\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,stmaryrd} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{lscape} \usepackage{braket} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {CAPES 2018 }, pdftitle = {Épreuve 1 1\up{er} avril 2019}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Épreuve 2} \lfoot{\small{CAPES externe 2 avril 2019}} \rfoot{\small{}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe Option mathématiques ~\decofourright\\[5pt]session 2 avril 2019 Épreuve 2}} \end{center} \vspace{0,5cm} Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants. \begin{center} \textbf{\Large Problème \no 1} \end{center} {\large \textbf{Notations.} \medskip $\N$ désigne l'ensemble des entiers naturels et $\R$ l'ensemble des nombres réels. \bigskip \begin{center} \textbf{\Large Partie A : logarithme de base }\boldmath $a$ \unboldmath \end{center} \medskip \textbf{Rappel.} On appelle \emph{logarithme} toute fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$, dérivable, telle que : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] il existe un nombre réel $a$ non nul tel que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, \[f'(x) = \dfrac{a}{x}.\] \item[$\bullet~~$] $f(1) = 0$. \end{itemize} \medskip \textbf{I.} Soit $a$ un nombre réel non nul. Justifier qu'il existe un unique logarithme, que l'on notera $f_a$, tel que, pour tout nombre réel $x > 0$,\: $f'_a(x) = \dfrac{a}{x}$. Lorsque $a = 1$, on utilise la notation ln (logarithme népérien). \medskip \textbf{II.} Pour tout nombre réel $a$ non nul, exprimer $f_a$ à l'aide de ln. \medskip \textbf{III.} Montrer que, pour tout nombre réel $a$ non nul, tous nombres réels $x$, $y > 0$, \[f_a(xy) = f_a(x) + f_a(y).\] \emph{Indication} : on pourra étudier la fonction définie par $x \longmapsto f_a(xy)$. \medskip \textbf{IV.} Montrer que pour tout nombre réel $x > 0$, \[f_a\left(\dfrac{1}{x} \right) = - f_a(x).\] \medskip \textbf{V.} Soient $x$ un nombre réel strictement positif et $r$ un nombre rationnel. Montrer que $f_a\left(x^r\right) = rf_a(x)$. \emph{Indication} : on pourra commencer par le cas où $r$ est un entier naturel, puis celui où $r$ est un entier relatif, avant de conclure dans le cas où $r$ est un nombre rationnel. \medskip \textbf{VI.} Montrer que la fonction ln est strictement croissante. \medskip \textbf{VII.} Déterminer les limites quand $x$ tend vers $+\infty$ et quand $x$ tend vers $0$ de la fonction ln. \medskip \textbf{VIII.} Montrer que la fonction ln est une bijection de $]0~;~+\infty[$ sur $\R$. \medskip \textbf{IX.} Comment peut-on généraliser les résultats des questions \textbf{VI.} et \textbf{VIII.} au cas des logarithmes $f_a$ ? \bigskip \begin{center} \textbf{\Large Partie B : logarithme décimal} \end{center} \medskip \textbf{X.} Montrer qu'il existe un unique logarithme $f_a$ tel que $f_a(10) = 1$. Ce logarithme est noté Log et est appelé logarithme décimal. \medskip \textbf{XI.} Soit $N$ un nombre entier naturel dont l'écriture en base dix possède $n$ chiffres. Déterminer la partie entière de Log$(N)$. \medskip \textbf{XII.} Les exercices suivants sont proposés à une classe de terminale scientifique : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \begin{enumerate} \item Combien le nombre $4^{\np{2019}}$ possède t-il de chiffres ? \item Le niveau sonore $L$ (en dB) s'exprime en fonction de l'intensité $I$ $\left(\text{en W}. \text{m}^{-2}\right)$ selon la formule \[L = 10 \text{Log } \left(\dfrac{I}{I_0}\right),\] où $I_0 = 10^{-12}$ W $\cdot \text{m}^{-2}$ correspond à l'intensité sonore minimale à laquelle l'oreille est sensible pour un son de fréquence \np{1000} Hz. \begin{enumerate} \item Calculer le niveau sonore correspondant à une intensité sonore de $10^{-5}$~W $\cdot \text{m}^{-2}$. \item Quel est l'effet sur l'intensité sonore d'une augmentation du niveau sonore de $10$ dB ? \item Une balle lancée d'une hauteur de $2$ m atteint après chaque rebond 70\,\% de sa hauteur précédente et cesse de rebondir quand sa hauteur n'excède pas $1$~mm. Au bout de combien de rebonds cela se produira-t-il ? \end{enumerate} \end{enumerate}\hline \end{tabularx} \medskip Pour chacun de ces trois exercices, présentez une rédaction de la solution, telle que vous l'exposeriez à une classe de terminale scientifique. \medskip \begin{center} \textbf{\Large Partie C : calcul approché de valeurs du logarithme népérien} \end{center} \medskip \textbf{XIII.} Montrer que pour tout nombre réel $x \ne -1$ et tout entier $n \geqslant 1$, \[\dfrac{1}{1 + x} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k x^k + (- 1)^n \dfrac{x^n}{1 + x}.\] \medskip \textbf{XIV.} En déduire que pour tout nombre réel $x > -1$ et tout entier $n \geqslant 1$, \[\ln (1 + x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}( -1)^k\dfrac{x^{k+1}}{k+1} + \displaystyle\int_0^x (- 1)^n \dfrac{t^n}{1 + t}\:\text{d}t.\] \medskip \textbf{XV.} On suppose que $x \geqslant 0$. Montrer que \[\left|\displaystyle\int_0^x (- 1)^n \dfrac{t^n}{1 + t}\:\text{d}t\right| \leqslant \dfrac{x^{n+1}}{n+1}.\] \medskip \textbf{XVI.} On suppose que $- 1 < x \leqslant 0$. Montrer que \[\left|\displaystyle\int_0^x (- 1)^n \dfrac{t^n}{1 + t}\:\text{d}t\right| \leqslant \dfrac{1}{1 + x} \times \dfrac{|x|^{n+1}}{n+1}.\] \medskip \textbf{XVII.} En déduire que, si $-1 < x \leqslant 1$, la série de terme général $(- 1)^n\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ est convergente et que sa somme vaut $\ln (1 + x)$. On pourra raisonner par disjonction de cas. \medskip \textbf{XVIII.} Justifier que la série de terme général $(- 1)^n\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ diverge lorsque $|x| > 1$. \medskip \textbf{XIX.} À l'aide d'une calculatrice, déterminer une valeur de $n$ pour laquelle $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(- 1)^k\dfrac{x^{k+1}}{k+1}$ est une valeur approchée de $\ln (1 + x)$ à $10^{-8}$ près pour : \medskip \begin{enumerate} \item $x = \dfrac{1}{3}$. \item $x = \dfrac{1}{8}$. \item $x = 1$. \end{enumerate} \medskip \textbf{XX.} \begin{enumerate} \item Justifier que \[\ln (2) = \displaystyle\sum_{k=1}^{+ \infty} \dfrac{(- 1)^{k+1}}{k}.\] \item Soit $p$ un entier naturel non nul. On considère $R_p = \displaystyle\sum_{k=2p+1}^{+ \infty} \dfrac{(- 1)^{k+1}}{k}$. Montrer que \[R_p = \displaystyle\lim_{N \to + \infty} \sum_{k=p}^N \left(\dfrac{1}{2k+1} - \dfrac{1}{2k + 2}\right) = \displaystyle\lim_{N \to + \infty} \sum_{k=p}^N \dfrac{1}{(2k+1)(2k + 2)}.\] \item Soit $N$ un entier naturel non nul. Montrer que si $0 < p \leqslant N$, \[\displaystyle\sum_{k=p}^N \frac{1}{(2k+2)^2}\leqslant \displaystyle\sum_{k=p}^N \dfrac{1}{(2k+1)(2k+2)} \leqslant \displaystyle\sum_{k=p}^N \dfrac{1}{(2k+1)^2}.\] \item Soit $a$ un nombre réel strictement positif. Montrer que si $0 < p \leqslant N$, \[\displaystyle\int_p^{N+1} \dfrac{1}{(2x + a)^2}\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\sum_{k=p}^N \dfrac{1}{(2x + a)^2} \leqslant \displaystyle\int_{p-1}^{N}\dfrac{1}{(2k + a)^2}\:\text{d}x.\] \item En déduire que pour tout entier naturel non nul $p$, \[\dfrac{1}{4p + 4} \leqslant R_p \leqslant \dfrac{1}{4p - 2}.\] \item Montrer que $R_p$ est équivalent à $\dfrac{1}{4p}$ lorsque $p$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \medskip \textbf{XXI.} On se propose de calculer des approximation de $\ln (2)$ et $\ln (3)$. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $\ln (2)$ et $\ln (3)$ à l'aide de $\ln \left(1 + \dfrac{1}{3}\right)$ et $\ln \left(1 + \dfrac{1}{8}\right)$. \item Les calculs de la question \textbf{XIX.} ont donné les valeurs approchées à $10^{-8}$ près suivantes: \[\ln \left(1 + \dfrac{1}{3}\right) \approx \np{0,28768207} \qquad \ln \left(1 + \dfrac{1}{8}\right) \approx \np{0,11778304}.\] En déduire une valeur approchée de $\ln (2)$ et $\ln (3)$. Donner la précision de ces résultats. \end{enumerate} \medskip \textbf{XXII.} Montrer que pour tout $x \in ] - 1~;~1[$ et pour tout entier $n \geqslant 1$, \[\dfrac{1}{2}\ln \left(\dfrac{1 + x}{1 - x}\right) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{x^{2k+1}}{2k + 1} + \displaystyle\int_0^x \dfrac{t^{2n}}{1 - t^2}\:\text{d}t.\] \medskip \textbf{XXIII.} En déduire que si $x \in [0~;~1 [$, alors \[\left|\dfrac{1}{2}\ln \left(\dfrac{1 + x}{1 - x}\right) - \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{x^{2k+1}}{2k + 1}\right| \leqslant \dfrac{1}{1 - x^2} \dfrac{x^{2n+1}}{2n + 1}.\] \medskip \textbf{XXIV.} \begin{enumerate} \item Quelle valeur de $x$ doit-on choisir pour déduire de la question précédente une valeur approchée de $\ln (2)$ ? de $\ln (3)$ ? \item À l'aide de ces valeurs de $x$, donner une valeur de $n$ permettant d'obtenir des valeurs approchées de $\ln (2)$ et de $\ln (3)$ à $10^{-8}$ près. \item Comparer cette méthode d'approximation de $\ln (2)$ et $\ln (3)$ avec celle de la question \textbf{XXI.} \end{enumerate} \medskip \textbf{XXV.} On se propose de calculer des valeurs approchées de $\ln (n)$ pour tout nombre entier $n > 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi il suffit de calculer des valeurs de $\ln (p)$ pour $p$ nombre premier. \item Décrire une méthode pour calculer des valeurs approchées de $\ln (p)$ pour tout entier $n$ tel que $2 \leqslant n \leqslant 20$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\Large Problème \no 2} \end{center} \textbf{Notations.} \medskip $\N$ désigne l'ensemble des entiers naturels, $\Z$ l'ensemble des nombres relatifs et $\Q$ l'ensemble des nombres rationnels. L'ensemble des nombres rationnels positifs ou nuls est noté $\Q^{+}$. Pour $m$ et $n$ deux entiers naturels, $\llbracket m,~n \rrbracket$ désigne l'ensemble des entiers $k$ tels que $m \leqslant k \leqslant n$. On rappelle que, pour tout élément $x$ non nul de $\Q^{+}$, il existe un unique couple $(a,~ b)$ d'entiers naturels premiers entre eux tel que $x = \dfrac{a}{b}$. Le quotient $\dfrac{a}{b}$ est la forme fractionnaire irréductible (en abrégé, FFI) de $x$. Par convention, la forme fractionnaire irréductible de $0$ est $\dfrac{0}{1}$. \medskip \begin{center} \textbf{\Large Partie A : Somme des cancres} \end{center} \medskip \textbf{Définition.} Soient $x$ et $y$ deux éléments de $\Q^{+}$. Leur FFI respectives sont notées $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ ($a$, $b$, $c$, $d$ sont des entiers naturels, $b$ et $d$ sont non nuls, $a$ et $b$ sont premiers entre eux, $c$ et $d$ sont premiers entre eux). La somme des cancres de $x$ et $y$ est définie par: \[x \oplus y = \dfrac{a+c}{b + d}.\] \medskip \textbf{I. Question de cours.} Soient $a$, $b$, $n$ trois entiers relatifs, $a$ et $b$ étant non nuls. Montrer que PGCD$(a,~b) = \text{PGCD}(a,~b + na)$. \medskip \textbf{II.} Soient $x$ et $y$ deux rationnels positifs. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $x \oplus y$ est un rationnel positif. \item On note $\dfrac{a}{b}$ la FFI de $x$ et $\dfrac{c}{d}$ la FFI de $y$. La FFI de $x \oplus y$ est-elle toujours $\dfrac{a + c}{b + d}$ ? \end{enumerate} \medskip \textbf{III.} Chacune des affirmations suivantes est soit vraie soit fausse. Préciser pour chacune ce qu'il en est, en justifiant la réponse. \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout $x \in \Q^{+}$, $x \oplus 0 = x$. \item Pour tout $x \in \Q^{+}$, $x \oplus x = x$. \item Pour tous $x, y \in \Q^{+}$, $x \oplus y = y \oplus x$. \item Pour tous $x$, $y$, $z, \in \Q^{+}$, $x \oplus (y \oplus z) = (x \oplus y) \oplus z$. \item Pour tous $x,~y \in \Q^{+}$, non nuls, $\dfrac{1}{x} \oplus \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{x \oplus y}$. \item Pour tous $x~, y \in \Q^{+}$, pour tout entier naturel $n$,\: $(n + x) \oplus (n + y) = n + (x \oplus y)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{IV.} Soit $x$ et $y$ deux éléments de $\Q^{+}$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $x \oplus y = x$ si, et seulement si, $x = y$. \item Montrer que si $x < y$, alors $x < x \oplus y < y$. \end{enumerate} \medskip \textbf{V.} Interprétation géométrique. On se place dans un plan euclidien, muni d'un repère (O, I, J). Pour $x \in \Q^{+}$, de FFI $\dfrac{a}{b}$ on note $M_x$ le point de coordonnées $(b~;~a)$. \medskip \begin{enumerate} \item Soient $x,\,y \in \Q^{+}$, non nuls. Montrer que O, $M_{x \oplus y}$ et le milieu de $\left[M_x M_y\right]$ sont alignés. \item Qu'est la droite $\left(\text{O}M_{x \oplus y}\right)$ pour le triangle O$M_xM_y$ ?\end{enumerate} \medskip \textbf{VI.} Soient $x,~y \in \Q^{+}$, non nuls, de FFI respectives $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$. On suppose que $a > c$ et $b < d$. En utilisant l'aire de rectangles et de triangles rectangles, montrer que l'aire du triangle O$M_xM_y$ est \[\dfrac{ad - bc}{2}.\] \medskip \begin{center} \textbf{\Large Partie B : suites de Farey} \end{center} \medskip \textbf{Définition} : pour tout entier $n \geqslant 1$, la suite de Farey d'ordre $n$ est la suite dont les termes sont, rangés dans l'ordre croissant, tous les rationnels positifs compris entre $0$ et $1$ dont la FFI a un dénominateur inférieur ou égal à $n$. On note $F_n$ cette suite. Par exemple : \[\begin{array}{l c l} F_1&=&\left(\dfrac{0}{1}~;~\dfrac{1}{1}\right)\\ F_2& =&\left(\dfrac{0}{1}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{1}\right)\\ F_3& =&\left(\dfrac{0}{1}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{1}\right)\end{array}.\] \medskip \textbf{VII.} Déterminer $F_4,\: F_5$ et $F_6$. \medskip \textbf{VIII.} Soit $x \in \Q^{+}$ et soit $n$ un entier naturel non nul. Montrer que $x$ est un terme de la suite $F_n$ si, et seulement si, il existe $a, b \in \N$, $b$ non nul, tels que $x = \dfrac{a}{b}$ et $0 \leqslant a \leqslant b \leqslant n$. \medskip \textbf{IX.} Soit $n$ un entier naturel non nul. Montrer que les termes de $F_n$ sont aussi des termes de $F_{n+1}$. \medskip \textbf{X.} Montrer que si $x$ est un terme de la suite $F_n$ alors $1 - x$ également. \medskip \textbf{XI.} On considère l'application suivante : \[\theta : \left\{\begin{array}{l c l} \Q^{+}& \to& \N \times \N\\ x &\longmapsto&(a,~b) \text{ tel que }\:\dfrac{a}{b}\: \text{est la FFI de } x. \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $\theta$ est injective. \item Montrer que $\theta$ n'est pas surjective. \emph{Indication} : on pourra montrer que (2~;~2) n'appartient pas à $\theta \left(\Q^{+}\right)$. \item Soit $x$ un élément de la suite $F_n$, non nul. Montrer que $\theta(x) \in \llbracket 1,~n\rrbracket \times \llbracket 1,~n\rrbracket$. \item On note $f_n$ le nombre de termes de $F_n$. Montrer que $f_n \leqslant n^2 + 1$ et que l'égalité n'est satisfaite que si $n = 1$. \end{enumerate} \medskip \textbf{XII.} Soit $n$ un entier naturel non nul. L'indicatrice d'Euler de $n$ est l'entier défini par \[\varphi(n) = \text{card}\left(\left\{k \in \llbracket 1,~n\rrbracket, \text{PGCD}(k,~n) = 1\right \}\right).\] Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, \[f_n = 1 + \displaystyle\sum_{k=1}^n \varphi(k).\] \medskip \begin{center} \textbf{\Large Partie C : éléments consécutifs des suites de Farey} \end{center} \medskip \textbf{XIII.} Soit $n$ un entier naturel non nul et soient $x$ et $y$ deux termes consécutifs de la suite $F_{n+1}$ On suppose qu'aucun des deux n'est un terme de $F_n$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $k \in \llbracket 0,~ n \rrbracket$ tel que $x = \dfrac{k}{n+1}$ et $y = \dfrac{k+1}{n+1}$. \item Montrer que $x < \dfrac{k}{n} < y$. \item Montrer que si $x$ et $y$ sont deux termes consécutifs de la suite $F_{n+1}$, alors au moins l'un des deux est un élément de $F_n$. \end{enumerate} \medskip \textbf{XIV.} Le but de cette question est de démontrer, pour tout entier $n \geqslant 1$, la propriété $\left(P_n\right)$ : \og si $x$ et $y$ sont, dans cet ordre, deux termes consécutifs de la suite de Farey $F_n$, dont les FFI respectives sont $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$, alors $bc - ad = 1$ et $x \oplus y$ est la première fraction qui apparaît entre $x$ et $y$ dans une suite de Farey d'ordre $m$ strictement supérieur à $n$. \fg \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer $\left(P_1\right)$. \item On suppose que, pour un certain entier $n \geqslant 1$, la propriété $\left(P_n\right)$ est vraie. Soit alors $x$ et $y$ deux termes consécutifs (dans cet ordre) de $F_{n+1}$ dont les FFI respectives sont $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$. On rappelle que, dans ce cas, $x$ ou $y$ est un élément de $F_n$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $x$ et $y$ sont des éléments de $F_n$, alors $bc - ad = 1$ et $x \oplus y$ est la première fraction qui apparaît entre $x$ et $y$ dans une suite de Farey d'ordre strictement supérieur à $n + 1$. \item On suppose dans tout ce qui suit que $x$ est un terme de $F_n$ et que $y$ n'est pas un terme de $F_n$. Soit $z$ le successeur de $x$ dans $F_n$ et $z = \dfrac{r}{s}$ la FFI de $z$. Montrer que $\dfrac{a + r}{b + s}$ est une fraction irréductible comprise entre $x$ et $z$. \item Montrer que $x < y < z$ puis que $y = x \oplus z$. \item En déduire que $c = a + r$ et $d = b + s$. \item Déduire que $bc - ad = rd - sc = 1$. \item Soit $\dfrac{p}{q}$ la première fraction irréductible qui apparaît entre $x$ et $y$ dans une suite de Farey $F_m$ d'ordre $m$ strictement supérieur à $n + 1$. On pose $u = qc - pd$ et $v = pb - aq$. Montrer que $u$ et $v$ sont des entiers naturels non nuls et que \[\left\{\begin{array}{l c l} au + cv &=& p,\\ bu + dv &=& q. \end{array}\right.\] \item Déduire que $x \oplus y$ apparaît dans une suite $F_{m'}$ avec $n + 1 < m' \leqslant m$ et que \[x < x \oplus y < y.\] \item En déduire que $x \oplus y = \dfrac{p}{q}$. \end{enumerate} \item Conclure. \end{enumerate} \medskip \textbf{XV.} Applications \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que si $b$ et $d$ sont les FFI de deux termes successifs d'une suite de Farey $F_n$, alors $\dfrac{a + c}{b + d}$ est une fraction irréductible. \item Soient $x$, $y$ et $z$ trois termes consécutifs d'une suite de Farey $F_n$ de FFI respectives sont $\dfrac{a}{b}$,\: $\dfrac{c}{d}$, \:$\dfrac{c}{f}$. Montrer que $bc - ad = de - fc$ puis que $y = x \oplus z$. \end{enumerate} \end{document}