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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small épreuve 1}
\lfoot{\small{CAPES externe 8 avril 2024}}
\rfoot{\small{Épreuve 1}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES À AFFECTATION LOCALE À MAYOTTE  ~\decofourright\\[7pt]Section mathématiques\\[7pt] 8 avril 2024 épreuve 1}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\hrule \vspace{0.2cm}

{\Large \textbf{Problème 1 : autour des travaux de Sophie Germain}}
\vspace{0.2cm}
\hrule


\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Problème de Sophie Germain : \og Pour quelles valeurs de $n,\: n$ étant un nombre entier naturel,
le nombre $n^4 + 4$ est-il un nombre premier? \fg

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer qu'un nombre entier naturel $n$ pair ne peut pas être solution du problème de
Sophie Germain. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Un nombre entier se terminant par 1 peut-il être solution du problème ?
		\item Le nombre 3 est-il solution du problème?
		\item Expliquer pourquoi aucun entier naturel se terminant par 3, 7 ou 9 ne peut être
solution du problème.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $n$ entier naturel, si $n$ est un multiple de 5 non multiple de $10$, alors le nombre entier $n^4 + 4$ se termine par 9.
\item Vérifier que, pour tout $n$ entier naturel:
\[n^4 +4= \left(n^2 - 2n + 2\right)\left(n^2 + 2n + 2\right)\]
\item Déterminer la réponse au problème de Sophie Germain.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un nombre premier $p$ est dit nombre premier de Sophie Germain si $2p+1$ est aussi un nombre premier.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Citer un nombre premier qui est un nombre premier de SophieGermain.
\item Citer un nombre premier qui n'est pas un nombre premier de SophieGermain.

Une chaîne de Cunningham est une liste de nombres premiers $\left(p_1, p_2, \ldots , p_n\right)$ telle que pour tout $i$ compris entre 1 et $n$,/: $p_{i+1} = 2p_i + 1$.

(41, 83, 167) est une chaine de Cunningham de longueur 3.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la chaîne de Cunningham qui commence par 2.
		\item Quelle est la longueur de cette chaîne ?
	\end{enumerate}
	
La fonction \textbf{prem} écrite en langage Python teste si un nombre entier naturel strictement supérieur à 2 est premier.


\begin{tabular}{>{\texttt}l}
{\green def} prem(n) :\\
\quad {\green for i in} range (2, n) :\\
\quad \quad {\green if} n\%i=={\green 0} : \# \% donne le reste de la division de $n$ par $i$\\
\quad \quad \quad  {\green return} False\\
\quad \quad {\green return} True
\end{tabular}

\item Créer une fonction \textbf{premSG}, utilisant la fonction \textbf{prem}, qui permet de savoir si un nombre entier strictement supérieur à 2 est un nombre de Sophie Germain.
\end{enumerate}

\bigskip

\hrule\vspace{0.2cm}
{\Large \textbf{Problème 2: autour du nombre d'or}}
\vspace{0.2cm}\hrule

\medskip

On considère deux nombres réels strictement positifs $L$ et $l$ tels que $L > l$ et tels que le rapport $\dfrac{L+l}{L}$ est égal au rapport $\dfrac{L}{l}$. Le rapport obtenu se note $\varphi$ et est appelé le nombre d'or.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer les propositions suivantes:
	\begin{enumerate}
		\item $1 + \dfrac{1}{\varphi} = \varphi$.
		\item $\varphi$ est solution de l'équation $x^2 - x - 1 = 0$.
		\item $\varphi =\sqrt{1 + \varphi}$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre l'équation $x^2 - x - 1 = 0$ et donner une valeur approchée de $\varphi$ à $10^{-3}$près.

Soit $\varphi'$ la solution négative de l'équation $x^2 - x - 1 = 0$.

Démontrer que $\varphi' =  - \dfrac{1}{\varphi}$.
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.62\linewidth}
Le rectangle ABCD a pour longueur $a$ et pour largeur $b$
telles que $\dfrac ab= \varphi$.

Un tel rectangle est appelé rectangle d'or.

On construit le carré EBCF dans le rectangle ABCD tel que
E appartient à [AB] et F appartient à [DC].
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(5.2,3.4)
\psframe(0.2,0.4)(4.6,3)%DCBA
\psline(2,0.4)(2,3)%FE
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.2,0.2)(4.6,0.2)\uput[d](2.4,0.2){$a$}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(4.8,0.4)(4.8,3)\uput[r](4.8,1.7){$b$}
\uput[ul](0.2,3){A} \uput[ur](4.6,3){B} \uput[dr](4.6,0.4){C}
\uput[dl](0.2,0.4){D} \uput[d](2,0.4){F} \uput[u](2,3){E}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer que le rectangle AEFD est un rectangle d'or.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item $f$ est la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{1 + x}$
\item $g$ est la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = 1 + \dfrac 1x$
\item $\left(u_n\right)$ est la suite définie sur $\N$ par : $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \N,\:  u_{n+1} = f\left(u_n\right)$
\item $\left(v_n\right)$ est la suite définie sur $\N$ par: $v_0 = 1$ et pour tout $n \in \N,\: v_{n+1} = g\left(v_n\right)$
\item $I =[1~;~2]$
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f(I) \subset I$ et que $g(I) \subset I$..
		\item En déduire que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont bornées.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout $x \in [1~;~2],\: g(x) - g(\varphi) = - \dfrac{1}{x \varphi}(x - \varphi)$.
		\item Démontrer que, pour tout $n \in \N, \: v_n$ et $v_{n+1}$ sont de part et d'autre du nombre $\varphi$.
		\item Démontrer que, pour tout $n \in \N, \: \left|v_{n+1}- \varphi\right| \leqslant  \dfrac{1}{\varphi}\left|v_n - \varphi\right|$,
puis que, pour tout 

$n \in \N, \:  \left|v_n  - \varphi\right| \leqslant \left(\dfrac{1}{\varphi}\right)^n \left|1 - \varphi\right|$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(v_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item $\varphi$ est la solution positive de l'équation $x^2 - x - 1 = 0$
\item $\varphi'$ est la solution négative de l'équation $x^2 - x - 1 = 0$
\item $\left(F_n\right)$ est la suite définie, pour tout $n \in \N$, par $F_0 =1,\:F_1 = 1$ et $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$.
\item $\left(G_n\right)$ est la suite définie, pour tout $n \in \N$, par $G_n = \dfrac{1}{\sqrt 5}\left(\varphi^{n+1} - (\varphi')^{n+1}\right)$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $G_0$ et $G_1$.
\item Démontrer les deux propositions suivantes:
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $n \in \N,\: \varphi^{n+3} = \varphi^{n+2} + \varphi^{n+1}$
		\item Pour tout $n \in \N,\: (\varphi')^{n+3} = (\varphi')^{n+2} + (\varphi')^{n+1}$
		\item En déduire que, pour tout $n \in \N,\: G_{n+2} = G_{n+1} + G_n$.
	\end{enumerate}
\item Vérifier que les suites $\left(F_n\right)$ et $\left(G_n\right)$ sont égales.
\item En déduire, pour tout $n \in \N$, une expression de $F_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\bigskip

\hrule\vspace{0.2cm}
\textbf{\Large Problème 3 : géométrie dans l'espace}
\vspace{0.2cm}\hrule

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.

On considère les points A$(2~;~-1~;~0)$, B$(3~;~-1~;~2)$ et C(0~;~4~;~1).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que le triangle ABC est rectangle en A et calculer son aire.
\item Soit S(0~;~1~;~4). Démontrer que le point S n'est pas un point du plan (ABC).
\item Vérifier que les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point S sur le plan (ABC),
sont (2~;~2~;~3).
\item En déduire le volume du tétraèdre SABC.
\item Déterminer une valeur approchée de la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ASC}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\hrule\vspace{0.2cm}
\textbf{\Large Problème 4: fonctions}
\vspace{0.2cm}\hrule

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction et résolution d'une équation}

\medskip

On considère la fonction $f$ de la variable réelle $x$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par:

\[f(x) = \dfrac{\sqrt x}{\e^x}\]


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $f$ n'est pas dérivable en $0$.
		\item Justifier que la fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ puis que, sur cet intervalle, $f'(x)$ est du même signe que $1- 2x$.
		\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $x \in ]0~;~+\infty[$,
\begin{center}$f(x) = x$\quad équivaut à \quad $2x + \ln (x) = 0$.\end{center}
\item Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par 
\[h(x) = 2x + \ln (x).\]

	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $h$ et en déduire que l'équation $f(x) = x$ admet une
seule solution sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. On notera $\alpha$ cette solution.
		\item Justifier que $\alpha$ appartient à l'intervalle [0,4~;~0,5].
	\end{enumerate}
\item En déduire qu'il existe exactement deux réels solutions de l'équation 
\[x\e^x = \sqrt x.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : intégrale}

\medskip

Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par:

\[F(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\:\text{d}t \]
où $f$ est la fonction définie dans la partie A.

On ne cherchera pas à calculer $F$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $F$ est une fonction croissante. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $t \geqslant 0$, on a : $\sqrt t \leqslant t +\dfrac14$.
		\item En déduire que, pour tout $x \in [0~;~ +\infty[$ :
		\[F(x) \leqslant \displaystyle\int_0^x \e^{-t}\left(t + \dfrac14 \right)\:\text{d}t.\]
		
		\item Calculer l'intégrale :
		\[\displaystyle\int_0^x \e^{-t}\left(t + \dfrac14 \right)\:\text{d}t.\]
		\item En déduire que la fonction $F$ est majorée par $\dfrac54$.
		\item Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}