\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,stmaryrd}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{accents}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{lscape}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{braket}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.cm, right=3.cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
%\newcommand{\P}{\mathbb{P}}
%\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Roman{enumi}}}
%\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
%\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\arabic{enumii}}}
%\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
%\renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\alph{enumiii}}}
%\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{$k$}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\newcommand{\e}{\,\text{e}}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {CAPES 2024},
pdftitle = {épreuve 2 9 avril 2024},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}

\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small épreuve 2}
\lfoot{\small{CAPES externe 9 avril 2024}}
\rfoot{\small{„Preuve 2}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES À AFFECTATION LOCALE À MAYOTTE  ~\decofourright\\[7pt]Section mathématiques\\[7pt] 9 avril 2024 épreuve 2}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{Problème 1 : Vrai -Faux}}

\medskip

\emph{Préciser si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.}

\emph{Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $a$ est un nombre dont l'écriture décimale est \np{2,0242024} ... , la séquence $\overline{2024}$ se répétant indéfiniment.

Proposition : Il existe deux nombres entiers $p$ et $q$ tels que $a = \dfrac pq$.
\item Proposition : Une augmentation de 2\,\% suivie d'une augmentation de 5\,\% est plus importante qu'une augmentation de 5\,\% suivie d'une augmentation de 2\,\%.
\item Proposition : Si on augmente d'un point la note de tous les élèves d'une classe lors d'une évaluation, la moyenne et l'écart-type de cette évaluation augmentent d'un point.
\item Proposition: $\dfrac{21!}{10^6}$ est un nombre entier.
\item Un trajet est un enchainement de déplacements verticaux et horizontaux d'une unité. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1]
\psline[linewidth=1.75pt](0,0)(1,0)(1,1)(4,1)(4,2)(5,2)\uput[l](-0.4,0.1){Départ}\uput[r](5,1.8){Arrivée}
\end{pspicture}
\end{center}
Proposition: Le nombre de trajets les plus courts pour aller du départ à l'arrivée sur le
quadrillage ci-dessus est 21.
\item Dans un lot de \np{10000} appareils, \np{1000} présentent le défaut A, $800$ présentent le défaut B et $400$ présentent à la fois les défauts A et B.

Proposition : Les évènements \og présenter le défaut A \fg{} et \og présenter le défaut B \fg{} sont indépendants.
\item Il a été établi que le test de dépistage d'une maladie dans une population est:
\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item positif dans 96\,\% des cas pour une personne atteinte d'une maladie;
\item négatif dans 94\,\% des cas pour une personne qui n'est pas atteinte par la maladie.
\end{itemize}

On note $p$ la probabilité qu'une personne ayant eu un test positif soit atteinte par la maladie.

Proposition: Pour que $p$ soit supérieure à 0,9 il est nécessaire que plus de la moitié de la population soit atteinte par la maladie.
\item $n$ est un entier supérieur ou égal à 2. Une urne contient $n$ boules vertes, 4 boules rouges et 3 boules blanches. On tire simultanément et au hasard deux boules de l'urne.

Proposition : La probabilité de tirer deux boules de la même couleur est égale à $\dfrac{n^2 - n + 18}{(n +7)(n + 6)}$.
\item On considère la fonction $f$ définie sur ]0~;~2[ par $f(x) = \dfrac{\sqrt{2 + x} - \sqrt{2 - x}}{x}$.

Proposition: La limite de $f$ en 0 est $+\infty$.
\item On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{2 + \cos (x)}{\sqrt x}$.

 Proposition: La limite de $f$ en $+ \infty$ est $0$.
\item On considère l'intégrale $I = \displaystyle\int_0^{\pi} \e^x \cos (2x) \:\text{d}x$.

Proposition : $I = \dfrac{\e^{\pi} - 1}{5}$.
\item La figure ci-dessous représente trois carrés accolés.
\begin{center}
\psset{unit=2.2cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(3,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](0,0)(3,1)
\psline(3,1) \psline(1,0)(3,1)\psline(2,0)(3,1) 
\psarc(0,0){0.3}{0}{18.43}\psarc(1,0){0.3}{0}{26.57}\psarc(2,0){0.3}{0}{45}
\uput[ur](0.4,-0.02){$\alpha$}\uput[ur](1.4,-0.02){$\beta$}
\uput[ur](2.4,-0.02){$\gamma$}\uput[d](1.5,0){Proposition : $\alpha  + \beta = \gamma$.}
\end{pspicture}
\end{center}
\item Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.

On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2\e^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $z_{\text{B}} = \dfrac{3 - \text{i}}{2+\text{i}}$.

Proposition : La droite (AB) est parallèle à l'axe des ordonnées.
\item Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.

$(E)$ est l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tels que 

arg$\left(\dfrac{z - 1 + 2\text{i}}{z - 2}\right)= \dfrac{\pi}{2}\: [\pi]$.

Proposition: $(E)$ est une droite.
\item Soit $z$ un nombre complexe tel que $|z| = 1$.

Proposition: si $z'$ est un nombre complexe tel que $\left|z + z'\right| = 1$, alors $z' = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

{\Large \textbf{Problème 2: inégalités}}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose $h(x) =2x^3 - 3x^2 + 1$, pour tout $x \in \R$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $h$ sur $\R$.
		\item Quel est le signe de $h$ sur ]0~;~1]?
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ par 

$f(x) = 2 \sin(x) + \tan (x) - 3x$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x).$
		\item Déduire de la question 1. b. le signe de $2 \cos^3(x) - 3 \cos^2 (x) + 1$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$.
	\end{enumerate}
\item En déduire l'inégalité de Huygens :
\begin{center}$2 \sin(x) + \tan (x) \geqslant 3x$,\: pour tout $x \in  \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$.\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par 
\[g(x) = \sin (x) (4 - \cos (x)) - 3x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $g$ est décroissante sur $[0~;~+\infty[$.
\item En déduire que $\sin (x) (4 - \cos(x)) \leqslant 3x$, pour tout $x \in  [0~; +\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

En donnant à $x$ la valeur $\dfrac{\pi}{6}$, déduire des parties précédentes un encadrement de $\pi$.

\bigskip

{\Large \textbf{Problème 3 : équation différentielle}}

\medskip

On cherche à modéliser la quantité de principe actif d'un médicament dans l'organe visé en fonction du temps écoulé depuis la prise du médicament par un patient.

On est conduit à résoudre l'équation différentielle 
\[(E) :\quad  y'+ ky = \e^{-kt}\]
\begin{description}
\item[ ] $k$ est une constante strictement positive
\item[ ] $t$ est le temps exprimé en heures, avec $t \geqslant 0$
\item[ ] La quantité de principe actif est exprimée en unité médicamenteuse.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par: $g(t) = t\e^{-kt}$ est solution de $(E)$.
\item Démontrer qu'une fonction $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si la fonction $f - g$ est
solution de l'équation différentielle 
\[(E_0) :\quad  y' + ky = 0.\]

\item En déduire qu'une fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ si et seulement
si il existe un réel $a$ tel que pour tout $t \geqslant 0,\: f(t) = (t + a)\e^{-kt}$.
\end{enumerate}

On s'intéresse à la situation où la quantité de principe actif prise au départ est d'une unité médicamenteuse. On observe alors que le maximum de présence du principe actif dans l'organe visé chez le patient est atteint au bout d'une heure.

\begin{enumerate}[resume]
\item  En déduire que la situation peut alors être modélisée par la fonction $f$
 définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = (t + 1)\e^{- \frac{t}{2}}$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $f$ et interpréter ce résultat.

On considère que l'organisme a éliminé le médicament quand sa quantité dans l'organe visé est inférieure à $0,001$.
\item Déterminer, à la minute près, à quel moment cela se produit selon le modèle.
\item Calculer $\displaystyle\int_0^6 f(t)\:\text{d}t$ et donner une valeur approchée à $0,001$ unités près de la  quantité moyenne de principe actif durant les 6 premières heures selon le modèle.
\end{enumerate}

\bigskip

{\Large \textbf{Problème 4: géométrie dans l'espace}}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé (0; L.], k).

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item $a,\: b,\: c$ et $d$ sont des réels non tous nuls.
\item $\mathcal{P}$ est un plan d'équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$.
\item $\vect{n}$ est le vecteur normal au plan $\mathcal{P}$  de coordonnées $(a~;~ b~;~ c)$.
\item A est un point de l'espace de coordonnées $\left(X_{\text{A}}~;~Y_{\text{A}}~;~Z_{\text{A}}\right)$.
\item H est le projeté orthogonal du point A sur le plan $\mathcal{P}$.
\item B est un point du plan $\mathcal{P}$ de coordonnées $\left(X_{\text{B}}~;~Y_{\text{B}}~;~Z_{\text{B}}\right)$.
\item $d(\text{A},~ \mathcal{P})$ est la distance du point A au plan $\mathcal{P}$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\vect{n} \cdot \vect{\text{BA}} = aX_{\text{A}} + bY_{\text{A}} + cZ_{\text{A}} +d$.
\item Justifier l'égalité: $\left|\vect{n} \cdot \vect{\text{BA}}\right| = \left\|\vect{n}\right\| \times 
\left\|\vect{\text{HA}}\right\|$.
\item Etablir le résultat général : $d(\text{A}, \mathcal{P}) = \dfrac{\left|aX_{\text{A}} + bY_{\text{A}} + cZ_{\text{A}} +d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item ABCDEFGH est un cube de côté 1.
\item I et J sont les milieux respectifs des arêtes [AB] et [HG].
\item K est le centre de la face FGCB.
\item $\mathcal{S}$ est la sphère de centre K et de rayon $\dfrac{\sqrt 6}{6}$.
\end{itemize}

\smallskip
On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{D}~;~ \vect{\text{DA}}, \vect{\text{DC}}, \vect{\text{DH}}\right)$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(5,4.5)
\pspolygon(0.3,0.6)(3.1,0.3)(3.1,3.3)(0.3,3.6)%ABFE
\psline(3.1,0.3)(4.4,0.9)(4.4,3.9)(3.1,3.3)%BCGF
\psline(4.4,3.9)(1.5,4.2)(0.3,3.6)%GHE
\psline(3.1,0.3)(4.4,3.9)%BG
\psline(4.4,0.9)(3.1,3.3)%CF
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.6)(1.6,1.2)(4.4,0.9)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.6,1.2)(1.5,4.2)%DH
\uput[dl](0.3,0.6){A} \uput[dr](3.1,0.3){B} \uput[dr](4.4,0.9){C} \uput[ur](1.6,1.2){D}
\uput[ul](0.3,3.6){E} \uput[u](3.1,3.3){F} \uput[ur](4.4,3.9){G} \uput[u](1.5,4.2){H} 
\uput[dl](1.7,0.45){I} \uput[ur](2.95,4.05){J} \uput[r](3.75,2.1){K}
\psdots(0.3,0.6)(3.1,0.3)(4.4,0.9)(1.6,1.2)(3.1,3.3)(0.3,3.6)(3.1,3.3)(4.4,3.9)(1.5,4.2)(1.7,0.45)(2.95,4.05)(3.75,2.1)

\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le quadrilatère DIFJ est un losange et que son aire vaut $\dfrac{\sqrt 6}{2}$.
		\item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (DIF) est 
		
		$x - 2y + z = 0$.
		\item Calculer la distance du point E au plan (DIF).
		\item Déterminer le volume de la pyramide EDIFJ.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite (EK) est orthogonale au plan (DIF).
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EK).
		\item Déterminer les coordonnées du point M, intersection de la droite (EK)
et du plan (DIF).
		\item Démontrer que le point M appartient à la sphère $\mathcal{S}$.
		\item Démontrer que la sphère $\mathcal{S}$ est tangente au plan (DIF).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}