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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small épreuve 1}
\lfoot{\small{CAPES avec affectation à Mayotte 3 avril 2023}}
\rfoot{\small{}}
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\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES avec affectation à Mayotte Option mathématiques ~\decofourright\\[5pt]3 avril 2023 épreuve 1}}
\end{center}

\medskip

\hrulefill

\textbf{Problème 1 : suite d'intégrales}
\vspace{-0.2cm}

\hrulefill

\medskip

On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$ , par 
\[I_n = \displaystyle\int_2^3 (x - 2)^n \text{e}^x\:\text{d}x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $I_0$.
\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(I_n\right)$.
\item La suite $\left(I_n\right)$ est-elle minorée ?
\item Établir la convergence de la suite $\left(I_n\right)$.
\item Exprimer $I_{n+1}$ en fonction de $I_n$.

En déduire les valeurs exactes de $I_1$ puis de $I_2$.
\item Soit $p$ un entier naturel non nul.

Écrire un algorithme, en langage Python, permettant de calculer $I_p$.
\end{enumerate}

\bigskip

\hrulefill

\textbf{\large Problème 2: complexes et médiatrices}
\vspace{-0.2cm}

\hrulefill

\medskip

Le plan est muni d'un repère \Ouv orthonormé direct.

On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}}A = 1$ et $z_{\text{B}} = 2$.

$\mathcal{C}$ est le cercle de centre A et de rayon 1. $T$ est la tangente au cercle $\mathcal{C}$ au point B.

Pour tout nombre réel $\theta$ de l'intervalle $]-\pi~;~\pi]$, on pose $z_{\theta} = (\cos \theta+ 1) + \text{i} \sin \theta$. 

On note $M_{\theta}$ le point du plan d'affixe $z_{\theta}$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une équation de la droite $T$.
\item Justifier que l'ensemble des points $M_{\theta}$ lorsque $\theta$ varie sur $]-\pi~;~\pi]$est le cercle e$\mathcal{C}$.
\item Que peut-on dire du point $M_{\theta}$ lorsque e = 0 ?
\item Les droites $\left(\text{O}M_{\theta}\right)$ et $T$ sont-elles sécantes quel que soit le nombre réel $\theta$ appartenant à l'intervalle $]-\pi~;~\pi]$ ?
\item Soit $\theta$ un réel non nul appartenant à l'intervalle $]-\pi~;~\pi]$.

Déterminer l'affixe du point $N$ appartenant au cercle $\mathcal{C}$ tel que le triangle O$M_{\theta}N$ soit rectangle en O.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B- \boldmath$\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ . On note M le point M$_{\frac{2\pi}{3}}$\unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que l'affixe du point $N$ défini dans la question A.5 est $z_{N} = \dfrac32 - \text{i}\dfrac{\sqrt 3}{2}$.
\item Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice $D$ du segment [MN].
\item K est le point d'intersection des droites (OM) et $T$.

L est le point d'intersection des droites (O$N$) et $T$ (on admet son existence).

Déterminer l'affixe du point I milieu du segment [KL].
\item En déduire une équation cartésienne de la médiatrice $D'$ du segment [KL].
\item Démontrer qu'il existe un point J équidistant des points N, M, K et L.

On déterminera ses coordonnées.
\end{enumerate}

\bigskip

\hrulefill

\textbf{\large Problème 3: géométrie dans l'espace}
\vspace{-0.2cm}

\hrulefill

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

On considère les points 
\begin{center}A$(-1~;~2~;~4)$, B(1~;~1~;~3), C$(-1~;~3~;~3)$ et D(3~;~3~;~5).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
\item Démontrer que la droite (BD) est orthogonale au plan (ABC).
\item Calculer le volume du tétraèdre ABCD.
\item Déterminer une équation du plan (ACD).
\item $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan (ACD).

$\Delta$ est la droite passant par B de vecteur directeur $\vect{n}$.

Déterminer les coordonnées du point H intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ACD).
\item Déterminer l'aire du triangle ACD.
\end{enumerate}

\bigskip

\hrulefill

\textbf{\large Problème 4: équation fonctionnelle}
\vspace{-0.2cm}

\hrulefill

On s'intéresse dans ce problème aux fonctions $f$ définies et continues sur $\R$ qui vérifient la propriété (E) :

\begin{center}Pour tous réels $x$ et $y$,\: $f(x + y) \times f(x - y) = (f(x))^2 \times  (f(y))^2$\quad  (E). \end{center}

\medskip

\textbf{Partie A - Existence d'une fonction satisfaisant la propriété (E)}

\medskip

Soit $m$ un nombre réel. On note $f_m$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[f_m(x) = \text{e}^{mx^2}.\]

Justifier que la fonction $f_m$ vérifie la propriété (E).

\bigskip

\textbf{Partie B - Propriétés des fonctions satisfaisant la propriété (E)}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $x^2 = x^4$.
\item En déduire que, si la fonction $f$ satisfait la propriété (E), alors $f(0) \in \{-1~;~0~;~1\}$.
\item Démontrer que, si $f$ est une fonction s'annulant en 0 et satisfaisant la propriété (E),
alors $f$ est la fonction nulle sur $\R$.
\item Soit $f$ une fonction satisfaisant la propriété (E).

Démontrer que, s'il existe un nombre réel non nul $a$ tel que $f(a) = 0$, alors, pour tout entier naturel $n,\:f\left(\dfrac{a}{2^n}\right) = 0$.

On admet que l'on peut en déduire que $f$ est la fonction nulle.
\item On suppose maintenant que $f$ vérifie la propriété (E) et que $f$ n'est pas la fonction nulle. 

Déduire de la question précédente que la fonction $f$ est soit strictement positive sur $\R$, soit strictement négative sur $\R$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C - Identification des fonctions strictement positives sur \boldmath $\R$\unboldmath{} satisfaisant la propriété (E)}

\medskip

Soit $f$ une fonction strictement positive sur $\R$ vérifiant la propriété (E).

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \ln [f(x)]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer, à l'aide de la question 2. de la partie B, que $g(0) = 0$.
\item Vérifier que, pour tous réels $x$ et $y$ : $g(x + y) + g(x - y) = 2(g(x) + g(y))$.
\item Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence et de la question précédente,
que, pour tout $n \in \N :\: g(n) = g(1) \times n^2$.
\item On admet que, pour tout $n \in  \N$ et tout $x \in \R$,\: $g(nx) = n^2 g(x)$.

Démontrer que, pour tout entier naturel $p$ non nul: $g\left(\dfrac 1p \right)  = \dfrac{g(1)}{p^2}$.

En déduire que, pour tout entier naturel $n$ et pour tout entier naturel $p$ non nul:

\[g\left(\dfrac np \right)  = \dfrac{n^2}{p^2}g(1).\]

\item On admet que, pour tout nombre réel $x$,\: $g(x) = g(1) \times  x^2$.

En déduire l'expression des fonctions $f$ définies, continues et strictement positives sur $\R$ qui vérifient la propriété (E).
\end{enumerate}
\end{document}