\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,stmaryrd} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{accents} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{lscape} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{braket} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-node,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} %\newcommand{\P}{\mathbb{P}} %\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Roman{enumi}}} %\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} %\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\arabic{enumii}}} %\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} %\renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\alph{enumiii}}} %\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{$k$}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\,\text{e}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {CAPES 2018}, pdftitle = {épreuve 1 11 avril 2022}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small épreuve 1} \lfoot{\small{CAPES avec affectation à Mayotte juin 2021}} \rfoot{\small{}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants. \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~CAPES avec affectation à Mayotte Option mathématiques ~\decofourright\\[5pt]juin 2021 épreuve 1}} \vspace{1cm} \hrulefill \textbf{\large Exercice 1} \hrulefill \end{center} \emph{Les deux parties sont indépendantes.} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Dans un repère orthonormé du plan, on considère le point F(0~;~1) et la droite $(d)$ ayant pour équation $y = -1$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que l'ensemble des points équidistants du point F et de la droite (d) est la parabole $(\mathcal{P})$ d'équation $y = \dfrac14 x^2$. Soit M un point sur la parabole d'équation $y = \dfrac14 x^2$ d'abscisse non nulle. On note : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]H son projeté orthogonal sur la droite $(d)$. \item[$\bullet~~$]$\left(\Delta_M\right)$ la droite perpendiculaire à la droite $(d)$ passant par M. \item[$\bullet~~$]A un point sur la droite $\left(\Delta_M\right)$ distinct de M tel que le point M appartienne au segment [AH]. \item[$\bullet~~$](T$_{\text{M}})$ la tangente à la parabole $(\mathcal{P})$ au point M. \item[$\bullet~~$]Q le point d'intersection des droites $(d)$ et (T$_{\text{M}})$. \item[$\bullet~~$]B un point sur la droite (T$_{\text{M}})$ distinct de M tel que le point M appartienne au segment [BQ]. \end{itemize} \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture*}(-8,-2.1)(9.8,12) %\psgrid \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-8,-2.1)(9.8,12) \psline[linewidth=1.25pt](3,-2)(3,12)\psline[linewidth=1.25pt,](-8,-1)(11,-1)\uput[d](-6,-1){$(d) : y = - 1$} \psplot[plotpoints=2000,linestyle=dotted,linewidth=3pt,linecolor=red]{-7}{7}{x dup mul 4 div} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=2pt]{-7}{9}{1.5 x mul 2.25 sub} \uput[r](3,2.25){M}\uput[ur](0,1){F}\uput[dl](3,-1){H} \psdots[dotscale=1.5](5,5.25)(3,2.25)(3,7)(0.8,-1)(0,1)%BMA \uput[ur](3,7){A}\uput[r](5,5.25){B}\uput[dr](0.8,-1){Q} \psline[linewidth=1.25pt](3,2.25)(0,1) \psframe(3,-1)(3.2,-0.8) \psarc(3,2.25){1.}{60}{90}\psarc(3,2.25){1.}{235}{270}\psarc(3,2.25){1.}{205}{235} \uput[r](-6,9){\red $y = \dfrac14 x^2$}\uput[r](3,11){$\left(\Delta_M\right)$} \uput[dr](8,9.75){(T$_{\text{M}})$} \end{pspicture*} \end{center} \item \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi les angles $\widehat{\text{AMB}}$ et $\widehat{\text{HMQ}}$ sont égaux. \item Démontrer que FQ = QH. \item En déduire que les angles $\widehat{\text{AMB}}$ et $\widehat{\text{FMQ}}$ sont égaux. \item Citer une application physique de cette propriété. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \begin{minipage}{0.53\linewidth} \textbf{Partie B} \medskip Dans un repère du plan, on considère la parabole d'équation \[y = x^2.\] Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs. On note A et B les points de la parabole d'abscisse respectives et $-b$ et C le point d'intersection de la droite (AB) et de l'axe des ordonnées. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le point C a pour ordonnée $ab$. \end{enumerate} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.45\linewidth} \begin{center} \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture*}(-6,-2.1)(5,14) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-6,-2.1)(5,14) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-7}{7}{x dup mul} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-7}{7}{x 0.5 mul 7.5 add} \uput[r](3,9){A}\uput[l](-2.5,6.25){B} \uput[r](-3.5,12.25){$y = x^2$} \end{pspicture*} \end{center} \end{minipage} \medskip \begin{minipage}{0.53\linewidth} \begin{enumerate}[resume] \item Conformément à la figure ci-contre, on considère tous les points C obtenus en faisant varier les réels $a$ et $b$ de la question précédente dans $\N*\backslash \{1\}$. Quelle propriété vérifie l'ordonnée des points de l'axe des ordonnées de coordonnées entières qui ne sont pas atteints par cette construction ? \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\linewidth} \begin{center} \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture*}(-6,-2.1)(5,13.9) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-6,-2.1)(5,13.9) \psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dotted](0,20)(2,4)(-3,9) \uput[r](2,4){A}\uput[l](-3,9){B}\uput[ur](0,6){C} %\psline[linewidth=1.25pt,](-8,-1)(11,-1)\uput[d](-6,-1){$(d) : y = - 1$} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-7}{7}{x dup mul} %\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-7}{7}{x 1.3 mul 9.8 add} \multido{\n=5+2}{6}{\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dotted](3,9)(-2.5,\n)} \end{pspicture*} \end{center} \end{minipage} \bigskip \vspace{1cm} \hrulefill \textbf{\large Exercice 2} \hrulefill \medskip \textbf{Partie A : conjecture} \medskip Soit $a$ un nombre réel. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{l c l} u_0 &=&a\\ u_{n+1}&=&(n+1)u_n - \dfrac{1}{\text{e}} \end{array}\right.$ où e désigne la base du logarithme népérien. \medskip \begin{enumerate} \item Écrire, en langage Python, un algorithme \og suite \fg{} qui calcule et affiche les quinze premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ en fonction du réel $a$. \item Le tableau ci-dessous présente l'exécution d'un tel algorithme pour différentes valeurs de $a$. Conjecturer, selon la valeur de $a$, la nature de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{c X|}}\hline \multicolumn{2}{l}{$>>>$ suite(1)}&\multicolumn{2}{l}{$>>>$ suite(0.5)}&\multicolumn{2}{l}{$>>>$ suite(1-exp(- 1)))}\\ 0 &1&0&0.5&0&0.6321205588285577\\ 1 &0.6321205588285577 &1 &0.13212055882855767 &1 & 0.26424111765711533\\ 2 &0.896361676485673 &2 & -0.103638323514327 &2 & 0.16060279414278833\\ 3 &2.3212055882855767 &3 & -0.67879441171442334 &3 & 0.11392894125692266\\ 4 & 8.916942911970864 &4 & -3.0830570880291357 &4 & 0.08783632385624829\\ 5 &44.21683511868288 &5 &-15.783164881317122 &5 & 0.07130217810979911\\ 6 &264.93313127092586 &6 &-95.06686872907417 &6 & 0.059933627487352314\\ 7 &1854.1640394553094 &7 & -665.8359605446907 &7 & 0.05165595124002387\\ 8 &14832.944436201304 &8 & -5327.055563798697 &8 & 0.045368168748748605\\ 9 &133496.13204637056 &9 & -47943.867953629444 &9 & 0.04043407756729511\\ 10& 1334960.9525842643 &10 &-479439.0474157356 &10 & 0.03646133450150879\\ 11& 14684570.110547466 &11 & -5273829.889452533 &11 & 0.033195238345154365\\ 12& 176214840.95869014 & 12& -63285959.04130984 &12 & 0.03046341897041005\\ 13& 2290792932.0950923 & 13& -822717467.9049073 &13 & 0.028145005443888316\\ 14& 32071101048.963413 & 14& -11518044551.036583 &14 & 0.026150635042994086\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Partie B : cas où $a = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$} \medskip On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: \[v_n = \displaystyle\int_0^1 t^n\text{e}^{-t}\:\text{d}t.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $v_0$. \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : $v_{n+1} = (n+1)v_n - \dfrac{1}{\text{e}}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$. \item En déduire que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~1] : \[\dfrac{1}{\text{e}} \leqslant \text{e}^{-t} \leqslant 1.\] \item En déduire que pour tout entier naturel $n$ : \[0\leqslant v_n \leqslant \dfrac{1}{n + 1}.\] \item Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$ . \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : cas général} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : $u_n = v_n + n! \left(u_0 - v_0\right)$. \item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$ selon la valeur du réel $a$. \end{enumerate} \vspace{1cm} \hrulefill \textbf{\large Exercice 3} \hrulefill \begin{minipage}{0.5\linewidth} ABCDEFGH est un cube. I est le centre de la face ADHE et J est un point du segment [CG]. Il existe donc un réel $\alpha \in [0~;~1]$ tel que $\vect{\text{CJ}} = \alpha \vect{\text{CG}}$. On note $(d)$ la droite passant par I et parallèle à (FJ). On note K et L les points d'intersection de la droite $(d)$ et des droites (AE) et (DH) On se place dans le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}}~;~\vect{\text{AE}}\right)$. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.46\linewidth} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,6.4) \psframe(0.3,0.3)(4.3,4.3)%ABFE \psline(4.3,0.3)(6.3,1.9)(6.3,5.9)(4.3,4.3)%BCGF \psline(6.3,5.9)(2.3,5.9)(0.3,4.3)%GHE \psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(2.3,1.9)(2.3,5.9)%ADH \psline[linestyle=dashed](2.3,1.9)(6.3,1.9)%DC \uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[dr](4.3,0.3){B} \uput[r](6.3,1.9){C} \uput[ul](2.3,1.9){D} \uput[ul](0.3,4.3){E} \uput[u](4.3,4.3){F} \uput[ur](6.3,5.9){G} \uput[u](2.3,5.9){H} \uput[d](1.3,3.1){I} \uput[r](6.3,4.6){J} \uput[l](0.3,3){K} \uput[dr](2.3,3.25){L} \psline[linecolor=red](0.3,3)(4.3,4.3)(6.3,4.6)%KFJ \psline[linecolor=red,linestyle=dashed](0.3,3)(2.3,3.25)(6.3,4.6)%KLJ \psdots(1.3,3.1) \end{pspicture} \end{center} \end{minipage} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que les coordonnées des points K et L sont K$\left(0~;~0~;~1 - \dfrac a2\right)$ et L$\left(0~;~1~;~\dfrac a2\right)$. \end{enumerate} Pour quelle(s) valeur(s) de $\alpha$ le quadrilatère FJLK est-il \begin{enumerate}[resume] \item un parallélogramme ? \item un losange ? \item un rectangle ? \item un carré ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie $\alpha = \dfrac23$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point N projeté orthogonal de H sur le plan (FKJ) et en déduire que HN $= \dfrac{2}{\sqrt{11}}$. \item En déduire le volume de la pyramide HFJLK en unité de volume. \end{enumerate} \vspace{1cm} \hrulefill \textbf{\large Exercice 4} \hrulefill Modélisation de la trajectoire d'une particule On modélise le déplacement d'une particule de la façon suivante On considère que la particule emprunte un chemin comptant cinq positions : 0 ; 1 ; 2; 3 et 4. \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] À l'instant initial, la particule se trouve sur l'une des positions. \item[$\bullet~~$] À chaque instant, elle avance d'une position avec la probabilité $\dfrac34$ ou elle recule d'une position avec la probabilité $\dfrac14$. \item[$\bullet~~$] Le processus s'arrête lorsque la particule a atteint les positions $0$ ou $4$. \end{itemize} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-0.5,-1)(8.5,1) \cnodeput(0,0){1}{0}\cnodeput(2.5,0){2}{1}\cnodeput(5,0){3}{2}\cnodeput(7.5,0){4}{3}\cnodeput(10,0){5}{4} \ncarc[arcangleA=-40,arcangleB=-40,ArrowInside=->]{1}{2}\ncput*{$~0,75~$} \ncarc[arcangleA=40,,arcangleB=40,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3]{2}{3}\ncput*{$~0,75~$} \ncarc[arcangleA=40,,arcangleB=40,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3]{3}{4}\ncput*{$~0,75~$} \ncarc[arcangleA=40,,arcangleB=40,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3]{4}{5}\ncput*{$~0,75~$} \ncarc[arcangleA=40,arcangleB=40,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3]{2}{1}\ncput*{$~0,25~$} \ncarc[arcangleA=40,arcangleB=40,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3]{3}{2}\ncput*{$~0,25~$} \ncarc[arcangleA=40,arcangleB=40,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3]{4}{3}\ncput*{$~0,25~$} \end{pspicture} \end{center} Pour $n \in \{0~;~1~;~2~;~3~;~4\}$, on note $p_n$ la probabilité que la particule, partant de la position $n$ à l'instant initial s'arrête en position $0$. \bigskip \textbf{Partie A : conjectures et premiers résultats} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $p_1 \geqslant \dfrac14$. \item Démontrer que $p_2 \geqslant \dfrac{1}{16}$. \item Démontrer que $p_3 \geqslant \dfrac{1}{64}$. \end{enumerate} \item On a obtenu la copie d'écran ci-dessous en utilisant le langage Python. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{c X p{4.5cm}} 1&from math import *&\\ 2&import random&\\ 3& &Shell\\ 4&def marche(position\_initiale) : &$>>>$\\ 5&\quad position=position\_initiale &$>>>$ freq\_zero(1000000,1)\\ 6&\quad while position!=0 and position!=4:&0.324773\\ 7&\qquad hasard=random.random() &\\ 8&\qquad if hasard < 3/4: &$>>>$ freq\_zero(1000000,2)\\ 9&\qquad \quad position=position+1 & 0.099997\\ 10&\qquad else &$>>>$ freq\_zero(1000000,3)\\ 11&\qquad \quad position=position-1 &0.024848\\ 12&\quad return(position) &\\ 13& &\\ 14&def freq\_zero(nb\_marches,position\_initiale):&\\ 15&\quad compteur=0 &\\ 16&\quad for k in range (nb\_marches): &\\ 17&\qquad position=marche(position\_initiale) &\\ 18&\qquad if position==0: &\\ 19&\qquad \quad compteur=compteur+1 &\\ 20&\quad frequence=compteur/nb\_marches&\\ 21&\quad return(frequence) &\\ 22& &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Expliquer le rôle des deux fonctions \og marche \fg et \og freq\_zero \fg. \item Conjecturer les valeurs de $p_n$ pour $n \in \{1~;~2~;~3\}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que $p_0 = 1$ et que $p_4 = 0$. \item Justifier que pour $n \in \{1~;~2~;~3}$ :\:$p_n = \dfrac34p_{n+1} + \dfrac14p_{n-1}$. \item En déduire l'expression de $p_n$ en fonction de $n$. On pourra résoudre un système. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : plusieurs particules} \medskip On admet que $p_3 = 0,025$. \medskip \begin{enumerate} \item $100$ particules sont en position 3 à l'instant initial. On considère que le comportement de chacune des particules est indépendant. Quelle est la probabilité qu'au moins trois d'entre elles s'arrêtent en position zéro ? \item Combien faut-il de particules, dont le comportement est indépendant, en position 3 à l'instant initial pour être sûr, au risque 1\,\%, qu'au moins une d'entre elles s'arrête en position zéro ? \end{enumerate} \vspace{1cm} \hrulefill \textbf{\large Exercice 5} \hrulefill \begin{minipage}{0.7\linewidth} \emph{On souhaite déterminer le rayon et la hauteur qui minimisent l'aire de la surface latérale du cône droit pour un volume donné.} On considère un cône droit dont la base est un disque. On note $h$ sa hauteur, $r$ son rayon, $A$ l'aire de sa surface latérale et $V$ son volume. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Rappeler la formule donnant le volume V en fonction de r et de h. Aucune démonstration n'est demandée. \item Tracer un schéma du patron du cône et démontrer que : \[A = \pi r\sqrt{r^2 + h^2}.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.7\linewidth} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2,-0.5)(2,2.5) \psellipticarc[linewidth=1.25pt](0,0)(1.95,0.7){180}{360} \psellipticarc[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](0,0)(1.95,0.7){0}{180} \psline[linewidth=1.25pt](-1.95,0)(0,2.5)(1.95,0) \psline(0,2.5)(0,0)(1.35,0.5) \uput[l](0,1.25){$h$}\uput[dr](0.55,0.15){$r$} \psline(0,0.15)(0.2,0.2)(0.2,0.05) \end{pspicture} \end{minipage} \begin{enumerate}[resume] \item Dans cette question, le volume est fixé à 250 cm$^3$. Quelles formules doit-on inscrire dans les cellules A3, B2 et C2 pour construire la feuille de tableur ci-dessous en utilisant la recopie vers le bas ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B&C&D&E&F\\ \hline 1 &Rayon &Hauteur&Aire&&&\\ \hline 2&1&238,732415&750,00658&&&\\ \hline 3&2&59,683104&375,210492&&&\\ \hline 4&3&26,525824&251,593796&&&\\ \hline 5&4 &14,920776&194,120758&&&\\ \hline 6&5&9,549297&169,317757&&Volume&250\\ \hline 7&6 &6,631456&168,570482&&&\\ \hline 8&7 &4,87209&187,554024&&&\\ \hline 9&8 &3,730194&221,844455&&&\\ \hline 10&9&2,947314&267,766538&&&\\ \hline 11&10&2,387324& 322,987684&&&\\ \hline 12&11&1,972995&386,198962&&&\\ \hline 13&12&1,657864&456,686289&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Soit $A$ la fonction définie sur $\R_{+}^*$ qui au rayon $r$ associe l'aire $A$ de la surface latérale. \begin{enumerate} \item Démontrer que \[A(r) = \dfrac{\sqrt{\pi^2r^6 + 9V^2}}{r}.\] \item Déterminer en fonction de $V$ le rayon $r$ qui rend minimale l'aire de la surface latérale. \item Calculer une valeur approchée au mm près du rayon et de la hauteur qui minimisent l'aire de la surface latérale d'un cône de $250$ cm$^3$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}