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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small}
\dots\lfoot{\small{CAPES externe 2014}}
\rfoot{\small{épreuve 2 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{CAPES externe épreuve 2 session 2014}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\hrule

\begin{center}{\Large Problème 1 : matrices d'ordre fini}\end{center}

\hrule

\begin{center}\textbf{Notations et définitions}\end{center}

Dans tout le problème, $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 1.

On désigne par $\mathcal{M}_{n}(\C)$ (respectivement $\mathcal{M}_{n}(\R)$,\:$\mathcal{M}_{n}(\Z)$ l'ensemble des matrices carrées à $n$ lignes et $n$ colonnes dont les coefficients appartiennent à $\C$ (respectivement à $\R$, à $\Z$).

La matrice identité de taille $n$ est notée $I_{n}$.

Soit $A \in  \mathcal{M}_{n}(\C)$. L'ensemble des valeurs propres de $A$ est appelé spectre de $A$ et noté $Sp(A)$.

On dit que $A$ est d'ordre fini s'il existe $k \in \N^*$, tel que $A^k = I_{n}$.

Si $A$ est d'ordre fini, le plus petit entier strictement positif $k$ tel que $A^k = I_{n}$ est appelé ordre de $A$ et noté $o(A)$.

\begin{center}\textbf{Partie A : préliminaires}\end{center}

\begin{enumerate}
\item Cette question consiste en des rappels de théorèmes du cours.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\R)$. On suppose qu'il existe $P \in \R[X],\: P \neq 0$ tel que $P(A) = 0$.
		\begin{enumerate}
			\item Donner une condition suffisante sur $P$ pour que $A$ soit trigonalisable dans $\mathcal{M}_{n}(\R)$.
			\item Donner une condition suffisante sur $P$ pour que $A$ soit diagonalisable dans $\mathcal{M}_{n}(\R)$.
		\end{enumerate}
		\item Soit $A \in  \mathcal{M}_{n}(\C)$. On suppose qu'il existe $P \in \C[X], \: P \neq 0$ tel que $P(A) = 0$.

Que deviennent les conditions précédentes lorsque l'on s'intéresse à la trigonalisation ou à la diagonalisation de $A$ dans $\mathcal{M}_{n}(\C)$ ?
	\end{enumerate}
\item Soit $B \in  \mathcal{M}_{n}(\C)$, d'ordre fini. On pose $o(B) = b$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $B$ est inversible.
		\item Soit $k \in \Z$. Démontrer que $B_{k} = I_{n}$ si et seulement si $b$ divise $k$.
		\item Démontrer que les valeurs propres de $B$ sont des racines $b$-ièmes de l'unité.
		\item Démontrer que $B$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_{n}(\C)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $C \in \mathcal{M}_{n}(\C)$. Ses valeurs propres sont notées $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$.

On suppose que $C$ est diagonalisable et que pour tout entier $i$ tel que 
$1 \leqslant i \leqslant n,\: \lambda_{i}$ est une racine $n_{i}$-ième de l'unité pour un certain entier $n_{i}$.

Pour tout entier $i$ tel que $1 \leqslant i \leqslant n$, on note $k_{i}$ le plus petit entier strictement positif tel que $\lambda_{i}^{k_{i}} = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $C$ est d'ordre fini et que son ordre divise le PPCM de $k_{1}, ... , k_{n}$.
		\item Démontrer que $o(C)$ est le PPCM de $k_{i}, \ldots , k_{n}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{Partie B : matrices d'ordre fini à coefficients réels}\end{center}

Dans cette partie, on considère une matrice $A \in \mathcal{M}_{3}(\R)$ d'ordre fini. Le but est de démontrer que cette matrice est diagonalisable dans $\mathcal{M}_{3}(\C)$ et de déterminer le spectre de $A$ dans $\C$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que si toutes les valeurs propres de $A$ dans $\C$ sont réelles, alors $Sp(A) \subseteq \{- 1~;~1\}$.
\item On suppose que 1 est la seule valeur propre de $A$ dans $\C$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il existe $P \in \mathcal{M}_{3}(\R)$, inversible, et $a,\: b,\: c$ éléments de $\R$ tels que :

\[P^{- 1}AP =\begin{pmatrix}1&a& b\\
0&1&c\\ 1
0&0&1
\end{pmatrix}.\]

		\item On pose $B = P^{- 1} AP$. Démontrer que $B$ est d'ordre fini.
		\item Démontrer par récurrence que pour tout $k \in \N :  B^k = \begin{pmatrix}1&
ka&\frac{k(k-1)}{2}ac + kb\\
0&1&kc\\
0&0&1\end{pmatrix}$.
		\item En déduire que $A = I_{3}$.
	\end{enumerate}
\item Énoncer sans démonstration un résultat semblable lorsque $- 1$ est la seule valeur propre de $A$ dans $\C$.
\item On suppose que $- 1$ est valeur propre simple de $A$ et que 1 est valeur propre double de A.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il existe $Q \in \mathcal{M}_{3}(\R)$, inversible, et $a,\: b,\: c$ éléments de $\R$ tels que :
		
		\[Q^{- 1}AQ = \begin{pmatrix}- 1&a&b\\0&1&c\\0&0&1
		\end{pmatrix}.\]

		\item On pose $C = Q^{- 1}AQ$.

Démontrer qu'il existe trois suites de nombres réels $\left(\alpha_{k}\right)_{k \in \N}, \left(\beta_{k}\right)_{k \in \N}$ et $\left(\gamma_{k}\right)_{k \in \N}$ telles que pour tout entier naturel $k$ :

\[C^k = \begin{pmatrix}(- 1)^k&\alpha_{k}&\beta_{k}\\	0& 	1& \gamma_{k}\\ 
0& 	0& 	1 \end{pmatrix}\]

On définira ces suites à l'aide de relations de récurrence.
		\item Donner une expression de $\gamma_{k}$ pour tout $k \leqslant 0$.
		\item En déduire que $c = 0$.
		\item En déduire que $C$ et $A$ sont diagonalisables dans $\mathcal{M}_{3}(\C)$.
	\end{enumerate}
\item Énoncer sans démonstration un résultat semblable lorsque $- 1$ est valeur propre double de $A$ et $1$ est valeur propre simple de $A$.
\item On suppose que $A$ admet dans $\C$ au moins une valeur propre non réelle.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'il existe $\theta \in  2\pi\Q \backslash \pi\Z$, tel que $Sp(A) = \left\{\text{e}^{\text{i}\theta},\: \text{e}^{-\text{i}\theta}, 1\right\}$ ou 

$\left\{\text{e}^{\text{i}\theta},\: \text{e}^{-\text{i}\theta}, - 1\right\}$.

On pourra considérer le polynôme caractéristique de $A$. 
		\item Démontrer que $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_{3}(\C)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $A \in \mathcal{M}_{3}(\R)$. Démontrer que $A$ est d'ordre fini si, et seulement si, $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_{3}(\C)$ et qu'il existe $\theta \in  2\pi\Q$ tel que $Sp(A) = \left\{\text{e}^{\text{i}\theta},\: \text{e}^{-\text{i}\theta}, 1\right\}$ ou $\left\{\text{e}^{\text{i}\theta},\: \text{e}^{-\text{i}\theta}, - 1\right\}$.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie C : matrices d'ordre fini à coefficients entiers}\end{center}

Soit $A \in M_{3}(\Z)$, d'ordre fini. D'après la partie B, son spectre dans $\C$ est de la forme $Sp(A) = \left\{\text{e}^{\text{i}\theta}~;~\text{e}^{-\text{i}\theta}~;~ 1\right\}$ ou $\left\{\text{e}^{\text{i}\theta}~;~\text{e}^{-\text{i}\theta}~;~ 1\right\}$, où $\theta \in 2\pi\Q$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $2 \cos \theta \in  \Z$. 

\emph{On pourra considérer la trace de } $A$. 
\item Donner les valeurs possibles pour $\theta$. 
\item Donner les différents spectres dans $\C$ possibles pour A puis démontrer que $o(A) \in \{1~;~2~;~3~;~4~;~6\}$.
\item On cherche maintenant à construire des matrices de $\mathcal{M}_{3}(\Z)$ de chaque ordre.
	\begin{enumerate}
		\item Donner des matrices de $\mathcal{M}_{3}(\Z)$ d'ordre 1 et 2. 
		\item
		\begin{enumerate}
			\item Soit $(a, b, c) \in \R^3$. Calculer le polynôme caractéristique de : $\begin{pmatrix}0&0&- a\\1&0&- b\\0&1&- c
			\end{pmatrix}$.
			\item Construire une matrice de $\mathcal{M}_{3}(\Z)$ dont les valeurs propres sont $1, \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}$ et $\text{e}^{-\frac{2\text{i}\pi}{3}}$.

Démontrer que cette matrice est d'ordre 3.
			\item Construire des matrices de $\mathcal{M}_{3}(\Z)$ d'ordre 4 et d'ordre 6.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

Tournez la page S.V.P.
\newpage
\hrule

\begin{center}{\Large Problème 2 : décimales des nombres rationnels}\end{center}

\hrule

\begin{center}\textbf{Notations et définitions}\end{center}

$\N, \Z, \D$ et $\Q$ désignent respectivement l'ensemble des nombres entiers naturels, celui des nombres entiers relatifs, celui des nombres décimaux et celui des nombres rationnels.
 
Un nombre réel $x$ est dit décimal s'il existe un entier $n$ tel que $10^n x \in \Z$.
 
On dit qu'une suite d'entiers naturels $\left(d_{n}\right)_{n\in \N}$ est une suite décimale si, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a $0 \leqslant  d_{n}\leqslant 9$, le premier terme $d_{0}$ étant un entier naturel quelconque.

Une suite décimale est dite finie si tous ses termes sont nuls à partir d'un certain rang. 

Elle est dite :
\begin{itemize}
\item \emph{impropre} si tous ses termes sont égaux à 9 à partir d'un certain rang ; 
\item \emph{propre} dans le cas contraire du précédent.
\end{itemize}

On définit pour tout réel $x$ la partie entière de $x$, notée $E(x)$, par la condition : $E(x)$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$.

Le but de ce problème est de démontrer quelques propriétés des nombres décimaux, puis d'étudier les décimales des nombres rationnels non décimaux.

\begin{center}\textbf{Partie A nombres décimaux}\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\Z \subset \D \subset \Q$ et que ces inclusions sont strictes.
\item Démontrer que l'ensemble $\D$ est stable pour l'addition et la multiplication.
\item Soit $x$ un nombre rationnel positif. On pose $x = \dfrac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers naturels premiers entre eux et $b \neq 0$.
	\begin{enumerate}
		\item On suppose qu'il existe $(\alpha, \beta) \in  \N^2$, tels que $b = 2^{\alpha} \times  5^{\beta}$. Démontrer que $x$ est décimal. 
		\item On suppose que $x$ est un décimal non entier.

Démontrer que si $p$ est un diviseur premier de $b$, alors $p \in \{2~;~5\}$.
		\item Déduire des questions précédentes une condition nécessaire et suffisante sur $b$ pour que le rationnel $x$ soit un nombre décimal.
	\end{enumerate} 
\item On considère une suite décimale $\left(d_{n}\right)_{n \in \N}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la série $\displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \dfrac{d_{n}}{10^n}$  est convergente. On note $x$ sa limite.
		\item Démontrer que dans les deux cas suivants, $x$ est un nombre décimal: 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item la suite $\left(d_{n}\right)_{n \in \N}$ est finie ; 
\item la suite $\left(d_{n}\right)_{n \in \N}$ est impropre.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
		\item  Démontrer que pour tout entier $N \geqslant 0$, on a  $\displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \dfrac{d_{k}}{10^k} \leqslant \dfrac{1 + d_{N}}{10^{N}}$, avec égalité si et seulement si, pour tout $k \geqslant $N + 1$, d_{k} = 9$. 
		\item En déduire que si $x$ est un réel vérifiant $x = \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \dfrac{d_{n}}{10^n}$ et si $\left(d_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite décimale propre, alors la suite $\left(d_{n}\right)_{n \in \N}$ vérifiant cette égalité est unique. 

\emph{Si $x = \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \dfrac{d_{n}}{10^n}$ avec $\left(d_{n}\right)_{n \in \N}$ suite décimale propre, on note alors $x = d_{0}
\: d_{1},\:d_{2}\ldots d_{n}\ldots$ et on dit  que, pour tout $n \geqslant  1,\: d_{n}$ est la $n$-ième décimale du réel }$x$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que pour tout nombre décimal positif $x$, il existe une unique suite décimale finie $\left(d_{n}\right)_{0 \leqslant n \leqslant N}$ telle que $x = \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \dfrac{d_{n}}{10^n}$.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B : périodicité des décimales d'un rationnel positif non décimal}\end{center}

Soit $x$ un nombre rationnel positif \textbf{non décimal}. On pose $x = \dfrac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers naturels premiers entre eux.

On définit par récurrence deux suites d'entiers naturels $\left(d_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(r_{n}\right)_{n \in \N}$ de la manière suivante:

\begin{itemize}
\item $d_{0}$ et $r_{0}$ sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ ; 
\item pour tout $n \geqslant 0$,\: $d_{n+1}$ et $r_{n+1}$ sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de $10 r_{n}$ par $b$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $N$ un entier tel que $N \geqslant 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire un algorithme permettant d'afficher les entiers $d_{n}$ et $r_{n}$ de $n = 0$ jusqu'au rang $N$.

\emph{On suppose disposer d'une instruction calculant la partie entière $E(y)$ d'un réel $y$}. 
		\item Donner pour le rationnel $x = \dfrac{5}{13}$ les valeurs de $d_{n}$ et $r_{n}$ jusqu'au rang $N = 7$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier $n$ : $x = \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{d_{k}}{10^k} +\dfrac{r_{n}}{10^n b}$.
		\item En déduire que, pour tout entier $n,\: r_{n}$ est le reste de la division euclidienne de $10^na$ par $b$.
		\item Démontrer que $x = \displaystyle\sum_{k=0}^{+ \infty} \dfrac{d_{k}}{10^k}$ et que $\left(d_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite décimale propre.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on va établir que les suites $\left(d_{n}\right)_{n\in \N}$ et $\left(r_{n}\right)_{n\in \N}$ sont périodiques à partir d'un certain rang. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: r_{n} \neq 0$. 
		\item Démontrer que les nombres $r_{0},\: r_{1}, \ldots , r_{b-1}$ ne peuvent pas être deux à deux distincts.
		\item Soit $q$ le plus petit indice d'un reste figurant au moins deux fois dans la liste de la question précédente et $q'$ l'indice du premier autre reste qui lui est égal.

On pose $p = q' - q$, de sorte que $0 \leqslant  q < q + p \leqslant  b - 1$ et $r_{q} = r_{q+p}$.
 
Démontrer que la suite $\left(r_{n}\right)_{n \in \N}$ est périodique de période $p$ à partir du rang $q$ et que la suite $\left(d_{n}\right)_{n \in \N}$ est périodique de période $p$ à partir du rang $q + 1$.

\medskip

\emph{Dans la suite, on dit que $q$ est la pré-période du rationnel $x$ et $p$ sa période.} 

\emph{On note alors $x = d_{0},\: d_{1}, \ldots, d_{q}[d_{q+1} \ldots d_{q+p}]$ si $q \geqslant 1$ et $x = d_{0}, [d_{1} \ldots d_{p}]$ si $q = 0$.}
	\end{enumerate}
\item On conserve dans cette question les notations précédentes. 
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Démontrer que parmi les nombres $10^0,\:10^1, \ldots , 10^{b-1}$, au moins deux d'entre eux sont congrus modulo $b$.
			\item Démontrer que :
\begin{itemize}
\item $q$ est le plus petit exposant d'un nombre de la liste précédente qui est congru modulo $b$ à un autre nombre de cette liste ;
\item $q + p$ est l'exposant du premier nombre de cette liste congru à $10^q$ modulo $b$ et distinct de $10^q$.
\end{itemize}
			\end{enumerate}
		\item Démontrer que le rationnel $x = \dfrac{a}{b}$  la même période et la même pré-période que $\dfrac{1}{b}$.
 
\emph{Dans la suite, lorsque la fraction b est non décimale, q et p seront nommés \og la pré-période et la période de l'entier $b$ \fg}.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer la pré-période et la période des entiers suivants : $7 ; 12 ; 112$. 
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie C : détermination de la pré-période} \end{center} 
 
On considère un entier $b$ supérieur ou égal à 2 tel que la fraction $\dfrac{1}{b}$ soit non décimale et on note $\omega(b)$ sa pré-période et $\pi(b)$ sa période. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que $b$ est premier avec $10$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer l'équivalence : $10^q \equiv 10^{q+p}$ modulo $b \iff 10^p \equiv 1$ modulo $b$. 
		\item En déduire que $w(b) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on pose $b = 2^j \times 5^k \times c$, où $c$ est un entier premier avec $10$. 

Démontrer que $\pi(b) = \pi(c)$ et que $\omega(b) = \text{max}(j~;~k)$.

\emph{On pourra montrer que :\\
$10^q \left(10^p - 1\right)$ multiple de $b \iff  10^q$ multiple de $2^j \times 5^k$ et $10^p - 1$ multiple de $c$}.
\item Application : déterminer la période et la pré-période des nombres $150$ et \np{1120}.
\end{enumerate}
 
\begin{center}\textbf{Partie D : détermination de la période} \end{center}
 
Dans cette partie, on se propose de déterminer la période des entiers supérieurs ou égaux à 2, qui sont premiers avec 10, en fonction de leur décomposition en facteurs premiers. Si $b$ est un tel entier, d'après la partie C, sa période $\pi(b)$ est le plus petit entier $n$ non nul tel que $10^n \equiv 1\quad  \text{modulo}\: b$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, $b$ est un nombre premier distinct de $2$ et $5$. 
	\begin{enumerate}
		\item On note $\overline{a}$ la classe d'un entier $a$ dans $\Z/b\Z$ et $(\Z/b\Z)^{*}$ l'ensemble $\Z/b\Z$ privé de $0$.

Démontrer que l'application $f :\:\:\left\{\begin{array}{l c l}
(\Z/b\Z)^{*}&\to &(\Z/b\Z)^{*}\\
\overline{a} &\mapsto&\overline{10} \times \overline{a}
\end{array}\right.$ est bien définie et injective.
		\item En utilisant la question précédente, démontrer que : $10^{b-1} \equiv  1\quad  \text{modulo}\: b$.
		\item Démontrer que si $r$ est le reste de la division euclidienne d'un entier $n$ par un entier $m$, alors $10^r - 1$ est le reste de la division euclidienne de $10^n - 1$ par $10^m - 1$.

\emph{On pourra utiliser une forme factorisée de $x^n - 1$, où $x$ désigne un réel quelconque}.
		\item Déduire des résultats précédents que : 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item si un entier $k$ vérifie $10^k \equiv 1$ modulo $b$, alors $\pi(b)$ divise $k$; 
\item $\pi(b)$ divise $b - 1$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, $b$ et $c$ sont deux entiers premiers avec $10$ et premiers entre eux. 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n$ un entier naturel non nul. Démontrer que $10^n \equiv 1$ modulo $bc$ si et seulement si $n$ est un multiple de $\pi(b)$ et de $\pi(c)$.
		\item En déduire que $\pi(bc) = \text{ppcm}(\pi(b),\:\pi(c))$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, $b$ est un entier de la forme $p^n$, où $p$ est un nombre premier distinct de $2$ et $5$, et $n$ un entier naturel non nul. On pose $\pi(b) = \ell$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'existence de deux entiers $q$ et $r$ tels que $r \geqslant 1$ et $10^{\ell} - 1 = p^r \times q$.
		\item \emph{Premier cas} : $n \leqslant r$. Démontrer que $\pi \left(p^n\right) = \ell$.
		\item \emph{Deuxième cas} : $n > r$.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $k$, il existe un entier naturel $Q$ premier avec $p$ tel que $10^{\ell \times p^k} - 1 = p^{r+k} \times Q$ et que

$\pi \left(p^{r+k}\right) = \ell \times  p^k$. 

En déduire que $\pi \left(p^n\right) = \ell \times  p^{n-r}$. 
	\end{enumerate}
\item Applications
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la période des entiers $3,\:3^2,\:3^3,\:3^4,\:7,\:7^2$ et $7^3$.
		\item En déduire la période de l'entier \np{27783}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}