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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small épreuve 1}
\lfoot{\small{CAPES externe 11 avril 2022}}
\rfoot{\small{}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants.

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES avec affectation à Mayotte ~\decofourright\\[5pt]11 avril 2022 épreuve 1}}

\vspace{1cm}
\hrulefill

\textbf{\large Problème 1 : un pentagone non régulier}
\vspace{-0.2cm}

\hrulefill

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{A - Construction d'un pentagone paveur}

\medskip

\emph{Certains trottoirs de la ville du Caire sont pavés de pièces pentagonales non régulières. On s'intéresse à celles dont les cinq côtés ont même longueur.}

\smallskip

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points 
\begin{center}A$\left(- \dfrac32~;~0\right)$, \quad B$(-2~;~0)$,\quad  C$\left(\dfrac12~;~0\right)$ et D$\left(\dfrac32~;~0\right)$\end{center}.

On construit:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $\left(C_1\right)$ le cercle de centre B et de rayon 1 ;
\item[$\bullet~~$] $\left(C_2\right)$ le cercle de centre C et de rayon 1 ;
\item[$\bullet~~$] $\left(C_3\right)$ le cercle de centre A et de rayon 2 ;
\item[$\bullet~~$] $\left(C_4\right)$ le cercle de centre D et de rayon 2 ;
\item[$\bullet~~$] E et F les points d'intersection des cercles $\left(C_3\right)$ et $\left(C_4\right)$ tels que E est d'ordonnée positive ;
\item[$\bullet~~$] $\left(C_5\right)$ le cercle de centre E et de rayon 1 ;
\item[$\bullet~~$] G$_1$ et H$_1$ les points d'intersection de $\left(C_5\right)$ avec $\left(C_1\right)$ tels que G$_1$ est d'abscisse négative;
\item[$\bullet~~$] G$_2$ et H$_2$ les points d'intersection de $\left(C_5\right)$ avec $\left(C_2\right)$ tels que G$_2$ est d'abscisse positive.
\end{itemize}

L'élément de pavage étudié est le pentagone BCG$_2$EG$_1$.

\psset{unit=1.75cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-2.2)(2,2.4)
%\psgrid
\psaxes[Dx=10,Dy=10](0,0)(-2,-2.2)(2,2.5)
\psdots(-1.5,0)(-0.5,0)(0.5,0)(1.5,0)(0,1.32288)(-0.925,0.9)(0.4,0.4)(0.925,0.9)(-0.4,0.4)(0,-1.32288)
\uput[dl](-1.5,0){A} \uput[dl](-0.5,0){B} \uput[dr](0.5,0){C} \uput[dr](1.5,0){D}\uput[r](0,1.32288){E}
\uput[ul](-0.925,0.9){G$_1$}\uput[r](0.4,0.4){H$_1$}\uput[dl](0.925,0.9){G$_2$}\uput[l](-0.4,0.4){H$_2$}\uput[r](0,-1.32288){F}\uput[dr](0,0){O}
\pscircle(-0.5,0){1}\pscircle(0.5,0){1}\psarc(-1.5,0){2}{-45}{100}\psarc(1.5,0){2}{80}{280}
\pscircle(0,1.32288){1}
\uput[d](-1.2,-0.8){$(C_1)$}\uput[d](1.2,-0.8){$(C_2)$}
\uput[d](-1.5,2){$(C_3)$}\uput[d](1.5,2){$(C_4)$}
\uput[dl](0,2.3){$(C_5)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que E a pour coordonnées $\left(0~;~\dfrac{\sqrt 7}{2}\right)$.
\item Démontrer que l'angle BGE est droit.
\item Déterminer une équation cartésienne de chacun des cercles $(C_1)$ et $(C_5)$ puis justifier que le point G$_1$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{- \sqrt 7 -  4}{4}~;~\dfrac{\sqrt 7 + 1}{4}\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B - Pavage}

\medskip

On admet que le pentagone construit dans la partie A permet de paver le plan.
Quatre copies du motif pentagonal numérotées \textcircled{1}, \textcircled{2}, \textcircled{3} et \textcircled{1} ont été mises en évidence sur la figure ci-dessous.


%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(7.5,5)
\psframe(7.5,5)
%\psgrid
\def\motif{\psset{unit=0.2cm}
\pspolygon[linewidth=1.pt](4,0)(0,0)(-3.236,2.351)(-0.88,5.6)(4,4)}
\def\hexa{
\rput{198}(0,1){\motif}
\rput{378}(0,-1){\motif}
\rput{288}(0.52,0){\motif}
\rput{468}(-0.52,0){\motif}}
\multido{\n=1.40+3.05}{3}{\rput(\n,4.5){\hexa}}
\multido{\n=-0.10+3.05}{4}{\rput(\n,3){\hexa}}
\multido{\n=1.40+3.05}{3}{\rput(\n,1.5){\hexa}}
\multido{\n=-0.10+3.05}{4}{\rput(\n,0){\hexa}}
\rput(1.4,2){\textcircled{2}}\rput(2,3){\textcircled{1}}
\rput(3.4,1.5){\textcircled{4}}\rput(6.5,1.5){\textcircled{3}}
\end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%%%%%%

\begin{enumerate}
\item Déterminer une transformation du plan permettant de construire le pentagone \textcircled{2} à partir du pentagone \textcircled{1}. En préciser les éléments caractéristiques.
\item Déterminer de même une transformation du plan permettant de construire le pentagone \textcircled{3} à partir du pentagone \textcircled{1}.
\item Déterminer de même une transformation du plan permettant de construire le pentagone \textcircled{4} à partir du pentagone \textcircled{1}.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\begin{center}

\hrulefill

\textbf{\large Problème 2 : le pentagone régulier}
\vspace{-0.2cm}

\hrulefill
\end{center}

\bigskip

\textbf{A - Triangle et nombre d'or}

\bigskip
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
\pscircle(0,0){2.3}
%\psgrid
\pspolygon(2.3;0)(2.3;72)(2.3;144)(2.3;216)(2.3;288)
\psdots(2.3;0)(2.3;72)(2.3;144)(2.3;216)(2.3;288)(0,0)
\uput[r](2.3;0){E}\uput[ur](2.3;72){A}\uput[ul](2.3;144){B}\uput[l](2.3;216){C}\uput[dr](2.3;288){D}
\uput[dr](0,0){O}
\psline(2.3;72)(2.3;144)(2.3;216)(2.3;288)(2.3;144)(2.3;0)(2.3;72)(2.3;288)%ABCDBEAD
%\psline(2.3;72)(2.3;288)%AD
\uput[dr](0.72,0.52){B$'$}
\end{pspicture}
\end{center}

ABCDE est un pentagone régulier de côté 1, inscrit dans un cercle de centre O. 

On rappelle que les côtés sont tous de même longueur, et que les angles aux sommets formés par les côtés du pentagone sont de même mesure.
1 -
2 - 3 -
4 -
- 3n
\begin{enumerate}
\item Justifier que l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ mesure $\dfrac{3\pi}{5}$ radians.
\item Déterminer une mesure de chacun des angles du triangle ABD. 
\item Soit B$'$ le point d'intersection des segments [BE] et [AD].

Démontrer que les triangles ABB$'$ et ABD sont semblables.
\item On appelle $\varphi$ la longueur du segment [AD].
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que AB$' = \varphi - 1$, puis exprimer les longueurs des côtés des triangles ABB$'$ et ABD en fonction de $\varphi$.
		\item Démontrer que $\varphi$ est solution de l'équation $[1] :\quad X^2- X - 1 = 0$.
		\item En déduire la valeur de $\varphi$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B-Une approche avec les nombres complexes}

\medskip

Soit $\omega = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{5}} \in \C$.

Dans le plan complexe, les sommets d'un pentagone régulier sont les points A$_0$, A$_1$, A$_2$, A$_3$ et A$_4$ d'affixes respectives $1, \omega, \omega^2, \omega^3$ et $\omega^4$.

On pose $\alpha = \omega + \omega^4$ et $\beta = \omega^2 + \omega^3$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $1+ \omega + \omega^2 + \omega^3+ \omega^4 = 0$, puis que $\alpha + \beta= -1$ et $\alpha \beta = -1$.

En déduire que $\alpha$ et $\beta$ sont les solutions de l'équation $[2] :\quad X^2 + X - 1 = 0$.
\item Justifier que $\omega^4 = \dfrac{1}{\omega}$ et que $\overline{\omega}= \dfrac{1}{\omega}$.
\item En déduire que $\alpha = 2\cos \left(\dfrac{2\pi}{5}\right)$ et déterminer la valeur de $\cos \left(\dfrac{2\pi}{5}\right)$ en résolvant l'équation [2].
\item On considère les points B d'affixe i et C d'affixe $- \dfrac12$.

Le cercle de centre C passant par B coupe l'axe des réels en un point M d'abscisse positive et un
point N d'abscisse négative.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points M et N ont pour affixes respectives $\alpha$ et $\beta$.
		\item En déduire que la médiatrice du segment [OM] coupe le cercle unité en les points A$_1$ et A$_2$.
		\item Achever la construction du pentagone régulier A$_0$A$_1$A$_2$A$_3$A$_4$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\begin{center}
\hrulefill
\textbf{\large Problème 3 : urne de Polya}
\hrulefill
\end{center}

\emph{Ce problème est constitué de deux parties indépendantes.}

\medskip

Une urne contient des boules vertes et des boules blanches. 

Pour $n \in  \N^*$, on réalise $n$ fois l'opération :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]tirer au hasard une boule et regarder sa couleur;
\item[$\bullet~~$]remettre dans l'urne la boule et ajouter une boule de sa couleur. 
\end{itemize}

On note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$V_k$ l'évènement \og la $k$- ième boule tirée est verte\og, pour $1 \leqslant k \leqslant n$.
\item[$\bullet~~$]$X_n$ la variable aléatoire comptabilisant le nombre de boules vertes extraites à l'issue des $n$ opérations.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{A - Étude du cas n = 3}

\medskip

Dans cette partie, l'urne contient au départ une boule verte et trois boules blanches.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la probabilité de l'évènement $V_1$ \og la première boule tirée est verte\fg. 

Calculer $P_{V_1}\left(V_2\right)$ et $P_{\overline{V_1}}\left(V_2\right)$.
\item Calculer $P\left(V_1 \cap V_2\right)$ puis montrer que $P\left(V_2\right) = \dfrac14$.
\item Calculer $P_{V_2}\left(V_1\right)$ puis interpréter ce résultat dans le contexte du problème.
\item Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X_3$ ?
\item Donner la loi de probabilité de $X_3$.
\item Déterminer E$\left(X_3\right)$ et $V\left(X_3\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B - Étude de la composition de l'urne au bout de $n$ opérations}

\medskip

L'urne contient au départ une boule verte et une boule blanche.

Soit $n \in \N^*$, on réalise $n$ fois l'opération \og tirage \fg{} et \og ajout d'une boule dans l'urne \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier $k$ compris entre 0 et $n$, $P\left(X_n = k\right) = \dfrac{1}{n+1}$.
\item Reconnaitre la loi de probabilité de $X_n$ et déterminer son espérance et sa variance.
\item Compléter et recopier les lignes 6 et 8 du script de la fonction Python ci-dessous pour qu'elle
renvoie la proportion de boules vertes à l'issue d'une simulation de $n$ opérations.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c l|}\hline
3 &from random import\\
4&def proportion(n) :\\
5&\\
6&\qquad (a, b) = \ldots\ldots\\
7&\qquad  for i in range (n) :\\
8&\qquad  \quad if random() < \ldots\ldots\\
9&\qquad \qquad  a=a+1\\
10&\qquad \quad else :\\
11&\qquad \qquad b=b+1\\
12&\qquad return (a/(a+b))\\
13&\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

La fonction random() retourne un nombre pseudo aléatoire strictement compris entre 0 et 1.
\end{enumerate}
\end{document}