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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve 2}
\lfoot{\small{CAPES externe 2 avril 2019}}
\rfoot{\small{}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe  Option mathématiques ~\decofourright\\[5pt]session 2 avril 2019  Épreuve 2}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants.

\begin{center}
\textbf{\Large Problème \no 1}
\end{center}

{\large \textbf{Notations.}

\medskip

$\N$ désigne l'ensemble des entiers naturels et $\R$ l'ensemble des nombres réels.

\bigskip
\begin{center}
\textbf{\Large Partie A : logarithme de base }\boldmath $a$ \unboldmath
\end{center}

\medskip

\textbf{Rappel.} On appelle \emph{logarithme} toute fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$, dérivable, telle que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] il existe un nombre réel $a$ non nul tel que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif,
\[f'(x) = \dfrac{a}{x}.\]
\item[$\bullet~~$] $f(1) = 0$.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{I.} Soit $a$ un nombre réel non nul. Justifier qu'il existe un unique logarithme, que l'on notera $f_a$, tel que, pour tout nombre réel $x > 0$,\: $f'_a(x) = \dfrac{a}{x}$. Lorsque $a = 1$, on utilise  la notation ln (logarithme népérien).

\medskip

\textbf{II.} Pour tout nombre réel $a$ non nul, exprimer $f_a$ à l'aide de ln.

\medskip

\textbf{III.} Montrer que, pour tout nombre réel $a$ non nul, tous nombres réels $x$, $y > 0$,

\[f_a(xy) = f_a(x) + f_a(y).\]

\emph{Indication} : on pourra étudier la fonction définie par $x \longmapsto f_a(xy)$.

\medskip

\textbf{IV.} Montrer que pour tout nombre réel $x > 0$,

\[f_a\left(\dfrac{1}{x} \right) = - f_a(x).\]

\medskip

\textbf{V.} Soient $x$ un nombre réel strictement positif et $r$ un nombre rationnel. Montrer que
$f_a\left(x^r\right) = rf_a(x)$.

\emph{Indication} : on pourra commencer par le cas où $r$ est un entier naturel, puis celui où $r$ est un entier relatif, avant de conclure dans le cas où $r$ est un nombre rationnel.

\medskip

\textbf{VI.} Montrer que la fonction ln est strictement croissante.

\medskip

\textbf{VII.} Déterminer les limites quand $x$ tend vers $+\infty$ et quand $x$ tend vers $0$ de la fonction ln.

\medskip

\textbf{VIII.} Montrer que la fonction ln est une bijection de $]0~;~+\infty[$ sur $\R$.

\medskip

\textbf{IX.} Comment peut-on généraliser les résultats des questions \textbf{VI.} et \textbf{VIII.} au cas des logarithmes $f_a$ ?


\bigskip
\begin{center}
\textbf{\Large Partie B : logarithme décimal}
\end{center}
\medskip

\textbf{X.} Montrer qu'il existe un unique logarithme $f_a$ tel que $f_a(10) = 1$.
Ce logarithme est noté Log et est appelé logarithme décimal.

\medskip

\textbf{XI.} Soit $N$ un nombre entier naturel dont l'écriture en base dix possède $n$ chiffres. Déterminer la partie entière de Log$(N)$.

\medskip

\textbf{XII.} Les exercices suivants sont proposés à une classe de terminale scientifique :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\begin{enumerate}
\item Combien le nombre $4^{\np{2019}}$ possède t-il de chiffres ?
\item Le niveau sonore $L$ (en dB) s'exprime en fonction de l'intensité $I$ $\left(\text{en  W}. \text{m}^{-2}\right)$ selon la formule

\[L = 10 \text{Log } \left(\dfrac{I}{I_0}\right),\]

où $I_0 = 10^{-12}$ W $\cdot \text{m}^{-2}$ correspond à l'intensité sonore minimale à laquelle l'oreille est sensible pour un son de fréquence \np{1000} Hz.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le niveau sonore correspondant à une intensité sonore
de $10^{-5}$~W $\cdot \text{m}^{-2}$.	
		\item Quel est l'effet sur l'intensité sonore d'une augmentation du niveau sonore
de $10$ dB ?
\item Une balle lancée d'une hauteur de $2$ m atteint après chaque rebond 70\,\% de sa
hauteur précédente et cesse de rebondir quand sa hauteur n'excède pas $1$~mm.
		
Au bout de combien de rebonds cela se produira-t-il ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}\hline
\end{tabularx}

\medskip

Pour chacun de ces trois exercices, présentez une rédaction de la solution, telle que
vous l'exposeriez à une classe de terminale scientifique.

\medskip

\begin{center}
\textbf{\Large Partie C : calcul approché de valeurs du logarithme népérien}
\end{center}

\medskip

\textbf{XIII.} Montrer que pour tout nombre réel $x \ne -1$ et tout entier $n \geqslant 1$,

\[\dfrac{1}{1 + x} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k x^k + (- 1)^n \dfrac{x^n}{1 + x}.\]

\medskip

\textbf{XIV.} En déduire que pour tout nombre réel $x > -1$ et tout entier $n \geqslant 1$,

\[\ln (1 + x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}( -1)^k\dfrac{x^{k+1}}{k+1} + \displaystyle\int_0^x (- 1)^n \dfrac{t^n}{1 + t}\:\text{d}t.\]

\medskip

\textbf{XV.} On suppose que $x \geqslant 0$. Montrer que

\[\left|\displaystyle\int_0^x (- 1)^n \dfrac{t^n}{1 + t}\:\text{d}t\right| \leqslant \dfrac{x^{n+1}}{n+1}.\]

\medskip

\textbf{XVI.} On suppose que $- 1 < x \leqslant 0$. Montrer que

\[\left|\displaystyle\int_0^x (- 1)^n \dfrac{t^n}{1 + t}\:\text{d}t\right| \leqslant \dfrac{1}{1 + x} \times \dfrac{|x|^{n+1}}{n+1}.\]

\medskip

\textbf{XVII.}

En déduire que, si $-1 < x \leqslant 1$, la série de terme général $(- 1)^n\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ est convergente et que sa somme vaut $\ln (1 + x)$. On pourra raisonner par disjonction de cas.

\medskip

\textbf{XVIII.} Justifier que la série de terme général $(- 1)^n\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ diverge lorsque $|x| > 1$.

\medskip

\textbf{XIX.} À l'aide d'une calculatrice, déterminer une valeur de $n$ pour laquelle $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(- 1)^k\dfrac{x^{k+1}}{k+1}$
est une valeur approchée de $\ln (1 + x)$ à $10^{-8}$ près pour :
\medskip

\begin{enumerate}
\item $x = \dfrac{1}{3}$.
\item $x = \dfrac{1}{8}$.
\item $x = 1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{XX.} \begin{enumerate}
\item Justifier que

\[\ln (2) = \displaystyle\sum_{k=1}^{+ \infty} \dfrac{(- 1)^{k+1}}{k}.\]

\item  Soit $p$ un entier naturel non nul. On considère $R_p = \displaystyle\sum_{k=2p+1}^{+ \infty}  \dfrac{(- 1)^{k+1}}{k}$. Montrer que

\[R_p = \displaystyle\lim_{N \to + \infty} \sum_{k=p}^N \left(\dfrac{1}{2k+1} - \dfrac{1}{2k + 2}\right) = \displaystyle\lim_{N \to + \infty} \sum_{k=p}^N \dfrac{1}{(2k+1)(2k + 2)}.\]

\item  Soit $N$ un entier naturel non nul. Montrer que si $0 < p \leqslant N$,

\[\displaystyle\sum_{k=p}^N \frac{1}{(2k+2)^2}\leqslant \displaystyle\sum_{k=p}^N \dfrac{1}{(2k+1)(2k+2)} \leqslant \displaystyle\sum_{k=p}^N \dfrac{1}{(2k+1)^2}.\]

\item  Soit $a$ un nombre réel strictement positif. Montrer que si $0 < p \leqslant N$,

\[\displaystyle\int_p^{N+1} \dfrac{1}{(2x + a)^2}\:\text{d}x \leqslant  \displaystyle\sum_{k=p}^N \dfrac{1}{(2x + a)^2} \leqslant \displaystyle\int_{p-1}^{N}\dfrac{1}{(2k + a)^2}\:\text{d}x.\]

\item  En déduire que pour tout entier naturel non nul $p$,

\[\dfrac{1}{4p + 4} \leqslant R_p \leqslant \dfrac{1}{4p - 2}.\]

\item  Montrer que $R_p$ est équivalent à $\dfrac{1}{4p}$ lorsque $p$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{XXI.} On se propose de calculer des approximation de $\ln (2)$ et $\ln (3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $\ln (2)$ et $\ln (3)$ à l'aide de $\ln \left(1 + \dfrac{1}{3}\right)$ et $\ln \left(1 + \dfrac{1}{8}\right)$.
\item  Les calculs de la question \textbf{XIX.} ont donné les valeurs approchées à $10^{-8}$ près suivantes:

\[\ln \left(1 + \dfrac{1}{3}\right) \approx  \np{0,28768207} \qquad  \ln \left(1 + \dfrac{1}{8}\right) \approx  \np{0,11778304}.\]

En déduire une valeur approchée de $\ln (2)$ et $\ln (3)$. Donner la précision de ces
résultats.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{XXII.} Montrer que pour tout $x \in ] - 1~;~1[$ et pour tout entier $n \geqslant 1$,

\[\dfrac{1}{2}\ln \left(\dfrac{1 + x}{1 - x}\right) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{x^{2k+1}}{2k + 1} + \displaystyle\int_0^x \dfrac{t^{2n}}{1 - t^2}\:\text{d}t.\]

\medskip

\textbf{XXIII.} En déduire que si $x \in [0~;~1 [$, alors
\[\left|\dfrac{1}{2}\ln \left(\dfrac{1 + x}{1 - x}\right) - \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{x^{2k+1}}{2k + 1}\right| \leqslant  \dfrac{1}{1 - x^2} \dfrac{x^{2n+1}}{2n + 1}.\]

\medskip

\textbf{XXIV.} \begin{enumerate}
\item Quelle valeur de $x$ doit-on choisir pour déduire de la question précédente une
valeur approchée de $\ln (2)$ ? de $\ln (3)$ ?
\item À l'aide de ces valeurs de $x$, donner une valeur de $n$ permettant d'obtenir des
valeurs approchées de $\ln (2)$ et de $\ln (3)$ à $10^{-8}$ près.
\item Comparer cette méthode d'approximation de $\ln (2)$ et $\ln (3)$ avec celle de la question \textbf{XXI.}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{XXV.} On se propose de calculer des valeurs approchées de $\ln (n)$ pour tout nombre entier $n > 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi il suffit de calculer des valeurs de $\ln (p)$ pour $p$ nombre premier.
\item  Décrire une méthode pour calculer des valeurs approchées de $\ln (p)$ pour tout entier $n$ tel que $2 \leqslant n \leqslant 20$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large Problème \no 2}
\end{center}

\textbf{Notations.}

\medskip

$\N$ désigne l'ensemble des entiers naturels, $\Z$ l'ensemble des nombres relatifs et $\Q$ l'ensemble des nombres rationnels. L'ensemble des nombres rationnels positifs ou nuls est noté $\Q^{+}$.

Pour $m$ et $n$ deux entiers naturels, $\llbracket m,~n \rrbracket$ désigne l'ensemble des entiers $k$ tels que
$m \leqslant  k \leqslant n$.

On rappelle que, pour tout élément $x$ non nul de $\Q^{+}$, il existe un unique couple $(a,~ b)$ d'entiers naturels premiers entre eux tel que $x = \dfrac{a}{b}$. Le quotient $\dfrac{a}{b}$ est la forme fractionnaire irréductible (en abrégé, FFI) de $x$. Par convention, la forme fractionnaire irréductible de $0$  est $\dfrac{0}{1}$.

\medskip
\begin{center}
\textbf{\Large Partie A : Somme des cancres}
\end{center}

\medskip

\textbf{Définition.} Soient $x$ et $y$ deux éléments de $\Q^{+}$. Leur FFI respectives sont notées $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ ($a$, $b$, $c$, $d$ sont des entiers naturels, $b$ et $d$ sont non nuls, $a$ et $b$ sont premiers entre eux, $c$ et $d$ sont premiers entre eux). La somme des cancres de $x$ et $y$ est définie par:

\[x \oplus y = \dfrac{a+c}{b + d}.\]

\medskip

\textbf{I. Question de cours.} Soient $a$, $b$, $n$ trois entiers relatifs, $a$ et $b$ étant non nuls. Montrer que PGCD$(a,~b) = \text{PGCD}(a,~b + na)$.
\medskip

\textbf{II.} Soient $x$ et $y$ deux rationnels positifs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $x \oplus y$ est un rationnel positif.
\item  On note $\dfrac{a}{b}$ la FFI de $x$ et $\dfrac{c}{d}$ la FFI de $y$. La FFI de $x \oplus y$ est-elle toujours $\dfrac{a + c}{b + d}$ ?
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{III.} Chacune des affirmations suivantes est soit vraie soit fausse. Préciser pour chacune ce qu'il en est, en justifiant la réponse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout $x \in \Q^{+}$, $x \oplus 0 = x$.
\item Pour tout $x \in \Q^{+}$, $x \oplus x = x$.
\item Pour tous $x, y \in \Q^{+}$, $x \oplus y = y \oplus x$.
\item Pour tous $x$, $y$, $z, \in \Q^{+}$, $x \oplus (y \oplus z) = (x \oplus y) \oplus z$.
\item Pour tous $x,~y \in \Q^{+}$, non nuls, $\dfrac{1}{x} \oplus \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{x \oplus y}$.
\item Pour tous $x~, y \in \Q^{+}$, pour tout entier naturel $n$,\: $(n + x) \oplus (n + y) = n + (x \oplus y)$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{IV.} Soit $x$ et $y$ deux éléments de $\Q^{+}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $x \oplus y = x$ si, et seulement si, $x = y$.
\item  Montrer que si $x < y$, alors $x < x \oplus y < y$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{V.} Interprétation géométrique. 

On se place dans un plan euclidien, muni d'un repère (O, I, J). Pour $x \in \Q^{+}$, de FFI $\dfrac{a}{b}$ on note $M_x$ le point de coordonnées $(b~;~a)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient $x,\,y \in \Q^{+}$, non nuls. Montrer que O, $M_{x \oplus y}$ et le milieu de $\left[M_x M_y\right]$ sont alignés.
\item Qu'est la droite $\left(\text{O}M_{x \oplus y}\right)$ pour le triangle O$M_xM_y$ ?\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{VI.} Soient $x,~y \in \Q^{+}$, non nuls, de FFI respectives $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$. On suppose que $a > c$ et $b < d$.

En utilisant l'aire de rectangles et de triangles rectangles, montrer que l'aire du triangle
O$M_xM_y$ est

\[\dfrac{ad - bc}{2}.\]

\medskip

\begin{center}
\textbf{\Large Partie B : suites de Farey}
\end{center}
\medskip

\textbf{Définition} : pour tout entier $n \geqslant 1$, la suite de Farey d'ordre $n$ est la suite dont les termes sont, rangés dans l'ordre croissant, tous les rationnels positifs compris entre $0$ et $1$ dont la FFI a un dénominateur inférieur ou égal à $n$. On note $F_n$ cette suite. Par exemple :

\[\begin{array}{l c l}
F_1&=&\left(\dfrac{0}{1}~;~\dfrac{1}{1}\right)\\
F_2& =&\left(\dfrac{0}{1}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{1}\right)\\
F_3& =&\left(\dfrac{0}{1}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{1}\right)\end{array}.\]

\medskip

\textbf{VII.} Déterminer $F_4,\: F_5$ et $F_6$.

\medskip

\textbf{VIII.} Soit $x \in  \Q^{+}$ et soit $n$ un entier naturel non nul. Montrer que $x$ est un terme de la suite $F_n$ si, et seulement si, il existe $a, b \in \N$, $b$ non nul, tels que $x = \dfrac{a}{b}$ et 

$0 \leqslant a \leqslant b \leqslant n$.

\medskip

\textbf{IX.} Soit $n$ un entier naturel non nul. Montrer que les termes de $F_n$ sont aussi des termes de $F_{n+1}$.

\medskip

\textbf{X.} Montrer que si $x$ est un terme de la suite $F_n$ alors $1 - x$ également.

\medskip

\textbf{XI.} On considère l'application suivante :

\[\theta : \left\{\begin{array}{l c l}
\Q^{+}& \to& \N \times \N\\
x &\longmapsto&(a,~b)  \text{ tel que }\:\dfrac{a}{b}\: \text{est la FFI de } x.
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\theta$ est injective.
\item Montrer que $\theta$ n'est pas surjective.

\emph{Indication} : on pourra montrer que (2~;~2) n'appartient pas à $\theta \left(\Q^{+}\right)$.
\item Soit $x$ un élément de la suite $F_n$, non nul. Montrer que $\theta(x) \in \llbracket 1,~n\rrbracket \times  \llbracket 1,~n\rrbracket$.
\item On note $f_n$ le nombre de termes de $F_n$. Montrer que $f_n \leqslant n^2 + 1$ et que l'égalité n'est satisfaite que si $n = 1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{XII.} Soit $n$ un entier naturel non nul. L'indicatrice d'Euler de $n$ est l'entier défini par

\[\varphi(n) = \text{card}\left(\left\{k \in \llbracket 1,~n\rrbracket, \text{PGCD}(k,~n) = 1\right \}\right).\]

Montrer que pour tout $n \geqslant 1$,

\[f_n  = 1 + \displaystyle\sum_{k=1}^n \varphi(k).\]

\medskip

\begin{center}
\textbf{\Large Partie C : éléments consécutifs des suites de Farey}
\end{center}

\medskip

\textbf{XIII.} Soit $n$ un entier naturel non nul et soient $x$ et $y$ deux termes consécutifs de la suite $F_{n+1}$ On suppose qu'aucun des deux n'est un terme de $F_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe $k \in \llbracket 0,~ n \rrbracket$ tel que $x = \dfrac{k}{n+1}$ et $y = \dfrac{k+1}{n+1}$.
\item  Montrer que $x < \dfrac{k}{n} < y$.
\item  Montrer que si $x$ et $y$ sont deux termes consécutifs de la suite $F_{n+1}$, alors au moins l'un des deux est un élément de $F_n$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{XIV.} Le but de cette question est de démontrer, pour tout entier $n \geqslant 1$, la propriété $\left(P_n\right)$ :

\og si $x$ et $y$ sont, dans cet ordre, deux termes consécutifs de la suite de Farey $F_n$, dont les FFI respectives sont $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$, alors $bc - ad = 1$ et $x \oplus y$ est la première fraction qui apparaît entre $x$ et $y$ dans une suite de Farey d'ordre $m$ strictement supérieur à $n$. \fg

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer $\left(P_1\right)$.
\item On suppose que, pour un certain entier $n \geqslant 1$, la propriété $\left(P_n\right)$ est vraie. Soit alors $x$ et $y$ deux termes consécutifs (dans cet ordre) de $F_{n+1}$ dont les FFI respectives sont $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$. On rappelle que, dans ce cas, $x$ ou $y$ est un élément de $F_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si $x$ et $y$ sont des éléments de $F_n$, alors $bc - ad = 1$ et $x \oplus y$ est la première fraction qui apparaît entre $x$ et $y$ dans une suite de Farey d'ordre strictement supérieur à $n + 1$.
		\item On suppose dans tout ce qui suit que $x$ est un terme de $F_n$ et que $y$ n'est pas un terme de $F_n$. Soit $z$ le successeur de $x$ dans $F_n$ et $z = \dfrac{r}{s}$ la FFI de $z$.

Montrer que $\dfrac{a + r}{b + s}$ est une fraction irréductible comprise entre $x$ et $z$.
		\item Montrer que $x < y < z$ puis que $y = x \oplus z$.
		\item En déduire que $c = a + r$ et $d = b + s$.
		\item Déduire que $bc - ad = rd - sc = 1$.
		\item Soit $\dfrac{p}{q}$ la première fraction irréductible qui apparaît entre $x$ et $y$ dans une suite de Farey $F_m$ d'ordre $m$ strictement  supérieur à $n + 1$. On pose
		
$u = qc - pd$ et $v = pb - aq$. Montrer que $u$ et $v$ sont des entiers naturels non nuls et que
		
		\[\left\{\begin{array}{l c l}
au + cv &=& p,\\
bu + dv &=& q.
		\end{array}\right.\]
		
		\item Déduire que $x \oplus y$ apparaît dans une suite $F_{m'}$ avec $n + 1 < m' \leqslant m$ et que 
		
		\[x < x \oplus y < y.\]
		
		\item En déduire que $x \oplus y = \dfrac{p}{q}$.
 	\end{enumerate}
\item Conclure.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{XV.} Applications

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $b$ et $d$ sont les FFI de deux termes successifs d'une suite de Farey
$F_n$, alors $\dfrac{a + c}{b + d}$ est une fraction irréductible.
\item  Soient $x$, $y$ et $z$ trois termes consécutifs d'une suite de Farey $F_n$ de FFI respectives sont $\dfrac{a}{b}$,\: $\dfrac{c}{d}$, \:$\dfrac{c}{f}$.
Montrer que $bc - ad = de - fc$ puis que $y = x \oplus z$.
\end{enumerate}
\end{document}