\bullet~~$]$\left(\Delta_{\text{A}}\right)$ la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par A.
\item[$\bullet~~$]$\left(\Delta_{\text{N}}\right)$ la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par N.
\item[$\bullet~~$]$M\left(x_M~;~y_M\right)$ le point d’intersection des droites $\left(\Delta_{\text{A}}\right)$ et $\left(\Delta_{\text{N}}\right)$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $x_{\text{A}}^2 + \left(y_{\text{A}} - 1\right)^2 = 1$ et $\left(x_{\text{A}}~;~y_{\text{A}}\right) \ne (0~;~0)$.
\item Démontrer que $2x_{\text{A}} = x_My_M$.
\item En déduire que $x_M^2 y_M^2 + 4y_M^2 -8y_M =0$ puis que $y_M = \dfrac{8}{x_M^2 + 4}$.
\end{enumerate}

\emph{Le lieu géométrique du point M lorsque le point {\rm A} décrit le cercle $(\mathcal{C})$ privé de {\rm O} est appelé \og sorcière d’Agnési \fg.}

\bigskip

\textbf{II - Étude de fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{8}{x^2 +4}$ et $(\Gamma)$ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$ et étudier sa parité .
\item Démontrer que la courbe $(\Gamma)$ admet une unique asymptote que l’on déterminera. 
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
\item Étudier la convexité de la fonction $f$.
\item Représenter la courbe $(\Gamma)$ dans un repère orthonormé du plan.
\item Déterminer l’aire totale comprise entre l’axe des abscisses et la courbe $(\Gamma)$.
\end{enumerate}

\textbf{Indication :} la fonction arctan est définie et dérivable sur $\R$ et arctan$'(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$.

\bigskip

\hrulefill

\textbf{\large Problème 3 : suites}
\vspace{-0.2cm}

\hrulefill

On considère les suites $\left(u_n\right)_{n \in \N^*},\: \left(v_n\right)_{n \in \N^*}$ et 
$\left(w_n\right)_{n \in \N^*}$,définies pour tout entier naturel $n$ non nul par :
 k k=1 k2 
\[u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac 1k, \qquad v_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}, \qquad w_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^3}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Étude de la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N^*}$
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout $k \in \N^* ,\:\dfrac{1}{k+1} \leqslant \displaystyle\int_k^{k+1} \dfrac 1x \:\text{d}x \leqslant \dfrac 1k$.
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N^*}$ est divergente.
	\end{enumerate}
\item – Étude de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N^*}$
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N^*}$ est croissante.
		\item Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \N^*,\: v_n \leqslant 2 - \dfrac 1n$. n1 .
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N^*}$ est convergente.
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} = \dfrac{\pi^2}{6}$.
		
Écrire un algorithme qui calcule $v_{\np{1000}}$.

		\item L’exécution d’un algorithme calculant $v_{\np{1000}}$ donne :
		\[\np{1,643934566815615}\]
		
Préciser le nombre de décimales de $\pi$ obtenues par ce calcul.
	\end{enumerate}
\item – Étude de la suite $\left(w_n\right)_{n \in \N^*}$
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que  $\left(w_n\right)_{n \in \N^*}$ converge.
		\item La suite  $\left(w_n\right)_{n \in \N^*}$ converge vers la constante d’Apéry notée $\zeta(3)$ du nom du mathématicien qui a démontré son irrationalité en 1978.
\[\zeta(3) \approx \np{1,202 056 903 16}\]

Que signifie \og $\zeta(3)$ est irrationnelle \fg{} ?
		\item On considère le nombre $\beta = \dfrac{\pi^3}{\sqrt[6]{294542216}}$, on a $\beta \approx \np{1,20205690198}$.

Écrire un algorithme qui permet de justifier que la suite $\left(w_n\right)_{n \in \N^*}$ ne tend pas vers $\beta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\hrulefill

\textbf{\large Problème 4 : moyennes}
\vspace{-0.2cm}

\hrulefill

Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que : $0 < x < y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un cycliste effectue une montée de 10km à une vitesse moyenne de 10km/h, puis effectue la descente (sur le même trajet de 10 km) à la vitesse moyenne de 30 km/h.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la vitesse moyenne du cycliste sur l’ensemble du parcours?
		\item Exprimer, en fonction de $x$ et de $y$, la vitesse moyenne du cycliste sur le parcours lorsque la vitesse moyenne est de $x$ km/h lors de la montée et de $y$ km/h lors de la descente.
	\end{enumerate}
\item Soit un rectangle de côtés $x$ et $y$ et un carré de côté $c$, où $c \in \R_+^*$.

Exprimer $c$ en fonction de $x$ et de $y$ dans chacun des cas suivants :
	\begin{enumerate}
		\item Le carré et le rectangle ont le même périmètre.
		\item Le carré et le rectangle ont la même aire.
		\item Le carré et le rectangle ont des diagonales de même longueur.
		\item Le rapport des aires est égal au rapport des périmètres.
	\end{enumerate}
\item Soit un demi-cercle de centre O et de diamètre [AC] tel que AC $= x + y$.

B est le point du segment [AC] tel que AB $= x$.

D est le point du demi-cercle qui se projette orthogonalement en B sur [AC] et K le projeté orthogonal de B sur [OD].

Exprimer OD, DB et DK en fonction de $x$ et de $y$.
\item On donne les définitions de différentes moyennes de $x$ et de $y$ :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$a = \dfrac{x+y}{2}$ est la moyenne arithmétique de $x$ et de $y$.
\item[$\bullet~~$]$g = \sqrt{xy}$ est la moyenne géométrique de $x$ et de $y$.
\item[$\bullet~~$]$h = \dfrac{2xy}{x + y}$ est la moyenne harmonique de $x$ et de $y$.
\item[$\bullet~~$]$q = \sqrt{\dfrac{x^2 + y^2}{2}}$ est la moyenne quadratique de $x$ et de $y$.
\end{itemize}

Démontrer les propriétés suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $a, g, h$ et $q$ sont des réels strictement positifs.
		\item  $a^2 - g^2= \dfrac{(x - y^2)^2}{4}$.
		\item $g = \sqrt{ah}$.
		\item Le logarithme de la moyenne géométrique de deux nombres strictement positifs est la moyenne arithmétique des logarithmes de ces deux nombres.
	\end{enumerate}
\item Démontrer l’inégalité des moyennes: $x<h<g<a<q<y$.
\item Soient $n \in \N^*$ et $u_{n-1},\:u_n,\: u_{n+1}$ trois termes consécutifs d’une suite à termes strictement positifs.

Exprimer $u_n$ en fonction de $u_{n-1}$ et $u_{n+1}$ lorsque :
	\begin{enumerate}
		\item La suite est arithmétique.
		\item La suite est géométrique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}